福建厦门市海沧实验中学2025-2026学年高二下学期3月质检数学试卷

**基本信息** 涵盖概率统计、导数应用、立体几何等模块，以农业实践活动、游乐场项目等真实情境设计问题，通过分层设问考查数学抽象、逻辑推理与数学建模，适配高二下学期学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|概率分布、排列组合、导数单调性|基础题占比60%，如第4题用捆绑法解古典概型| |多选题|4/20|导数与函数极值、二项式定理|结合导函数图像分析单调性（第9题），考查批判性思维| |填空题|4/20|两点分布期望、切线方程、条件概率|第14题以农业实践为背景，融合古典概型与条件概率| |解答题|5/77|数列求和、全概率公式、立体几何、导数综合、椭圆|第18题分层讨论导数单调性与极值，第19题结合椭圆与直线位置关系证明定值，体现数学思维与表达|

2025-2026学年厦门市海沧实验中学高二(下)质检数学试卷(3月份) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 设随机变量的概率分布列为 1 2 3 4 则 A. B. C. D. 2. 用5种不同的颜色对如图所示的，，区域进行着色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则共有（     ）种不同的着色方法. A.60 B.64 C.80 D.125 3. 函数的单调递减区间为（     ） A. B. C. D. 4. 两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（     ） A. B. C. D. 5. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围（     ） A. B. C. D. 6. 的展开式中的系数为（     ） A. B. C. D. 7. 位学生在游乐场游玩，，三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（     ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8. 若函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知是函数的导函数，的图象如图，则下列关于函数的说法正确的是（     ） A. 在上单调递减 B. 在处取得极小值 C. D. 在处取得极小值 10. 已知的二项式系数和为，则（     ） A. B. 常数项是第项 C. 二项式系数最大值为 D. 所有项系数之和等于 11. 设，，且，则下列关系式可能成立的是（     ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 12. 已知随机变量服从两点分布，且，设，那么            。 13. 若直线是曲线的切线，则            。 14. 某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、早田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为            ；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为            . 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 已知等差数列的前项和为，且，. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前项和. 16. 甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球. （1）随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率； （2）已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率. 17.如图，已知是等边三角形，，，平面，点为AD的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值. 18. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极大值，且极大值大于，求的取值范围. 19. 已知和为椭圆：上两点. （1）求椭圆的离心率； （2）过点的直线与椭圆交于，两点（，不在轴上）。 （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）直线和分别与轴交于，两点，求证：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值. 参考答案 1. 答案： 【答案】 根据题意，由的分布列，有，变形可得， 则。 故选：。 解析 根据随机变量的概率和为，即可求得的值，再将，的概率相加，即可得解。 点评 本题考查分布列的计算，注意概率的计算，属于基础题。 2. 答案： 【答案】 依题意，对，，区域进行着色，可以用种颜色，也可以用种颜色， 用种颜色，则，必同色，不同着色方法有（种）， 用种颜色，不同着色方法有（种）， 所以不同着色方法共有（种）。 故选：。 解析 根据给定条件，按用色多少分类，再利用分步乘法计数原理列式计算即得。 点评 本题考查分步乘法计数原理的应用，是中档题。 3. 答案： 【答案】 ，令，解得， 所以的单调递减区间为。 故选：。 解析 直接求导，再令，解出不等式即可。 点评 本题主要考查导数知识的应用，考查计算能力，属于基础题。 4. 答案： 【答案】 方法一：用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列，有种排法， 再所有的个人全排列有：种排法， 利用古典概型求概率原理得：， 方法二：假设两位男同学为、，两位女同学为、，所有的排列情况有种，如下： 其中两位女同学相邻的情况有种，分别为、、、、、、 、、、、、， 故两位女同学相邻的概率是：， 故选：。 解析 利用古典概型求概率原理，首先用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列找出分子，再 全部排列找到分母，可得到答案. 点评 本题考查排列组合的综合应用.考查古典概型的计算. 5. 答案： 【答案】 ，因为函数在上恒增，故其导函数在上恒大于等于0， 故，解得， 故选：. 解析 对函数求导后，令导函数恒大于等于0，解出的范围即可. 点评 本题主要考查利用导函数研究函数单调性，属于基础题. 6. 答案： 【答案】 因为二项式的展开式为， 则的展开式中的系数为. 故选：. 解析 由二项式定理，结合二项式展开式的通项公式求解. 点评 本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式的通项公式，属基础题. 7. 答案： 【答案】 ①若项目有2人游玩，则一共有种不同的游玩方式， ②若项目有4人游玩，则一共有种不同的游玩方式， 综上所述，不同的游玩方式有种. 故选：. 解析 分项目有2人游玩和项目有4人游玩两种情况，结合排列组合知识求解. 点评 本题主要考查了排列组合知识，属于基础题. 8. 答案： 【答案】 ∵函数两个极值点， ∴有两个变号零点， 即有两是变号零点令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ，时，总有，， ∴. 故选：. 解析 由有两个变号零点，求出单调性得最值，可求得结果. 点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题. 9. 答案： 【答案】 根据题意，由导函数的图象，当时，（只有），因此在上单调递减，、正确； ，且两侧的导数都是负数，所以不是极值，错误； 由，且时，，单调递减，时，，单调递增， 所以是极小值，正确. 故选：. 解析 根据题意，结合导函数图象，根据导数正负得函数的单调性，从而得出极值.由此判断各选项. 点评 本题考查函数单调性与导数的关系，涉及函数极值的分析，属于基础题. 10. 答案： 【答案】 ：由题意可得，解得，故正确； ：二项式的展开式的通项公式为，，，，， 令，解得，则常数项为第项，故错误； ：因为，所以展开式中二项式系数最大项为第项，最大值为，故正确； ：令，则展开式的所有项的系数和为，故正确. 故选：. 解析 ：利用二项式系数和公式即可求出的值，由此即可判断；：求出二项式的展开式的通项公式，令的指数为即可判断；：根据的值以及二项式系数的性质即可判断；：令即可判断求解. 点评 本题考查了二项式定理的应用，涉及到二项式系数的性质以及赋值法，考查了学生的运算能力，属于基础题. 11. 答案： 【答案】 ，， ，，，解得， 对于，， 设函数，，， 在上单调递减，则， ，故对错； 对于，，， 设，，， 在上单调递减，， ， 若，，对正确； 对于，， 设，， 则在上单调递增，在上单调递减， ，，， ，故错误. 故选：. 解析 先求出，再分别构造函数，结合导数，利用函数单调性逐一分析能求出结果. 点评 本题考查构造函数、导数性质、函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是难题. 12. 答案： 【答案】 根据题意，随机变量服从两点分布，且， 则， 又由，则. 故答案为：. 解析 根据题意，由两点分布的性质求出，进而计算可得答案. 点评 本题考查两点分布的性质，涉及随机变量的期望，属于基础题. 13. 答案： 【答案】 根据题意，，令，则， 在切线中，当时，， 所以切点坐标为， 将代入曲线中，得，解得. 故答案为：. 解析 根据题意，令，求出的值即可确定切点坐标，进一步将切点坐标代入曲线中即可确定值. 点评 本题主要考查导数与切线方程，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于基础题. 14. 答案： 【答案】 设事件表示“整地做畦”，事件表示“田间灌溉”， 则甲从中选个.甲选到的概率为， ， 乙选了活动，他再选择活动的概率为： . 故答案为：，. 解析 设事件表示“整地做畦”，事件表示“田间灌溉”，则甲从中选个.甲参加的概率为，，利用条件概率能求出乙选了活动，他再选择活动的概率. 点评 本题考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 15. 答案： 【答案】 （Ⅰ）设等差数列公差为，首项为， 则有，解得， 所以， 即数列的通项公式； （Ⅱ）， 所以. 解析 （1）设等差数列公差为，首项为，根据条件列出方程组求解，，代入通项公式可得结果； （Ⅱ）采用分组求和法求和即可. 点评 本题考查了等差数列通项公式，分组求和的知识，属于基础题. 16. 答案： 【答案】 （1）记取到甲盒子为事件，取到乙盒子为事件，取到丙盒子为事件，取到黑球为事件， 由全概率公式得摸出黑球的概率为： （2）摸出的球是黑球，则由条件概率得此球属于乙箱子的概率为： . 解析 （1）设出事件，利用全概率公式能求出结果. （2）利用条件概率求解. 点评 本题考查全概率公式、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 17. 答案： 1. 【答案】 证明：如图，取的中点，连接，， 平面，平面， 平面平面， 为等边三角形，， 又平面平面，平面， 平面. ，点为中点， ，且， 又，，， 四边形是平行四边形，， 平面. 2. 【答案】 由（1）可知平面，平面， ，，两两垂直， 故以为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，. ，，. 设平面的法向量. 则，则，即， 令，则，，. 设直线与平面的夹角为， 则，， 直线与平面夹角的正弦值为. 解析 （1）根据面面垂直的判定定理和性质定理，结合平行线的性质、平行四边形的判定定理和性质进行证明即可； （2）结合（1）的结论建立空间直角坐标系，利用线面角的定义、空间向量夹角公式进行求解即可. 点评 本题考查线面垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题. 18. 答案： 【答案】 （1）， ， 当时，， . 曲线在点处的切线方程，即. （2）由（1）知，， ①当时，， 在上单调递增，无递减区间， ②当时，，，，， 在上单调递增，在上单调递减， 综上：当，在上单调递增，无递减区间， 当，在上单调递增，在上单调递减. （3）因为有极大值，且极大值大于， 故，且在处取极大值， ，即， 令， 恒成立， 在上单调递增， 又， 当且仅当时成立， 故，当且仅当时成立， 因此的取值范围是. 解析 （1）利用导数的几何意义求出斜率，结合切点，得到切线方程即可. （2）利用导数含参讨论单调性即可. （3）结合题意转化为不等式恒成立问题，利用导数判断函数单调性，再解不等式即可. 点评 本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值，考查逻分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题. 19. 答案： 【答案】 （1）由题可得：，解得：， 所以椭圆的离心率为； （2）由可知椭圆的方程为， 显然，直线的斜率不等于， 设过点的直线为，，， 联立，化简得：，则恒成立， 所以，， 所以 ， 解得：，即， 所以直线的方程为：； 证明：由可知，， ， 直线的方程为，令，得， 直线的方程为，令，得， 记以为直径的圆与轴交于，两点， 由圆的弦长公式可知， ， 解得：，为定值. 解析 （1）根据给定的点和在椭圆上，以及椭圆的离心率公式求出椭圆的离心率； （2）（）借助韦达定理和面积公式计算即可； （）可借助韦达定理和圆的弦长公式计算即可. 点评 本题考查了椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系，属于难题. 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