安徽安庆市田家炳中学2025-2026学年高二年级下学期期中学情调研数学试题

安庆田中2025-2026下学期高二年级期中学情调研 数学参考答案及评分细则 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 5 8 选项 B C D D B 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 选项 AC ABC ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。) 12.24 136 14.27 四、解答题（本题共5小题，共77分。其中第15题13分，第16、17题都为15分， 第18、19题都为17分。) 15.(1)设公差为d,公比为g(g≠0)， 则 1+d=2g -2分 1+2d=2g2-1 解得g=0（舍)，q=2,所以d=3.故a,=3n-2,bn=2"-. -6分 《2)由1)得：马=3”-2，所以 T=1++ 21 21 ,22+2+43n-2 ①，17=1+4+7++ ② 2" 1.11 0-②得，=1+30 之 --8分 2 )C3n-2+3x02）-2=40* 2 2” -12分 1、1 2n 2 故：T=8-3m+4 2 -13分 16.(1)由切点既在曲线上，又在切线上得：f(1)=-12+b+7=5-9,即b=1. 数学答案第1页，共4页 $$\because f ' \left( x \right) = \frac { a } { x } + \frac { 1 2 } { x ^ { 2 } } + b ， \therefore k = f ' \left( 1 \right) =$$ ：k=f'(1)=a+12+b=5， ，即a=-8. 综上： a=-8，b=1. -6分 (2)由(1)得 $$f \left( x \right) = - 8 \ln x - \frac { 1 2 } { x } + x + 7 \left( x \in \left[ 1 ， 4 \right] \right)$$ $$\therefore f ' \left( x \right) = \frac { - 8 } { x } + \frac { 1 2 } { x ^ { 2 } } + 1 = \frac { x ^ { 2 } - 8 x + 1 2 } { x ^ { 2 } } = \frac { \left( x - 2 \right) \left( x - 6 \right) } { x ^ { 2 } }$$ 令 f'(x)=0， ，得 x=2， x=6(舍) ---- -9分 x (1，2) 2 (2，4) f'(x) + 0 f(x) 极大值 $$\therefore f \left( x \right) _ { \min } = f \left( 2 \right) = 3 - 8 \ln 2$$ .......-12分 $$\because f \left( 1 \right) = - 1 2 + 1 + 7 = - 4 ， f \left( 4 \right) = 8 - 8 \ln 4 ， e ^ { 3 } > 2 . 7 ^ { 3 } = 1 9 . 6 8 3$$ $$\therefore f \left( 1 \right) - f \left( 4 \right) = 8 \ln 4 - 1 2 = 4 \left( 2 \ln 4 - 3 \right) = 4 \left( \ln 1 6 - \ln e ^ { 3 } \right) < 0 ，$$ 即 f(1)<f(4) 故 $$f \left( x \right) _ { m a } = f \left( 2 \right) = 3 - 8 \ln 2 ， f \left( x \right) _ { \min } = f \left( 1 \right) = - 4 .$$ -15分 17.(1)连接AC交 BD 于0，连接 PO， ----1分 由 ABCD 为菱形，得 BD⊥AC ........ -...- ----3分 由 PB=PD， ，得 BD⊥PO， ，又因为 AC∩PO=O， ，所以 BD⊥ 面 PAC， -.......... --5分 故 BD⊥PA， 即 PA⊥BD ....... -6分 (2)由(1)知 PA⊥BD， 又 ∵PA⊥AB，∴PA⊥ 面 ABCD. ....... .-7分 以O为原点，分别以 OB，OC， ，过O且平行于AP的直线为 x 轴，y轴，z轴建立空 间直角坐标系，如图所示.-.......... -8分 P D $$y _ { y }$$ 数学答案第2页，共4页 在等边A18C中，01=0c=0B=00=5 2 则0号0，c020,P0.- ，0,0)，设平面APD的一个法向量为 mE化，则P=0,0PD=-0 m·AP=z=0 m.PD=-31 ，令x=1,则m=1,V5,0) -11分 2x+2y-2=0 同理平面CPD的一个法向量为n=(-l,V5,V5), -13分 设面APD与面CPD所成的角为a,则cosa=cos<m,n> -1+3+0√万 27 > 故所求sina= √42 -15分 注：其它建系方法正确也可。 18.(1)由抛物线的定义知： 3+卫=5，所以p=2,故y=4x. -3分 222 (2)由A在抛物线C上，得，=4×=6，因为A在第一象限，所以4（弓6）， [a2-b2=1 又C的焦点FL,0),所以{9 ，解得 =9，敢+ =1-9分 4 6 b2=8 98 la +6=1 x=my-1 (3)设P(x,)，x2,y2),则 +上=1'得(8m+9y2-16av-64=0 98 显然△=256m2+256(8m2+9)>0,y1+y2= 16m 64 8m2+9’hy2= 8m2+9 所以k=乃。飞+3=y.my+2=myy+2y -12分 k2 x-3 y2 my-4 y2 my y2-4y2 父因为片十业=，即%y=40y+y) yiy2 数学答案第3页，共4页 k=myy+2y=-4(y+y)+2y--2y-4y=1, kmy-4y4(0+2)-4y-44-85,2' 故为定值， -17分 k2 9①当a时，构造差函数h)=fG)=w)=et> .h'(x)=e-x-1,h"(x)=e-1>e°-1=0 .h'(x)在(0，+oo)单调递增，则h'(x)>h'(0)=e°-0-1=0， ∴.h(x)在(0，+oo)单调递增，则h(x)>h(0)=e°-0-0-1=0，即f(x)>g(x). 故对于任意x>0,函数f(x)的图象恒在g(x)图象的上方. -5分 (2)i'(x)=e-2ax-1,定义域为(0，+o),所以h"(x)=e-2a 当2a≤1即a≤)时，N)=e-2a>e-2a=1-2a20,此时()在0，+o) 单调递增； -8分 当2a>1即a>2时，令'(x)=0,得x=n2a,且h)=e-2a单调递增 所以此时h'(x)在(0，ln2a)单调递减，在(In2a,+oo)单调递增， 综上，当a≤，时，h()在(0，+∞)单调递增： 当a>时，h()在(0,1n2a)单调递减，在(n2a,+o)单调递增。 -11分 2 (3)由(2)知，当a=0时，h'(x)在(0，+o)单调递增，所以h'(x)>h'(0)=0 得h(x)在(0，+o)单调递增，所以h(x)>h(0)=0,即e>x+1,所以x>ln(x+1) 故上>n(+),即a,>n(+D,即①得证： -14分 所以a,>ln上+)=lhn”+1=lnm+l)-lnn n a In2-In1,a2 In3-In2,a In4-In3,.,a In(n+1)-Inn. 累加得：S,>ln(n+1)-lnl=ln(n+1),故②得证. - -17分 数学答案第4页，共4页安庆市田家炳中学2025-2026下学期高二年级期中学情调研 数学试题 命题人：刘胜火 审题人：刘进 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答案一律写在答题卡上，写在本试卷无效。选择题选出每小题答案后，用2B铅笔 把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。非选择题将答案写在答题卡规定区域内。 2.本试卷考试内容：人教A版选择性必修第一册、选择性必修第二册、选择性必修第 三册第六章。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.某班有4名男生和3名女生，现从中选出3人参加校运动会志愿者服务，要求选出 的3人中既有男生又有女生，则不同的选法共有( ) A.24种 B.30种 C.35种 D.40种 2.己知等差数列{an}的首项为1，前n项和为Sn,若a2+a。=18,则So=（) A.60 B.90 C.100 D.180 3.已知空间向量a=(2,-1,2),b=1,2,2),则向量a在向量6上的投影向量为() 488 488 488 A 2_12 9'9’9 B 9’9’9 3’3’3 D 333 4.己知多项式(2x+1)°=a+a(x+1)+a,(x+1)2+…+a。(x+1),则a2=() A.15 B.20 C.60 D.80 数f(x)三。ar+x-xlnx+1在定义域上为增函数，则实数a的范围 1 A.(0,1 B C.[e,+) 6.甲、乙、丙等6位同学都要报名参加学校举办的3项不同活动，每人只能报其中一 项，要求每项活动至少有一人报名，则不同的报名方式共有( A.360种 B.480种 C.540种 D.720种 第1页，共4页 7.定义在R上的函数f(x)满足f'(x)-f(x)>0,且f(0)=1,则不等式f(x)>e的解 集为() A.（-o,1 B.(1,+o) C.（-0,0) D.(0,+o) 8.已知双曲线E三若=1a06>0)的左、右焦点分别为，5，圆O:+-心 与E的一条渐近线的一个交点为M,若M5上2F,则E的离心率为() A. B.5 C.5 D.√6 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.关于二项式(2x-1)的展开式，下列说法正确的有( A.常数项为-1 B.含x3项的系数为-80 C.各项系数之和为1 D.二项式系数之和为16 10.下列有关计数问题的结论中，正确的有（) A.将一个圆面等分成4个扇形区域，按顺时针依次记为A,B,C,D。用4种不 同的颜色涂色，要求相邻区域颜色不同，则不同的涂色方法有84种。 B.用4种不同的颜色给正三棱柱ABC-DEF的6个顶点涂色，要求同一条棱的两个 顶点颜色不同，则不同的涂色方法有264种。 C.将10个完全相同的小球放入4个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球， 不同的放法有C。=84种。 D.将10个完全相同的小球放入4个不同的盒子中，允许有空盒，不同的放法有 C=715种。 11.设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则下列选项正确的是( ) A.当a>1时，f(x)有三个零点 B.当a<0时，x=0是f(x)的极小值点 C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴 D.存在a,使得点(L,f(I)为曲线y=f(x)的对称中心 第2页，共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演。若甲不站在两端，乙和 丙相邻，则不同排列方式共有 种 13.设函数f=e+2s血x,则曲线y=∫在x=0处的切线与两坐标轴所围成的三 1+x2 角形的面积为 14.“杨辉三角”是我国古代数学的瑰宝，它本身蕴含着非常丰富的数学规律和许多有 趣的性质。如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第行中从左到右 第12与第13个数的比为3：4. 第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 1 4 6 4 第5行1 5 10 10 5 (第14题图) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)己知等差数列{an}和等比数列{bn},满足a1=b=1,a2=2b2,a3=2b-1. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式： (2)求数列 的前n项和T, b 16.(15分)已知函数f)=anx-12 +bx+7,曲线y=f(x)在点(L,f)处切线方 程为y=5x-9. (1)求实数a,b的值； (2)求f(x)在[1,4]上的最大值和最小值. 第3页，共4页 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PB=PD (1)求证：PA⊥BD; (2)若PALAB,且PA=AB=1,∠BAD=120°，求平面APD与平面CPD所成角的 正弦值. :A … D … B 18.(17分)已知椭圆E:亡+y a2+62 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F、F,同时F也 是抛物线C:y2=2Px(p>0)的焦点。若点A是曲线E与C在第一象限的交点，且 -点A的横坐标为} (1)求抛物线C的标准方程； (2)求椭圆E的标准方程： (3)设椭圆E的左、右顶点分别为A、A,过F的直线1与椭圆E交于P、Q两点(P、 Q不与4、A重合)，记直线P4,、QA的斜率分别为k、k,证明： 为定值 k 19.(17分)已知函数f(x)=e,g(x)=ax2+x+1（a∈R). (1)当a=2时，求证：对于任意x>0,函数f()的图象恒在8()图象的上方 (2)设h(x)=f(x)-g(x),讨论h'(x)在(0，+o)上的单调性： (3)己知数列{a,}满足a,=】(n∈N),其前n项和为S,利用(2)中的结论， 证明：对任意正整数n,都有：①a,>ln(2+1):②S>1nn+1). 第4页，共4页