专题2.3 一元一次不等式与一次函数（4大知识点+6大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年北师大版八年级数学下学期培优讲义

专题2.3 一元一次不等式与一次函数 知识点1：一元一次不等式与一次函数的内在联系 1.从数的角度：任何一元一次不等式都可转化为（或、、，）的形式，解不等式可看作当一次函数的函数值满足相应大小关系时，求自变量的取值范围。 2.从形的角度：一元一次不等式的解集对应一次函数图象的特定区域： 的解集：直线在轴上方的部分对应的取值范围； 的解集：直线在轴下方的部分对应的取值范围； /的解集：在上述基础上，包含直线与轴交点的横坐标。 3.两个一次函数的大小比较：对于、，的解集为直线在直线上方的部分对应的取值范围，反之亦然。 知识点2：一次函数、一元一次方程与一元一次不等式的关联 三者的核心关联围绕一次函数（）展开： 数学模型 核心问题 与一次函数的联系 一元一次方程 求的解 函数图象与轴交点的横坐标 一元一次不等式 求/的解集 函数图象在轴上/下方的取值 一次函数 求函数值的取值范围 由自变量的范围，确定图象对应的的区域 知识点3：利用一次函数与不等式解决实际问题 1.核心思想：数形结合+数学建模，将实际问题中的数量关系转化为一次函数表达式，再根据不等关系列出不等式求解。 2.常见类型：方案选择（购物、租车、采购）、最值求解（费用、利润、路程）、数量比较（溶解度、飞行高度、速度）。 3.解题基本步骤： 设变量：确定自变量（如购买数量、时间）和因变量（如费用、利润）； 列函数：根据实际条件列出各方案的一次函数表达式； 建不等式：根据题中不等关系（如“更省钱”“不超过”“不少于”）建立不等式； 求解集：结合函数图象或代数方法解不等式，结合实际意义确定自变量的整数/非负取值； 定方案：根据解集分析最优方案，或根据函数增减性求最值。 知识点4：一次函数与不等式的图象解法要点 1.图象法解不等式的关键：找到函数图象的交点，交点的横坐标是两个函数值相等时的 值，也是不等式解集的“分界点”； 2.多函数比较：在同一坐标系中画出所有函数图象，根据“上大下小”原则确定不同区间的函数大小关系； 3.不等式组的图象解法：分别求出每个不等式的解集，再找图象的公共区域，对应的取值范围即为不等式组的解集。 【基础必考题型】 【题型1】由一次函数图象求单不等式的解集 1.核心知识点 一元一次不等式与一次函数的数形联系；一次函数图象与轴交点的意义。 2.解题方法技巧 ①找交点：确定直线与轴的交点坐标，是解集的分界点； ②定方向：根据的符号判断函数增减性（时随增大而增大，时相反），或直接观察“图象在轴上/下方的范围”； ③判等号：若不等式含≤，解集包含；若只含，不包含。 【例题1】.（25-26八年级下·湖南长沙·月考）若函数的图象如图所示，那么当时，x的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意求出函数的图象在x轴上方时x的取值范围即可． 【详解】解：由图象可得，当时，函数的图象在x轴上方， ∴当时，x的取值范围是． 【变式题1-1】.（25-26九年级下·江苏南通·月考）当时，直线（为常数，）在直线的上方，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，先求得时一次函数的函数值，再将对应点代入得到临界的值，结合一次函数性质即可求解． 【详解】解：把代入得． 将点代入，得 ， 解得． 当时，（）的值大于一次函数的值， ． 故答案为：． 【变式题1-2】.（25-26九年级下·甘肃兰州·月考）若一次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B．当时， C．随的增大而减小 D．当时， 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：、由图象可知，一次函数的图象经过第一、三、四象限，则有，该选项不符合题意； 、由图象可知，当时，，该选项符合题意； 、由图象可知，随的增大而增大，该选项不符合题意； 、由图象可知，当时，，该选项不符合题意． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，若一次函数的图象与两坐标轴分别交于、两点，点的坐标为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点的坐标求出直线解析式，然后求出点坐标，根据直线与横轴的交点坐标即可得出不等式的解集． 【详解】解：一次函数的图象经过点， ， ∴函数表达式为． 当时，， 解得， ， 由题图得，关于的不等式的解集为． 【点睛】重点掌握待定系数法和数形结合的思想． 【题型2】根据两函数交点求单不等式的解集 1.核心知识点 两个一次函数的大小比较；函数图象交点的分界作用。 2.解题方法技巧 ①找交点：确定两直线、的交点横坐标； ②看上下：在同一坐标系中，时，图象在上方的函数值大；时，图象在下方的函数值大； ③直接作答：根据“（或）”的要求，结合“上大下小”写出的取值范围。 【例题2】.（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将已知点的坐标代入直线求得的值，直线与x轴交于，根据图象即可求解． 【详解】解：直线与直线相交于点， ， 解得：， 当时，，解得，即直线与x轴交于， 观察图象可知：关于的不等式的解集为． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·重庆北碚·月考）一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是______． 【答案】 【分析】根据函数图象即可确定不等式的解集． 【详解】解：由图可知，一次函数和的图象的交点横坐标为， 关于的一元一次不等式的解集是， 故答案为：． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线：与直线：交于点，得到交点的横坐标为1，利用数形结合思想解答即可． 【详解】解：直线：与直线：交于点，且交点的横坐标为1， ∴关于的不等式的解集是； 【变式题2-3】.（重庆市部分学校2022-2023学年下学期八年级定时作业数学试卷）如图，一次函数与的图象相交于点，且，分别交轴于点，，则不等式的解集为______ ． 【答案】 【分析】根据一次函数的性质，的解集为两函数交点左边的图象所对应的自变量的取值范围． 【详解】解：一次函数与的图象相交于点， 则不等式的解集为． 【题型3】利用图象求一元一次不等式组的解集 1.核心知识点 一次函数与不等式组的数形联系；图象公共区域的意义。 2.解题方法技巧 ①分解不等式：将不等式组拆分为单个一元一次不等式； ②分别求解集：利用图象法求出每个不等式的解集，标注在数轴上； ③找公共区：确定所有解集的公共区域，对应的取值范围即为不等式组的解集； ④结合函数：若不等式组由两函数组成，直接找图象同时满足所有大小关系的范围。 【例题3】.（25-26八年级下·山东青岛·月考）如图，观察图象，可以得出不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象，找出两条直线都在x轴上方时对应的x的取值范围即可． 【详解】解：∵直线与x轴交于，直线与x轴交于， ∴不等式组，即的解集是． 【变式题3-1】.（2025八年级上·全国·专题练习）如图，正比例函数与一次函数的图象相交于点，则关于的不等式组的解集为_________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图像，结合正比例函数和一次函数的交点以及不等式的解集，通过观察图形确定满足不等式的范围. 【详解】解：一次函数的图像与轴相交于点 且随的增大而减小， 的解集是； 图像中正比例函数的图像高于一次函数是在直线右边， 的解集是， 关于的不等式组的解集为； 故答案为： ． 【变式题3-2】.（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，直线（k，b为常数，且）经过和两点，则关于x的不等式组的解集为_____．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．写出一次函数图象在x轴的上方且在的左侧所对应的自变量的值即可． 【详解】解：∵直线经过和两点， ∴当时，， ∴关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 【变式题3-3】.（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合的思想是解题的关键． 依据题意，由不等式组，结合图象可得其解集为满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值，进而可以判断得解． 【详解】解：由图象可知满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值， ． 故答案为：． 【题型4】一次函数图象的平移与不等式解集的变化 1.核心知识点 一次函数的平移规律；平移后函数与不等式解集的关联。 2.解题方法技巧 ①记平移规律：“左加右减（），上加下减（常数项）”，如向右平移个单位得； ②写平移后函数：根据平移要求，写出新的一次函数表达式； ③求新解集：利用图象法或代数法，求出平移后函数对应的不等式解集； ④比变化：对比平移前后的解集，分析解集的“左移/右移”规律。 【例题4】.（23-24八年级下·河南新乡·期末）如图，将直线向上平移m个单位后与直线交于点，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数图象的平移，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据点在直线上，可以求得的值，然后根据图象可以得到，在点的左侧函数的图象在直线的图象的上方，即可得到不等式的解集，进而得到不等式的解集． 【详解】解：点在直线上， ， 解得， 点的坐标为， 由图象可得，在点的左侧函数的图象在直线的图象的上方， 不等式的解集为， 不等式的解集为， 故选：B． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）一次函数与的图象交于点，函数的图象沿轴向下平移后得到函数的图象，的图象与的图象交于点．若点的纵坐标为1，则不等式组的解集是_________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数性质、图像交点、函数平移及不等式解集的知识点，解题的关键在于利用给定的交点坐标确定函数表达式．首先利用交点坐标确定函数解析式，再通过平移得到新函数，结合交点坐标分析不等式解集． 【详解】解：与交于点， ，解得， ， 函数是向下平移后的结果， 设向下平移c个单位，则， 将代入，得， 解得，即点B的坐标为, 的图象与的图象交于点, ，整理得, 过点，且, ，即， ， ， 即为递减函数， 当时，，，， ， ， 故在时，， 当时，因递增， 递减， 随x增大而减小，随x增大而增大， 当时，， 的解集为，当时，，而当时，， 的解集为， 综上，的解集为，的解集为，两者的交集为， 原不等式组的解集为． 【变式题4-2】.（24-25八年级上·广西梧州·期末）如图，点的坐标是，将沿轴向右平移个单位至位置，点的对应点恰好落在直线上，当时，则的取值范围是 _____． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质、求一次函数的解析式、解一元一次不等式，根据平移的性质可知点的坐标是，用待定系数法求出一次函数的解析式，根据可得一元一次不等式，解不等式求出的取值范围． 【详解】解：点的坐标是，将沿轴向右平移个单位至位置， 点的坐标是， 点恰好落在直线上， ， 解得：， 一次函数的解析式是， 当时， 可得：， 解得：． 故答案为：． 【变式题4-3】.（2024·陕西西安·模拟预测）如果将正比例函数的图象向下平移2个单位长度后与一次函数的图象交于点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式．根据题中所给条件，可求出和的值，再解不等式即可． 【详解】解：由题知， 点在一次函数的图象上， 所以， 解得． 将点向上平移2个单位后的点在函数图象上， 即点在函数的图象上， 所以， 则不等式可化为， 解得． 故选：D． 【培优高频题型】 【题型5】一次函数与不等式的实际应用——单方案最值 1.核心知识点 一次函数的建模；一次函数的增减性；不等式的实际取值限制。 2.解题方法技巧 ①建函数：根据实际条件列出一次函数表达式，明确自变量的实际取值范围（如非负、整数）； ②判增减：根据的符号判断函数增减性（时随增大而增大，时相反）； ③求最值：结合自变量的取值范围，在端点处求函数的最大值或最小值； ④验实际：确保结果符合实际问题的意义（如数量为整数）。 【例题5】.（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，根据学生需求，要求购进甲型号“文房四宝”的数量不低于乙型号“文房四宝”数量的3倍，请计算购进甲、乙两种型号“文房四宝”各多少套时花费最少． 【答案】(1) 每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元 (2) 购进甲型号90套，乙型号30套时花费最少 【分析】（1）设每套甲型号“文房四宝”的价格为x元，每套乙型号“文房四宝”的价格为y元，根据每套甲型号的“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵40元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号 “文房四宝”共用1100元，得出方程组，解方程即可； （2）设需购乙型号“文房四宝”m套，则购甲型号“文房四宝”套，花费为w元，根据题意得到w表达式和不等式，解不等式，根据w随m的增大而减小，即可得到结论． 【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格为x元，每套乙型号“文房四宝”的价格为y元， 则， 解得， 答：每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元． （2）解：设需购乙型号“文房四宝”m套，则购甲型号“文房四宝”套，花费为w元． 则， ， 解得， 又∵学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套， ∴且为整数． ∵， ∴w随m的增大而减小， ∵m为整数， ∴当时，w最小， 此时， 故当购买甲90套，乙30套时，所需费用最少． 【变式题5-1】.（25-26九年级下·陕西西安·月考）为改善村容村貌，阳光村计划购买一批桂花树和芒果树．已知桂花树的单价比芒果树的单价多元，购买2棵桂花树和3棵芒果树共需元． (1)桂花树和芒果树的单价各是多少元？ (2)若该村一次性购买这两种树共棵，且桂花树不少于棵，求出该村按怎样的方案购买时，费用最低？最低费用为多少元？ 【答案】(1)桂花树的单价为元，芒果树的单价为元； (2)购买桂花树棵，芒果树棵时费用最低，最低费用为元． 【分析】（1）根据两种树的单价差和购买总价，设未知数建立一元一次方程，求解即可得到两种树的单价； （2）先设购买桂花树的数量，结合总棵数表示出芒果树的数量，列出总费用的一次函数表达式，再根据桂花树数量的取值范围，利用一次函数的增减性求出最低费用及对应购买方案． 【详解】（1）解：设芒果树的单价为元，则桂花树的单价为元． 根据题意，得， 解得：， 则桂花树的单价为(元)． 答：桂花树的单价为元，芒果树的单价为元． （2）解：设购买桂花树棵，则购买芒果树棵，总费用为元，其中且为整数． 根据题意，得． ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 此时(棵)， (元)． 答：购买桂花树棵，芒果树棵时费用最低，最低费用为元． 【变式题5-2】.（2026·陕西商洛·一模）商洛市第一产业以种植业为主，其核桃、茶叶等产业规模较大，有“中国核桃之都”和“北方茶叶之乡”的美誉．小李在某电商平台销售商洛特产，今年2月份销售核桃和茶叶共150盒，核桃和茶叶的具体销售信息如下： 特产种类 成本（元/盒） 售价（元/盒） 核桃 80 100 茶叶 90 120 设小李2月份销售核桃盒，销售核桃和茶叶的总利润为元． (1)求与之间的函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） (2)若小李2月份销售核桃和茶叶的总利润为4000元，求他2月份销售核桃的盒数． 【答案】(1) (2)50盒 【分析】（1）根据总利润等于核桃的利润加上茶叶的利润，列出函数关系式即可； （2）求出时的的值即可. 【详解】（1）解：由题意，； （2）解：当时， 解得； 答：他2月份销售核桃50盒. 【变式题5-3】.（25-26八年级上·安徽合肥·期末）水果含有多种维生素、矿物质、纤维等丰富的营养成分，经常吃适量的水果，有益于身体健康．某水果店计划购进两种水果共进行销售，两种水果的成本和售价如下表： 种类 成本（元） 售价（元） A 12 20 B 15 25 设购进种水果，其中，两种水果全部售出所获得的利润为（元），请回答下列问题． (1)求与的函数关系式（不用写自变量的取值范围）； (2)该商店全部售出这两种水果是否能获得7500元的利润？请说明理由． 【答案】(1) (2)该商店不能获得7500元的利润；理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据“总利润水果的利润水果的利润”列式即可； （2）由一次函数的增减性作答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：不能． ， 随的增大而减小， 又， 当时，， 该商店不能获得7500元的利润． 【题型6】一次函数与不等式的实际应用——两方案比较 1.核心知识点 一次函数的建模；两函数的大小比较；方案选择的数形结合。 2.解题方法技巧 ①列双函数：分别列出两个方案的一次函数表达式、； ②求交点：令，解得交点横坐标，此为两方案费用/效果相等的分界点； ③分情况讨论： 当时，根据“上大下小”确定更优方案； 当时，选择另一方案； 当时，两方案效果相同； ④结合实际：根据自变量的实际取值范围，确定最终的方案选择。 【例题6】.（25-26八年级上·山东济南·期末）小明准备购买迎新春贺卡送给同学，他可以在甲、乙两个商店买到同款贺卡，两个商店的标价均为每张5元．其中甲商店的优惠条件是：从第1张开始就按标价的八五折销售；乙商店的优惠条件是：购买10张以上，从第11张开始按标价的七折销售．设小明购买贺卡的数量为张（为正整数），在甲商店购买的总费用为元，在乙商店购买的总费用为元． (1)求与之间的函数关系式，以及当时与之间的函数关系式； (2)若小明购买的贺卡数量大于10张，选择哪一家商店更划算？ 【答案】(1)； (2)当时，甲、乙两家商店的费用相同，选择哪家商店都可以；当时，选择甲商店；当时，选择乙商店 【分析】本题考查了一次函数的应用： （1）根据甲乙商店的优惠条件，分别列出函数关系式； （2）通过比较和的大小，确定在不同购买数量下选择的情况． 【详解】（1）解：甲商店：； 乙商店：时，； （2）解：由，得， 解得； 由，得， 解得； 由，得， 解得． ， 当时，甲、乙两家商店的费用相同，选择哪家商店都可以； 当时，选择甲商店； 当时，选择乙商店． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·云南文山·期末）某家具店老板去家具商场批发一些桌椅，甲、乙商场的桌椅价格相同，桌子每张200元，椅子每把50元，经洽谈，甲商场的优惠方案是：每购买2张桌子送1把椅子；乙商场的优惠方案是：若购买桌子不少于20张，则购买的椅子打八折．老板打算购买30张桌子和把椅子． (1)请用含的式子分别表示只在甲商场和只在乙商场购买的费用； (2)若只选择一家商场购买，请你帮家具店老板选择合适的方案，如何购买比较划算？ 【答案】(1)甲商场：元；乙商场：元 (2)当时，选择甲商场；当时，两个商场费用相同，选择甲或乙都可以；当时，选择乙商场 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，一元一次不等式的实际应用： （1）根据两家商场的购买方案，列出代数式，即可； （2）分三种情况讨论，第一种甲的费用小于乙的费用，第二种甲、乙费用相同，第三种甲的费用大于乙的费用，分别列式解答即可． 【详解】（1）解：甲商场购买的费用为元； 乙商场购买的费用为元； （2）解：当，即时，甲商场购买的费用低； 当，即时，两商场购买的费用一样； 当，即时，乙商场购买的费用低； 综上所述，当时，选择甲商场；当时，两个商场费用相同，选择甲或乙都可以；当时，选择乙商场． 【变式题6-2】.（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）某玩具工厂生产哪吒主题文创用品乾坤圈和混天绫，乾坤圈每个定价20元，混天绫每个定价6元．暑假期间开展促销活动，并向客户提供以下两种优惠方案： 方案一：每买一个乾坤圈就赠送一个混天绫； 方案二：乾坤圈和混天绫都按定价的付款． 某哪吒主题文创用品店计划购进 80 个乾坤圈和x个混天绫（）．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． (1)分别写出关于x的函数解析式． (2)当时． ①请通过计算说明该文创用品店选择以上哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠），请你设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用． 【答案】(1)， (2)①该店选择方案二更省钱②先按方案一购买80个乾坤圈，再按方案二购买120个混天绫，该方案所需费用为2176元 【分析】本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列出函数表达式． （1）根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可； （2）①将分别代入（1）中得出的两个函数表达式，即可解答； ②设选择方案一购买a个乾坤圈，则选择方案二购买个乾坤圈，个混天绫，列出函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， ． （2）解：①当时，，． ∵， ∴该厨具店选择方案二更省钱． ②设选择方案一购买a个乾坤圈，则选择方案二购买个乾坤圈，个混天绫， 则， ∵， ∴y随a的增大而减小． 由题意，得， ∴当时，y取最小值，为． 此时． 答：先按方案一购买80个乾坤圈，再按方案二购买120个混天绫，该方案所需费用为2176元． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·广东佛山·期末）某地区两类专车的打车方式： 星驰专车 安驰专车 里程费 元千米 元千米 时长费 元分钟 元分钟 远途费 元千米（超过千米部分） 无 起步价 无 元 星驰专车：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程千米以内（含千米）不收远途费，超过千米的，超出部分每千米加收元． 安驰专车：车费由里程费、时长费、起步价三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长按行车的实际时间计算；起步价与行车距离无关． 解决问题：（假设行车过程没有停车等时，且平均车速为千米分钟） (1)小明在该地区出差，乘车距离为千米，如果小明使用星驰专车，需要支付的打车费用为_____元； (2)小强在该地区从甲地乘坐安驰专车到乙地，一共花费元，求甲乙两地距离是多少千米？ (3)两类专车为了竞争客户，分别推出了优惠方式，星驰专车对于乘车路程在千米以上（含千米）的客户每次收费立减元；安驰打车车费折优惠．对采用哪一种打车方式更合算提出你的建议． 【答案】(1)； (2)甲乙两地距离是千米； (3)当或时，两者都可选；当或时，选安驰专车；当或时，选星驰专车． 【分析】本题主要考查了有理数运算的应用，列代数式，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据星驰专车的车费计算方法即可求解； （）设甲乙两地距离为千米，根据题意列出一元一次方程即可求解； （）设行驶千米，打车费用为元，根据题意分别表示出两种乘车方式的费用，比较即可求解． 【详解】（1）解：使用星驰专车，乘车距离为千米，需要支付的打车费用为： （元）， 故答案为：； （2）解：设甲乙两地距离是千米，则： ， 整理得：， ， 答：甲乙两地距离是千米； （3）解：设行驶千米，打车费用为元， 当时，星驰专车车费； 当时，星驰专车车费， 安驰专车车费； 时，，解得：； 时，，解得：； 时，，解得：； 时，，解得：； 时，，解得：； 时，，解得：； 综上所述，当或时，两者都可选；当或时，选安驰专车；当或时，选星驰专车． 易错点 1.图象法解不等式时，混淆“上大下小”的原则，或忽略不等号是否含等号，漏取/多取交点的横坐标； 2.解一元一次不等式时，系数化为1步骤中，忽略系数为负数时不等号方向的改变； 3.实际应用中，忽略自变量的实际取值限制（如数量为非负整数、时间为正数），直接取不等式的所有解集； 4.一次函数平移时，记错平移规律（如“左减右加”），导致平移后函数表达式错误，进而不等式解集出错； 5.多方案比较时，未求两函数的交点，直接根据函数增减性判断方案，忽略分界点的作用； 6.绝对值一次函数问题中，未进行零点分段，直接去绝对值，导致不等式求解不全面； 7.数形结合时，未准确画出函数图象，尤其是交点位置、函数增减性画错，导致解集判断错误。 重点 1.理解一元一次不等式与一次函数的数形联系，能从“数”和“形”两个角度解一元一次不等式； 2.掌握一次函数、一元一次方程与一元一次不等式的关联，能利用图象解决三者的综合问题； 3.学会将实际问题转化为一次函数模型，能根据不等关系建立不等式，求解并确定最优方案； 4.掌握图象法解不等式的基本步骤，能根据一次函数图象求单不等式、不等式组的解集； 5.熟练运用一次函数的增减性，结合自变量的实际取值范围，求解实际问题中的最值。 难点 1.数形结合思想的灵活应用，能快速将不等式问题转化为函数图象问题，反之亦然； 2.一次函数与不等式的实际应用建模，能从复杂的实际背景中提取数量关系，列出准确的函数表达式和不等式； 3.绝对值一次函数与不等式的综合求解，能熟练运用零点分段法，将分段函数转化为普通一次函数求解； 4.一次函数与不等式的阴影区域问题，能判断二元一次不等式对应的图象区域，找到公共阴影区域并求最值； 5.多方案、多变量的综合最值问题，能结合不等式组的取值限制和一次函数的增减性，全面分析并求解最优解； 【对应练习题】 一、单选题 1．一次函数与的图象如图，则以下结论：①当时，；②当时，；③当时，中，正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据一次函数与不等式的关系分别判断各选项即可． 【详解】选项①： 从图象可得，一次函数与轴的交点在的左侧，当小于该交点横坐标时，，因此不是所有都满足，结论①错误； 选项②： 一次函数与轴的交点在原点右侧（横坐标大于0），随增大而减小，因此对所有小于交点横坐标，都有， 因为，0小于交点横坐标， 所以时，，结论②正确； 选项③： 两个函数的交点横坐标为，当时，的图象在的图象上方， 因此，结论③正确； 综上，正确的结论有2个． 2．将正比例函数的图象向上平移个单位长度得到一次函数的图象，下列结论中错误的是（    ）． A． B．一次函数的图象经过点 C．对于一次函数，当时， D．若点，均在一次函数的图象上，则 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象的平移问题，一次函数的性质，掌握好平移规律是关键． 根据平移规律确定的值得到解析式，再逐一验证各选项找出错误结论即可． 【详解】解：正比例函数的图象向上平移个单位长度，根据“上加下减”的平移规律， ∴得到的一次函数解析式为，即， 对于选项A：由上述推导得，此选项正确，不符合题意； 对于选项B：将代入，得， ∴图象经过点，此选项正确，不符合题意； 对于选项C：∵在中，， ∴随的增大而减小； 又∵当时，， ∴当时，，此选项正确，不符合题意； 对于选项D：∵， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴，此选项错误，符合题意． 故选：D． 3．如图，一次函数的图象经过点，若，则x的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数和一元一次不等式的关系，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据一次函数的图象进行求不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，当时，， 故选：A． 二、填空题 4．如图所示，直线与直线交点的横坐标是4，那么不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】先将不等式整理为，再根据直线在直线上方部分确定自变量取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴． 观察图像可知当时，， ∴当时， ， 所以不等式的解集是， 即不等式的解集是． 5．已知一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为_________． 【答案】 【分析】根据一次函数与坐标轴的交点，数形结合求出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，直线与y轴的交点的纵坐标为1， 当时，函数值， ∴不等式的解集为． 6．在平面直角坐标系中，对于的每一个值，一次函数的值都小于函数的值，那么的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质． 根据题意，一次函数的值总是小于函数的值，即不等式对于所有恒成立，整理后分析系数使得不等式恒成立． 【详解】解：∵对于的每一个值，一次函数的值都小于函数的值， 由题意，对于的每一个值，都有． 整理得． 由于该不等式对于所有恒成立，因此的系数必须为0， 即， 解得． 故答案为：． 三、解答题 7．在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2)且． 【分析】（1）根据平移得到，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据一次函数图象的性质求解即可． 【详解】（1）解：函数的图象是由函数的图象平移得到， ∴， ∵函数经过点， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为； （2）解：函数中，当时，，当时，， 函数的图象如下， ∵当时，的图象平行于， 又∵当时，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值， ∴且 ∴在成立 ∴ 解得：， ∴，且． 8．如图，直线与轴，轴分别交于两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点． (1)结合图象直接写出关于的方程组的解为__________； (2)结合图形直接写出的解集为_________； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据函数图象解答即可求解； （）根据函数图象解答即可求解； （）求出点坐标，得到的长，再根据三角形的面积公式计算即可求解； 本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的交点问题，一次函数与几何图形，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】（1）解：由函数图象可知，直线与直线相交于点， ∴关于的方程组的解为， 故答案为：； （2）解：由函数图象可知，当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为， 故答案为：； （3）解：把代入，得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 9．某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内含10人不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； (2)某单位共38人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【答案】(1)；； (2)选方案二更优惠，理由见解析． 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式： （1）根据两种优惠方案，列出关系式即可； （2）求出时的值，比较大小即可． 【详解】（1）解：由题意，； ； ；； （2）选方案二更优惠，理由如下： 当时，；； ， 选方案二更优惠． 10．【活动回顾】本册教材页中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式：的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． (1)【解决问题】如图，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________． (2)如图，观察图象，两条直线的交点坐标为__________，方程的解是__________，不等式的解集是__________． (3)【拓展延伸】如图，直线和相交于点，分别与轴相交于点和点，请你结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是_________． 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】（）根据函数图象解答即可求解； （）根据函数图象解答即可求解； （）求出点的坐标，再结合函数图象解答即可求解； 本题考查了一次函数与不等式，一次函数的交点问题，一次函数与二元一次方程组，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】（1）解：由函数图象可知，不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：由函数图象可知，两条直线的交点坐标为，方程的解是，不等式的解集是， 故答案为：，，； （3）解：由，解得， ∴， 把代入，得， ∴， 由函数图象可知，当时，；当时，， ∴不等式组的解集是． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 一元一次不等式与一次函数 知识点1：一元一次不等式与一次函数的内在联系 1.从数的角度：任何一元一次不等式都可转化为（或、、，）的形式，解不等式可看作当一次函数的函数值满足相应大小关系时，求自变量的取值范围。 2.从形的角度：一元一次不等式的解集对应一次函数图象的特定区域： 的解集：直线在轴上方的部分对应的取值范围； 的解集：直线在轴下方的部分对应的取值范围； /的解集：在上述基础上，包含直线与轴交点的横坐标。 3.两个一次函数的大小比较：对于、，的解集为直线在直线上方的部分对应的取值范围，反之亦然。 知识点2：一次函数、一元一次方程与一元一次不等式的关联 三者的核心关联围绕一次函数（）展开： 数学模型 核心问题 与一次函数的联系 一元一次方程 求的解 函数图象与轴交点的横坐标 一元一次不等式 求/的解集 函数图象在轴上/下方的取值 一次函数 求函数值的取值范围 由自变量的范围，确定图象对应的的区域 知识点3：利用一次函数与不等式解决实际问题 1.核心思想：数形结合+数学建模，将实际问题中的数量关系转化为一次函数表达式，再根据不等关系列出不等式求解。 2.常见类型：方案选择（购物、租车、采购）、最值求解（费用、利润、路程）、数量比较（溶解度、飞行高度、速度）。 3.解题基本步骤： 设变量：确定自变量（如购买数量、时间）和因变量（如费用、利润）； 列函数：根据实际条件列出各方案的一次函数表达式； 建不等式：根据题中不等关系（如“更省钱”“不超过”“不少于”）建立不等式； 求解集：结合函数图象或代数方法解不等式，结合实际意义确定自变量的整数/非负取值； 定方案：根据解集分析最优方案，或根据函数增减性求最值。 知识点4：一次函数与不等式的图象解法要点 1.图象法解不等式的关键：找到函数图象的交点，交点的横坐标是两个函数值相等时的 值，也是不等式解集的“分界点”； 2.多函数比较：在同一坐标系中画出所有函数图象，根据“上大下小”原则确定不同区间的函数大小关系； 3.不等式组的图象解法：分别求出每个不等式的解集，再找图象的公共区域，对应的取值范围即为不等式组的解集。 【基础必考题型】 【题型1】由一次函数图象求单不等式的解集 1.核心知识点 一元一次不等式与一次函数的数形联系；一次函数图象与轴交点的意义。 2.解题方法技巧 ①找交点：确定直线与轴的交点坐标，是解集的分界点； ②定方向：根据的符号判断函数增减性（时随增大而增大，时相反），或直接观察“图象在轴上/下方的范围”； ③判等号：若不等式含≤，解集包含；若只含，不包含。 【例题1】.（25-26八年级下·湖南长沙·月考）若函数的图象如图所示，那么当时，x的取值范围是______． 【变式题1-1】.（25-26九年级下·江苏南通·月考）当时，直线（为常数，）在直线的上方，则的取值范围为______． 【变式题1-2】.（25-26九年级下·甘肃兰州·月考）若一次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B．当时， C．随的增大而减小 D．当时， 【变式题1-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，若一次函数的图象与两坐标轴分别交于、两点，点的坐标为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【题型2】根据两函数交点求单不等式的解集 1.核心知识点 两个一次函数的大小比较；函数图象交点的分界作用。 2.解题方法技巧 ①找交点：确定两直线、的交点横坐标； ②看上下：在同一坐标系中，时，图象在上方的函数值大；时，图象在下方的函数值大； ③直接作答：根据“（或）”的要求，结合“上大下小”写出的取值范围。 【例题2】.（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·重庆北碚·月考）一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是______． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（重庆市部分学校2022-2023学年下学期八年级定时作业数学试卷）如图，一次函数与的图象相交于点，且，分别交轴于点，，则不等式的解集为______ ． 【题型3】利用图象求一元一次不等式组的解集 1.核心知识点 一次函数与不等式组的数形联系；图象公共区域的意义。 2.解题方法技巧 ①分解不等式：将不等式组拆分为单个一元一次不等式； ②分别求解集：利用图象法求出每个不等式的解集，标注在数轴上； ③找公共区：确定所有解集的公共区域，对应的取值范围即为不等式组的解集； ④结合函数：若不等式组由两函数组成，直接找图象同时满足所有大小关系的范围。 【例题3】.（25-26八年级下·山东青岛·月考）如图，观察图象，可以得出不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（2025八年级上·全国·专题练习）如图，正比例函数与一次函数的图象相交于点，则关于的不等式组的解集为_________． 【变式题3-2】.（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，直线（k，b为常数，且）经过和两点，则关于x的不等式组的解集为_____．    【变式题3-3】.（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是___________． 【题型4】一次函数图象的平移与不等式解集的变化 1.核心知识点 一次函数的平移规律；平移后函数与不等式解集的关联。 2.解题方法技巧 ①记平移规律：“左加右减（），上加下减（常数项）”，如向右平移个单位得； ②写平移后函数：根据平移要求，写出新的一次函数表达式； ③求新解集：利用图象法或代数法，求出平移后函数对应的不等式解集； ④比变化：对比平移前后的解集，分析解集的“左移/右移”规律。 【例题4】.（23-24八年级下·河南新乡·期末）如图，将直线向上平移m个单位后与直线交于点，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）一次函数与的图象交于点，函数的图象沿轴向下平移后得到函数的图象，的图象与的图象交于点．若点的纵坐标为1，则不等式组的解集是_________． 【变式题4-2】.（24-25八年级上·广西梧州·期末）如图，点的坐标是，将沿轴向右平移个单位至位置，点的对应点恰好落在直线上，当时，则的取值范围是 _____． 【变式题4-3】.（2024·陕西西安·模拟预测）如果将正比例函数的图象向下平移2个单位长度后与一次函数的图象交于点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【培优高频题型】 【题型5】一次函数与不等式的实际应用——单方案最值 1.核心知识点 一次函数的建模；一次函数的增减性；不等式的实际取值限制。 2.解题方法技巧 ①建函数：根据实际条件列出一次函数表达式，明确自变量的实际取值范围（如非负、整数）； ②判增减：根据的符号判断函数增减性（时随增大而增大，时相反）； ③求最值：结合自变量的取值范围，在端点处求函数的最大值或最小值； ④验实际：确保结果符合实际问题的意义（如数量为整数）。 【例题5】.（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，根据学生需求，要求购进甲型号“文房四宝”的数量不低于乙型号“文房四宝”数量的3倍，请计算购进甲、乙两种型号“文房四宝”各多少套时花费最少． 【变式题5-1】.（25-26九年级下·陕西西安·月考）为改善村容村貌，阳光村计划购买一批桂花树和芒果树．已知桂花树的单价比芒果树的单价多元，购买2棵桂花树和3棵芒果树共需元． (1)桂花树和芒果树的单价各是多少元？ (2)若该村一次性购买这两种树共棵，且桂花树不少于棵，求出该村按怎样的方案购买时，费用最低？最低费用为多少元？ 【变式题5-2】.（2026·陕西商洛·一模）商洛市第一产业以种植业为主，其核桃、茶叶等产业规模较大，有“中国核桃之都”和“北方茶叶之乡”的美誉．小李在某电商平台销售商洛特产，今年2月份销售核桃和茶叶共150盒，核桃和茶叶的具体销售信息如下： 特产种类 成本（元/盒） 售价（元/盒） 核桃 80 100 茶叶 90 120 设小李2月份销售核桃盒，销售核桃和茶叶的总利润为元． (1)求与之间的函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） (2)若小李2月份销售核桃和茶叶的总利润为4000元，求他2月份销售核桃的盒数． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·安徽合肥·期末）水果含有多种维生素、矿物质、纤维等丰富的营养成分，经常吃适量的水果，有益于身体健康．某水果店计划购进两种水果共进行销售，两种水果的成本和售价如下表： 种类 成本（元） 售价（元） A 12 20 B 15 25 设购进种水果，其中，两种水果全部售出所获得的利润为（元），请回答下列问题． (1)求与的函数关系式（不用写自变量的取值范围）； (2)该商店全部售出这两种水果是否能获得7500元的利润？请说明理由． 该商店不能获得7500元的利润． 【题型6】一次函数与不等式的实际应用——两方案比较 1.核心知识点 一次函数的建模；两函数的大小比较；方案选择的数形结合。 2.解题方法技巧 ①列双函数：分别列出两个方案的一次函数表达式、； ②求交点：令，解得交点横坐标，此为两方案费用/效果相等的分界点； ③分情况讨论： 当时，根据“上大下小”确定更优方案； 当时，选择另一方案； 当时，两方案效果相同； ④结合实际：根据自变量的实际取值范围，确定最终的方案选择。 【例题6】.（25-26八年级上·山东济南·期末）小明准备购买迎新春贺卡送给同学，他可以在甲、乙两个商店买到同款贺卡，两个商店的标价均为每张5元．其中甲商店的优惠条件是：从第1张开始就按标价的八五折销售；乙商店的优惠条件是：购买10张以上，从第11张开始按标价的七折销售．设小明购买贺卡的数量为张（为正整数），在甲商店购买的总费用为元，在乙商店购买的总费用为元． (1)求与之间的函数关系式，以及当时与之间的函数关系式； (2)若小明购买的贺卡数量大于10张，选择哪一家商店更划算？ 【变式题6-1】.（25-26七年级上·云南文山·期末）某家具店老板去家具商场批发一些桌椅，甲、乙商场的桌椅价格相同，桌子每张200元，椅子每把50元，经洽谈，甲商场的优惠方案是：每购买2张桌子送1把椅子；乙商场的优惠方案是：若购买桌子不少于20张，则购买的椅子打八折．老板打算购买30张桌子和把椅子． (1)请用含的式子分别表示只在甲商场和只在乙商场购买的费用； (2)若只选择一家商场购买，请你帮家具店老板选择合适的方案，如何购买比较划算？ 【变式题6-2】.（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）某玩具工厂生产哪吒主题文创用品乾坤圈和混天绫，乾坤圈每个定价20元，混天绫每个定价6元．暑假期间开展促销活动，并向客户提供以下两种优惠方案： 方案一：每买一个乾坤圈就赠送一个混天绫； 方案二：乾坤圈和混天绫都按定价的付款． 某哪吒主题文创用品店计划购进 80 个乾坤圈和x个混天绫（）．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． (1)分别写出关于x的函数解析式． (2)当时． ①请通过计算说明该文创用品店选择以上哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠），请你设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·广东佛山·期末）某地区两类专车的打车方式： 星驰专车 安驰专车 里程费 元千米 元千米 时长费 元分钟 元分钟 远途费 元千米（超过千米部分） 无 起步价 无 元 星驰专车：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程千米以内（含千米）不收远途费，超过千米的，超出部分每千米加收元． 安驰专车：车费由里程费、时长费、起步价三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长按行车的实际时间计算；起步价与行车距离无关． 解决问题：（假设行车过程没有停车等时，且平均车速为千米分钟） (1)小明在该地区出差，乘车距离为千米，如果小明使用星驰专车，需要支付的打车费用为_____元； (2)小强在该地区从甲地乘坐安驰专车到乙地，一共花费元，求甲乙两地距离是多少千米？ (3)两类专车为了竞争客户，分别推出了优惠方式，星驰专车对于乘车路程在千米以上（含千米）的客户每次收费立减元；安驰打车车费折优惠．对采用哪一种打车方式更合算提出你的建议． 易错点 1.图象法解不等式时，混淆“上大下小”的原则，或忽略不等号是否含等号，漏取/多取交点的横坐标； 2.解一元一次不等式时，系数化为1步骤中，忽略系数为负数时不等号方向的改变； 3.实际应用中，忽略自变量的实际取值限制（如数量为非负整数、时间为正数），直接取不等式的所有解集； 4.一次函数平移时，记错平移规律（如“左减右加”），导致平移后函数表达式错误，进而不等式解集出错； 5.多方案比较时，未求两函数的交点，直接根据函数增减性判断方案，忽略分界点的作用； 6.绝对值一次函数问题中，未进行零点分段，直接去绝对值，导致不等式求解不全面； 7.数形结合时，未准确画出函数图象，尤其是交点位置、函数增减性画错，导致解集判断错误。 重点 1.理解一元一次不等式与一次函数的数形联系，能从“数”和“形”两个角度解一元一次不等式； 2.掌握一次函数、一元一次方程与一元一次不等式的关联，能利用图象解决三者的综合问题； 3.学会将实际问题转化为一次函数模型，能根据不等关系建立不等式，求解并确定最优方案； 4.掌握图象法解不等式的基本步骤，能根据一次函数图象求单不等式、不等式组的解集； 5.熟练运用一次函数的增减性，结合自变量的实际取值范围，求解实际问题中的最值。 难点 1.数形结合思想的灵活应用，能快速将不等式问题转化为函数图象问题，反之亦然； 2.一次函数与不等式的实际应用建模，能从复杂的实际背景中提取数量关系，列出准确的函数表达式和不等式； 3.绝对值一次函数与不等式的综合求解，能熟练运用零点分段法，将分段函数转化为普通一次函数求解； 4.一次函数与不等式的阴影区域问题，能判断二元一次不等式对应的图象区域，找到公共阴影区域并求最值； 5.多方案、多变量的综合最值问题，能结合不等式组的取值限制和一次函数的增减性，全面分析并求解最优解； 【对应练习题】 一、单选题 1．一次函数与的图象如图，则以下结论：①当时，；②当时，；③当时，中，正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．将正比例函数的图象向上平移个单位长度得到一次函数的图象，下列结论中错误的是（    ）． A． B．一次函数的图象经过点 C．对于一次函数，当时， D．若点，均在一次函数的图象上，则 3．如图，一次函数的图象经过点，若，则x的范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图所示，直线与直线交点的横坐标是4，那么不等式的解集是_____． 5．已知一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为_________． 6．在平面直角坐标系中，对于的每一个值，一次函数的值都小于函数的值，那么的值是___________． 三、解答题 7．在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出m的取值范围． 8．如图，直线与轴，轴分别交于两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点． (1)结合图象直接写出关于的方程组的解为__________； (2)结合图形直接写出的解集为_________； (3)求的面积． 9．某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内含10人不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； (2)某单位共38人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 10．【活动回顾】本册教材页中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式：的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． (1)【解决问题】如图，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________． (2)如图，观察图象，两条直线的交点坐标为__________，方程的解是__________，不等式的解集是__________． (3)【拓展延伸】如图，直线和相交于点，分别与轴相交于点和点，请你结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是_________． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $