山东烟台市牟平区2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷（五四制）

**基本信息** 山东省烟台市牟平区八年级下学期期中数学试卷，聚焦二次根式、一元二次方程、四边形等核心知识，通过基础题巩固概念，新定义与动态几何题提升能力，融入生活情境，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|最简二次根式、一元二次方程定义、平行四边形性质|第7题结合平行四边形与正方形求角度，考查几何直观| |填空题|6/18|二次根式意义、比例线段、菱形面积|第14题无理数整数与小数部分计算，培养抽象能力| |解答题|7/66|方程求解、几何证明、应用题、动态几何|23题扫地机器人销售利润问题（模型意识），26题动点平行四边形存在性探究（空间观念与推理能力）|

山东省烟台市牟平区2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷（五四学制） 一、选择题（共12个小题，每小题3分，满分36分。每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的） 1．（3分）在，，，，，中，最简二次根式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（3分）下列方程中：①2x2﹣1＝0，②ax2+bx+c＝0，③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（3分）若，且b是a、c的比例中项，那么等于（　　） A． B． C． D． 4．（3分）下列命题中正确的是（　　） A．一定是个二次根式 B．若a（a≥0）为有理数，则是它的算术平方根 C．化简的结果是π﹣4 D．若二次根式有意义，则x的取值范围为x≥﹣3 5．（3分）已知x＝﹣1是一元二次方程（k﹣3）x2+（k2﹣4）x﹣k+8＝0的一个根，则k的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣3或3 D．﹣2或2 6．（3分）用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）如图，平行四边形ABCD与正方形CEFG，其中E点在边AD上．若∠ECD＝40°，∠AEF＝15°，则∠B的度数为（　　） A．75° B．65° C．55° D．45° 8．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知AB＝8，OE⊥BD，△DOE的面积为20，则BC的长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 9．（3分）新定义：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．如方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．若关于x的一元二次方程（x﹣2）（ax﹣b）＝0（a≠0）是“倍根方程”．则代数式的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 10．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E是对角线BD上一点，BE＝AD，连接AE，若∠C＝96°，则∠DAE的度数是（　　） A．27° B．33° C．43° D．47° 11．（3分）如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的墙（图中阴影部分），另外三边用25m长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为xm，若花圃的面积为80m2，所列方程正确的是（　　） A．x（26﹣2x）＝80 B．x（24﹣2x）＝80 C．（x﹣1）（26﹣2x）＝80 D．（x﹣1）（25﹣2x）＝80 12．（3分）在给定的平行四边形ABCD中作出一个菱形，甲、乙两人的作法如下： 甲：如图（1），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点M，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点N，连接MN，则四边形ABNM是菱形． 乙：如图（2），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点E，分别以点B，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，H，作直线GH交BC于点K，连接EK，则四边形ABKE是菱形． 下列判断正确的是（　　） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲和乙都对 D．甲和乙都错 二、填空题（每题3分，共18分） 13．（3分）使代数式有意义，则x的取值范围是 　 　 ． 14．（3分）因为，所以，的整数部分为2，小数部分为；设的小数部分为x，的整数部分为y，则　 　 ． 15．（3分）如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①，②1，③b，其中正确的是 　 　 （填序号） 16．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2+4x﹣3＝0的两个根，且，则a等于　 　 ． 17．（3分）如图，AD∥BE∥FC，AB：BC＝3：5，EF＝15，则DF的长度是　 　 ． 18．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若AB＝5，OH＝3，则△BDC的面积等于　 　 ． 三、解答题（满分66分） 19．（6分）计算： （1）； （2）． 20．（6分）解方程： （1）（x﹣3）2＝（2x﹣1）（x﹣3）； （2）x2﹣x﹣2＝0． 21．（6分）我们之前学习有理数时，知道两个数的乘积为1则这两个数互为倒数．在学习二次根式的过程中，小明研究发现有一些特殊的无理数之间具有互为倒数的关系．例如：由，可得与互为倒数，即或，类似地，，可得或． 根据小明发现的规律，解决下列问题： （1）　 　 ，　 　 （n为正整数）； （2）若，则a＝　 　 ； （3）求的值． 22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，M在边AC上，BM与CD交于点E，作MN⊥BM交AB于点N． （1）求证：∠BCD＝∠A； （2）求证：△AMN∽△CBE． 23．（8分）为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长．某电商店铺专门经营某品牌扫地机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势．店铺统计了该款边刷套装的销售情况：10月份售出300套，12月份售出432套． （1）若月增长率相同，求该品牌边刷套装11、12两个月销售量的月均增长率； （2）该品牌边刷套装每套进货价为30元．调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600套；而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10套．为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌边刷套装的销售价应定为多少元？ 24．（10分）已知△ABC的一条边长为4，另两边的长恰好是关于x的一元二次方程x2﹣（2k的两个实数根． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； （2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长． 25．（10分）如图，以△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角△ABD，等腰直角△BCE和等腰直角△ACF，连接DE，EF．当∠BAC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？请证明你的结论． 26．（12分）如图，△ABC中，∠B＝45°，AC＝10cm，BC＝14cm，过点A作AD⊥BC于点D（BD＜CD），点M以3cm/s的速度从点C出发，匀速向终点B运动；同时，点N以的速度从点B出发，匀速向终点A运动，一点到达终点后，另一点也随之停止运动．过点N作NE⊥AD于点E，连接ME，MN，DN．设运动的时间为t（s），解答下列问题： （1）求线段AD的长； （2）当四边形ANMC的面积是34cm2时，求t的值； （3）在运动过程中，是否存在以M，E，N，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 山东省烟台市牟平区2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷（五四学制） 参考答案与试题解析 1、 选择题（共12个小题，每小题3分，满分36分。每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B A B B C B D C A A C 1．【解答】解：，被开方数含有分母，不是最简二次根式， ，被开方数含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式， ，分母中含有根号，不是最简二次根式， 是最简二次根式， ，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 是最简二次根式， 所以最简二次根式有2个， 故选：B． 2．【解答】解：①2x2﹣1＝0是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，它是一元二次方程， ②ax2+bx+c＝0中当a＝0时，它不是一元二次方程， ③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3整理得﹣x﹣6＝﹣3，它不是一元二次方程， ④不是一元二次方程， ⑤是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，它是一元二次方程， ⑥不是一元二次方程， 综上，一元二次方程有2个， 故选：B． 3．【解答】解：∵b是a、c的比例中项， ∴b2＝ac， ∴． 故选：A． 4．【解答】解：A．当a≥0时，是二次函数，故本选项不符合题意； B．若a（a≥0）为有理数，则是它的算术平方根，故本选项符合题意； C.4﹣π，故本选项不符合题意； D．要使二次根式有意义，则x+3＞0，即x＞﹣3，故本选项不符合题意． 故选：B． 5．【解答】解：∵x＝﹣1是一元二次方程（k﹣3）x2+（k2﹣4）x﹣k+8＝0的一个根， ∴（k﹣3）•（﹣1）2+（k2﹣4）•（﹣1）﹣k+8＝0， 解得 k＝±3， 由题意可得：k﹣3≠0， 解得k≠3， ∴k＝﹣3． 故选：B． 6．【解答】解：方程2x2﹣2x﹣1＝0， 整理得：x2﹣x， 配方得：x2﹣x，即（x）2． 故选：C． 7．【解答】解：∵四边形CEFG是正方形， ∴∠CEF＝90°， ∵∠ECD＝40°，∠AEF＝15°， ∴∠CED＝180°﹣∠AEF﹣∠CEF＝180°﹣15°﹣90°＝75°， ∴∠D＝180°﹣∠CED﹣∠ECD＝180°﹣75°﹣40°＝65°， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B＝∠D＝65°（平行四边形对角相等）， 所以∠B的度数为65°． 故选：B． 8．【解答】解：连接BE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，OB＝OD， ∵OE⊥BD， ∴OE垂直平分BD，S△BOEOB•OEOD•OE＝S△DOE＝20， ∴S△BDE＝S△BOE+S△DOE＝40， ∵AB⊥DE，AB＝8， ∴8DE＝S△BDE＝40， ∴DE＝10， ∴BE＝DE＝10， ∴AE6， ∴BC＝AD＝AE+DE＝6+10＝16， 故选：D． 9．【解答】解：∵（x﹣2）（ax﹣b）＝0（a≠0）， ∴x﹣2＝0或ax﹣b＝0， 解得：， ∵方程（x﹣2）（ax﹣b）＝0（a≠0）是“倍根方程”， ∴分两种情况： 当时，即a＝b， 此时； 当时，即b＝4a， 此时， 综上所述，代数式的值为或． 故选：C． 10．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠C＝96°，AB∥CD， ∴∠ABC＝180°﹣∠C＝84°， ∴在菱形ABCD中，， ∴∠BAE+∠BEA＝180°﹣∠ABE＝138°， ∵BE＝AD， ∴AB＝BE， ∴∠BAE＝∠BEA＝69°， ∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝96°﹣69°＝27°， 故选：A． 11．【解答】解：设花圃与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26﹣2x）m， 根据题意得：x（26﹣2x）＝80． 故选：A． 12．【解答】解：甲正确，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， 根据作图过程可知：AM＝AB，BN＝AB， ∴AM＝BN， ∴四边形AMNB是平行四边形， ∵AM＝AB， ∴四边形AMNB是菱形， 故甲的说法正确； 乙正确，理由如下： 如图（2），连接BE交AK于点O， 根据作图过程可知：GH是BE的垂直平分线， ∴AK⊥BE，OB＝OE． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEO＝∠KBO， ∵∠EOA＝∠BOK， 在△AOE和△KOB中， ， ∴△AOE≌△KOB（ASA）， ∴OA＝OK， ∵OB＝OE， ∴四边形AEKB是平行四边形， ∵AK⊥BE， ∴四边形AEKB是菱形， 故乙的说法正确， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共18分） 13．【解答】解：由题可知，， 解得3≤x＜4． 故答案为：3≤x＜4． 14．【解答】解：∵， ∴小数部分为， 即x， ∵， ∴的整数部分为3， 即y＝3， ∴6， 故答案为：﹣6． 15．【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0， ∴a＜0，b＜0． ①根号下必须非负，错误； ②1，正确； ③b，正确． 故答案为：②③． 16．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+4x﹣3＝0的两个根， ∴x1x2＝﹣3，4x2﹣3＝0，即5x2﹣3＝x2， ∵， ∴2x1x2﹣a＝4， ﹣6﹣a＝4， a＝﹣10． 故答案为：﹣10． 17．【解答】解：∵AD∥BE∥FC， ∴，即， 解得：DE＝9， ∴DF＝DE+EF＝9+15＝24， 故答案为：24． 18．【解答】解；∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝AB＝5，AC＝2OC，OD＝2OB，AC⊥BD， ∵DH⊥BC， ∴BD＝2OH＝6，OB＝OH＝3， ∴， ∴AC＝8， ∴， ∴， 故答案为：12． 三、解答题（满分66分） 19．【解答】解：（1）原式＝（4212）÷（2） ＝14（2） ＝7； （2）原式＝（2）2﹣（5）2﹣（5﹣22） ＝20﹣50﹣（7﹣2） ＝﹣37+2． 20．【解答】解：（1）（x﹣3）2＝（2x﹣1）（x﹣3）， （x﹣3）2﹣（2x﹣1）（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣3﹣2x+1）＝0， （x﹣3）（﹣x﹣2）＝0， ∴x﹣3＝0或﹣x﹣2＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣2； （2）x2﹣x﹣2＝0， 3x2﹣2x﹣4＝0， ∵a＝3，b＝﹣2，c＝﹣4， ∴Δ＝4+48＝52＞0， ∴x， ∴x1，x2． 21．【解答】解：（1）， ， 故答案为：，； （2）∵， ∴（2a）（2a）＝1， ∴12﹣a2＝1， ∴a＝±， 经检验，a＝±都满足题意， 故答案为：±； （3）原式1...... 1 ＝10﹣1 ＝9． 22．【解答】证明：（1）由题意得∠BCD+∠ACD＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝∠A； （2）∵∠ACB＝90°， ∴∠BMC+∠CBE＝90°， ∵MN⊥BM， ∴∠AMN+∠BMC＝90°， ∴∠CBE＝∠AMN， 又由（1）可知：∠BCD＝∠A， ∴△AMN∽△CBE． 23．【解答】解：（1）设该品牌边刷套装11、12两个月销售量的月均增长率为x， 根据题意得：300（1+x）2＝432， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该品牌边刷套装11、12两个月销售量的月均增长率为20%； （2）设该品牌边刷套装的销售价应定为y元，则每套的销售利润为（y﹣30）元，月均销售量为600﹣10（y﹣40）＝（1000﹣10y）套， 根据题意得：（y﹣30）（1000﹣10y）＝10000， 整理得：y2﹣130y+4000＝0， 解得：y1＝50，y2＝80， 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴y＝50． 答：该品牌边刷套装的销售价应定为50元． 24．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣16（k） ＝4k2+4k+1﹣16k+8 ＝4k2﹣12k+9 ＝（2k﹣3）2≥0， ∴无论k为何值，方程总有两个实数根． （2）解：①当4为腰长时，则方程必有一个根为4， ∴42﹣4（2k+1）+4（k）＝0． ∴k＝2.5． ∴方程为：x2﹣6x+8＝0． ∴x＝2或x＝4． ∴等腰三角形的三边为：4，4，2． ∴周长为：4+4+2＝10； ②当4为底边时，则方程有2个相同的实数根， ∴Δ＝（2k﹣3）2＝0． ∴k＝1.5． ∴方程为：x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2， ∵2+2＝4， ∴不满足三角形三边关系． 故当k为2.5时，△ABC是等腰三角形，△ABC的周长为10． 25．【解答】解：当∠BAC＝135°时，四边形ADEF是矩形， 证明如下：∵△BCE和△ABD为等腰直角三角形， ∴∠DBA＝∠EBC＝90°，DB＝DA，EB＝BC， ∴∠DBE+∠EBA＝90°，∠ABC+∠EBA＝90°， ∴∠DBE＝∠ABC， ∴△ABC≌△DBE（SAS）， ∴DE＝AC，∠EDB＝∠BAC， ∵∠DBA＝90°， ∴∠BDA+∠BAD＝90°， ∵BD＝BA， ∴∠BDA＝∠BAD＝45°， ∴DE＝AC，∠EDB＝∠BAC， ∵FA＝AC， ∴DE＝FA， ∵∠EDA＝∠EDB﹣∠BDA＝∠BAC﹣45°， ∵∠DAF＝360°﹣∠FAC﹣∠BAD﹣∠BAC＝360°﹣90°﹣45°﹣∠BAC＝225°﹣∠BAC， ∴∠EDA+∠DAF＝180°， ∴DE∥FA， ∴四边形ADEF是平行四边形， ∵∠BAC＝135°，∠CAF＝90°，∠BAD＝45°， ∴∠DAF＝90°， ∴平行四边形ADEF是矩形． 26．【解答】解：（1）∵∠B＝45°，AD⊥BC， ∴△ABD为等腰直角三角形， 设AD＝BD＝xcm，则CD＝（14﹣x）cm， 在Rt△ACD中，AD2+CD2＝AC2， ∴x2+（14﹣x）2＝100， 解得x1＝6，x2＝8， ∵BD＜CD， ∴x＝6， ∴AD＝6cm； （2）过N作NQ⊥BC于点Q， 在Rt△ABD中，AB6cm， 由题可知BNtcm，CM＝3tcm， ∴BM＝BC﹣CM＝（14﹣3t）cm， ∵∠B＝45°， ∴NQ＝BQ＝tcm， ∴S四边形ANMC ＝S△ABC﹣S△BMN BM•NQ t•（14﹣3t） t2﹣7t+42， 依据题意可得t2﹣7t+42＝34， 整理得3t2﹣14t+16＝0， 即（3t﹣8）（t﹣2）＝0， 解得t或t＝2； （3）∵△ABD为等腰直角三角形， ∴∠BAD＝45°， ∴△ANE为等腰直角三角形， ∴AE＝NEAN＝（6﹣t）cm， ∵NE⊥AD， ∴NE∥DM， 当NE＝DM时，则以M，E，N，D为顶点的四边形是平行四边形， ①当点M在点D右侧时，DM＝CD﹣CM＝（8﹣3t）cm， 即6﹣t＝8﹣3t， 解得t＝1； ②当点M在点D左侧时，DM＝CM﹣CD＝（3t﹣8）cm， 即6﹣t＝3t﹣8， 解得t； 综上，t的值为1或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $