湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题

长沙市第一中学2024—2025学年度高二第二学期期中考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部是（ ）. A. 2. B. -2. C. 2i. D. -2i. 3. 已知平面向量，，若，则实数（ ） A. 1 B. -1 C. -4 D. 4 4. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 5. 已知某羽毛球小组共有40名运动员，其中一级运动员8人，二级运动员12人，三级运动员20人.现举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9，0.6，0.3，则这40名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（ ） A. 0.42 B. 0.46 C. 0.51 D. 0.62 6. 已知双曲线：的焦距为10，左、右焦点分别为，，过点作斜率不为0的直线与双曲线的左、右支分别交于，两点.若的内切圆与直线相切于点H，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）. A. B. C. D. 7. 已知正方体的棱长为4，点为的中点，若点，A，C，都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ） A. 11π B. 12π C. 36π D. 44π 8. 对，设是关于x的方程的实数根，数列满足其中符号表示不超过的最大整数，则（ ） A. 1013 B. 1015 C. 2025 D. 2027 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若回归方程为，则变量x与y负相关 B. 运用最小二乘法求得的经验回归直线方程一定经过样本点的中心 C. 若散点图中所有点都在直线上，则相关系数 D. 若决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好 10. 已知是抛物线：的焦点，过点且倾斜角为135°的直线与交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 以为直径的圆与抛物线C的准线只有1个公共点 11. 我们把称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为.若直线与双曲余弦函数曲线和双曲正弦函数曲线分别相交于点A，B，曲线在点A处的切线与曲线在点B处的切线相交于点P，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 在区间上随m的增大而减小，在区间上随m的增大而增大 D. 的面积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若随机变量服从二项分布，，则______. 13. 在五一小长假期间，要从6人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有______种. 14. 已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有______条. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求B； （2）设D为边的中点，若，，求的面积. 16. 某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的分布列及数学期望. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，设，讨论函数的单调性； （3）若函数在上有且仅有2个零点，求实数的取值范围. 18. 如图，在矩形纸片中，，，沿将折起，使点D到达点P的位置，点P在平面的射影H落在边上. （1）求三棱锥的体积； （2）若M是棱上的一个动点，是否存在点M，使得平面与平面的夹角正切值为，若存在，求点M到平面的距离；若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆：的左焦点为，椭圆上任意一点到的距离最大值为6. （1）求椭圆的方程； （2）过原点且斜率为的直线与椭圆交于M，N两点. （i）当时，设直线，的斜率分别是，，求证：为定值； （ⅱ）过点作垂直于的直线交于，交圆：于P，Q两点，记，的面积分别为，求的取值范围. 长沙市第一中学2024—2025学年度高二第二学期期中考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】7 【13题答案】 【答案】150 【14题答案】 【答案】9 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析， 【17题答案】 【答案】（1） （2）在上单调递增，在上单调递减； （3） 【18题答案】 【答案】（1） （2）存在， 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $