精品解析：湖南长沙市明德中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

明德中学2026年上学期期中考试 高二年级数学试卷 2026年5月 时量：120分钟 满分：150分 命题：谭煜琼 审定：王利 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，，则MN＝ （ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的共轭复数是　　 A. B. C. D. 3. 在数列中，，则的值为（ ） A. B. 2 C. －1 D. 4. 若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为 （ ） A. B. C. D. 5. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 6. 一组不全相等的数据的平均数为，方差为；设新数据的平均数为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，三棱柱ABC－中，点E，F，G，H分别为的中点，则下列说法错误的是（ ） A. E，F，G，H四点共面 B. 与FH是异面直线 C. D. EG，FH，三线共点 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若是偶函数，则 B. 若是奇函数，则 C. 若，则的取值范围为 D. 的最小值为 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则△ABC是锐角三角形 C. 在△ABC中，若acosA＝bcosB，则△ABC是等腰三角形或直角三角形 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则______． 13. 正三棱锥中，，侧棱，则三棱锥的外接球体积为______． 14. 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，，并且，则不等式的解集为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是等差数列，的前n项和记为，． （1）求的通项公式； （2）令，记的前n项和为，求． 16. 记抛物线：的焦点为F． （1）设为上一点．用含的代数式表示，并求当时的值； （2）过点的直线l与相交于A，B两点，满足．求l的方程． 17. 某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为. （1）若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； （2）已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； （3）经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级.现从全校抽取50名学生，记为这50名学生中“优秀”的人数，求的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 18. 如图1所示，△ABE是边长为2的正三角形，四边形BCDE是一个梯形；其中BE∥CD，ED＝DC＝CB＝1，现在沿着BE把△ABE折起到△的位置，连接，且使得＝2，如图2所示． （1）求证：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值． 19. 已知函数． （1）讨论在其定义域上的单调性； （2）当时，若，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 明德中学2026年上学期期中考试 高二年级数学试卷 2026年5月 时量：120分钟 满分：150分 命题：谭煜琼 审定：王利 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，，则MN＝ （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，，，，， 又，故. 2. 若复数满足，则的共轭复数是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算求出复数即可求解结果． 【详解】解：复数满足，所以． 所以的共轭复数是． 故选：B． 3. 在数列中，，则的值为（ ） A. B. 2 C. －1 D. 【答案】B 【解析】 【详解】，， ，， 则是以为周期的数列，，故选项B正确. 4. 若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】显然时不合题意，则直线的斜率为，直线的斜率为， 因为两条直线垂直，所以，解得， 联立可得，解得，即两条直线的交点坐标为. 5. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 由于，故. 6. 一组不全相等的数据的平均数为，方差为；设新数据的平均数为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得的平均数为，故，故AB错误； 又 ，而不全相等，故， 所以，故C正确，D错误. 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数是一个减函数，所以当时，函数最小值为， 因此，即，化简可得，即， 因为，所以解得或， 即不等式的解集为. 8. 如图，三棱柱ABC－中，点E，F，G，H分别为的中点，则下列说法错误的是（ ） A. E，F，G，H四点共面 B. 与FH是异面直线 C. D. EG，FH，三线共点 【答案】C 【解析】 【分析】利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB；举反例即可判断C；利用平面的基本事实推理判断D. 【详解】 对于A，在三棱柱中，分别为的中点， 连接，由是的中位线，得，由，且，得四边形是平行四边形，则，，因此四点共面，A正确； 对于B，因为平面，平面，，所以与是异面直线，B正确； 对于C，由，且可知，四边形是梯形，若，则梯形是等腰梯形，而题设条件无法得出，C错误； 对于D，延长，相交于点，由，平面，得平面，由，平面，得平面，而平面平面，则，三线共点，D正确. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若是偶函数，则 B. 若是奇函数，则 C. 若，则的取值范围为 D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据条件，利用奇偶函数的定义求出判断AB；利用指数函数的性质，结合恒成立求解C；取可判断D. 【详解】对于A，因为为偶函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故A正确， 对于B，因为为奇函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故B正确， 对于C，由，得到恒成立，即恒成立， 又易知，所以，故C错误， 对于D，取，则，函数无最小值，所以D错误， 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法来求系数和即可. 【详解】由， 令 ，得 ，故A正确； 令 ，得 ， 因此： ，故B正确； 由，所以，故C错误； 令 ，得 ， 结合，两式相减得：， 解得，故D正确. 11. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则△ABC是锐角三角形 C. 在△ABC中，若acosA＝bcosB，则△ABC是等腰三角形或直角三角形 D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】选项A. ，选项A正确； 选项B. ，，， ，，但不能判断的大小， 故不能判断△ABC是锐角三角形，故选项B错误； 选项C. 在△ABC中，，， ，， 或，或， 则△ABC是等腰三角形或直角三角形，故选项C正确； 选项D. ，故选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的性质及得是周期为6的函数，再应用周期性和奇函数的性质求函数值. 【详解】由题设， 用代替，则，故， 所以，即是周期为6的函数， 所以. 13. 正三棱锥中，，侧棱，则三棱锥的外接球体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，找到球心，并设出外接球的半径，利用勾股定理列出方程，求出半径，进而得到外接球体积. 【详解】取的中点，连接，过点作⊥于点， 则⊥平面，且， 由于正三棱锥中，，侧棱， 故，，， 由勾股定理得， 设正三棱锥的外接球球心为，则，故， 由勾股定理得，即，解得， 故正三棱锥的外接球体积为. 14. 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，，并且，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数 ，利用导数结合条件可证明 在 上单调递增，原不等式等价于，利用函数的定义域以及单调性即可求解. 【详解】构造函数 ，其定义域为 ，   由题知：，且 ，因此 ，即 在 上单调递增. 已知 ，得 ， 原不等式  等价于： ，  根据 的单调性和定义域得，解得 ， 即不等式的解集为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是等差数列，的前n项和记为，． （1）求的通项公式； （2）令，记的前n项和为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列公式可求得通项； （2）利用错位相减法可求和. 【小问1详解】 设的公差为d，由题意可得：， 解得，故． 【小问2详解】 由（1）知＝n，则，故， 两边同时乘2，得， 上面两式相减得， 所以． 16. 记抛物线：的焦点为F． （1）设为上一点．用含的代数式表示，并求当时的值； （2）过点的直线l与相交于A，B两点，满足．求l的方程． 【答案】（1）； 2 （2）或 【解析】 【分析】（1）利用抛物线定义即可求得； （2）设出直线方程和交点坐标，利用韦达定理进行求解. 【小问1详解】 抛物线为：，其准线为：，焦点为：， 为上一点，由抛物线定义得：点到准线的距离和点到焦点距离相等， 所以，若，则，此时. 【小问2详解】 不妨设直线方程为：，则，解得：， 设，，且，则由韦达定理得，， 所以，， 由题意得：，， 所以 ，解得：，所以， 因此的方程为：或. 17. 某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为. （1）若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； （2）已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； （3）经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级.现从全校抽取50名学生，记为这50名学生中“优秀”的人数，求的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 . （3）数学期望为8，方差为7. 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式进行计算； （2）由题可知的可能取值为0，1，2，3，再分别求出对应概率得到分布列并计算期望； （3）由题意得，，利用正态分布得到，再结合二项分布求解． 【小问1详解】 设事件“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数超过30”，则“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数不超过30”， 设事件“抽取1名学生，该学生体测成绩达到‘及格’等级”， 由全概率公式，知， 所以从该学校任意抽取一名学生，该学生体测成绩达到“及格”等级的概率为； 【小问2详解】 的可能取值为0，1，2，3， ，，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 随机变量服从超几何分布，且，，，所以； 【小问3详解】 由题意得，， ， ，，， 所以的数学期望为8，方差为7． 18. 如图1所示，△ABE是边长为2的正三角形，四边形BCDE是一个梯形；其中BE∥CD，ED＝DC＝CB＝1，现在沿着BE把△ABE折起到△的位置，连接，且使得＝2，如图2所示． （1）求证：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明线面垂直，即证明垂直于底面上的两条相交直线和，最终推导出面面垂直； （2）建立空间直角坐标系将几何问题代数化，利用空间向量求出平面的法向量，通过计算法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，直接得到线面角的正弦值. 【小问1详解】 取BE的中点为O，连接，OC，OD， 由图1中，△ABE是边长为2的正三角形，等腰梯形BCDE， 且ED＝DC＝CB＝1，可得OC＝OD＝1，且， 因为＝2，所以，所以， 又由△正三角形性质，可得， 因为OCBE＝O，且OC，BE平面BCDE，所以平面BCDE， 又因为平面，所以平面平面BCDE． 【小问2详解】 取CD的中点F，连接OF，因为四边形BCDE为等腰梯形， 且O为BE的中点，所以OF⊥BE，又因为⊥平面BCDE， 以O为坐标原点，OB，OF，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，， 所以，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以， 设直线与平面夹角为，则， 所以直线与平面夹角的正弦值为． 19. 已知函数． （1）讨论在其定义域上的单调性； （2）当时，若，求实数的取值范围． 【答案】（1）所以在和上单调递减； （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次求导判断的单调性得出，即即可； （2）把问题转化为在上恒成立，分和两种情况讨论，时符合题意，时导出矛盾即可求解. 【小问1详解】 的定义域为， ， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，则有，所以在和上单调递减； 【小问2详解】 当时， 等价于， 即，令， 则， ①若，则，在上单调递减，所以，满足题意； ②若，令，得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以， 令，， 是减函数，又，所以，与条件矛盾，舍去. 综上所述，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $