2026年重庆市大足区中考数学质检试卷（4月份）

**基本信息** 立足大足地方文化与时代热点，融合数学抽象、推理与应用能力的中考模拟卷，如“石刻吉祥数”“多宝塔测量”等题体现文化传承与实践探究。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|数轴、统计量、概率等|结合春晚主题考概率，勾股树规律题培养空间观念| |填空题|6/24|算筹方程、光学角度计算等|《九章算术》算筹图考查模型意识，反比例函数与不等式结合提升运算能力| |解答题|9/86|函数综合、几何变换、统计应用等|多宝塔测量题融合相似与三角函数，平行四边形旋转题发展推理能力|

2026年重庆市大足区中考数学质检试卷（4月份） 一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1．（4分）数轴上的点与数是一一对应的关系．如图，数轴上表示0的点是（　　） A．M B．N C．P D．Q 2．（4分）在安检时，背包随安检传送带移动，主要涉及的图形变换是（　　） A．位似 B．轴对称 C．旋转 D．平移 3．（4分）大足的南山和北山是大足人日常与家人朋友游玩的好地方，若想了解两座山哪座游玩人数最多，其涉及的统计量是（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 4．（4分）今年是我国“十五五”开局之年，因此2026年春晚主题“骐骥驰骋 势不可挡”紧扣生肖马的奔腾意象，暗含“奇迹”之意，寓意国家发展和个人奋斗的双重奋进．在春晚主题的八个字中，是左右结构字的概率为（　　） A． B． C． D． 5．（4分）多项式x2+2x加上一个单项式后，能成为一个多项式的完全平方，那么加上的单项式可以是（　　） A．4 B．1 C．﹣1 D．﹣4 6．（4分）勾股树不仅展现了数学的对称美，更蕴含着深刻的数学原理．如图是勾股树的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，…，则第4个图形中正方形的个数是（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 7．（4分）苏轼贬谪黄州期间，常与友人煮茶论道．后人据此推演得一趣题：雪堂之内，苏轼汲水煎茶．若将壶中茶汤分注于盏，每盏盛5分，则壶中余3分；若每盏盛6分，则壶中尚缺4分方满．设雪堂内共有茶盏x只，下列方程中能正确反映壶中茶汤总量的是（　　） A．5x+3＝6x﹣4 B．5x﹣3＝6x+4 C． D． 8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（1，n）、B（﹣3，﹣2），且与y轴交于点C．连接OA，OB，则△AOB的面积为（　　） A．4 B．9 C．16 D．8 9．（4分）如图，正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A，D重合），点A关于直线BE的对称点为点F，连接CF，设∠BCF＝α．则∠EAF为（　　） A．α+45° B． C．α﹣45° D． 10．（4分）已知整式Q，其中t，ft，ft﹣1，…，f1，f0均为正整数，所有系数和ft+ft﹣1+…+f1+f0≤16，且fn≥fn﹣1+2，其中n＝1、2、…、t．下列说法： ①当t＝2，f0＝1时，满足条件的整式Q有13个； ②当t＝3时，满足条件的整式Q的系数和必为14； ③当t＝2，f0＝2，且方程4Q﹣5＝0有两个不相等的实数根时，满足条件的所有整式Q的最高次项的系数和为12．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二.填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上。 11．（4分）计算π0+2﹣1﹣sin30°＝　 　 ． 12．（4分）《九章算术》的“方程”章是世界最早系统研究一次方程组的文献之一．古人以“算筹布列”的方式表示一次方程组：算筹的纵、横摆放对应未知数的系数与常数项．如算筹图1表示的方程组为，类比图1的方程组，请写出算筹图2所表示的方程组为　 　 ． 13．（4分）在光学实验中，平行于凸透镜主光轴PQ的光线（注：平行于主光轴的光线经凸透镜折射后会聚于焦点）AB和CD，经过凸透镜折射后，折射光线BE、DF相交于主光轴上的点G（可认为G是该凸透镜的焦点）已知∠ABE＝130°，∠CDF＝150°，则∠BGD＝　 　 °． 14．（4分）如图，以矩形ABCD的B点为圆心，BC的长为半径作⊙B，交AB于点F，点E为AD上一点，连接CE，将线段CE绕点E顺时针旋转至EG，点G落在⊙B上，点F为EG中点．，，则AB的长为　 　 ． 15．（4分）已知反比例函数的图象位于第二、四象限，且关于x的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的整数m的值之积为　 　 ． 16．（4分）大足石刻造像艺术承载着吉祥如意的美好寓意．现定义：满足各数位上的数字互不相等且均不为0，并同时满足千位与百位数字之和等于十位与个位数字之和的2倍的四位自然数为“石刻吉祥数”．例如：四位数8241，∵8+2＝2（4+1），且数字互不相等均不为0，∴8241是“石刻吉祥数”．最小的“石刻吉祥数”是　 　 ；对于一个“石刻吉祥数”，记．若F（N）为正整数，且G（N）＝b2﹣d2，则满足条件的N的值为　 　 ． 三.解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 17．（8分）如图，AM和BN是⊙O的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别交于D，C两点．当AD＝2，BC＝5时，求AB的长． 18．（8分）我们知道，通过对特殊三角形作图可以得到菱形．如图，△ABC是等边三角形． （1）尺规作图：作∠B的平分线BF交AC与点E，在射线BF上截取ED＝BE，连接AD，CD． （2）根据下面的思路完成证明过程． 证明：∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC， ∴BD⊥AC且①　 　 ＝②　 　 ，（三线合一） 又∵BE＝DE， ∴四边形ABCD是菱形．（③　 　 ）（填理由） 四、解答题：（本大题7个小题，每个小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在对应的位置上。 19．（10分）先化简，再求值． ． 其中，在﹣5，0这两个数中选一个你喜欢的数作为x的值，且|y|＝5． 20．（10分）为全面了解“书香校园”建设成效，精准优化校园阅读服务．我区某校开展了学生阅读情况调查．重点调查以下五方面：A．每周课外阅读时长；B．每月借阅图书数量；C．偏好的阅读类型；D．参与校园读书活动的次数；E．班级组织分享阅读次数等信息．学校随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必答且只回答一个问题），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图．根据上述信息，解决下列问题． （1）补全条形图并计算扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为　 　 °； （2）若该校有2000名学生，请估计该校每月借阅图书数量的学生人数； （3）该校从D类中挑选出2名男生和2名女生，拟从这4名学生中随机抽取2名学生参加市级比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 21．（10分）习总书记强调：“中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手上．”为落实这一要求，某农科院规划了两块正方形试验田开展农业技术研究，相关示意图如下．其中甲种水稻的试验田是边长为m（m＞5）米的正方形去掉一个边长为5米的正方形蓄水池后余下的部分，乙种水稻的试验田的边长为（m﹣5）米．两块试验田的水稻都收获了1500千克． （1）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ （2）在（1）的计算结果下，若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，请求出m的值． 22．（10分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝4cm，AD＝6cm，BC＝5cm．点E是AD的中点，动点F从C出发，沿折线C→B→E运动（点F不与点C、E重合）设点F的运动路程为x，△CEF的面积为y1，△CDE的面积的3倍与点F的路程之比为y2． （1）请直接写出y1、y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在图2中画出y1、y2的图象，并写出函数y1的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围． 23．（10分）建于南宋绍兴年间的北山多宝塔位于我区北山上．为八角形密檐楼阁式砖塔，是大足标志性古建筑之一．我区某校数学实践小组利用所学知识采取两种方案测量多宝塔的高度． 方案一：如图①：借助太阳光线构成相似三角形．测量：塔影BD长18m，标杆CD长2.2m，影子DE为1.2m． 方案二：如图②，利用锐角三角函数．身高为1.73m的某同学站在点C处的仰角是45°，他往前走10m至点D处仰角为55°． （1）根据方案一、二的数据，分别求出多宝塔的高度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428．） （2）两个方案计算的结果一致吗？请说明理由． 24．（10分）如图，抛物线与x轴分别交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴交于点C，直线y＝﹣2x+2的图象过B，C两点． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）点P为直线AC上方抛物线上一点，点D为直线BC上一动点，连接AP，PC，PD当△APC面积最大时，求的最小值； （3）将抛物线沿射线AC方向平移后过点C，在新抛物线上是否存在一点Q，使∠ABQ+∠OCB＝180°，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（10分）在▱ABCD中，连接AC，设∠BAC＝α． （1）如图1，若α＝90°，，求▱ABCD的面积； （2）如图2，在（1）的条件下，点E在线段AC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°至线段DF，点G为DC延长线上一点，且有GC＝EC，连接FG交AD于点H，求证：； （3）如图3，若，AC＝5，tanα＝2，点E是AB上一点，将△ABC沿射线CE平移至C与E重合，并绕点E旋转至△MNE，延长CE与线段MN交于点F，连接AF、DF，当AE＝2BE时，求DF2﹣AF2的最小值． 2026年重庆市大足区中考数学质检试卷（4月份） 参考答案与试题解析 一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1．【解答】解：根据图示，点N位于数轴上0的位置，因此正确答案是B． 故选：B． 2．【解答】解：在安检时，背包随安检传送带移动，主要涉及的图形变换是平移． 故选：D． 3．【解答】解：想了解两座山哪座游玩人数最多，是这组数据的众数， 所以应选择的统计量是众数， 故选：C． 4．【解答】解：在春晚主题的八个字中，是左右结构字有5个， 所以左右结构字的概率为． 故选：C． 5．【解答】解：多项式x2+2x加上一个单项式后，能成为一个多项式的完全平方，那么加上的单项式可以是1， 故选：B． 6．【解答】解：由图可知：第一个图形有1（个）正方形， 第2个图形有1+21＝3（个）正方形， 第3个图形有1+21+22＝7（个）正方形， ∴第4个图形中共有1+21+22+23＝15（个）正方形， 故选：B． 7．【解答】解：由题意，设茶盏有x只， ∵茶汤总量不变， ∴5x+3＝6x﹣4． 故选：A． 8．【解答】解：∵反比例函数的图象过点A（1，n）、B（﹣3，﹣2）， ∴m＝1×n＝﹣3×（﹣2）， ∴n＝6， ∴A（1，6）， 把A、B的坐标代入y＝kx+b得， ， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝2x+4； 当x＝0时，y＝2x+4＝4， ∴C（0，4）， ∴OC＝4， ∴S△AOB＝S△OAC+S△BOC8． 故选：D． 9．【解答】解：连接BF，如图所示： 由对称的性质得：AB＝FB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB，∠ABC＝∠BAD＝90°， ∴FB＝CF， ∴∠BFC＝∠BCF＝α， 在△BCF中，∠CBF＝180°﹣（∠BFC+∠BCF）＝180°﹣2α， ∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBF＝90°﹣（80°﹣2α）＝2α﹣90°， 在△ABF中，AB＝FB， ∴∠BAF＝∠BFA（180°﹣∠ABF）（180°﹣2α+90°）＝135°﹣α， ∴∠EAF＝∠BAD﹣∠BAF＝90°﹣（135°﹣α）＝α﹣45°． 故选：C． 10．【解答】解：①当t＝2，f0＝1时，，（f2、f1均为正整数） ∵f2+f1+f0≤16， ∴f2+f1≤15， ∵f2≥f1+2， ∴f2﹣f1≥2， ∴， ∵f1≥f0+2＝3， ∴f1可取的值有：3，4，5，6． 当f1＝3时，f2可取的值有5，6，7，8，9，10，11，12，共8个； 当f1＝4时，f2可取的值有6，7，8，9，10，11，共6个； 当f1＝5时，f2可取的值有7，8，9，10，共4个； 当f1＝6时，f2可取的值有8，9，共2个； ∴总个数为：8+6+4+2＝20≠13，故说法①错误； ②当t＝3时，， ∵f1≥f0+2， f2≥f1+2≥f0+4， f3≥f2+2≥f0+6， ∴f3+f2+f1+f0≥4f0+12≥16， 又∵f3+f2+f1+f0≤16， ∴f3+f2+f1+f0＝16≠14， 故说法②错误； ③当t＝2，f0＝2时，， 方程4Q﹣5＝0化为， ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∵f2+f1+2≤16， ∴f2+f1≤14， ∵f1≥f0+2＝4， f2≥f1+2≥6， ∴f1≤6， ∴f1可取的值有4，5，6， 当f1＝4时，，此时不存在符合条件的f2； 当f1＝5时，，满足条件的f2的值有7，8； 当f1＝6时，f2＜12，满足条件的f2的值只有8； 综上所述，满足条件的所有整式Q的最高次项的系数和为7+8+8＝23≠12． 故说法③错误； ∴三种说法当中，正确的个数为0， 故选：A． 二.填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上。 11．【解答】解：原式＝11， 故答案为：1． 12．【解答】解：根据题意得：， 故答案为：． 13．【解答】解：∵AB∥PQ，∠ABE＝130°， ∠BGP＝180°﹣∠ABE＝180°﹣130°＝50°； ∵CD∥PQ，∠CDF＝150°， ∴∠DGP＝180°﹣∠CDF＝180°﹣150°＝30°， ∴∠BGD＝∠BGP+∠DGP＝50°+30°＝80°． 故答案为：80． 14．【解答】解：设BC＝x，∴AD＝BF＝x， ∵线段CE绕点E顺时针旋转至EG， ∴EG＝EC， ∵AF，tan∠AEF， ∴AE＝3， ∵在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°， 根据勾股定理得EF， ∵点F为EG中点， ∴EG＝10， ∴EC＝10， ∵ED＝x﹣3，CD＝x， ∴根据勾股定理得200＝（x﹣3）2+（x）2，解得，（舍去）， ∴AB＝CD＝6， 故答案为：6． 15．【解答】解：∵反比例函数y的图象位于第二、四象限， ∴m﹣2＜0， ∴m＜2， 解关于x的不等式组得， ∵不等式组至少有3个整数解， ∴0， 解得m≥﹣1， 由上可得，m的取值范围是﹣1≤m＜2， ∴整数m是﹣1，0，1共3个， ∴符合条件的整数m的值之积为0． 故答案为：0． 16．【解答】解：要使四位数最小，千位a取最小非零整数1， 依次尝试百位b的最小取值： b＝2时，1+2＝3，则c+d＝1.5，无正整数解； b＝3时，1+3＝4，则c+d＝2，无互不相等的正整数解； b＝4时，1+4＝5，则c+d＝2.5，无正整数解； b＝5时，1+5＝6，则c+d＝3，无互不相等的正整数解； b＝6时，1+6＝7，得c+d＝3.5，无正整数解； b＝7时，1+7＝8，则c+d＝4，无互不相等的正整数解； b＝8时，1+8＝9，则c+d＝4.5，无正整数解； b＝9时，1+9＝10，则c+d＝5，取c＝2，d＝3，均为非零整数且与a、b互不相等． 故最小的“石刻吉祥数”为1923； ②∵F（N）为正整数， ∴10a+b﹣d是9的倍数， 即a+b﹣d是9的倍数， 设a+b﹣d＝9k，S＝a+b，， ∴S为偶数， ∴S﹣d＝9k， ∴a≥1，b≥2，d≥1， ∴S≥1+2＝3，S≤9+8＝17， ∵1≤d≤9，S﹣d＝9k， ∴3≤S≤17，1≤d≤9， ∴k只能取1（k≥2时，9×2＝18＞17，无解）， ∴S﹣d＝9，即d＝a+b﹣9且1≤d≤9， ∴1≤a+b﹣9≤9，即10≤a+b≤18， 又∵S＝a+b为偶数， ∴a+b可取10，12，14，16，18， ∵，a+b＝2（c+d）即， ∴， 整理得5a+6b﹣9d＝b2﹣d2， ∵d＝a+b﹣9， 令t＝a+b，则d＝t﹣9， ∴5t+b﹣9（t﹣9）＝b2﹣（t﹣9）2， 整理得t2﹣22t﹣b2+b+162＝0， 当t＝a+b＝10时，102﹣22×10﹣b2+b+162＝0， 整理得b2﹣b﹣42＝0， 解得b＝7，b＝﹣6（不符合题意，舍去）， 则a＝10﹣7＝3，d＝10﹣9＝1，， 当a＝3，b＝7，c＝4，d＝1时，a+b＝10，2（c+d）＝10，满足a+b＝2（c+d）， 则，符合， 则G（N）＝41+7＝48，b2﹣d2＝49﹣1＝48符合； ∴满足条件的N＝3741． 故答案为：1923；3741． 三.解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 17．【解答】解：∵AM和BN是⊙O的切线， ∴OA⊥AM，OB⊥BN， ∴∠DAM＝∠CBN＝90°， ∴AM∥BN， ∵DA、DE是⊙O的切线， ∴DE＝AD＝2， ∵CE、CB是⊙O的切线， ∴CE＝BC＝5， ∴CD＝DE+CE＝2+5＝7， 如图，过点D作DF⊥BN于点F， ∴∠DFC＝90°， ∵AM∥BN，AB⊥AM，DF⊥BN， ∴四边形ABFD是矩形， ∴DF＝AB，BF＝AD＝2， ∴CF＝BC﹣BF＝5﹣2＝3， 在Rt△DFC中，由勾股定理得， ∴． 18．【解答】（1）如图，射线BF即为所求． 以点E为圆心，BE的长为半径画弧，交射线BF于点D，连接AD，CD， 则ED，AD，CD即为所求． （2）证明：∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC， ∴BD⊥AC且AE＝CE，（三线合一） 又∵BE＝DE， ∴四边形ABCD是菱形．（对角线互相垂直平分的四边形是菱形） 故答案为：①AE；②CE；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 四、解答题：（本大题7个小题，每个小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在对应的位置上。 19．【解答】解：原式＝[x（y﹣x）] •x（y﹣x）• ＝﹣y+x﹣y ＝x﹣2y． ∵根据分式的分母不能为0，且|y|＝5， ∴x≠y且x≠0，y＝±5， ∴x＝﹣5，y＝5． ∴原式＝﹣5﹣2×5 ＝﹣5﹣10 ＝﹣15． 20．【解答】解：（1）本次调查的人数为：20÷10%＝200（人）， 选择D的有200﹣40﹣20﹣60﹣30＝50（人）， 补全的统计图如下所示， ， 扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为：360°72°， 故答案为：72； （2）2000200（人）， 即估计该校每月借阅图书数量的学生有200人； （3）树状图如下所示， ， 由上可得，一共有12种等可能性，其中恰好抽到1名男生和1名女生的可能性有8种， ∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 21．【解答】解：（1）∵甲种水稻的试验田单位面积产量：， 乙种水稻的试验田单位面积产量：， ∵m﹣5＜m+5， ∴， ∴ ， ∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍； （2）由题意，可得： ， 解这个分式方程的：m＝35， 经检验，m＝35是原分式方程的解， ∴m＝35． 22．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∠ABC＝90°， ∴∠A＝∠ABC＝90°， ∵AD＝6cm，点E是AD的中点， ∴AEAD＝3cm， ∴BE5（cm）， 当0＜x≤5时，y1CF•AB4x＝2x， 当5＜x＜10时，如图，过E作EN⊥BC于N，过F作FM⊥BC于M， 则EN＝AB＝4cm，BF＝（x﹣5）m，FM∥EN， ∴△BFM∽△BEN， ∴， ∴， ∴FM（x﹣5）， ∴y1＝S△BCE﹣S△BCF5×45（x﹣5）＝﹣2x+20； ∵△CDE的面积的3倍与点F的路程之比为y2． ∴y2（0＜x＜10）； 综上所述，y1； （2）y1、y2的图象如图所示； 当0＜x≤5时，y1随x的增大而增大； （3）由函数图象知，y1≥y2时x的取值范围为3≤x≤9． 23．【解答】解：（1）方案一：∵太阳光线是平行的， ∴CE∥AD， ∴△CDE∽△ABD， ∵BD＝18m，CD＝1.2m，DE＝1.2m， ∴， 解得：AB＝33.0（m）， ∴多宝塔的高度为33.0m； 方案二：如图所示： 由题意可知，∠ACE＝45°，∠ADE＝55°，CD＝10m 设AE＝xm， ∵∠AED＝90°， ∴∠CAE+∠ACE＝90°， ∴∠CAE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣45°＝45°， ∴AE＝CE， ∴AE＝CE＝xm， 在Rt△ADE中，， ∴， ∵tan55°≈1.428， ∴， ∴x＝1.428（x﹣10）， 去括号，得x＝1.428x﹣14.28， 移项、合并同类项，得0.428x＝14.28， ∴x≈33.4， ∴AE≈33.4m， ∵BE＝1.73m， ∴AB＝AE+BE≈33.4+1.73＝35.1（m）， （2）结果不一致，理由如下： 方案一的相似三角形法，依赖“同一时刻太阳平行”的假设，但实际测量中塔影、标杆的测量拉你存在误差； 方案二的三角函数法，受仰角测量精度、人身高、水平距离CD＝10M的测量误差影响，且tan55°取近似值也会存在误差； 两种方法的原理、误差来源不同，因此计算结果存在差异． 24．【解答】解：（1）对于抛物线， 令x＝0，得y＝2， ∴C（0，2）， 令y＝0，得x2x+2＝0， 解得x＝﹣4或x＝1， ∴A（1，0），B（﹣4，0）； （2）如图1， 作PE⊥x轴于E，交AC于F， 设直线AC的解析式为：y＝mx+n， ∴， ∴ ∴， 设，， ∴， ∴， ∴当t＝﹣2时，S△APC最大＝4， 当t＝﹣2时，， ∴P（﹣2，3）， 作BG∥y轴，作DG⊥BG于G，作PH⊥BG于F， ∴∠DBG＝∠BCO， ， ∴， ∴， 即：B的最小值为3； （3）如图2， 作QW⊥x轴于W， 抛物线向右平移4个单位，向上平移2个单位后为： y， 设Q ∵∠WBQ+∠ABQ＝180°，∠ABQ+∠OCB＝180°， ∴∠BQW＝∠BCO， ∵∠BOC＝∠BWQ＝90°， ∴△BWQ∽△BOC， ∴， ∴， ∴x1＝5，x2＝﹣1（舍去），，x4＝3﹣2（舍去）， 当x＝5时，y2＝2， ∴Q（5，2）； 当x＝3+2时，y， ∴Q（3+2，﹣1）； 综上所述：Q（5，2）或（3+2，﹣1）． 25．【解答】（1）解：∵α＝90°， ∴∠BAC＝90°， ∴S△ABCAB•AC＝1， ∴S▱ABCD＝2S△ABC＝2； （2）证明：在Rt△ABC中BC2， 在平行四边形ABCD中，AD＝BC＝2CD＝AB， 连接AG，AF， ∵∠BAC＝90°，AB∥CD， ∴AC⊥GD，∠GCA＝∠ECD＝90°， 又∵GC＝EC，AC＝DC， ∴△GCA≌△ECD（SAS）， ∴GA＝ED，∠GAC＝∠EDC， ∵ED＝FD，ED⊥FD， ∴GA＝FD，∠AGC+∠GDF＝90°﹣∠GAC+∠EDC+90°＝180°， ∴GA∥FD， ∴四边形AGDF是平行四边形， ∴AHAD2＝1， ∴AH1＝CD， ∴AH＝CD； （3）如图，过C作CG⊥AB于点G， ∵AB＝3，AE＝2BE， ∴， 在Rt△CAG中，tan∠BAC＝tanα2， ∵AC＝5， ∴AG，CG＝2， ∴， ∴CE＝CA＝5， ∴∠CAE＝∠CEA， ∴tan∠CAE＝tan∠CEA＝2， 过A作AH⊥CE于点H， ∵AE＝2，tan∠AEH2， ∴EH＝2，AH＝4， 过D作DK⊥FC于点K， ∵AB∥CD， ∴∠DCK＝∠AEH， ∴tan∠DCK＝tan∠AEH＝2， ∵CD＝AB＝3， ∴CK＝3，DK＝6， 在Rt△DFK中，DF2＝DK2+FK2＝36+（8+EF）2＝100+16EF+EF2， 在Rt△AFH中，AF2＝AH2+FH2＝16+（2+EF）2＝20+4EF+EF2， ∴DF2﹣AF2＝80+12EF， ∴当EF有最小值时，则DF2﹣AF2有最小值， 而EF⊥MN时最小，此时EF＝CG＝2， ∴DF2﹣AF2＝80+24， 即DF2﹣AF2的最小值为80+24． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $