精品解析：山东省泰安市泰山区2026年初中学业水平考试数学模拟试题

2026年初中学业水平考试数学模拟试题 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是符合题意的．请将正确答案前的字母代号填在下表内） 1. 如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数为（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 4. 国产北斗芯片可支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域．目前，该芯片工艺已达22纳米（即0.000000022米），则数据0.000000022用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列幂的运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 小亮准备在2026年春节期间去看电影，他想在《镖人》《惊蛰无声》《飞驰人生3》《熊出没：年年有熊》《熊猫计划之部落奇遇记》这五部电影中选取两部去观看，他选取背面完全相同的五张卡片，在正面分别写上片名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小亮抽中《飞驰人生3》和《熊出没：年年有熊》的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，科技社团的同学们用矩形硬纸板制作立体模型，其中一个结构的制作需将纸板沿折叠得到，折叠后与交于点E，已知，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知正方形，点E为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点G，交于点F，若，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是抛物线对称轴上的一个动点．小明经过探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使为直角三角形的点的个数也随之确定．若抛物线的对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形，则的值是（ ） A. B. 或 C. 2 D. 2或 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。只要求填写最后结果） 11. 若式子有意义，则x的取值范围是_____． 12. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一天走了_____里． 13. 如图，将半径为1的圆形纸片，按如下方式折叠，若和都经过圆心O，则阴影部分的面积是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交，两点。若点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，则点P的坐标为_____． 15. 对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“迥异数”．将一个“迥异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为，例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，所以．若s、t都是“迥异数”，其中，，（，，x、y都是正整数），当时，的最小值为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，满分90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算、化简求值： （1）计算：； （2）先化简，再求值，其中x，y满足． 17. 为了测量教学楼的高度，甲、乙两个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量教学楼高度 测量方案 方案一 方案二 测量工具 自制直角三角形模具，皮尺． 皮尺，测角器． 测量示意图 测量步骤 甲小组成员通过调整自己的位置，使自制的直角三角形模具的斜边保持与地面平行，并且边与教学楼顶部B点在同一直线上． 乙小组成员在教学楼对面的实验楼C处用测角仪分别测得教学楼底部A点的俯角和教学楼顶部B点的仰角． 说明 A，B，C，D，E，F均在同一平面内，测角仪高度忽略不计． 测量数据 ，，，． ，，． 请选择其中一个方案及其测量数据求教学楼的高．（结果保留到个位）（参考数据：，，） 18. 如图，在中，． （1）尺规作图：在边上求作点D，使，并说明理由；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，若是的平分线．求证：． 19. 一项知识问答竞赛要求以团队方式参赛，每个团队20名选手．某校准备参加此项竞赛，前期组建了两个团队，经过一段时间的培训后，对两个团队进行了一次预赛，对成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．一队成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）； b．二队成绩如下： 68 69 70 70 71 73 77 78 80 81 82 82 82 82 83 83 83 86 91 94 c．一、二两队成绩的平均数、众数、中位数如下：根据以上信息，回答下列问题： 平均数 众数 中位数 一队 77 P 二队 m q （1）m的值为_____，p____q（填“”“＝”或“”）； （2）若两队都各去掉一个最高分和一个最低分，则下列判断正确的是_____； A．一队成绩的方差增大，二队成绩的方差减小 B．两队成绩的方差都增大 C．一队成绩的方差减小，二队成绩的方差增大 D．两队成绩的方差都减小 （3）为了选出冲击个人冠军的种子选手，学校对这次成绩90分以上的甲、乙、丙三位同学又单独进行了5次测试，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．这5次测试的成绩如下： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 甲 90 94 90 94 91 乙 91 92 92 92 93 丙 93 90 92 93 k 若丙的排序居中，则表中k（k为整数）的值为多少？此时排名最靠前的是_____． 20. 某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价（元/件）与日销量（件）满足． （1）求日销售利润（元）与（元/件）的函数关系式；（不要求写的取值范围） （2）在确保盈利前提下，若日销量不低于60件，求售价的取值范围． （3）在（2）的条件下日销售利润能否为1750元？若能，售价是多少？ 21. 阅读下面材料，解决下列问题： （1）【阅读材料】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图1，在等边中，点P在内部，且，，，求的长．经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找三边之间的数量关系．即能求_____： （2）【学以致用】如图2，在等腰直角中，，P为内一点，，，，求的长； （3）【能力拓展】如图3，等腰三角形中，，D、E是底边上的两点且，若，，求的长． 22. 【知识技能】如图1，绕点O顺时针旋转得到，作的平分线交线段于点A，连接交于点F． （1）求证：； （2）【数学理解】如图2，若，以点O为圆心，长为半径作圆，求证：与相切； （3）【拓展探索】在（2）的条件下，若，，求的长． 23. 已知，点）在抛物线上． （1）若，且抛物线经过点，求抛物线的表达式； （2）记该抛物线的对称轴为直线，若点也在该抛物线上． ①试用含m的代数式表示h； ②若在时，y随x的增大而增大，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试数学模拟试题 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是符合题意的．请将正确答案前的字母代号填在下表内） 1. 如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用点A表示的数减去移到的距离即可得到答案． 【详解】解；∵点A表示的数是1．将点A向左移动3个单位长度得到点， ∴点表示的数为， 故选：B． 2. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意； 故选：D． 3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给三视图和各个选项中几何体的形状即可得到答案． 【详解】解：该几何体的主视图和左视图都是长方形，俯视图是一个“”型图案， 故四个选项中只有C选项中的几何体符合题意 ． 4. 国产北斗芯片可支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域．目前，该芯片工艺已达22纳米（即0.000000022米），则数据0.000000022用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，的绝对值与原数变为时小数点移动的位数相同，当原数绝对值小于1时，为负整数． 【详解】解：． 5. 下列幂的运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A：∵合并同类项时，系数相加，字母和指数不变，∴，A错误； 选项B：∵根据完全平方公式，∴，B错误； 选项C：∵负整数指数幂满足，∴，计算正确，C正确； 选项D：∵零指数幂满足，且，∴ ，D错误． 6. 小亮准备在2026年春节期间去看电影，他想在《镖人》《惊蛰无声》《飞驰人生3》《熊出没：年年有熊》《熊猫计划之部落奇遇记》这五部电影中选取两部去观看，他选取背面完全相同的五张卡片，在正面分别写上片名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小亮抽中《飞驰人生3》和《熊出没：年年有熊》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设五部电影分别为A（镖人），B（惊蛰无声），C（飞驰人生3），D（熊出没：年年有熊），E（熊猫计划之部落奇遇记）． 画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中同时抽中C和D的结果只有2种． ∴小亮抽中《飞驰人生3》和《熊出没：年年有熊》的概率是． 7. 如图，中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质求出，再根据三角形内角和定理求出，最后根据同弧所对的圆周角相等，得出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 8. 如图，科技社团的同学们用矩形硬纸板制作立体模型，其中一个结构的制作需将纸板沿折叠得到，折叠后与交于点E，已知，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，，由平行线的性质及直角三角形的性质求出，根据折叠的性质可得，进而可求解． 【详解】解：在矩形中，，， ，， 由折叠可知：， ， ， ． 9. 如图，已知正方形，点E为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点G，交于点F，若，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设正方形的边长为，，则，，，；由是的垂直平分线得，，可得，，消去可求出得，，由勾股定理得，从而可求出的周长． 【详解】解：设正方形的边长为，， ∴，，，； ∵是的垂直平分线， ∴，， 由得， 整理得； 由得， 整理得， 代入，得：， 整理得， ②代入①得：， 解得：， ∴， 即，， 在中，， 所以，的周长为． 10. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是抛物线对称轴上的一个动点．小明经过探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使为直角三角形的点的个数也随之确定．若抛物线的对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形，则的值是（ ） A. B. 或 C. 2 D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、圆的切线的性质等知识，综合性较强，有一定难度．正确分情况讨论，找出抛物线的对称轴的位置是解题关键．如图（见解析），分三种情况：①当时，则点在与垂直的直线上运动（不含点），②当时，则点在与垂直的直线上运动（不含点），③当时，则点在以为直径的圆上运动，圆心为的中点，判断出这个抛物线的对称轴（图中的和）与相切，由此计算即可得． 【详解】解：由题意可知，有以下三种情况： ①如图，当时，，为直角三角形， 则点在与垂直的直线上运动（不含点），且M点是与抛物线对称轴的交点； ②当时，，为直角三角形， 则点在与垂直的直线上运动（不含点），且M点是与抛物线对称轴的交点； ③当时，，为直角三角形， 则点在以为直径的圆上运动，圆心为的中点； ∵， ∴，的半径为， 抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形， ∴这个抛物线的对称轴（图中的和）与相切时，只有一个点M，使为直角三角形； ∴， 解得或， ∴或， 故选：D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。只要求填写最后结果） 11. 若式子有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】二次根式有意义要求被开方数为非负数，分式有意义要求分母不为零，据此列出关于x的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 移项得， 系数化为可得：． 12. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一天走了_____里． 【答案】192 【解析】 【分析】设第六天走的路程为里，根据每天走的路程为前一天的一半，可推出前五天的路程，根据六天总路程为378里，建立一元一次方程求解，即可得到第一天走的路程． 【详解】解：设第六天走的路程为里，则第五天走的路程为里，第四天走的路程为里，第三天走的路程为里，第二天走的路程为里，第一天走的路程为里， 依题意列方程得：， 合并同类项得：， 解得：． 则第一天走的路程为里． 13. 如图，将半径为1的圆形纸片，按如下方式折叠，若和都经过圆心O，则阴影部分的面积是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查圆中的计算问题和扇形面积计算,熟悉掌握公式，把不规则阴影图形面积利用割补法转换成规则图形来接是解题关键． 作于点D，连接，求出，利用割补法将阴影分割成两个弓形，利用旋转补成扇形来求即可． 【详解】解：作于点D，延长线交于点E，连接， ∵弓形折叠后为弓形过圆心， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴，， 将弓形绕着点O顺时针旋转得弓形，弓形绕着点O逆时针旋转得弓形， ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交，两点。若点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，则点P的坐标为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】先求解点，，再利用待定系数法求出一次函数的解析式，求出，设，然后根据题意得到，求解即可． 【详解】解：将，代入， 得，， 解得：， 点，． 把，代入， 得， 解得：， 一次函数的解析式为； 如图，连接， ∵一次函数的解析式为， 当时，， ∴． ∵点，点， ． 设点， 由题意，得， 解得， 点的坐标为或． 15. 对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“迥异数”．将一个“迥异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为，例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，所以．若s、t都是“迥异数”，其中，，（，，x、y都是正整数），当时，的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，先根据“迥异数”定义推导得等于的三个数位上的数字和，再分别表示出和，结合条件得到，根据“迥异数”数位要求筛选出符合的，计算对应比值后比较得到最小值，理解新定义是解题关键． 【详解】解：设“迥异数”，其中 ，且互不相等， 对调百位与十位上的数字得到，对调百位与个位上的数字得到，对调十位与个位上的数字得到，∴ ， ，三个数位数字为 ， ， ，三个数位数字为 ， ， 由 得： ， 整理得， 都是正整数，都是“迥异数”，因此满足，，，，，， 可得符合条件的组合为，， 当时，， 当时， ， ， 的最小值为， 故答案为． 三、解答题（本大题共8个小题，满分90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算、化简求值： （1）计算：； （2）先化简，再求值，其中x，y满足． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用乘方、二次根式的性质、特殊角的三角函数、绝对值进行化简后进行加减法即可； （2）先计算括号内分式的减法，再计算分式的除法，得到化简结果，再把所给等式变形后整体代入计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ∵ ∴ ∴原式 17. 为了测量教学楼的高度，甲、乙两个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量教学楼高度 测量方案 方案一 方案二 测量工具 自制直角三角形模具，皮尺． 皮尺，测角器． 测量示意图 测量步骤 甲小组成员通过调整自己的位置，使自制的直角三角形模具的斜边保持与地面平行，并且边与教学楼顶部B点在同一直线上． 乙小组成员在教学楼对面的实验楼C处用测角仪分别测得教学楼底部A点的俯角和教学楼顶部B点的仰角． 说明 A，B，C，D，E，F均在同一平面内，测角仪高度忽略不计． 测量数据 ，，，． ，，． 请选择其中一个方案及其测量数据求教学楼的高．（结果保留到个位）（参考数据：，，） 【答案】教学楼的高为 【解析】 【分析】方案一：证明，利用相似三角形的性质求解即可； 方案二：在和中，解直角三角形即可求解． 【详解】解：方案一：由题意，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∵， ∴， 答：教学楼的高为； 方案二：由题意，可知，， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴， 答：教学楼的高为． 18. 如图，在中，． （1）尺规作图：在边上求作点D，使，并说明理由；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，若是的平分线．求证：． 【答案】（1） 解：如图，点D即为所求作的点 ∵垂直平分， ∴； ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴ ∵是的平分线． ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点D即可； （2）求出，根据即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 一项知识问答竞赛要求以团队方式参赛，每个团队20名选手．某校准备参加此项竞赛，前期组建了两个团队，经过一段时间的培训后，对两个团队进行了一次预赛，对成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．一队成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）； b．二队成绩如下： 68 69 70 70 71 73 77 78 80 81 82 82 82 82 83 83 83 86 91 94 c．一、二两队成绩的平均数、众数、中位数如下：根据以上信息，回答下列问题： 平均数 众数 中位数 一队 77 P 二队 m q （1）m的值为_____，p____q（填“”“＝”或“”）； （2）若两队都各去掉一个最高分和一个最低分，则下列判断正确的是_____； A．一队成绩的方差增大，二队成绩的方差减小 B．两队成绩的方差都增大 C．一队成绩的方差减小，二队成绩的方差增大 D．两队成绩的方差都减小 （3）为了选出冲击个人冠军的种子选手，学校对这次成绩90分以上的甲、乙、丙三位同学又单独进行了5次测试，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．这5次测试的成绩如下： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 甲 90 94 90 94 91 乙 91 92 92 92 93 丙 93 90 92 93 k 若丙的排序居中，则表中k（k为整数）的值为多少？此时排名最靠前的是_____． 【答案】（1）82， （2）D （3）k的值为91，92，最靠前的是乙选手 【解析】 【分析】（1）根据众数，中位数的定义去解答即可； （2）根据数学方差越小，波动越小，求解即可 （3）先计算平均数，再计算方差，分类求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，二队的数据中，82出现的次数最多，故分；中位数是第10个，第11个数据的平均数，（分），一队的中位数是第10个，第11个数据的平均数，且两个数据都小于80分，故分， 故； 【小问2详解】 解：若两队都各去掉一个最高分和一个最低分，两队的成绩波动都变小，则两队成绩的方差都减小； 故答案为：D； 【小问3详解】 解：甲选手的平均数为：， 甲选手的方差为：， 乙选手的平均数为：， 乙选手的方差为：， 丙选手的平均数为：， 因为丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，平均数较大的选手排序靠前一些，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前， 故， 解得， 因为k是整数， 当或， 当时，丙选手的平均数为：，与甲选手的平均数相同； 丙选手的方差为：，小于甲选手的方差，故丙排序居中；最靠前的是乙选手； 当时，丙选手的平均数为：，与乙选手的平均数相同； 丙选手的方差为：，大于乙选手的方差，故丙排序居中；此时最靠前的是乙选手； 故或； 20. 某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价（元/件）与日销量（件）满足． （1）求日销售利润（元）与（元/件）的函数关系式；（不要求写的取值范围） （2）在确保盈利前提下，若日销量不低于60件，求售价的取值范围． （3）在（2）的条件下日销售利润能否为1750元？若能，售价是多少？ 【答案】（1）日销售利润W与x的函数关系式为 （2）售价x的取值范围是 （3）能，当定价为65元时，日销售利润为1750元 【解析】 【分析】本题主要考查求函数解析式、不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据日销售利润、售价、进价、销售量的关系列出函数关系式即可； （2）由题意，，则，解得：，再结合要保证盈利即可解答； （3）根据（1）所得的关系式，列一元二次方程求解并结合（2）的条件即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得： 日销售利润与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意，， 则，解得：， 要保证盈利， ， 售价的取值范围是； 【小问3详解】 解：由， 则，解得：（舍去）或． 答：当定价为65元时，日销售利润为1750元． 21. 阅读下面材料，解决下列问题： （1）【阅读材料】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图1，在等边中，点P在内部，且，，，求的长．经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找三边之间的数量关系．即能求_____： （2）【学以致用】如图2，在等腰直角中，，P为内一点，，，，求的长； （3）【能力拓展】如图3，等腰三角形中，，D、E是底边上的两点且，若，，求的长． 【答案】（1）5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，证明为等边三角形，得到，则可求出，再利用勾股定理求解即可； （2）把绕点C逆时针旋转得到，连接，由旋转性质可知，，，则可证明是等腰直角三角形，可求出，，再利用勾股定理求解即可； （3）将绕点C逆时针旋转得到，连接，作于点H，由旋转的性质可得，，，，证明，得到，求出，得到，则可得到，，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：由旋转的性质可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图2，把绕点C逆时针旋转得到，连接， 由旋转性质可知，，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，将绕点C逆时针旋转得到，连接，作于点H， 由旋转的性质可得，，，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，∵，，， ∴， ∴，， ∴ ∴． 22. 【知识技能】如图1，绕点O顺时针旋转得到，作的平分线交线段于点A，连接交于点F． （1）求证：； （2）【数学理解】如图2，若，以点O为圆心，长为半径作圆，求证：与相切； （3）【拓展探索】在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵绕点O顺时针旋转得到， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 证明：∵绕点O顺时针旋转得到， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴，， ∴， 如图，过点O作于点G，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴与相切． （3） 【解析】 【分析】（1）分别证明，，结合，即可得结论； （2）先证明，结合（1）得，可得，可得，过点O作于点G，则，证明，即可得结论； （3）由旋转的性质，得，，，证明，设，由（2）得，，利用勾股定理可得，可得，再证明，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由旋转的性质，得，，， ∵， ∴， 设， 由（2）得，， ∴， 在中，， ∴，即， 解得， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 23. 已知，点）在抛物线上． （1）若，且抛物线经过点，求抛物线的表达式； （2）记该抛物线的对称轴为直线，若点也在该抛物线上． ①试用含m的代数式表示h； ②若在时，y随x的增大而增大，求m的取值范围． 【答案】（1）抛物线的关系式为 （2）①对称轴是直线；②m的取值范围是或 【解析】 【分析】（1）把两点的坐标代入函数解析式，求出即可； （2）①先把的坐标代入函数解析式，得到与,之间的关系，再根据对称轴公式即可求解；②点也在该抛物线上，可以得出与之间的数量关系，再按照抛物线的开口方向分两种情况，情况一：开口方向向上，即大于零，可得出一个关于的不等式，再根据函数在范围内的增减性，可以得出对称轴的范围，再得到一个关于的不等式，从而最终确定的范围；情况二：开口方向向下，即小于零，和情况一类似，可以用同样的思路求出的范围． 【小问1详解】 解：当时，有，又点A、点B在抛物线上， ∴， 解得 ∴抛物线的关系式为． 【小问2详解】 （2）①由点在抛物线上， ∴ ， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴对称轴是直线 ； ②已知在时，函数值y随x的增大而增大．有两种情况， 情况1：当时，抛物线对称轴直线 即， 由已知，∴ ， ∵点在抛物线上 ， ∴， 代入得：， ， ∵， ∴， 解得， 又∵， ∴无解； 情况2：当时，抛物线开口向下，则当时，y随x的增大而增大， ∴，即 ， 又∵， ∴， ∴解得：或， ∴或， 综上所述，m的取值范围是或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的增减性，解决本题的关键要通过对称轴位置确定的范围，同时还要通过和的关系进一步确定的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $