广东省广州市第十六中学2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷

**基本信息** 广州市第十六中学七年级下学期期中数学试卷，以代数几何融合为核心，通过新能源汽车采购、几何动态探究等真实情境，分层考查运算能力、推理意识与模型观念，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|无理数、方程、坐标系基础|直尺三角板组合（第4题）考查平行线性质，体现几何直观| |填空题|6/24|实数比较、角平分线、新定义运算|《九章算术》牛羊问题（第14题）渗透文化传承，培养数学眼光| |解答题|9/86|方程组应用、图形平移、动态几何|新能源汽车采购方案（第23题）构建模型解决实际问题，几何动态探究（第25题）发展推理能力与创新意识|

广东省广州市第十六中学2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷 一、选择题（本题共有10个小题，每小题4分，共40分。下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。） 1．（4分）下列各数中，是无理数的是（　　） A．3.14 B． C． D． 2．（4分）把方程2x+y＝3改写成用含x的代数式表示y的形式为（　　） A．y＝2x+3 B．y＝2x﹣3 C．y＝﹣2x+3 D．y＝﹣2x﹣3 3．（4分）的平方根是（　　） A． B．± C． D．± 4．（4分）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝50°时，则∠2的度数为（　　） A．130° B．100° C．50° D．40° 5．（4分）若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为（　　） A．（0，3） B．（0，3）或（0，﹣3） C．（3，0） D．（3，0）或（﹣3，0） 6．（4分）在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（　　） A． B． C．2 D．8 7．（4分）如图，长方形花园ABCD中，AB＝32，AD＝20，花园中建有两条宽度一致的小路．若LM＝RS＝2，则花园中可绿化部分的面积为（　　） A．640 B．576 C．540 D．600 8．（4分）下列命题中，真命题有（　　）个． ①三条直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c； ②正有理数和负有理数统称为实数； ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ④相等的两个角是对顶角； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离． A．1 B．2 C．3 D．4 9．（4分）在长方形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，相应尺寸如图所示，则AE的长为（　　） A．3cm B．2.5cm C．2cm D．1cm 10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，一动点从点（0，0）出发，其顺序按图中“→”方向排列，依次为：（0，0），（1，0），（1，2），（0，2），（0，3），（2，3），（2，﹣1），…，根据这个规律，第2026个点的坐标为（　　） A．（507，﹣506） B．（0，﹣507） C．（0，506） D．（506，﹣505） 二、填空题（本大题共6题，每小题4分，共24分） 11．（4分）比较实数大小：π　 　 （填“＞”或“＜”）． 12．（4分）如图，如果“炮”所在位置的坐标为（﹣3，1），“象”所在位置的坐标为（2，﹣2），那么“士”所在位置的坐标为 　 　 ． 13．（4分）如图，直线AB∥CD，直线EC分别与直线AB、CD相交于点A、C，AD平分∠BAC，∠ACD＝70°，则∠DAC的度数为　 　 ． 14．（4分）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两，问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，依据题意可列方程组　 　 ． 15．（4分）若点A（3，m﹣1）在x轴上，点B（2﹣n，﹣2）在y轴上，则点C（3m﹣1，1﹣n2）在第 　 　 象限． 16．（4分）对于两个整数a和b，定义一种新运算“△”，若a+b为偶数，则a△b＝3a﹣b；若a+b为奇数，则a△b＝a+2b．若对整数m和n，有（4n﹣2）△[（m﹣1）△m]＝﹣2，且m△（2n+1）＝6，则m的值为　 　 ． 三、解答题（本小题共9题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 18．（6分）解方程组：． 19．（8分）请把下面证明过程补充完整． 如图，AD∥BE，∠1＝∠3，∠2＝∠B，求证：DE∥AC． 证明：∵AD∥BE（已知） ∴∠2+　 　 ＝180°（ 　 　 ） ∵∠2＝∠B（已知） ∴∠B+∠DCB＝180°（ 　 　 ） ∴　 　 ∥AB（ 　 　 ） ∴∠3＝　 　 （ 　 　 ） ∵∠1＝∠3（已知） ∴∠1＝　 　 （等量代换） ∴DE∥AC（内错角相等，两直线平行）． 20．（8分）把三角形ABC放在直角坐标系中如图所示，现将三角形ABC向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形A1B1C1． （1）在图中画出三角形A1B1C1； （2）写出A1、B1、C1的坐标； （3）求AC在平移过程中扫过的面积． 21．（8分）如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1＝∠2，∠C＝∠D．试说明：AC∥DF． 22．（10分）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用m个面积为1的小正方形纸片剪拼成一个面积为m的大正方形．下面是他们探究的部分结果： （1）如图1的第1个图形，当m＝2时，拼成的大正方形ABCD的边长为　 　 ； 如图2的第2个图形，当m＝5时，拼成的大正方形A1B1C1D1的边长为　 　 ； 如图3的第3个图形，当m＝10时，拼成的大正方形A2B2C2D2的边长为　 　 ； （2）小明同学制作了一张边长为15cm的正方形贺卡想给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为4：3，面积为360cm2.能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由； （3）设的整数部分是的小数部分是的小数部分是c，求的值． 23．（12分）综合与实践：根据下面素材，探索完成任务． 背景 作为深圳建设“新一代世界一流汽车城”的核心承载区，坪山区正全力聚焦智能网联新能源汽车的研发创新与智能制造，构建起“核心研发+智能制造”的双轮驱动产业生态．为抢抓新能源汽车市场机遇，某汽车销售企业计划从坪山区新能源汽车产业集群中批量采购新能源汽车，开展市场销售布局． 素材1 采购2辆H型新能源汽车、5辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本80万元． 素材2 采购3辆H型新能源汽车、2辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本65万元． 解决问题 任务1 计算H型，Q型两种新能源汽车的每辆进货价格分别为多少万元？ 任务2 若该销售企业计划正好用120万元购进以上两种型号的新能源汽车（每种型号至少1台），请帮助该公司设计出所有满足预算要求的采购方案． 任务3 结合市场销售数据，销售1辆H型新能源汽车可获利0.5万元，销售1辆Q型新能源汽车可获利0.35万元．在任务2拟定的采购方案中，若所有采购的汽车均能顺利售出，哪种采购方案获利最大？最大利润是多少万元？ 24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），B（b，0），C（﹣1.5，﹣2），其中a，b满足|a+1|+（b﹣3）2＝0． （1）求△ABC的面积； （2）在x轴上求一点P，使得△ACP的面积与△ABC的面积相等； （3）在y轴上是否存在一点Q，使得△BCQ的面积与△ABC的面积相等？若存在，请写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（14分）已知，MN∥PQ，直线AB交MN于点A，交PQ于点B，点C在线段AB上，过C作射线CE、CF分别交直线MN、PQ于点E、F． （1）如图1，当CE⊥CF时，求∠AEC+∠BFC的度数； （2）如图2，若∠MEC和∠PFT的角平分线交于点G，求∠ECF和∠G的数量关系； （3）如图3，在（2）的基础上，当CE⊥CF，且∠ABP＝60°，∠ACE＝20°时，射线FT绕点F以5°每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，当射线FG与△AEC的一边互相平行时，请直接写出t的值． 广东省广州市第十六中学2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共有10个小题，每小题4分，共40分。下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。） 1．【解答】解：3.14是有限小数，6是整数，||是分数，它们不是无理数， 是无限不循环小数，它是无理数， 故选：B． 2．【解答】解：方程2x+y＝3， 解得：y＝﹣2x+3． 故选：C． 3．【解答】解：的平方根是±． 故选：D． 4．【解答】解：∵直尺的两边互相平行，∠1＝50°， ∴∠3＝∠1＝50°（两直线平行，同位角相等）， ∴∠2＝180°﹣90°﹣50°＝40°， 故选：D． 5．【解答】解：∵P在x轴上， ∴P的纵坐标为0， ∵P到y轴的距离是3， ∴P的横坐标为3或﹣3， ∴点P坐标是（3，0）或（﹣3，0）． 故选：D． 6．【解答】解：由数值加工机的运算程序，输入64，取算术平方根得8，8是有理数，再取立方根得2，2是有理数，再取算术平方根得，由于是无理数， 所以输出的数为， 故选：B． 7．【解答】解：长方形花园ABCD中，AB＝32，AD＝20，LM＝RS＝2， ∴绿化部分的面积为：32×21﹣32×2﹣20×2+22＝540 故选：C． 8．【解答】解：①三条直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，正确，是真命题，符合题意； ②正有理数和负有理数统称为实数，错误，是假命题，不符合题意； ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等，错误，是假命题，不符合题意； ④相等的两个角是对顶角，错误，是假命题，不符合题意； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 真命题有1个， 故选：A． 9．【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm， 根据图形列方程组得：， 解得：， 根据图形关系：AE＝y＝2cm， ∴AE的长为2cm， 故选：C． 10．【解答】解：通过图象可知，每四组为一个周期：对应的数据为：第一组：（0，0）、（1，0）、（1，2）、（0，2）；第二组：（0，3）、（2，3）、（2，﹣1）、（0，﹣1）；第三组：（0，﹣2）、（3，﹣2）、（3，4）、（0，4）；第四组：（5，0）、（4，4）、（4，﹣3）、（0，﹣3）， 而2026÷4＝506……2， 则第2026个点为组中的第二个点，故横坐标为组数，即506； 结合选项可知，D选项符合题意， 故第2026个点的坐标为：（506，﹣505）， 故选：D． 二、填空题（本大题共6题，每小题4分，共24分） 11．【解答】解：∵， ∴， ∵π≈3.1415926， ∴， 故答案为：＞． 12．【解答】解：“炮”所在位置的坐标为（﹣3，1），“象”所在位置的坐标为（2，﹣2），由题意得， 则“士”所在位置的坐标为（﹣1，﹣2）． 故答案为：（﹣1，﹣2）． 13．【解答】解：∵AB∥CD，∠ACD＝70°， ∴∠BAC＝110°， 又∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC∠BAC＝55°． 故答案为：55°． 14．【解答】解：根据题意得：， 故答案为：． 15．【解答】解：由点A（3，m﹣1）在x轴上，点B（2﹣n，﹣2）在y轴上，得 m﹣1＝0，2﹣n＝0． 解得m＝1，n＝2， ∴3m﹣1＝2，1﹣n2＝﹣3， 则点C（3m﹣1，1﹣n2）在第四象限． 故答案为：四． 16．【解答】解：由题意得：当m为奇数时：， 解得：， 当m为偶数时：， 解得：， ∵整数m和n， ∴m＝3， 故答案为：3． 三、解答题（本小题共9题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【解答】解：原式 ． 18．【解答】解：， ①+②，得5x＝15， 解得：x＝3， 把x＝3代入①，得， 解得：y＝18， ∴方程组的解为． 19．【解答】证明：∵AD∥BE（已知）， ∴∠2+∠DCB＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠2＝∠B（已知）， ∴∠B+∠DCB＝180°（等量代换）， ∴DC∥AB（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）， ∵∠1＝∠3（已知）， ∴∠1＝∠4（等量代换）， ∴DE∥AC（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：∠DCB；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；DC；同旁内角互补，两直线平行；∠4；两直线平行，内错角相等；∠4． 20．【解答】解：（1）画出三角形A1B1C1如图所示： （2）由图可得：A1（4，4），B1（1，2），C1（4，﹣1）； （3）∵A（1，3），C（1，﹣2）， ∴AC＝5， ∴AC在平移过程中扫过的面积为3×5＝15． 21．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∠1＝∠3（ 对顶角相等 ）， ∴∠2＝∠3（等量代换）， ∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行）， ∴∠C＝∠ABD（两直线平行，同位角相等）， 又∵∠C＝∠D（已知）， ∴∠D＝∠ABD（等量代换）， ∴AC∥DF（ 内错角相等，两直线平行）． 22．【解答】解：（1）当m＝2时，正方形ABCD的面积＝2， ∴边长为； 当m＝5时，正方形A1B1C1D1的面积＝5， ∴边长为； 当m＝10时，正方形A2B2C2D2的面积＝10， ∴边长为； 故答案为：，，； （2）∵信封的长、宽之比为4：3， ∴设长方形信封的长为4xcm，宽为3xcm， 由题意得4x•3x＝360， ∴（负值舍去）， ∴长方形信封的长为，宽为， ∵正方形贺卡的边长是15cm， ∵270＞225， ∴， 即信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封； （3）∵56， ∴a＝5， ∵12， ∴b1， ∵23， ∴c2， ∴（1）+5﹣（2）252＝5． 23．【解答】解：（任务1）设H型新能源汽车的每辆进货价格为x万元，Q型新能源汽车的每辆进货价格为y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：H型新能源汽车的每辆进货价格为15万元，Q型新能源汽车的每辆进货价格为10万元； （任务2）设购进m台H型新能源汽车，n台Q型新能源汽车， 根据题意得：15m+10n＝120， ∴m＝8n， 又∵m，n均为正整数， ∴或或， ∴该销售企业共有3种采购方案， 方案1：购进6台H型新能源汽车，3台Q型新能源汽车； 方案2：购进4台H型新能源汽车，6台Q型新能源汽车； 方案3：购进2台H型新能源汽车，9台Q型新能源汽车； （任务3）方案1可获得的利润为0.5×6+0.35×3＝4.05（万元）； 方案2可获得的利润为0.5×4+0.35×6＝4.1（万元）； 方案3可获得的利润为0.5×2+0.35×9＝4.15（万元）， ∵4.05＜4.1＜4.15， ∴采购方案3获利最大，最大利润是4.15万元． 24．【解答】解：（1）∵|a+1|+（b﹣3）2＝0， 又∵|a+1|≥0，（b﹣3）2≥0， ∴a+1＝b﹣3＝0， ∴a＝﹣1，b＝3， 过点C作CN⊥x轴于点N， ∵点C（﹣1.5，﹣2）， ∴MN＝2， ∵A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB＝1+3＝4， ∴S△ABCAB•CN4×2＝4． （2）设点P（p，0）． ∵S△ACP|﹣1﹣p|×2＝4，解得p＝3或 p＝﹣5， 当p＝3时，△APC与△ABC重合，不合题意，舍去， ∴点P（﹣5，0）． （3）如图，连接OC．设BC交y轴于点N，设Q（0，m）．N（0，n）． ∵S△BOC3×2（﹣n）×4.5， ∴n， ∴N（0，）， ∵S△CAB＝S△QBC， ∴•|m|•4.5＝4， 解得m或， ∴点P坐标为（0，） 或（0，）． 25．【解答】（1）解：如图，过点C作CH∥MN， ∴∠AEC＝∠ECH， ∵MN∥PQ ∴CH∥PQ， ∴∠BFC＝∠HCF， ∵CE⊥CF， ∴∠ECH+∠HCF＝∠ECF＝90°， ∴∠AEC+∠BFC＝∠ECF＝90°； （2）解：如图所示：设∠MEG＝∠CEG＝α，∠PFG＝∠TFG＝β，EG、PQ交于点H，过点G作GR∥PQ， 由∠MEC和∠PFT的角平分线交于点G， ∴∠AEC＝180°﹣2α，∠BFC＝∠PFT＝2β， 由（1）得∠BFC+∠AEC＝∠ECF，即：2β+∠AEC＝∠ECF， ∴2β+180°﹣2α＝∠ECF，即：∠ECF+2（α﹣β）＝180°， ∴∠FGR＝∠PFG＝β，∠EHQ＝∠FGR+∠EGF， ∴∠EHQ＝β+∠EGF， ∵MN∥PQ， ∴∠MEG＝∠EHQ＝β+∠EGF， ∴α＝β+∠EGF， ∴α﹣β＝∠EGF ∴∠ECF+2∠G＝180°； （3）解：∵CE⊥CF， ∴∠ECF＝90°， ∵∠ACE＝20°，∠ACE+∠ECF+∠BCF＝180°， ∴∠BCF＝70°， ∵∠ABP＝60°， ∴∠PFT＝∠BFC＝180°﹣∠BCF﹣∠ABP＝50°， ∴∠GFP＝25°， ∵射线FT绕点F以5°每秒的速度顺时针旋转， ∴射线FG绕点F以2.5°每秒的速度顺时针旋转， ①当FG旋转到在射线FP上时，有AE∥FG′， 则2.5t＝25， 解得t＝10（秒） ②当FG旋转到FG′平行于射线CE时，有CE∥FG′， 则∠G′FT＝∠ECF＝90°， ∴∠G′FG＝90°﹣∠GFT＝65° 则2.5t＝65， 解得t＝26（秒）； ③当FG旋转到FG′平行于射线CA时，有AC∥FG′， 则∠G′FP＝∠ABP＝60°， ∴∠G′FG＝∠G′FP+∠GFP＝85°， 则2.5t＝85， 解得t＝34（秒） ④当FT继续旋转到与FQ重合之后，则AE∥FG′， ∴旋转了25°+180°＝205°， 则2.5t＝205， 解得：t＝82（秒）； ⑤当FG旋转到FG′平行于射线EC时，有CE∥FG′， ∴∠CFG′＝∠ECF＝90°， ∴旋转角大小为：∠GFP+∠PFC+CFG′＝25°+180°﹣50°+90°＝245°， 则2.5t＝245， 解得：t＝98（秒）； ⑥当FG旋转到FG′平行于射线AC时，有CA∥FG′， ∴∠BFG′＝∠ABP＝60°， ∴旋转角大小为：25°+180°+60°＝265°， 则2.5t＝265， 解得：t＝106（秒）， 故t的值为10，26，34，82，98，106秒． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $