第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式组（单元自测·提升卷）数学新教材冀教版七年级下册

2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式组·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）在《九章算术》中，经常用数学解决农作物的产量问题．小明根据“今有中等禾，每捆产出稻米55斗，_____．设上等禾每捆产出稻米x斗”列出不等式，则“_____”上应是（    ） A．取上等禾33捆、中等禾22捆共量之，产出的稻米不少于5170斗 B．取上等禾22捆、中等禾33捆共量之，产出的稻米不少于5170斗 C．取上等禾33捆、中等禾22捆共量之，产出的稻米不多于5170斗 D．取上等禾22捆、中等禾33捆共量之，产出的稻米不多于5170斗 【答案】A 【分析】根据未知数定义，不等式各项和不等号的含义，即可推得横线上的内容． 【详解】解：∵设上等禾每捆产出稻米斗，中等禾每捆产出稻米斗， ∴表示捆上等禾的总产量， 表示捆中等禾的总产量， ∵不等号的实际意义为“不少于”， ∴该不等式表示：取上等禾捆、中等禾捆，产出的稻米不少于斗． 2．（2026·河北保定·模拟预测）若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式两边乘同一个负数时不等号方向改变的性质，对已知不等式变形即可得到结果． 【详解】∵，根据不等式性质，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变， 将不等式两边同时乘以， ∴． 3．（2026·河北石家庄·一模）下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是（   ） 不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向 不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质可得在系数化为的过程中，前面的系数为负数，且不等号为大于等于号，由此即可得到答案． 【详解】解：∵不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向， ∴在系数化为的过程中，不等式改变了方向， ∵不等式的解集为， ∴在系数化为的过程中，前面的系数为负数，且不等号为大于等于号， ∴四个选项中，只有选项符合题意． 4．（24-25七年级下·河北沧州·期末）小图和小林在讨论某一元一次不等式，根据图中的对话信息，推测出不等式可能是（　　） 不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向 不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，正确求出不等式的解集是解题的关键． 分别求出每一个不等式的解集即可判断在数轴上表示的解集是否正确． 【详解】解：A、，解得，故本选项符合题意； B、，解得，故本选项不符合题意； C、，解得，故本选项不符合题意； D、，解得，故本选项不符合题意； 故选：A． 5．（24-25七年级下·河北邢台·期末）已知关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组的解集， 熟练掌握找不等式组的解集的口诀是解题的关键．根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”，再结合不等式组的解集即可得出a的范围． 【详解】解：原不等式组为：， 由可得， ∵不等式组的解集是， ∴． 故选：C 6．（24-25七年级下·河北保定·期末）下面是晓晓的一次数学课后作业，请帮助晓晓检查一下她的解题过程．晓晓的解题过程开始错误的一步是（    ） 解不等式． 解：去分母，得．① 去括号，得．② 移项，得．③ 合并同类项，得．④ 系数化为1，得．⑤ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】此题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤求解即可得到答案． 【详解】解：． 去分母，得．① 去括号，得．② 移项，得．③ 合并同类项，得．④ 系数化为1，得．⑤ 由解题过程可知，晓晓的解题过程开始错误的一步是①， 故选：A 7．（24-25七年级下·河北唐山·期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解一元一次不等式，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（   ） A．只有甲 B．甲和乙 C．乙和丙 D．甲和丁 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的定义，解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为． 通过“去分母，移项、合并同类项，化系数为”解不等式即可． 【详解】解：， 去分母，得， 故步骤甲错误． 最后一步，系数化为1：得． 故丁步骤错误， 故选：D． 8．（25-26七年级下·河北承德·期末）已知关于x的不等式组 有且只有1个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小， 大小小大中间找，大大小小解不了．先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有一个整数解求出整数解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：， 解不等式， 得：， 解不等式， 得：， ∵不等式组有且只有1个整数解， ∴不等式组的整数解为1， ∴． 故选：B． 9．（24-25七年级下·河北承德·期中）若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（ ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键． 通过解方程组得到和关于的表达式，代入不等式，解关于的不等式，确定其最小整数解． 【详解】解： 得 ， 即， ∵， ∴， 解得， ∴m的最小整数解为． 故选：B． 10．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）对x，y定义一种新运算※，规定：（其中a，b均为非零常数）．已知，，的解集为，则m的值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式以及一元一次不等式的解． 首先利用已知条件建立二元一次方程组求出a和b的值，再代入不等式条件解出m． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∵： ∴根据定义得：， 解得： 由解集得：， 解得：， 故选：B． 11．（24-25七年级下·宁夏石嘴山·月考）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了含参不等式的求解，根据一元一次不等式的基本性质得到a与b的比值以及的结论，设，代入即可得解． 【详解】解：由得：， ∵不等式的解集是， 且 设 则 ∴的解集是， 即， 故选：A． 12．（2021九年级·全国·专题练习）若数使关于的方程有非负数解，且关于的不等式组恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式组的整数解，先求出一元一次方程的解，根据一元一次方程解的情况可得，即得，再求出不等式组的解，根据不等式组解的情况可得，即得，综上可得，据此可得的整数值，进而即可求解，根据一元一次方程和一元一次不等式组求出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：去分母得，， 解得， ∵关于的方程有非负数解， ∴， ∴， 解不等式组得，， ∵不等式组恰好有两个偶数解，得到偶数解为， ∴， ∴， 综上，， ∴符合条件的整数的值有，，， ∴符合条件的所有整数的和为， 故选：． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（2025·河北廊坊·一模）写出一个满足不等式的正整数的值___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查解不等式，涉及不等式的整数解，先解一元一次不等式，再求出满足条件的整数解即可得到答案．熟记一元一次不等式的解法是解决问题的关键． 【详解】解：解得， 写出一个满足不等式的正整数的值，可取（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 14．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）若不等式的解集为，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的基本性质以及根据不等式的解集求参数的取值范围，解题的关键是根据不等式两边同除以一个数后不等号方向的变化，判断这个数的正负性．观察不等式及其解集，发现不等号方向发生了改变．根据不等式的基本性质，判断的正负性，进而求出的取值范围． 【详解】解：∵不等式的解集为， 解得：， 的取值范围是， 故答案为：。 15．（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知三角形三边为，，（其中三边均不相等且为最长边，为最短边），若，，满足，则称它为“不均衡三角形”，例如，一个三角形三边分别为，，，因为，且，所以这个三角形为“不均衡三角形”．若“不均衡三角形”三边分别为，，，直接写出的整数值为_______． 【答案】或或或 【分析】本题考查三角形的三边关系，一元一次不等式（组）的应用，因为不能确定最长和最短边，分三种情况：①；②；③，然后根据计算结果可得答案．解题的关键是理解已知条件中的新定义的含义． 【详解】解：分三种情况讨论： ①， 解得：， ， 解得：， ∴， ∵为整数， ∴， 当时，，， ∵， ∴能构成三角形； ②， 解得：， ， 解得：， ∴， 此时，不合题意舍去； ③， 解得：， ， 解得：， ∴， ∵为整数， ∴或或， 当时，，， ∵， ∴能构成三角形； 当时，，， ∵， ∴能构成三角形； 当时，，， ∵， ∴能构成三角形； 综上所述：的整数值为或或或． 故答案为：或或或． 16．（25-26七年级下·北京丰台·期末）某咖啡店提供三种咖啡，其对应两种容量的价格如下表所示： 咖啡品种 中杯（） 大杯（） 30元/杯 45元/杯 34元/杯 55元/杯 45元/杯 65元/杯 咖啡店开展回馈活动，凡自备容器购买咖啡者，每种中杯咖啡价格可减免2元、大杯咖啡价格可减免5元． 请根据上述信息，回答下列问题： （1）店长收到顾客反映，有的咖啡品种在自备容器后，同种大杯咖啡的每毫升价格还是比中杯的贵，请问是表中的______品种（填“”，“”或“”）； （2）若要让所有咖啡品种在自备容器后，同种大杯咖啡的每毫升价格都比中杯的便宜，则应将大杯咖啡的价格至少减免______元（减免的钱数为整数）． 【答案】 B 8 【分析】（1）分别计算每种咖啡每毫升的单价，再比较大小即可； （2）设大杯的折扣都至少改成x元，分对于A，B，C三种品牌，分别列不等式，求解x的取值范围，再取三个不等式解集的公共部分，再确定最小整数解即可． 【详解】解：（1）自备容器购买咖啡者，对于A： 中杯每毫升的价格为： 大杯每毫升的价格为 所以中杯的比大杯的贵， 对于B：中杯每毫升的价格为： 大杯每毫升的价格为 所以大杯的比中杯的贵， 对于C：中杯每毫升的价格为： 大杯每毫升的价格为 所以中杯的比大杯的贵， 故选B （2）设大杯的折扣都至少改成x元， 由（1）可得自备容器购买咖啡者，对于A：中杯每毫升的价格为：（元）， 则 解得： 由（1）可得自备容器购买咖啡者，对于B：中杯每毫升的价格为：（元）， 则 解得： 由（1）可得自备容器购买咖啡者，对于C：中杯每毫升的价格为：（元）， 则 解得： 综上：要让所有咖啡品种在自备容器后，同种大杯咖啡的每毫升价格都比中杯的便宜，则 又x为整数，则x的最小整数值为 故答案为：8 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用，一元一次不等式的应用，理解题意，确定不等关系是解本题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）解不等式（组）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次不等式和解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式和解一元一次不等式组步骤是解题的关键． （1）利用解一元一次不等式的步骤求解即可； （2）分别求解两个一元一次不等式，即可得到一元一次不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并，得， 系数化为1，得； （2）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 18．（8分）（24-25七年级下·河北石家庄·期末）在学习“解一元一次不等式”时，小明的解答过程如下： 解：去分母得：    ① 去括号得：    ② 移项得：    ③ 合并同类项得：    ④ 两边都除以-1得：    ⑤ (1)上面的解答过程是从第几步出现错误的？ (2)请写出正确的解答过程，并把解集表示在数轴上．    【答案】(1)从第①步出现错误 (2)，见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，再数轴上表示不等式解集； （1）根据不等式的性质可知第①步就出现了错误； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：解题过程从第①步去分母时出现错误； （2）去分母：， 去括号：， 移项，， 合并：， 解得． 把解集表示在数轴上如图：    19．（8分）（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)化简：； (3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组、一元一次不等式组及绝对值的性质，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）解方程组得出，由x为非正数，y为负数知，解之即可； （2）根据m的取值范围判断出，，再去绝对值符号、合并同类项即可； （3）由不等式的解为，知；据此可得，结合以上所求m的范围知，继而可得整数m的值． 【详解】（1）解：解方程组得：， ∵x为非正数，y为负数， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴，， 则原式． （3）解：由不等式可得 ∵不等式的解为， ∴； ∴， 又∵， ∴， ∵m为整数， ∴． 20．（8分）（2025·河北邢台·三模）如图，利用计算机小程序做数学游戏： 第一步，点击“数字小助手”随机生成一个整数； 第二步，点击“运算百宝箱”依次弹出两张不同的运算卡片； 第三步，对第一步中生成的整数，按照第二步中弹出的卡片内容依次进行计算． 例如：第一步，点击“数字小助手”生成整数3； 第二步，点击“运算百宝箱”依次弹出卡片和； 第三步，计算． (1)若第一步中生成的整数为5，第二步中弹出的卡片依次为和，请完成第三步的计算； (2)若第一步中生成的整数为，第二步中弹出的卡片依次为和，第三步的计算结果是一个正数，求的最小整数值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了有理数运算、解不等式．核心素养表现为运算能力和推理能力． （1）根据程序列式计算即可； （2）根据程序得到，求出，得到的最小整数值为． 【详解】（1）解：． （2）解：由题意，得， ， 的最小整数值为． 21．（9分）（25-26八年级上·河北邯郸·月考）若一个三角形三边的长互不相等，且其边长，，满足（为最长边，为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边的长分别为7，5，4．，这个三角形为“不均衡三角形”． (1)下列长度的小木棍中，能组成“不均衡三角形”的一组是（   ） A．，，   B．，，    C．，， (2)若一个“不均衡三角形”三边的长分别为，16，． ①若，它是否为“不均衡三角形”，请说明理由． ②请写出符合条件的一个的整数值：______． 【答案】(1)B (2)①它不能成为“不均衡三角形”，理由见解析；② 【分析】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握“不均衡三角形”的定义、以及分类讨论思想的应用是解题的关键． （1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解； （2）①根据“不均衡三角形”的定义即可求解； ②分三种情况对进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：A、，不能组成“不均衡三角形”； B、，能组成“不均衡三角形”； C、，不能组成“不均衡三角形”； 故选：B； （2）解：①若，则三边为，16，， ∵，∴它不能成为“不均衡三角形”； ②当最长边长为，最短边长为时， 且， 解得． 由得， ∴该情况不符合题意，舍去； 当最长边长为，最短边长为时， 且， 解得． 取整数， ． 当时， 三边的长分别为22，16，14，可以构成三角形； 当最长边长为，最短边长为时， ，且， 解得． 取整数， 或或，且都可以构成三角形． 综上所述，的整数值为或或或． 故答案为：（答案不唯一）． 22．（9分）（24-25七年级下·河北沧州·期末）综合实践课上，嘉嘉和淇淇讨论用不同方法求代数式的值． 已知实数x，y满足①，②，求和的值． 小嘉：我的思路是联立①②组成方程组，解得x，y的值，再代入代数式求值． 小淇：我认为小嘉的思路很正确，但计算量比较大．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形利用“整体思想”求得代数式的值，例如，由可得的值，由可得的值． 根据以上对话内容，回答下列问题． (1)根据小淇的思路，_______ _______ (2)已知关于x，y的方程组（m是常数），利用整体思想，解决下列问题． ①若，求m的值； ②若，求m的取值范围． 【答案】(1),19 (2)①；② 【分析】（1）利用得出的值，利用得出的值即可； （2）①根据方程组得出，求出，根据，列出关于m的方程，解关于m的方程即可； ②由得：，根据，得出，解关于m的方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得：， 由得：； （2）①解：， 得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②由得：， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解不等式组，解题的关键是找出方程的关系并运用“整体思想”解方程． 23．（11分）（25-26七年级下·河北·单元测试）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”．问题解决： (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； (2)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围； (3)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“子方程”是解题的关键． （1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义列出关于m的不等式组，进行计算即可； （3）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可； 【详解】（1）解：①， 解得：， ②， 解得：， ③， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴不等式组的“子方程”是：①②， 故答案为：①②． （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， 解方程得，， 方程是关于x的不等式组的“子方程”， ∴， 解得． （3）解：解方程，得， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵关于x的方程是不等式组的“子方程”， ∴， 解得． 24．（12分）（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）【项目式学习】 项目主题：数学智慧拼图 项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展．王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展“数学智慧拼图”为主题的项目式学习． 任务一：观察建模 如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别分别为x、y（），小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组 ，则： ， ； 任务二：推理分析 第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积； 任务三：设计方案 第三小组领了A、B、C三种类型的矩形卡片，它们的长为18，宽分别为a、b、c，其中且a、b、c均为正整数，分别取A、B、C卡片2、3、4张， 把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A、B、C卡片3、2、5张，能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠），如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a、b、c的值，如果不能，请说明为什么． 【答案】任务一：6，10任务二：31任务三：，，，图见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用和不等式组的应用，正确理解图形中各线段之间的关系列出方程组是解题的关键． 任务一：直接解方程组即可； 任务二：设8个大小、形状完全相同的小矩形长为m，宽为n，列方程组求出长宽，再求出阴影部分面积即可； 任务三：先列方程组求出，根据题意得出或2，进而求出两种情况下a、b、c的值，根据面积得出当时无法放置，当时能放置并画出放置方式即可． 【详解】解：任务一： 由①得：， 把代入②，得：， 原方程组的解是； 任务二：设8个大小、形状完全相同的小矩形长为m，宽为n，由题意得： ， 解得：， 则图2中阴影部分的面积； 任务三：由题意得：， 解得：， 且a、b、c均为正整数， ， 解得：， 或2， 当时，，， 分别取A、B、C卡片3、2、5张，拼成的不重叠的图形面积为：， 故此时不能放置； 当时，，， 分别取A、B、C卡片3、2、5张，拼成的不重叠的图形面积为：， 故此时能放置，放置方式如下图： 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式组·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）在《九章算术》中，经常用数学解决农作物的产量问题．小明根据“今有中等禾，每捆产出稻米55斗，_____．设上等禾每捆产出稻米x斗”列出不等式，则“_____”上应是（    ） A．取上等禾33捆、中等禾22捆共量之，产出的稻米不少于5170斗 B．取上等禾22捆、中等禾33捆共量之，产出的稻米不少于5170斗 C．取上等禾33捆、中等禾22捆共量之，产出的稻米不多于5170斗 D．取上等禾22捆、中等禾33捆共量之，产出的稻米不多于5170斗 2．（2026·河北保定·模拟预测）若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河北石家庄·一模）下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是（   ） 不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向 不等式的解集为 A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·河北沧州·期末）小图和小林在讨论某一元一次不等式，根据图中的对话信息，推测出不等式可能是（　　） 不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向 不等式的解集为 A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·河北邢台·期末）已知关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·河北保定·期末）下面是晓晓的一次数学课后作业，请帮助晓晓检查一下她的解题过程．晓晓的解题过程开始错误的一步是（    ） 解不等式． 解：去分母，得．① 去括号，得．② 移项，得．③ 合并同类项，得．④ 系数化为1，得．⑤ A．① B．② C．③ D．④ 7．（24-25七年级下·河北唐山·期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解一元一次不等式，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（   ） A．只有甲 B．甲和乙 C．乙和丙 D．甲和丁 8．（25-26七年级下·河北承德·期末）已知关于x的不等式组 有且只有1个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C．0 D． 9．（24-25七年级下·河北承德·期中）若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（ ） A．0 B． C． D． 10．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）对x，y定义一种新运算※，规定：（其中a，b均为非零常数）．已知，，的解集为，则m的值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 11．（24-25七年级下·宁夏石嘴山·月考）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 12．（2021九年级·全国·专题练习）若数使关于的方程有非负数解，且关于的不等式组恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数的和是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（2025·河北廊坊·一模）写出一个满足不等式的正整数的值___________． 14．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）若不等式的解集为，则a的取值范围是__________． 15．（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知三角形三边为，，（其中三边均不相等且为最长边，为最短边），若，，满足，则称它为“不均衡三角形”，例如，一个三角形三边分别为，，，因为，且，所以这个三角形为“不均衡三角形”．若“不均衡三角形”三边分别为，，，直接写出的整数值为_______． 16．（25-26七年级下·北京丰台·期末）某咖啡店提供三种咖啡，其对应两种容量的价格如下表所示： 咖啡品种 中杯（） 大杯（） 30元/杯 45元/杯 34元/杯 55元/杯 45元/杯 65元/杯 咖啡店开展回馈活动，凡自备容器购买咖啡者，每种中杯咖啡价格可减免2元、大杯咖啡价格可减免5元． 请根据上述信息，回答下列问题： （1）店长收到顾客反映，有的咖啡品种在自备容器后，同种大杯咖啡的每毫升价格还是比中杯的贵，请问是表中的______品种（填“”，“”或“”）； （2）若要让所有咖啡品种在自备容器后，同种大杯咖啡的每毫升价格都比中杯的便宜，则应将大杯咖啡的价格至少减免______元（减免的钱数为整数）． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）解不等式（组）： (1)； (2)． 18．（8分）（24-25七年级下·河北石家庄·期末）在学习“解一元一次不等式”时，小明的解答过程如下： 解：去分母得：    ① 去括号得：    ② 移项得：    ③ 合并同类项得：    ④ 两边都除以-1得：    ⑤ (1)上面的解答过程是从第几步出现错误的？ (2)请写出正确的解答过程，并把解集表示在数轴上．    19．（8分）（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)化简：； (3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 20．（8分）（2025·河北邢台·三模）如图，利用计算机小程序做数学游戏： 第一步，点击“数字小助手”随机生成一个整数； 第二步，点击“运算百宝箱”依次弹出两张不同的运算卡片； 第三步，对第一步中生成的整数，按照第二步中弹出的卡片内容依次进行计算． 例如：第一步，点击“数字小助手”生成整数3； 第二步，点击“运算百宝箱”依次弹出卡片和； 第三步，计算． (1)若第一步中生成的整数为5，第二步中弹出的卡片依次为和，请完成第三步的计算； (2)若第一步中生成的整数为，第二步中弹出的卡片依次为和，第三步的计算结果是一个正数，求的最小整数值． 21．（9分）（25-26八年级上·河北邯郸·月考）若一个三角形三边的长互不相等，且其边长，，满足（为最长边，为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边的长分别为7，5，4．，这个三角形为“不均衡三角形”． (1)下列长度的小木棍中，能组成“不均衡三角形”的一组是（   ） A．，，   B．，，    C．，， (2)若一个“不均衡三角形”三边的长分别为，16，． ①若，它是否为“不均衡三角形”，请说明理由． ②请写出符合条件的一个的整数值：______． 22．（9分）（24-25七年级下·河北沧州·期末）综合实践课上，嘉嘉和淇淇讨论用不同方法求代数式的值． 已知实数x，y满足①，②，求和的值． 小嘉：我的思路是联立①②组成方程组，解得x，y的值，再代入代数式求值． 小淇：我认为小嘉的思路很正确，但计算量比较大．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形利用“整体思想”求得代数式的值，例如，由可得的值，由可得的值． 根据以上对话内容，回答下列问题． (1)根据小淇的思路，_______ _______ (2)已知关于x，y的方程组（m是常数），利用整体思想，解决下列问题． ①若，求m的值； ②若，求m的取值范围． 23．（11分）（25-26七年级下·河北·单元测试）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”．问题解决： (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； (2)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围； (3)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围． 24．（12分）（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）【项目式学习】 项目主题：数学智慧拼图 项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展．王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展“数学智慧拼图”为主题的项目式学习． 任务一：观察建模 如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别分别为x、y（），小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组 ，则： ， ； 任务二：推理分析 第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积； 任务三：设计方案 第三小组领了A、B、C三种类型的矩形卡片，它们的长为18，宽分别为a、b、c，其中且a、b、c均为正整数，分别取A、B、C卡片2、3、4张， 把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A、B、C卡片3、2、5张，能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠），如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a、b、c的值，如果不能，请说明为什么． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式组·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D C A C A D B B B A B 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（答案不唯一） 14． 15．或或或 16．B 8 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次不等式和解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式和解一元一次不等式组步骤是解题的关键． （1）利用解一元一次不等式的步骤求解即可； （2）分别求解两个一元一次不等式，即可得到一元一次不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并，得， 系数化为1，得；·····································3分 （2）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为．·····································7分 18．（8分） 【答案】(1)从第①步出现错误 (2)，见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，再数轴上表示不等式解集； （1）根据不等式的性质可知第①步就出现了错误； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：解题过程从第①步去分母时出现错误；·····································2分 （2）去分母：， 去括号：， 移项，， 合并：， 解得．·····································6分 把解集表示在数轴上如图：   ·····································8分 19．（8分） 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组、一元一次不等式组及绝对值的性质，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）解方程组得出，由x为非正数，y为负数知，解之即可； （2）根据m的取值范围判断出，，再去绝对值符号、合并同类项即可； （3）由不等式的解为，知；据此可得，结合以上所求m的范围知，继而可得整数m的值． 【详解】（1）解：解方程组得：， ∵x为非正数，y为负数， ∴， 解得：；·····································2分 （2）解：∵， ∴，， 则原式．·····································5分 （3）解：由不等式可得 ∵不等式的解为， ∴； ∴， 又∵， ∴， ∵m为整数， ∴．·····································8分 20．（8分） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了有理数运算、解不等式．核心素养表现为运算能力和推理能力． （1）根据程序列式计算即可； （2）根据程序得到，求出，得到的最小整数值为． 【详解】（1）解：．·····································3分 （2）解：由题意，得， ， 的最小整数值为．·····································8分 21．（9分） 【答案】(1)B (2)①它不能成为“不均衡三角形”，理由见解析；② 【分析】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握“不均衡三角形”的定义、以及分类讨论思想的应用是解题的关键． （1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解； （2）①根据“不均衡三角形”的定义即可求解； ②分三种情况对进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：A、，不能组成“不均衡三角形”； B、，能组成“不均衡三角形”； C、，不能组成“不均衡三角形”； 故选：B；·····································2分 （2）解：①若，则三边为，16，， ∵，∴它不能成为“不均衡三角形”；·····································5分 ②当最长边长为，最短边长为时， 且， 解得． 由得， ∴该情况不符合题意，舍去； 当最长边长为，最短边长为时， 且， 解得． 取整数， ． 当时， 三边的长分别为22，16，14，可以构成三角形； 当最长边长为，最短边长为时， ，且， 解得． 取整数， 或或，且都可以构成三角形． 综上所述，的整数值为或或或． 故答案为：（答案不唯一）．·····································9分 22．（9分） 【答案】(1),19 (2)①；② 【分析】（1）利用得出的值，利用得出的值即可； （2）①根据方程组得出，求出，根据，列出关于m的方程，解关于m的方程即可； ②由得：，根据，得出，解关于m的方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得：， 由得：；·····································2分 （2）①解：， 得：， ∴， ∵， ∴， 解得：；·····································5分 ②由得：， ∴， ∵， ∴， 解得：．·····································9分 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解不等式组，解题的关键是找出方程的关系并运用“整体思想”解方程． 23．（11分） 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“子方程”是解题的关键． （1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义列出关于m的不等式组，进行计算即可； （3）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可； 【详解】（1）解：①， 解得：， ②， 解得：， ③， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴不等式组的“子方程”是：①②， 故答案为：①②．·····································2分 （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， 解方程得，， 方程是关于x的不等式组的“子方程”， ∴， 解得．·····································6分 （3）解：解方程，得， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵关于x的方程是不等式组的“子方程”， ∴， 解得．·····································11分 24．（12分） 【答案】任务一：6，10任务二：31任务三：，，，图见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用和不等式组的应用，正确理解图形中各线段之间的关系列出方程组是解题的关键． 任务一：直接解方程组即可； 任务二：设8个大小、形状完全相同的小矩形长为m，宽为n，列方程组求出长宽，再求出阴影部分面积即可； 任务三：先列方程组求出，根据题意得出或2，进而求出两种情况下a、b、c的值，根据面积得出当时无法放置，当时能放置并画出放置方式即可． 【详解】解：任务一： 由①得：， 把代入②，得：， 原方程组的解是；·····································3分 任务二：设8个大小、形状完全相同的小矩形长为m，宽为n，由题意得： ， 解得：， 则图2中阴影部分的面积；·····································6分 任务三：由题意得：， 解得：， 且a、b、c均为正整数， ， 解得：， 或2，·····································9分 当时，，， 分别取A、B、C卡片3、2、5张，拼成的不重叠的图形面积为：， 故此时不能放置； 当时，，， 分别取A、B、C卡片3、2、5张，拼成的不重叠的图形面积为：， 故此时能放置，放置方式如下图： ·····································12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式组·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）在《九章算术》中，经常用数学解决农作物的产量问题．小明根据“今有中等禾，每捆产出稻米55斗，_____．设上等禾每捆产出稻米x斗”列出不等式，则“_____”上应是（    ） A．取上等禾33捆、中等禾22捆共量之，产出的稻米不少于5170斗 B．取上等禾22捆、中等禾33捆共量之，产出的稻米不少于5170斗 C．取上等禾33捆、中等禾22捆共量之，产出的稻米不多于5170斗 D．取上等禾22捆、中等禾33捆共量之，产出的稻米不多于5170斗 2．（2026·河北保定·模拟预测）若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河北石家庄·一模）下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是（   ） 不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向 不等式的解集为 A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·河北沧州·期末）小图和小林在讨论某一元一次不等式，根据图中的对话信息，推测出不等式可能是（　　） 不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向 不等式的解集为 A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·河北邢台·期末）已知关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·河北保定·期末）下面是晓晓的一次数学课后作业，请帮助晓晓检查一下她的解题过程．晓晓的解题过程开始错误的一步是（    ） 解不等式． 解：去分母，得．① 去括号，得．② 移项，得．③ 合并同类项，得．④ 系数化为1，得．⑤ A．① B．② C．③ D．④ 7．（24-25七年级下·河北唐山·期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解一元一次不等式，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（   ） A．只有甲 B．甲和乙 C．乙和丙 D．甲和丁 8．（25-26七年级下·河北承德·期末）已知关于x的不等式组 有且只有1个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C．0 D． 9．（24-25七年级下·河北承德·期中）若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（ ） A．0 B． C． D． 10．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）对x，y定义一种新运算※，规定：（其中a，b均为非零常数）．已知，，的解集为，则m的值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 11．（24-25七年级下·宁夏石嘴山·月考）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 12．（2021九年级·全国·专题练习）若数使关于的方程有非负数解，且关于的不等式组恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数的和是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（2025·河北廊坊·一模）写出一个满足不等式的正整数的值___________． 14．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）若不等式的解集为，则a的取值范围是__________． 15．（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知三角形三边为，，（其中三边均不相等且为最长边，为最短边），若，，满足，则称它为“不均衡三角形”，例如，一个三角形三边分别为，，，因为，且，所以这个三角形为“不均衡三角形”．若“不均衡三角形”三边分别为，，，直接写出的整数值为_______． 16．（25-26七年级下·北京丰台·期末）某咖啡店提供三种咖啡，其对应两种容量的价格如下表所示： 咖啡品种 中杯（） 大杯（） 30元/杯 45元/杯 34元/杯 55元/杯 45元/杯 65元/杯 咖啡店开展回馈活动，凡自备容器购买咖啡者，每种中杯咖啡价格可减免2元、大杯咖啡价格可减免5元． 请根据上述信息，回答下列问题： （1）店长收到顾客反映，有的咖啡品种在自备容器后，同种大杯咖啡的每毫升价格还是比中杯的贵，请问是表中的______品种（填“”，“”或“”）； （2）若要让所有咖啡品种在自备容器后，同种大杯咖啡的每毫升价格都比中杯的便宜，则应将大杯咖啡的价格至少减免______元（减免的钱数为整数）． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）解不等式（组）： (1)； (2)． 18．（8分）（24-25七年级下·河北石家庄·期末）在学习“解一元一次不等式”时，小明的解答过程如下： 解：去分母得：    ① 去括号得：    ② 移项得：    ③ 合并同类项得：    ④ 两边都除以-1得：    ⑤ (1)上面的解答过程是从第几步出现错误的？ (2)请写出正确的解答过程，并把解集表示在数轴上．    19．（8分）（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)化简：； (3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 20．（8分）（2025·河北邢台·三模）如图，利用计算机小程序做数学游戏： 第一步，点击“数字小助手”随机生成一个整数； 第二步，点击“运算百宝箱”依次弹出两张不同的运算卡片； 第三步，对第一步中生成的整数，按照第二步中弹出的卡片内容依次进行计算． 例如：第一步，点击“数字小助手”生成整数3； 第二步，点击“运算百宝箱”依次弹出卡片和； 第三步，计算． (1)若第一步中生成的整数为5，第二步中弹出的卡片依次为和，请完成第三步的计算； (2)若第一步中生成的整数为，第二步中弹出的卡片依次为和，第三步的计算结果是一个正数，求的最小整数值． 21．（9分）（25-26八年级上·河北邯郸·月考）若一个三角形三边的长互不相等，且其边长，，满足（为最长边，为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边的长分别为7，5，4．，这个三角形为“不均衡三角形”． (1)下列长度的小木棍中，能组成“不均衡三角形”的一组是（   ） A．，，   B．，，    C．，， (2)若一个“不均衡三角形”三边的长分别为，16，． ①若，它是否为“不均衡三角形”，请说明理由． ②请写出符合条件的一个的整数值：______． 22．（9分）（24-25七年级下·河北沧州·期末）综合实践课上，嘉嘉和淇淇讨论用不同方法求代数式的值． 已知实数x，y满足①，②，求和的值． 小嘉：我的思路是联立①②组成方程组，解得x，y的值，再代入代数式求值． 小淇：我认为小嘉的思路很正确，但计算量比较大．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形利用“整体思想”求得代数式的值，例如，由可得的值，由可得的值． 根据以上对话内容，回答下列问题． (1)根据小淇的思路，_______ _______ (2)已知关于x，y的方程组（m是常数），利用整体思想，解决下列问题． ①若，求m的值； ②若，求m的取值范围． 23．（11分）（25-26七年级下·河北·单元测试）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”．问题解决： (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； (2)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围； (3)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围． 24．（12分）（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）【项目式学习】 项目主题：数学智慧拼图 项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展．王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展“数学智慧拼图”为主题的项目式学习． 任务一：观察建模 如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别分别为x、y（），小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组 ，则： ， ； 任务二：推理分析 第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积； 任务三：设计方案 第三小组领了A、B、C三种类型的矩形卡片，它们的长为18，宽分别为a、b、c，其中且a、b、c均为正整数，分别取A、B、C卡片2、3、4张， 把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A、B、C卡片3、2、5张，能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠），如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a、b、c的值，如果不能，请说明为什么． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $