数学（山东省卷）学易金卷：2026年中考考前最后一卷

2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂1【W1I/小 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AIIBIICIIDI 5.1AIIBIICIIDI 9.AI[BIICIID] 2.IAIIBIICIIDI 6.IAlIBIICIIDI 10.IAIIBIICIIDI 3.IAIIBIICIIDI 7.AIIBIICIIDI 4.1AIIBIICIIDI 8.1AlIBIICIIDI 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 12. 13. 15. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(8分) 17.(8分) D E B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(10分) 甲苹果园样本直径频数直方图 乙苹果园样本直径频数直方图 频数个 频数、 70 70 m 40 15 03.54.55.56.57.58.5直径cm 03.54.55.56.57.58.5直径/cm 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(10分) C.D E B 0 21.(9分) B 图1 图2 M M R R 图1 图2 H G F MN RS E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(11分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(11分) D E ① (2) (I)当点P在直线1上运动时，点Q的运动路线是 A.直线B.弧C.线段 (D若a=10,A=125,点M到1的距离为45，则2N的最大值为 PN M ② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间:120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1． 小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，如图所示，此时是墨迹盖住的整数共有（    ）个．      A．3 B．4 C．5 D．6 2．下列图案是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．有一几何体如图所示，则它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 4．郑州航空港区是我国首个国家级航空港经济综合实验区．2023年郑州航空港区全面贯彻落实国家、省、市政府决策部署，完成地区生产总值1295亿元，同比增长，持续领跑全省!其中1295亿用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 5．下列等式，其中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．图为某市科技馆“科技与生活”和“挑战与未来”两个展厅的路线图．嘉嘉同学通过入口后，随机选择一条道路前进，每逢路口再任选一条道路，最终到达任意一展厅后停止前进，则嘉嘉最后进入“科技与生活”展厅的概率是（　　）    A． B． C． D． 7．《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知6个大桶加上4个小桶可以盛酒48斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），5个大桶加上3个小桶可以盛酒38斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒斛、1个小桶可以盛酒斛．根据题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 8．已知反比例函数，若当时，的最大值与最小值的差为，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 9．如图，在正六边形中，连接，以点A为圆心，的长为半径作，再以点D为圆心，的长为半径作，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 10．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画．下列结论错误的是（    ） A．小球落地点距O点水平距离为7米 B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势 C．当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m D．小球距斜坡的最大铅直高度为 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．当____________时，分式有意义． 12．如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是__________． 13．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 14．如图，已知，，……在直线上，在x轴上取点，使，作等腰面积为，等腰面积为，等腰面积为……，则________（用含a的代数式表示）． 15．如图，平行四边形中，，点为上一个动点，以为对称轴折叠得到，点的对应点为点，直线交于点，若，当点与点重合时，的长为_____，当有最小值时，的长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8分）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17．（8分）如图，中，，于，且、分别是、的中点．延长至点，使． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若，求的面积． 18．（8分）物理学研究表明，某种金属导体的电阻y（单位：Ω）是其温度x（单位：℃）的一次函数．当温度为时，该金属导体的电阻是；当温度为时，该金属导体的电阻是． (1)求该金属导体的电阻y与其温度x之间的函数关系式； (2)当该金属导体的电阻为时，其温度是多少？ 19．（10分）【项目背景】 苹果是我省某地区特产，该地区某村有甲、乙两块苹果园．在苹果收获的季节，某班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对这两块苹果园的优质苹果情况进行调查统计，为苹果园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从这两块苹果园采摘的苹果中，各随机选取相同个数的苹果．在技术人员的指导下，测量每个苹果的直径，作为样本数据．苹果直径用（单位：）表示． 将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 / 整理样本数据，并绘制甲、乙两块苹果园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： 根据上面图表，请解答下列问题． (1)求乙苹果园图中的值． (2)求甲苹果园样本直径的平均数．（每组数取组中值，例如取4，取5） (3)求甲苹果园样本直径的方差．（每组数取组中值来计算） (4)已知乙苹果园样本直径的平均数为，乙苹果园样本直径的方差为．请你结合（2）（3）中所求的数据，评价哪个苹果园的苹果质量更好． 20．（10分）如图，在中，以为直径的经过的中点E，过点E作于点D，延长交的延长线于点P． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 21．（9分） 注意用车安全 素材一 图1是某越野车的侧面示意图，图2是打开后备箱时的示意图，已知，，连结，，该车的高度，其中O为轮胎与地面的切点（地面）．当后备箱打开到最大时，与水平面的夹角．    素材二 挡车器可以有效提醒正在倒车的驾驶员．使其不能再继续倒车．防止发生意外．对于保障停车场安全管理起到了重要的作用．当车恰好停在挡车器位置时，轮胎与挡车器的位置关系如图1所示．挡车器上的点M在轮胎所对圆上，图2是某款挡车器，，，．高． 素材三 如图是某露天停车场搭建的一个停车棚侧而示意图．其中顶棚与地面平行，支撑杆与地面垂直，．，．现计划，在停车棚内每一个停车位中安装一个挡车器（与【素材二】中的挡车器同款）． 提示：①轮胎所在圆与地面l始终相切；②参考数据：．．． 任务一 求【素材一】中的长． 任务二 与【素材一】中同型号的越野车停在挡车器位置时，其轮胎所在圆的圆心与挡车器点M的水平距离为．则该越野车的轮胎所在圆的半径是多少？ 任务三 将与【素材一】中同型号的越野车停在【素材三】中的停车棚内，则挡车器应该放在什么位置，即的长度至少为多少时．能保证越野车的后备箱盖可以完全打开？ 22．（11分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴为直线． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式． (2)当时，求函数值y的取值范围． (3)当时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，则k的取值范围是_________． (4)已知A、B两点均在抛物线上，点A的横坐标为m，点B的横坐标为．将抛物线上A、B两点之间（含A、B两点）的图象记为M，当图象M的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值． 23．（11分）（1）如图①，在四边形中，，点在上，且.过点作，垂足为，交于点. （I）求证：. （II）求证：. （2）如图②，已知线段和直线，是直线上一个动点，点在线段上，且.设线段的长为，点到的距离为. （I）当点在直线上运动时，点的运动路线是_____. A．直线    B．弧    C．线段 （II）若，，点到的距离为4.5，则的最大值为_____. / 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[AJ[BJ[C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 12. 13 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(8分) 17.(8分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(10分) 甲苹果园样本直径频数直方图 乙苹果园样本直径频数直方图 频数个 频数 70 70 50 40 15 03.54.55.56.57.58.5直径/cm 03.54.55.56.57.58.5直径/cm 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(10分) C D E P B 0 21.(9分) B 图1 图2 M M N R S R 图1 图2 H G F M 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(11分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(11分) 0 E B ① （2) (I)当点P在直线1上运动时，点Q的运动路线是 A.直线B.弧C.线段 (D若a=10,A=12.5,点M到1的距离为45，则P4 PN 的最大值为 ③ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间:120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1． 小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，如图所示，此时是墨迹盖住的整数共有（    ）个．      A．3 B．4 C．5 D．6 1．【答案】D 【分析】设覆盖的区域的数为x，由数轴可知，根据该区域的数大于并小于，且为整数，即可求解． 【详解】解：设覆盖的区域的数为x，由数轴可知，根据该区域的数大于并小于，且为整数， 可得x的值为：， 覆盖的整数个数共有6个， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数与数轴，熟练掌握数轴上的点的特征是解题的关键． 2．下列图案是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．【答案】B 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：第一个是轴对称图形，也是中心对称图形； 第二个是轴对称图形，不是中心对称图形； 第三个不是轴对称图形，也不是中心对称图形； 第四个是轴对称图形，也是中心对称图形． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3．有一几何体如图所示，则它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 3．【答案】B 【分析】本题考查了立体图形的三视图，掌握立体图形的特点，三视图的特点是关键． 根据立体图形的特点分析，立体图形存在的线段，三视图中看不到的用虚线表示，看得到的用实线表示，由此即可求解． 【详解】解：立体图形的俯视图是 故选：B ． 4．郑州航空港区是我国首个国家级航空港经济综合实验区．2023年郑州航空港区全面贯彻落实国家、省、市政府决策部署，完成地区生产总值1295亿元，同比增长，持续领跑全省!其中1295亿用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 4．【答案】C 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，将1295亿写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：1295亿， 故选C． 5．下列等式，其中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，按照幂的乘方与积的乘方法则，求出每个式子的值，再根据结果判断即可，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解题的关键． 【详解】解：①，故①不符合题意； ②，故②不符合题意； ③，计算正确，故③符合题意； ④，计算正确，故④符合题意； 综上，符合题意的有2个， 故选：B． 6．图为某市科技馆“科技与生活”和“挑战与未来”两个展厅的路线图．嘉嘉同学通过入口后，随机选择一条道路前进，每逢路口再任选一条道路，最终到达任意一展厅后停止前进，则嘉嘉最后进入“科技与生活”展厅的概率是（　　）    A． B． C． D． 6．【答案】C 【分析】本题考查用树状图法求概率．画树状图，共有种等可能的情况，其中小宣最后进入“科技与生活”展厅的结果有种，再由概率公式求解即可．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．解题的关键是掌握：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：如图，设入口之后的三条道路分别为左，中，右，并用A表示“科技与生活”展厅，用B表示“挑战与未来”展厅，画出如下树状图：    ∴由图可知，嘉嘉通过入口后一共有种不同的可能路线，嘉嘉是任选一条道路，则走各种路线的可能性认为是相等的，而其中进入A展厅的有种可能，进入B展厅的有种可能， ∴进入B展厅（“科技与生活”展厅）的概率是：． 故选：C． 7．《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知6个大桶加上4个小桶可以盛酒48斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），5个大桶加上3个小桶可以盛酒38斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒斛、1个小桶可以盛酒斛．根据题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 7．【答案】A 【分析】设1个大桶可以盛酒斛、1个小桶可以盛酒斛，根据“6个大桶加上4个小桶可以盛酒48斛，5个大桶加上3个小桶可以盛酒38斛”即可列出二元一次方程组． 【详解】解：∵6个大桶加上4个小桶可以盛酒48斛， ∴， ∵5个大桶加上3个小桶可以盛酒38斛， ∴， ∴根据题意可列方程组， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 8．已知反比例函数，若当时，的最大值与最小值的差为，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 8．【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的增减性、根据反比例函数的增减性质，列一元一次方程解答即可． 【详解】解：当时，在每个象限内随的增大而减小， ∴当时，有最大值，则当时，y有最小值， ∴，解得； 当时，在每个象限内随的增大而增大， ∴设时，有最小值，当时，有最大值， ∴，解得， ∴或． 故选：B． 9．如图，在正六边形中，连接，以点A为圆心，的长为半径作，再以点D为圆心，的长为半径作，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 9．【答案】B 【分析】本题考查的是正多边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，扇形面积的计算．连接，交于点，证明为等边三角形，，求解，，，，结合即可得到结论． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵正六边形， ∴， ，， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形，， ∴，，， ∴， 同理：， ∴，， ∴， ∴ ； 故选：B． 10．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画．下列结论错误的是（    ） A．小球落地点距O点水平距离为7米 B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势 C．当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m D．小球距斜坡的最大铅直高度为 10．【答案】C 【分析】 联立两函数解析式，求出交点坐标即可判定A；将解析式化成顶点式，求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出当y=7.5时，x的值，判定C；设抛物线上一点A(x, 4x-x2)，过点A作AB⊥x轴于C，交直线y=x于B，求得AB=4x-x2-=-x2-x=-(x-)2+，根据二次函数的性质可判断D． 【详解】解：联立两函数解析式，得 ，解得：或， 则小球落地点距O点水平距离为7米， 故A选项不符合题意； ∵， 则抛物线的对称轴为x=4， ∵<0， ∴当x＞4时，y随x的增大而减小， 即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势， 故B选项不符合题意； 当y=7.5时，7.5=4x-x2， 整理得x2-8x+15=0， 解得，x1=3，x2=5， ∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5m，故此选项符合题意； 如图，设抛物线上一点A(x, 4x-x2)，过点A作AB⊥x轴于C，交直线y=x于B， ∴B(x,)， ∴AB=4x-x2-=-x2x=-(x-)2+， ∵<0， ∴当x=时，AB有最大值，最大值=， 即小球距斜坡的最大铅直高度为， 故D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次函数的应用和直线与抛物线的交点，掌握二次函数的性质是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．当____________时，分式有意义． 11．【答案】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分母不为0，再进一步解答即可； 【详解】解：由题意可得：， ∴； 故答案为： 12．如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是__________． 12．【答案】 【分析】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．根据平移的性质，结合已知点，的坐标，知点的横坐标加上了1，纵坐标加1，则的坐标的变化规律与点相同，即可得到答案． 【详解】解：平移后对应点C的坐标为， 点的横坐标加上了4，纵坐标加1， ∵B（-1,3）， 点坐标为， 即， 故答案为：． 13．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 13．【答案】且 【分析】由已知条件可知，该方程有两个不相等的实数根，所以，从而可以列出关于的不等式，求解即可，同时还要考虑二次项系数不能为0． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得，， 又∵二次项系数， ∴， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程二次项系数不为0、一元二次方程根的情况与判别式的关系，熟练运用判别式是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 14．如图，已知，，……在直线上，在x轴上取点，使，作等腰面积为，等腰面积为，等腰面积为……，则________（用含a的代数式表示）． 14．【答案】 【分析】本题考查一次函数上点的坐标特征．根据一次函数图象上点的坐标特征，得到、、的纵坐标，然后根据三角形面积公式求出三角形的面积，得到变化规律进行求解． 【详解】解：∵，，，…，在直线上， ∴，，，，…，； 又∵， 故， ∴； ， ； ， ； ； … ∴（n为奇数），（n为偶数）， ∴ ． 故答案是：． 15．如图，平行四边形中，，点为上一个动点，以为对称轴折叠得到，点的对应点为点，直线交于点，若，当点与点重合时，的长为_____，当有最小值时，的长为_____． 15．【答案】 【分析】由角平分线的定义及平行四边形的性质可知，当和重合时，过作，交延长线于点，设，则，在中利用勾股定理建立方程求解即可；由可知，当最小时，最小，而时最小，连接，此时为等腰直角三角形，据此求出，易证是等腰直角三角形，解直角三角形即可得到结果． 【详解】解：如图，过作，交延长线于点， ∵以为对称轴折叠得到， ∴，， ∵平行四边形中，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 在中， ，， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴长为； 由前面可知：， ∴， ∴当有最小值时，则最小，而时最小，如图所示，连接， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； 故答案为：；． 【点睛】本题考查翻折的性质，平行四边形的性质，等角对等边，平行线的性质，勾股定理，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识点，掌握翻折的性质，平行四边形的性质，解直角三角形的相关计算是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8分）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 16．【分析】本题主要考查了分式的化简求值，实数的运算，零指数幂和负整数指数幂，正确计算是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先把两个分式的分母分解因式，再把除法变成乘法后约分化简， 最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1） （3分） ；（4分） （2） （6分） ，（7分） 当时，原式．（8分） 17．（8分）如图，中，，于，且、分别是、的中点．延长至点，使． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若，求的面积． 17．【分析】（1）根据等边三角形的判定得出是等边三角形，即可得出的度数； （2）根据得出，再等边三角形的性质得出，即可证明； （3）过点作，根据三角形面积解答即可． 【详解】（1）解：∵于，是的中点，∴， ∵，∴， ∴是等边三角形，∴；（2分） （2）证明：∵，∴， ∵是等边三角形，∴， ∴， ∵是等边三角形，，∴， ∴， ∴；（5分） （3）解：过点作，如图： ∵，点是的中点， ∴ ∵，，，∴，（7分） 在中 ∴， ∴．（8分） 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的外角性质，等边对等角，熟练掌握等边三角形的判定及性质是解题的关键． 18．（8分）物理学研究表明，某种金属导体的电阻y（单位：Ω）是其温度x（单位：℃）的一次函数．当温度为时，该金属导体的电阻是；当温度为时，该金属导体的电阻是． (1)求该金属导体的电阻y与其温度x之间的函数关系式； (2)当该金属导体的电阻为时，其温度是多少？ 18．【分析】（1）设一次函数解析式为，代入已知的两组、值，解方程组求出和，得到函数关系式． （2）将代入（1）中所求的函数关系式，解方程求出的值． 【详解】（1）解：设， 把，；，代入，得，解得，， ∴ 函数关系式为．（4分） （2）解：将代入得， 解得，（7分） ∴当该金属导体的电阻为时，其温度是．（8分） 19．（10分）【项目背景】 苹果是我省某地区特产，该地区某村有甲、乙两块苹果园．在苹果收获的季节，某班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对这两块苹果园的优质苹果情况进行调查统计，为苹果园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从这两块苹果园采摘的苹果中，各随机选取相同个数的苹果．在技术人员的指导下，测量每个苹果的直径，作为样本数据．苹果直径用（单位：）表示． 将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 / 整理样本数据，并绘制甲、乙两块苹果园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： 根据上面图表，请解答下列问题． (1)求乙苹果园图中的值． (2)求甲苹果园样本直径的平均数．（每组数取组中值，例如取4，取5） (3)求甲苹果园样本直径的方差．（每组数取组中值来计算） (4)已知乙苹果园样本直径的平均数为，乙苹果园样本直径的方差为．请你结合（2）（3）中所求的数据，评价哪个苹果园的苹果质量更好． 19．【分析】本题考查频数分布直方图，频数分布表，加权平均数、方差，解题的关键是读㯵图象信息． （1）用 200 分别减去其它各组的频数可得的值； （2）根据加权平均数公式计算即可； （3）分别根据中位数、众数的定义解答即可； （4）根据平均数和方差判断即可． 【详解】（1）解：由题意得，甲、乙样本总数， ∴（个）；（2分） （2）解：， ∴甲园样本数据的平均数为 ．（4分） （3）解：甲园样本数据的方差．（7分） （4）解：甲园的苹果品质更优，理由如下： 甲苹果园样本直径的平均数为，甲苹果园样本直径的方差为． 乙苹果园样本直径的平均数为，乙苹果园样本直径的方差为．（9分） ，， 由平均数和方差可得：甲苹果园的苹果质量更好．（10分） 20．（10分）如图，在中，以为直径的经过的中点E，过点E作于点D，延长交的延长线于点P． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 20．【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵点E是的中点，点O是的中点， ∴是的中位线，∴，∴，（2分） ∵，∴，∴，即，（3分） ∵是半径，∴是的切线；（4分） （2）解：设为， 由（1）得，∵，则，（5分） 在中，则， 则，解得，（7分） ∴. ∵，∴，∴（9分） ∴，解得：．（10分） 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 21．（9分） 注意用车安全 素材一 图1是某越野车的侧面示意图，图2是打开后备箱时的示意图，已知，，连结，，该车的高度，其中O为轮胎与地面的切点（地面）．当后备箱打开到最大时，与水平面的夹角．    素材二 挡车器可以有效提醒正在倒车的驾驶员．使其不能再继续倒车．防止发生意外．对于保障停车场安全管理起到了重要的作用．当车恰好停在挡车器位置时，轮胎与挡车器的位置关系如图1所示．挡车器上的点M在轮胎所对圆上，图2是某款挡车器，，，．高． 素材三 如图是某露天停车场搭建的一个停车棚侧而示意图．其中顶棚与地面平行，支撑杆与地面垂直，．，．现计划，在停车棚内每一个停车位中安装一个挡车器（与【素材二】中的挡车器同款）． 提示：①轮胎所在圆与地面l始终相切；②参考数据：．．． 任务一 求【素材一】中的长． 任务二 与【素材一】中同型号的越野车停在挡车器位置时，其轮胎所在圆的圆心与挡车器点M的水平距离为．则该越野车的轮胎所在圆的半径是多少？ 任务三 将与【素材一】中同型号的越野车停在【素材三】中的停车棚内，则挡车器应该放在什么位置，即的长度至少为多少时．能保证越野车的后备箱盖可以完全打开？ 21．【分析】本题主要考查解直角三角形： 任务一：过点B作交于点D，根据求出，根据求出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可； 任务二：设轮胎的圆心为H，过点M作，过点N作，过点M作，根据题意得到，，设的半径，则，然后在中利用勾股定理求解即可； 任务三：在中，求出作保证越野车的后备箱可以完全打开，则求得求出由可求出，从而可得结论 【详解】任务一：如图所示，过点B作交于点D， ∵， ∴，即， 解得（1分） ∴，即 解得 ∵ ∴ ∴；（3分） 任务二：如图所示，设轮胎的圆心为H，过点M作，过点N作，过点M作， ∴四边形是矩形， ∵挡车器高，轮胎所在圆的圆心与挡车器点M的水平距离为， ∴，，（4分） ∴设的半径，则 ∴在中， ∴ 解得 ∴该越野车的轮胎所在圆的半径是；（6分） 任务三：由素材一知，即， ∵当后备箱打开到最大时，与水平面夹角， 在中，如图1，， ∴ ∴（7分） 如图2中，作 ∵．，， ∴保证越野车的后备箱可以完全打开，则 ∴（8分） ∵ ∴ ∴ 又 ∴ ∴，即的长为时，后备箱能完全打开（9分） 22．（11分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴为直线． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式． (2)当时，求函数值y的取值范围． (3)当时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，则k的取值范围是_________． (4)已知A、B两点均在抛物线上，点A的横坐标为m，点B的横坐标为．将抛物线上A、B两点之间（含A、B两点）的图象记为M，当图象M的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值． 22．【分析】（1）根据待定系数法求得即可； （2）求得抛物线的最小值，然后求得和时的函数值，即可求得结果； （3）求得函数值是7时的自变量的值，根据题意即可求得； （4）分四种情况讨论，根据题意列出关于m的方程，解方程即可； 【详解】（1）由题意，得，解得， ∴抛物线所对应的函数表达式为；（2分） （2）∵，对称轴为直线， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是；（5分） （3）把代入得，， 解得， ∴当时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，则k的取值范围是，（8分） 故答案为； （4）点、的坐标分别为、， 当时，， 解得：（不合题意，舍去）（9分） 当时，，（10分） 解得：（不合题意，舍去） 当时，， 解得：（不合题意，舍去） 当时，， 解得：（不合题意，舍去） 综上，的值为或．（11分） 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握基本知识是解题的关键 23．（11分）（1）如图①，在四边形中，，点在上，且.过点作，垂足为，交于点. （I）求证：. （II）求证：. （2）如图②，已知线段和直线，是直线上一个动点，点在线段上，且.设线段的长为，点到的距离为. （I）当点在直线上运动时，点的运动路线是_____. A．直线    B．弧    C．线段 （II）若，，点到的距离为4.5，则的最大值为_____. 23．【分析】（1）（I）利用两对角对应相等，可证明； （II）由，推出，再证明，推出，即可证明结论成立； （2）（I）过点作于点，在上截取，使，再证明，推出，得到点的运动路线是以为直径的弧； （II）将转化为，得到当最大时，的值最大，据此求解即可. 【详解】（1）证明：（I）∵，， ∴；（1分） （II）∵， ∴， ∴， ∵， ∴，（3分） ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；（5分） （2）（I）过点作于点，在上截取，使， ∵， ∴，即， 连接， 又∵， ∴， ∴， ∴点的运动路线是以为直径的弧， 故选：B；（8分） （II）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是定值， ∴当最大时，的值最大， 此时经过圆心，的长为和圆的半径长，连接， 作于点， 由（I）得， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， ∴的值最大为.（11分） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考考前最后一卷 数学·参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 10 答案 D B B C B C A B B 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.2 12.(3,4 13.m>3且m+2 14.4053-8104a 15.16 3V6-3v2 4 3 2 三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(8分) 【详解】解：(1) 25-+周-5j-(-2028 =2√2-1+5-3-1(3分) =2√2；(4分) (2)2 1 x2+2x+1x2-1 1 x+*(x+x- 、2 中x+(x-)(6分 =2x-) x+1 2x-2 x+1,(7分) 当x=3时，原式=23：2-1.(8分) 3+1 17.(8分) 【详解】(1)解：：BE⊥AC于E,E是AC的中点， .AB=BC, AB=AC, ∴.AB=AC=BC, 1/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :△ABC是等边三角形， ∠ABC=60°；(2分) (2)证明：CF=CE, ∠F=∠CEF, :△ABC是等边三角形， .∠ABC=∠ACB=60°=∠F+∠CEF, ∠F=30°， :△ABC是等边三角形，BE⊥AC, ∠EBC=30°， .∠F=∠EBC, BE=EF;(5分) (3)解：过E点作EG⊥BC,如图： y B :AC=BC=2,点E是AC的中点， .CE=CF =1, :BE⊥AC,∠EBC=30°，AB=BC=2, BE=5,(7分) 在ABEC中，SABEC=BC.EG=BE.CE, ·EG=CEBE5 BC 2 x2=4 .(8分) 18.(8分) 【详解】(1)解：设y=kx+bk≠0)， 把x=2,y=11;x=10,y=15代入y=x+b,得 [2k+b=11 10k+b=15' 2/9 窗学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得k=26=10, 1 函数关系式为y=2x+10.（4分) 2)解：将y=18代入y三2x+10得I8=2x+10, 解得x=16,(7分) :.当该金属导体的电阻为182时，其温度是16℃.(8分) 19.(10分) 【详解】(1)解：由题意得，甲、乙样本总数=15+50+70+50+15=200， :.m=200-(70+40+25+15)=50(个)；(2分) (2)解：)D×05x4+50x5+70x6+50×7+15x8)=60em, 200 :.甲园样本数据的平均数为6cm·(4分) (3)解：甲园样本数据的方差 =1×[15×6-42+50×6-5)2+70x6-62+50×6-7)2+15×(6-8)=1.1.(7分) 200L (4)解：甲园的苹果品质更优，理由如下： 甲苹果园样本直径的平均数为6cm,甲苹果园样本直径的方差为l.1. 乙苹果园样本直径的平均数为5.95cm,乙苹果园样本直径的方差为1.3475.(9分) 6cm>5.95cm,1.1<1.3475, 由平均数和方差可得：甲苹果园的苹果质量更好，(10分) 20.(10分) 【详解】(1)解：连接OE,如图所示： E :点E是BC的中点，点O是BA的中点， EO是ABC的中位线， .EOl AC,EO=TAC, .LA=∠E0P,(2分) 3/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :ED⊥AC, .∠A+∠DPA=90°， ∠E0P+∠DPA=90°， 即∠PE0=90°，(3分) :OE是半径， .PE是⊙0的切线；(4分) (2)解：设OE为r, 由(1)得∠PE0=90°， PB=1,PE=3, 则P0=r+1,(5分) 在RtaP0E中，则PO2=OE2+PE2, 则(r+1=r2+9, 解得r=4,(7分) P0=5 :OE⊥PD,AC⊥PD .AC∥OE :00A PEPO (9分) 3_5 ED4 解得：ED=2.4.(10分) 21.(9分) 【详解】任务一：如图所示，过点B作BD⊥AC交AC于点D, 0 :AB=1m,∠BAC=20° sin∠BAD=sin20°=BD FB,即0.34=8D 解得BD=0.34(1分) 4/9 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :cos∠B1D=c0s20°=40，即0.94=4D AB 1 解得AD=0.94 :BC=613m 50 .CD=BC2-BD2=0.36 .AC=AD+CD=0.94+0.36=1.3(m);(3分) 任务二：如图所示，设轮胎的圆心为H,过点M作ME⊥RS,过点N作NF⊥RS,过点M作MG⊥HO, H G O RE FS :四边形GOEM是矩形， :挡车器高10cm,轮胎所在圆的圆心与挡车器点M的水平距离为10√5cm, ..GO ME =10cm GM =105cm,(4 设OH的半径H0=HM=r,则HG=r-10 ∴.在RtAHGM中，HG+GM2=HM2 (r-10)2+10W5=r2 解得r=30 :该越野车的轮胎所在圆的半径是30cm;(6分) 任务三：由素材一知，AO=1.7m,AB=lm,即AB'=1m, :当后备箱打开到最大时，AB与水平面夹角LB'AD=60°， 在Rta8'AD'中，如图1，sin∠B4D=sin60°=BD-5, AB'=2 B --D B BD= ≈0.866m, 2 5/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .B'D'+A0=0.866+1.7=2.566m,(7分) 如图2中，作LF∥EI,GL⊥LF, H G L MN RS :∠GFE=143°.EF=1.8m,GF=2m, .保证越野车的后备箱可以完全打开，则GL+EF≥2.566m, .GL≥0.766m,(8分) :∠GFE=90°+∠GFL, :∠GFL=53°， .∠LGF=37°， 又tan37°≈0.75， tan∠LGf= LFLF GL0.766 =0.75, .LF=0.5745m,即ES的长为0.5745m时，后备箱能完全打开(9分) 22.(11分) 【详解】(1)由题意，得 (b-2 2 b=4 ，解得 36+6b+c=7 c=-5 :.抛物线所对应的函数表达式为y=x2-4x-5;(2分) 1 7 (2).- ,对称轴为直线x=2, 当x=2时，ymin=22-4×2-5=-9, 当=时-(4》4 当x时--4子5 4 当 子x≤子时，y的取值范围是-9≤y5- 1 4:(5分) (3)把y=7代入y=x2-4x-5得，7=x2-4x-5, 6/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得x=6,x2=-2, :.当-2≤x≤k时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，则k的取值范 围是2<k≤6，(8分) 故答案为2<k≤6： (4)点A、B的坐标分别为m,m2-4m-5、m+2,m2-9, 当m≤0时，m2-4m-5-m2-9）=2, 解得：m=(不合题意，舍去)(9分) 当0<m≤1时，m2-4m-5-(-9)=2,(10分) 解得：m,=2-√2，m2=2+√2（不合题意，舍去） 当1<m≤2时，m2-9-(-9)=2, 解得：m,=√2，m2=-√2（不合题意，舍去） 当m>2时，m2-9-m2-4m-5=2, 解得：m(不合题意，舍去) 综上，m的值为2-√2或√2.(11分) 23.(11分) 【分析】(1)(I)利用两对角对应相等，可证明△AEB∽△ABC; (II)由△AEB∽△ABC,推出AB2=AC·AE,再证明△FAEn△CAD,推出AC·AE=AD·AF,即可证明 结论成立 (2)(I)过点N作NH⊥I于点H,在NH上截取NI,使NMNH=MW2,再证明△INQ∽△PNH,推出 ∠IQN=∠PHN=90°，得到点Q的运动路线是以NI为直径的弧； ⑩格P转化为兽-P得到当0最大时，的最大，强此求解面 PN PN 【详解】(1)证明：(I):∠ABE=∠ACB,∠BAE=∠CAB, .△AEB∽△ABC;(1分) (II):△AEB∽△ABC, .AB AE CA AB .AB2=AC·AE, 7/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :EF⊥AC, ∠AEF=∠D=90°，(3分) :∠FAE=∠CAD, .△FAEn△CAD, AF AE AC AD .AC·AE=AD·AF, AB2=AD·AF;(5分) (2)(I)过点N作NH⊥I于点H,在NH上截取NI,使NM.NH=MW2, H P MN2 NP.NO, :MNH=PNO,即-g NP NH 连接IQ, 又：∠IWQ=∠PNH, .△INQ∽△PNH, .∠IQN=∠PHN=90°， ·点Q的运动路线是以！为直径的弧， 故选：B;(8分) (Ⅱ)：MN2=NP.NQ, 00 NO MN :∠MNQ=∠PNM, .△MNQ∽△PNM, :Mg、PM MN PN :MN=a=10是定值， :当MQ最大时， PM的值最大， P 8/9 窗学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 此时MQ经过圆心O，,MQ的长为MO和圆的半径长，连接MⅡ， 作MG⊥1于点G, M H 由(I)得NI·NH=MN2, :M=MW2102 =8, NH12.5 .IH=12.5-8=4.5, :MG=4.5, .四边形MGIH是矩形， .MI⊥NH, M1=VMN2-NI2=V102-82=6, M0=VM12+012=V62+42=2V13, .MQ的最大值为213+4， 兴的值最大为架2+4店2.1分) MN 10 5 9/9………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间:120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1． 小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，如图所示，此时是墨迹盖住的整数共有（    ）个．      A．3 B．4 C．5 D．6 2．下列图案是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．有一几何体如图所示，则它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 4．郑州航空港区是我国首个国家级航空港经济综合实验区．2023年郑州航空港区全面贯彻落实国家、省、市政府决策部署，完成地区生产总值1295亿元，同比增长，持续领跑全省!其中1295亿用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 5．下列等式，其中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．图为某市科技馆“科技与生活”和“挑战与未来”两个展厅的路线图．嘉嘉同学通过入口后，随机选择一条道路前进，每逢路口再任选一条道路，最终到达任意一展厅后停止前进，则嘉嘉最后进入“科技与生活”展厅的概率是（　　）    A． B． C． D． 7．《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知6个大桶加上4个小桶可以盛酒48斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），5个大桶加上3个小桶可以盛酒38斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒斛、1个小桶可以盛酒斛．根据题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 8．已知反比例函数，若当时，的最大值与最小值的差为，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 9．如图，在正六边形中，连接，以点A为圆心，的长为半径作，再以点D为圆心，的长为半径作，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 10．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画．下列结论错误的是（    ） A．小球落地点距O点水平距离为7米 B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势 C．当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m D．小球距斜坡的最大铅直高度为 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．当____________时，分式有意义． 12．如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是__________． 13．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 14．如图，已知，，……在直线上，在x轴上取点，使，作等腰面积为，等腰面积为，等腰面积为……，则________（用含a的代数式表示）． 15．如图，平行四边形中，，点为上一个动点，以为对称轴折叠得到，点的对应点为点，直线交于点，若，当点与点重合时，的长为_____，当有最小值时，的长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8分）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17．（8分）如图，中，，于，且、分别是、的中点．延长至点，使． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若，求的面积． 18．（8分）物理学研究表明，某种金属导体的电阻y（单位：Ω）是其温度x（单位：℃）的一次函数．当温度为时，该金属导体的电阻是；当温度为时，该金属导体的电阻是． (1)求该金属导体的电阻y与其温度x之间的函数关系式； (2)当该金属导体的电阻为时，其温度是多少？ 19．（10分）【项目背景】 苹果是我省某地区特产，该地区某村有甲、乙两块苹果园．在苹果收获的季节，某班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对这两块苹果园的优质苹果情况进行调查统计，为苹果园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从这两块苹果园采摘的苹果中，各随机选取相同个数的苹果．在技术人员的指导下，测量每个苹果的直径，作为样本数据．苹果直径用（单位：）表示． 将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 / 整理样本数据，并绘制甲、乙两块苹果园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： 根据上面图表，请解答下列问题． (1)求乙苹果园图中的值． (2)求甲苹果园样本直径的平均数．（每组数取组中值，例如取4，取5） (3)求甲苹果园样本直径的方差．（每组数取组中值来计算） (4)已知乙苹果园样本直径的平均数为，乙苹果园样本直径的方差为．请你结合（2）（3）中所求的数据，评价哪个苹果园的苹果质量更好． 20．（10分）如图，在中，以为直径的经过的中点E，过点E作于点D，延长交的延长线于点P． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 21．（9分） 注意用车安全 素材一 图1是某越野车的侧面示意图，图2是打开后备箱时的示意图，已知，，连结，，该车的高度，其中O为轮胎与地面的切点（地面）．当后备箱打开到最大时，与水平面的夹角．    素材二 挡车器可以有效提醒正在倒车的驾驶员．使其不能再继续倒车．防止发生意外．对于保障停车场安全管理起到了重要的作用．当车恰好停在挡车器位置时，轮胎与挡车器的位置关系如图1所示．挡车器上的点M在轮胎所对圆上，图2是某款挡车器，，，．高． 素材三 如图是某露天停车场搭建的一个停车棚侧而示意图．其中顶棚与地面平行，支撑杆与地面垂直，．，．现计划，在停车棚内每一个停车位中安装一个挡车器（与【素材二】中的挡车器同款）． 提示：①轮胎所在圆与地面l始终相切；②参考数据：．．． 任务一 求【素材一】中的长． 任务二 与【素材一】中同型号的越野车停在挡车器位置时，其轮胎所在圆的圆心与挡车器点M的水平距离为．则该越野车的轮胎所在圆的半径是多少？ 任务三 将与【素材一】中同型号的越野车停在【素材三】中的停车棚内，则挡车器应该放在什么位置，即的长度至少为多少时．能保证越野车的后备箱盖可以完全打开？ 22．（11分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴为直线． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式． (2)当时，求函数值y的取值范围． (3)当时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，则k的取值范围是_________． (4)已知A、B两点均在抛物线上，点A的横坐标为m，点B的横坐标为．将抛物线上A、B两点之间（含A、B两点）的图象记为M，当图象M的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值． 23．（11分）（1）如图①，在四边形中，，点在上，且.过点作，垂足为，交于点. （I）求证：. （II）求证：. （2）如图②，已知线段和直线，是直线上一个动点，点在线段上，且.设线段的长为，点到的距离为. （I）当点在直线上运动时，点的运动路线是_____. A．直线    B．弧    C．线段 （II）若，，点到的距离为4.5，则的最大值为_____. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $