题号猜押02 湖北省卷中考数学第15题（填空题）（湖北专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押02 湖北省卷中考数学第15题（填空题） 考点1 函数动点综合 1．（2026·湖北黄冈·二模）如图1，在菱形中，，E是边的中点，P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中是图象上的最低点，则（1）菱形的边长为________，（2）的值为________．      2．（25-26九年级下·湖北鄂州·期中）如图a，点P是的边上靠近点D的三等分点，平分交于点O，动点Q从点D出发，沿着方向匀速运动到点O后停止，分别连接、．若，点Q运动的路程为x，间的距离为，的和为，在Q点的运动过程中，图b是与x的函数关系的大致图象，图c是与x的函数关系的大致图象．其中图b中图象最低点M的纵坐标为． （1）_____度． （2）图c中图象最低点N的纵坐标n的值是_____． 3．（2026·湖北黄石·一模）如图，点F是菱形对角线上一动点，点E是线段上一点，且，连接、，设的长为x，，点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图象，则_______，图象最低点的横坐标是_______． 4．（2026·湖北随州·一模）如图1，在矩形中，，点E在上，且，点M从点A出发，沿的路径匀速运动到点B后停止，作于点N，设点M运动的路径为x，的面积为y，若y与x之间的函数关系的图象如图2所示，则（1）________，（2）________． 5．（2026·湖北十堰·一模）如图1，在中，，点D在上，．动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．则①当时，________；②________． 6．（2026·湖北·模拟预测）如图1，在菱形中，，E是边的中点，P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则菱形的边长为__________的值为__________． 7．（2026·湖北·模拟预测）如图1，点P从的顶点B出发，沿方向匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随运动时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则的长是_____，的周长是____． 8．（2026·湖北·一模）如图正方形，点为边上一动点，连接，作于点，连接，以长为横坐标，以长为纵坐标，绘制图象如图所示，则（1）______；（2）的最小值为______． 考点2 几何综合 9．（2026·湖北十堰·模拟预测）如图，中，，，，直线，点A为上一点，则的面积为______；的最小值是______． 10．（2026·湖北襄阳·一模）如图，点为等边三角形外一点，连接、且，过点作分别交、于点、，若，，则的长为_______；的长为 _________． 11．（2026·湖北鄂州·模拟预测）如图，在中，点为斜边的中点，，，，，则______，______． 12．（2026·湖北黄石·一模）在边长为1的正方形中，，连接，将沿折叠得到，交于点，延长交于点，则点到的距离是______． 13．（2026·湖北宜昌·模拟预测）如图，在中，，点是边的中点，连接，将沿翻折至，交于点，连接．若，则（1）的长为____；（2）的面积为___． 14．（2026·湖北襄阳·一模）如图，在中，，点、分别为线段、上一点，，将沿折叠，使得点落在点F处，且．若，则的长为___________． 15．（2026·湖北襄阳·一模）如图，在正方形中，点，分别为边，上的点，将，分别沿，折叠，点，恰好落在上的点处，再将沿折叠，点落在上的点处，连接与交于点． （1）______度； （2）若，则的长为______． 16．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，以为直径的半圆上，，点是半圆弧上的任意点，点是的中点，连接交于点，平分交于点，则_____度；当时，的长为_____． 17．（2026·湖北黄石·一模）如图，等腰与等腰，，，，，垂足为H，直线交于点O．将绕点C顺时针旋转： （1）______； （2）的最大值是______． NMFOOAFNMF 18．（2026·湖北咸宁·模拟预测）已知矩形，，，将它绕着点B按顺时针方向旋转度得到矩形，此时，这两边所在的直线分别与边所在的直线相交于点E，F，当时，则（1）_______；（2）______． 19．（2026·湖北荆州·模拟预测）如图，在矩形中，，，经过点，与相切于点，交于点，交的延长线于点，，则的长是________． 20．（2026·湖北随州·一模）如图，正方形中，，点E是对角线上一点，连接，过点E作，交于点F，连接，交于点G，将沿翻折，得到，连接，交于点N，若点F是边的中点，则①的度数为______；②线段的长是______． 1．（24-25九年级下·山东济宁·月考）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论：①；②当时，；③当时，；④动点沿匀速运动时，两个时刻分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是______． 2．（2026·山东日照·模拟预测）如图，在中，，，，为角平分线上一动点，为边上一动点，的最小值为_______． 3．（2026·陕西商洛·一模）如图，在中，，点是的中点，点是边上的动点，点是所在直线上的动点，连接、，若的最小值是10，则的面积是___________． 4．（2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．P为第三象限内抛物线上一动点，作轴于点D，交于点E，点G为y轴上一动点，过点E作，设点P的横坐标为m，则的最大值为______． 5．（2026·江苏泰州·一模）如图，在中，，为边上一点．动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为（单位：秒），的值为．在动点运动的过程中，与的函数图像如图所示．则图像最低点的纵坐标_____． 6．（2026·广东汕头·一模）如图1，在中，，为边上一点．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为（单位：秒），为．在动点运动的过程中，与的函数图象如图2所示． （1）线段的长为________； （2）在整个运动过程中，的最大值为________． 7．（2025·辽宁丹东·二模）如图1，在中，，D为边上一点，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着折线—匀速运动，到达点C后停止，连接，设点E的运动时间为x（单位：秒），为y，在动点E运动过程中，y与x的函数图象如图2所示，在整个运动过程中，y的最大值为_________． 8．（2025·广东广州·一模）如图1，在中，，为边上一点．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为（单位：秒），为．在动点运动的过程中，与的函数图象如图2所示． （1）线段的长为________； （2）在整个运动过程中，的最大值为________． 9．（2026·四川宜宾·二模）如图，在中，，，，P是直线上方的一个动点，且，则的最小值为_____． 10．（2026·贵州遵义·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是直线上的一个动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，则线段的最小值是_____． 11．（2026·河南安阳·一模）如图，中，，，，点是边上一动点，将沿折叠，点落在处，当是等腰三角形时，点到的距离为__________． 12．（2026·陕西·模拟预测）如图，在四边形中，，，点、在边上，，，点是射线上的动点，连接、，当最大时，的长为_______． 13．（2026·江苏连云港·一模）如图，已知以为直径的半圆，为弧上一点，，为弧上任意一点，交于，连接，若，则的最小值为___________． 14．（2026·陕西西安·三模）如图，在中，，，，动点在内，且使得的面积为3，点为的中点，则的最小值为________． 15．（2026·河南郑州·一模）如图，在矩形中，，，点为对角线上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在射线上，当的垂直平分线经过矩形一边的中点时，的长为_______． 16．（2026·上海青浦·二模）已知中，，．将沿过点的直线翻折，使点落在斜边上，折痕与边的交点记为．如果，那么折痕的长为__________． 17．（2026·安徽亳州·二模）如图，在正方形中，对角线交于点，将绕点逆时针旋转到，连接． （）若，则点到的距离为______； （）______． 18．（2026·甘肃白银·二模）如图，在矩形中，，，点P在的延长线上，点Q在直线上，连接，，若，则取最大值时，______． 19．（2026·甘肃白银·二模）已知：如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿运动，当再运动到点A时静止．设点P的运动时间为t秒，当t的值为______秒时，和相似． 20．（2026·甘肃白银·二模）如图，点是等边三角形边上一动点（与点、点不重合），连接，把绕点逆时针方向旋转到，连接交于点，，点是中点，连接，则线段的长度最小时，的长为______． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押02 湖北省卷中考数学第15题（填空题） 考点1 函数动点综合 1．（2026·湖北黄冈·二模）如图1，在菱形中，，E是边的中点，P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中是图象上的最低点，则（1）菱形的边长为________，（2）的值为________．      【答案】 4 16 【分析】连接，，设交于点Q，由A、C关于对称，推出，推出，推出的最小值为的长，观察图象可知，当点P与B重合时，，推出，分别求出，的长，即可解决问题． 【详解】解：连接，，设交于点Q， 在菱形中，，，且， ， 为等边三角形， ∴， 点E是边的中点， ∴， ∵A、C关于对称， ， ， ∴当A、P、E共线时，，的值最小． 观察图象可知，当点P与B重合时，， ， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的边长为4； ∴在中，， 的最小值为， 点H的纵坐标， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点H的横坐标， ． 2．（25-26九年级下·湖北鄂州·期中）如图a，点P是的边上靠近点D的三等分点，平分交于点O，动点Q从点D出发，沿着方向匀速运动到点O后停止，分别连接、．若，点Q运动的路程为x，间的距离为，的和为，在Q点的运动过程中，图b是与x的函数关系的大致图象，图c是与x的函数关系的大致图象．其中图b中图象最低点M的纵坐标为． （1）_____度． （2）图c中图象最低点N的纵坐标n的值是_____． 【答案】 120 5 【分析】(1)先根据点P的位置求出的长度．因为已知长度和点P到的距离，所以可利用三角函数的定义求出的度数，又因为是角平分线，所以． (2)作关于的对称点，，根据对称性质，可转化为与对称点相关的线段，所以的最小值就是点E到对称点的距离，可利用三角函数求相关边长，并可求出最小值则可获解． 【详解】解：（1）已知是的三等分点，， ∴． 如图，过点P作， 在上运动，的最小值是点到直线的垂线段长度，即为， ． 设， ∵平分， ∴． ∴ ，代入得， ∴，故． （2）∵ 是的角平分线，作关于的对称点， 则在上，且，， ∴． ∵， ∴最小值即为的长度． 在中，，，， 过作延长线的垂线，垂足为，， ∴，， ， ∴ ， ∴，即． 3．（2026·湖北黄石·一模）如图，点F是菱形对角线上一动点，点E是线段上一点，且，连接、，设的长为x，，点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图象，则_______，图象最低点的横坐标是_______． 【答案】 5 1 【分析】由图象可知：当时，，此时，即点B、F重合，则有，然后可求，取点E关于成轴对称的点G，连接，与交于点，如图，则有，，所以，根据三角形三边不等关系可得，所以当点F与点重合时，此时y取最小值，进而通过得到进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：当时，，此时，即点B、F重合，， ∵， ∴， ∴， ∴； 取点E关于成轴对称的点G，连接，与交于点，如图，则有，，所以，根据三角形三边不等关系可得，所以当点F与点重合时，此时y取最小值， 由题意得， 由图象得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴图象最低点的横坐标是1． 4．（2026·湖北随州·一模）如图1，在矩形中，，点E在上，且，点M从点A出发，沿的路径匀速运动到点B后停止，作于点N，设点M运动的路径为x，的面积为y，若y与x之间的函数关系的图象如图2所示，则（1）________，（2）________． 【答案】 6 【分析】首先由矩形的性质得到，然后由图象得到，表示出，得到，表示出，即可求出；设，，证明出，得到，代入求出，然后代入求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， 由图2得，当，即点M在A点时，此时点N和点D重合， ∴此时的面积 ∴，即 ∴ 当点M运动到点B时，点M停止运动，此时点N和点C重合， ∴此时的面积 ∴，即 ∴ ∴； 设， ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴，即 ， ， ∴将，代入得，， ， ． 5．（2026·湖北十堰·一模）如图1，在中，，点D在上，．动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．则①当时，________；②________． 【答案】 3 11 【分析】先由函数图象可得当点运动到点时，，由此求出，当时，点的运动路程为1，即此时点在上，求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求出，当点在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，可设关于的函数解析式为，利用待定系数法求出，当时，． 【详解】解：由函数图象可得当点运动到点时，，， ∵， ， ∴, ∴， 当时，，此时点在上， ∴， ∴； 当点在上时， 由图可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴设， 把代入，得, 解得，， ∴， 当时， ， 即． 6．（2026·湖北·模拟预测）如图1，在菱形中，，E是边的中点，P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则菱形的边长为__________的值为__________． 【答案】 4 16 【分析】连接，，，设交于点Q，由A、C关于对称，推出，推出，推出的最小值为的长，观察图象可知，当点P与B重合时，，推出，分别求出，的长，即可解决问题． 【详解】解：连接，，，设交于点Q， 在菱形中，，，且， ， 为等边三角形， ∴， 点E是边的中点， ， ∵A、C关于对称， ， ， ∴当A、P、E共线时，，的值最小． 观察图象可知，当点P与B重合时，， ， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的边长为4； ∴在中，， 的最小值为， 点H的纵坐标， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点H的横坐标， ． 7．（2026·湖北·模拟预测）如图1，点P从的顶点B出发，沿方向匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随运动时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则的长是_____，的周长是____． 【答案】 5 16 【分析】本题考查动点问题的函数图象．数形结合根据各个关键点的纵坐标得到相应线段的长度是解决本题的关键．根据图象可知点P在上运动时，此时不断增大，而从C向A运动时，先变小后变大，从而可求出和的长度，由此得到答案． 【详解】解：根据图象可知点P在上运动时，此时线段不断增大，由图象可知：点P从B向C运动时， 的最大值为5，即，由于M是曲线部分的最低点， ∴此时最小，即时，， ∴由勾股定理，得，由于图象的曲线部分是轴对称图形，曲线右端点纵坐标为5， ∴， ∴此时 (三线合一)， ∴， ∴的周长为， 故答案为：5；16． 8．（2026·湖北·一模）如图正方形，点为边上一动点，连接，作于点，连接，以长为横坐标，以长为纵坐标，绘制图象如图所示，则（1）______；（2）的最小值为______． 【答案】 / 【分析】由图象可知，当时，，容易判断此时是等腰直角三角形，由勾股定理可得．取的中点，连接、，根据直角三角形的性质和勾股定理可得，，，结合，因此当、、三点共线时，取得最小值． 【详解】解：由图可知，当时，， 如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 如图，取的中点，连接、， 在中，点为斜边的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值． 考点2 几何综合 9．（2026·湖北十堰·模拟预测）如图，中，，，，直线，点A为上一点，则的面积为______；的最小值是______． 【答案】 / 【分析】如图，过点A作于点E，于点H，作于点B，于点C，与交于点F，取的中点G，连接，，可知，得到，根据等角对等边及勾股定理得到，证明四边形是平行四边形，得到，可知的面积；证明，得到，设，则，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，根据勾股定理得到，根据三角形三边关系及“分子相同，分母越大分数越小”作答即可． 【详解】解：如图，过点A作于点E，于点H，作于点B，于点C，与交于点F，取的中点G，连接，， 可知， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的面积为； ∵， ∴， ∵ 设，则， ∵，点G为的中点， ， ， ∵， ． 10．（2026·湖北襄阳·一模）如图，点为等边三角形外一点，连接、且，过点作分别交、于点、，若，，则的长为_______；的长为 _________． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质和平行线的性质证明是等边三角形，从而求得的长；过点作交于点，证明 ，进而证得四边形是菱形，利用及已知比例关系列方程求解的长． 【详解】解： 是等边三角形， ，， ， ， 在中，，， 是等边三角形， ； 如图，过点作交于点， ， ， ， ， ，， ， 在和中 ， ， ， ，， 平行四边形是菱形， ， ， 设，则， ， ，解得， ． 11．（2026·湖北鄂州·模拟预测）如图，在中，点为斜边的中点，，，，，则______，______． 【答案】 【分析】由直角三角形的性质可得，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，即得，延长到点，使，连接，可证，得，，即得，，过点作于，由等腰直角三角形的性质得，即得，得，即得到，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 如图，延长到点，使，连接， ∵点为斜边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， 过点作于， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（2026·湖北黄石·一模）在边长为1的正方形中，，连接，将沿折叠得到，交于点，延长交于点，则点到的距离是______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理的应用、矩形的判定和性质和一元二次方程的求解，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 根据题意可知，，，过点作于，作于，证明四边形为矩形，设，，在和中，运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠可知：，，， 过点作于，作于． ∵， ∴四边形为矩形， 设，． 在中， ， 在中， ， 联立得 ， 代入中得， 解得或（舍去）， 故答案为：． 13．（2026·湖北宜昌·模拟预测）如图，在中，，点是边的中点，连接，将沿翻折至，交于点，连接．若，则（1）的长为____；（2）的面积为___． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和中点的定义得出，可得是等边三角形，求出，，利用锐角三角函数求出和，证明利用相似三角形的性质求出，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：由折叠得，，，，， 点是边的中点， ， ， ，即是等边三角形， ， ， ，， ， 在中，，， 则，； ， ， ， ，即， ， ，则， ，， 的面积为：． 14．（2026·湖北襄阳·一模）如图，在中，，点、分别为线段、上一点，，将沿折叠，使得点落在点F处，且．若，则的长为___________． 【答案】 【分析】这是一个几何折叠问题，涉及到三角形的折叠、平行线性质以及直角三角形的相关知识．根据折叠可知 ，进而可得，结合可得四边形 为平行四边形，由此得出，再证明得出，由此即可求解． 【详解】解∶如图，延长 、 交于点 ，延长 交于点 ， 将 沿 折叠至 ，则； 是 的垂直平分线 ∴ 又∵ ，即 ∴， 又∵， ∴四边形 为平行四边形，， ∴ ， ∵，由折叠可知：， ∴， ∴ ∵ ， ∴． 15．（2026·湖北襄阳·一模）如图，在正方形中，点，分别为边，上的点，将，分别沿，折叠，点，恰好落在上的点处，再将沿折叠，点落在上的点处，连接与交于点． （1）______度； （2）若，则的长为______． 【答案】 【分析】（1）根据折叠的性质可得，由平角的定义求得即可； （2）先求得，解求得，，进而求得，由折叠的性质可得，，，求得，再解，即可求得的长． 【详解】解：（1）由折叠可知，， ， ； （2）四边形是正方形， ， ， 在中，，， ， 由折叠可知，，，， ，， 在中，． 16．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，以为直径的半圆上，，点是半圆弧上的任意点，点是的中点，连接交于点，平分交于点，则_____度；当时，的长为_____． 【答案】 【分析】结合圆周角定理以及三角形内角平分线定理即可求解； 连接,求得，根据勾股定理可得,证明，，根据相似三角形性质求解． 此题考查了勾股定理，三角形相似，圆周角定理，综合运用勾股定理，三角形相似，圆周角定理的相关知识是解题关键． 【详解】解：①点是的中点， , 平分， ， 根据图可知： 为半圆的直径， ∴ ∴, , , , ②连接, ,, , , 设，则， 根据勾股定理可得：, ， 点是的中点， , , , , , , , ,, , , , ． 故答案为：；． 17．（2026·湖北黄石·一模）如图，等腰与等腰，，，，，垂足为H，直线交于点O．将绕点C顺时针旋转： （1）______； （2）的最大值是______． 【答案】 / 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）延长到N，使得，连接，，延长交于M，取的中点F，连接，，根据可证，然后根据角度关系可证得，从而得到，然后得到点O为中点，可得到是中位线，从而求出，然后在，利用勾股定理计算出，当O，A，F三点共线时，有最大值，即可解决问题 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵在等腰中，， ∴由勾股定理得； （2）如图，延长到N，使得，连接，，延长交于点M，取的中点F，连接，，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴当O，A，F三点共线时，有最大值，的最大值为． 18．（2026·湖北咸宁·模拟预测）已知矩形，，，将它绕着点B按顺时针方向旋转度得到矩形，此时，这两边所在的直线分别与边所在的直线相交于点E，F，当时，则（1）_______；（2）______． 【答案】 3 【分析】（1）在矩形中，，， ，设，则， 由勾股定理得，，由勾股定理得，则，求解即可； （2）由（1）知，如图，延长交于点H，证明四边形是矩形，得出，，在直角中，得出，根据，求解即可． 【详解】解：（1）在矩形中，，， ， 设，则， 由勾股定理得： ，， ∵， ∴， 则， 整理得， 解得， 即； （2）由（1）知， 如图，延长交于点H， ∵， ∴， 根据旋转可得， ∴四边形是矩形， ∴，， 在直角中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 19．（2026·湖北荆州·模拟预测）如图，在矩形中，，，经过点，与相切于点，交于点，交的延长线于点，，则的长是________． 【答案】 【分析】利用为圆的直径求出半径，结合切线性质与矩形边长算出圆心到的距离，再通过勾股定理和垂径定理，最终求得弦的长度为． 【详解】解：连接并延长交于，连接， ∵点都在上，且在上， ∴是的直径， ∴， ∴的半径， ∵与相切于， ∴， 矩形中，， ∴，， ∵， ∴是的中点，即， 在中，由勾股定理：， ∴． 20．（2026·湖北随州·一模）如图，正方形中，，点E是对角线上一点，连接，过点E作，交于点F，连接，交于点G，将沿翻折，得到，连接，交于点N，若点F是边的中点，则①的度数为______；②线段的长是______． 【答案】 45 【分析】①过点E作的平行线，交于点H，交于点K，则，则四边形是矩形，过点G作于点P，于点Q，可证四边形是正方形，设，则，，根据可求x，进而可证，即可得解． ②设，则，证明，根据相似三角形的性质可求a，再根据勾股定理即可得解． 【详解】解：①∵四边形是正方形， ，，， 过点E作的平行线，交于点H，交于点K，则，则四边形是矩形，过点G作于点P，于点Q，则， ，，， ， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ，， ， ∵点F是边的中点， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， 解得（不合题意，舍去）， ，， ， ②由翻折的性质可知，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 在中，， 由翻折的性质可知，， ， 在中，． 1．（24-25九年级下·山东济宁·月考）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论：①；②当时，；③当时，；④动点沿匀速运动时，两个时刻分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【分析】由图知当动点沿匀速运动到点时，，作于点，解直角三角形求出的长，利用勾股定理求出的长，即可得到的长，即可判断①；当时，证明是等边三角形，即可判断②，当时，且时，最小，求出最小值即可判断③，利用勾股定理分别表示出和进行比较，即可判断④． 【详解】解：由图知当动点沿匀速运动到点时，， 如图所示，过点D作于点， 是等边三角形， ，， ，， ， ，故①正确； 当时，点P的运动路程为， ∵， ∴此时点P在上，且，， ， 是等边三角形， ， ，故②正确； 当时，且时，最小， ，， ， 最小为，即能取到，故③错误； 动点沿匀速运动时， ，， ，，， 如图，当点P在上时（不包括点C），过点D作于点H， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在上时（不包括点C），过点D作于点G， ∴， ∴， ∴ ， ；故④正确； 综上所述，正确的有①②④． 2．（2026·山东日照·模拟预测）如图，在中，，，，为角平分线上一动点，为边上一动点，的最小值为_______． 【答案】 【分析】过点作的对称点，连接、，则，过点作，交延长线于点，可得，可得的最小值为，过点作，交于，过点作于点，证明是等腰直角三角形，得出，证明，得出，利用外角性质得到，由等腰三角形的性质得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作的对称点，连接、，过点作，交延长线于点， ∴， ∵为角平分线上一动点， ∴点在射线上， ∴， ∴的最小值为，此时、重合，、、三点在同一条直线上， 过点作，交于，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为． 3．（2026·陕西商洛·一模）如图，在中，，点是的中点，点是边上的动点，点是所在直线上的动点，连接、，若的最小值是10，则的面积是___________． 【答案】60 【分析】作点E关于的对称点F，连接，过点F作于点P，交于点M，连接，过点C作于点G，根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出此时最小，即最小，从而求出，证明四边形为平行四边形，得出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解：作点E关于的对称点F，连接，过点F作于点P，交于点M，连接，过点C作于点G，如图所示： 根据轴对称可得：，， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵的最小值是10， ∴此时， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． 4．（2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．P为第三象限内抛物线上一动点，作轴于点D，交于点E，点G为y轴上一动点，过点E作，设点P的横坐标为m，则的最大值为______． 【答案】4 【分析】作轴于点H，利用可得，则转化为，求出点A，C的坐标，进而求出直线的解析式，用含m的式子表示出，转化为顶点式，即可求出最值． 【详解】解：如图，作轴于点H， 令， 解得，， ， 当时，， ， 设直线的解析式为， 将和代入，得：， 解得， 直线的解析式为； 点P的横坐标为m， 点P的坐标为，点E的坐标为， ，，， ， ， ， 的最大值为4． 5．（2026·江苏泰州·一模）如图，在中，，为边上一点．动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为（单位：秒），的值为．在动点运动的过程中，与的函数图像如图所示．则图像最低点的纵坐标_____． 【答案】 【分析】先根据动点速度与函数图像，确定斜边，再结合时的最低点信息，得到此时且，利用勾股定理算出；接着通过证明 ，求出；最后根据“垂线段最短”，得出点在上运动时，的最小值为，因此函数图像最低点的纵坐标． 【详解】解：∵动点速度为单位/秒，由图可知：从到共用时秒， ∴斜边； 当时，，此时，且该点是在段的最低点， ∴此时，得， 在中，由勾股定理得：， 又，， ∴，得比例关系： ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵，即， 根据垂线段最短，在上运动时，的最小值为， ∴的最小值（即图像最低点纵坐标）：． 6．（2026·广东汕头·一模）如图1，在中，，为边上一点．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为（单位：秒），为．在动点运动的过程中，与的函数图象如图2所示． （1）线段的长为________； （2）在整个运动过程中，的最大值为________． 【答案】 3 54 【分析】（1）由函数图象得； （2）当时，，连接，当点与点重合时，的值最大，先证明，再证明，利用相似三角形的性质求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由函数图象得，函数图象经过点， 当时，， ∴， 故答案为：3； （2）由函数图象得，当动点运动到达点后，， 当点与点重合时，的值最大， 由函数图象经过点， 则当时，， 当时，连接，，作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 当点与点重合时，的值最大，， ∴的最大值为54． 7．（2025·辽宁丹东·二模）如图1，在中，，D为边上一点，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着折线—匀速运动，到达点C后停止，连接，设点E的运动时间为x（单位：秒），为y，在动点E运动过程中，y与x的函数图象如图2所示，在整个运动过程中，y的最大值为_________． 【答案】 【分析】先根据函数图象经过点，，求得，当动点E运动到达点C时，求得，当AE=4时，求得，再证明，然后证明，利用相似三角形的性质求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵函数图象经过点，， ∴， 当动点E运动到达点C时，， 当时，，图象如图所示， 作于点，连结， 当点E与点B重合时，y的值最大， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴y的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，勾股定理，等边对等角，相似三角形的判定与性质等知识点，解题关键是能读懂题意，结合图象进行分析． 8．（2025·广东广州·一模）如图1，在中，，为边上一点．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为（单位：秒），为．在动点运动的过程中，与的函数图象如图2所示． （1）线段的长为________； （2）在整个运动过程中，的最大值为________． 【答案】 3 54 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题时要能读懂题意，结合图象进行分析是关键． （1）由函数图象得； （2）当时，，连接，当点与点重合时，的值最大，先证明，再证明，利用相似三角形的性质求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由函数图象得，函数图象经过点，， ∴， 故答案为：3； （2）由函数图象得，当动点运动到达点后，， 当时，，此时，图象如图所示， 连接，当点与点重合时，的值最大， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 作于点， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴的最大值为54， 故答案为：54． 9．（2026·四川宜宾·二模）如图，在中，，，，P是直线上方的一个动点，且，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】根据题意确定点P的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆上的劣弧，利用相似三角形在射线上构造点E，使得，将转化为，利用两点之间线段最短求解． 【详解】解：∵，， ∴点A，B在以C为圆心，2为半径的圆上， ∵ ， ∴点P在以C为圆心，2为半径的圆的劣弧上， ∴， 如图，在射线上取一点E，使得，连接， ， ∵，， ， ∴，， ∴， 又∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， 当A，P，E三点共线时，的值最小，最小值为线段的长， 在中，，， ， ∴， ∴ 的最小值为 ． 10．（2026·贵州遵义·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是直线上的一个动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，则线段的最小值是_____． 【答案】/ 【分析】过点作轴，过点分别作的垂线于点，设直线交轴于点，交于点，证明，设，结合全等三角形的性质得出，进而可得点在直线上运动，当时，的值最小，证明是直角三角形，，得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转到， ∴， ∵点是直线上的一个动点， 设 如图，过点作轴，过点分别作的垂线于点，设直线交轴于点，交于点， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴，即 令， ∴ ∴点在直线上运动，当时，的值最小， 联立，解得： ∴ ∴，， ∴，， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴，即线段的最小值是． 11．（2026·河南安阳·一模）如图，中，，，，点是边上一动点，将沿折叠，点落在处，当是等腰三角形时，点到的距离为__________． 【答案】或 【分析】利用勾股定理求出，再由折叠性质得到；分三种等腰三角形的情况讨论，排除不可能的情况；对可能的两种情况，通过作高构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解距离． 【详解】解：在中，，，． 由勾股定理得：． 由折叠性质可知：． 当为等腰三角形时，分三种情况讨论： 情况1： 此时，，显然，此情况不成立，舍去． 情况2： 设点到的距离为，过作于． ∵，， ∴为中点，． 在中： 情况3： 此时，过作交所在直线于． 设，则． 在中：． 在中：． 联立得： 展开： 化简： 解得：． 代入： ． 综上，点到的距离为或． 12．（2026·陕西·模拟预测）如图，在四边形中，，，点、在边上，，，点是射线上的动点，连接、，当最大时，的长为_______． 【答案】 【分析】解题关键在于利用圆外角小于圆周角这一性质：当过定点、的圆与射线相切时，切点即为使最大的点．随后证明三角形相似，求出切线长，最后结合等腰直角三角形的边长关系求得． 【详解】解：由题意可得，，， 延长、交于点， 则，， ∴，，， 在中，． 作经过点、且与相切的，切点为，与交于点， 连接、、，易得， 当点与点重合时， 最大，此时． 由切线的性质可得， 则， ∴， 即， ∴， 则， 即最大时，的长为． 13．（2026·江苏连云港·一模）如图，已知以为直径的半圆，为弧上一点，，为弧上任意一点，交于，连接，若，则的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】先求出，，则可判断点在的外接圆上，设圆心为，在优弧取点，连接，，，，，过作于，可求，利用等腰三角形的三线合一性质求出，，利用正弦定义求出，求出，可得，利用勾股定理求出，由，当、、三点共线时，最小，最小值为，即可求解． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， 为直径， ， ， 点在的外接圆上， 设圆心为，在优弧取点，连接，，，，，过作于， ，， ， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ∴当、、三点共线时，最小，最小值为． 【点睛】本题以半圆为载体，融合圆周角定理、动点轨迹、最值问题，通过确定的轨迹圆，利用“点到圆的最短距离为圆心距减半径”求解，体现转化化归、数形结合的核心数学思想． 14．（2026·陕西西安·三模）如图，在中，，，，动点在内，且使得的面积为3，点为的中点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】如图，过点P作交于点E，交于点F，勾股定理求出，然后利用三角形面积求出，得到点P在线段上运动，作点B关于的对称点H，连接，，，过点作于点G，如图，当点H、P、Q在同一直线上，的值最小，为的长度，然后利用相似三角形的性质求出，，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，过点P作交于点E，交于点F， ∵， ，， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∴， ∴点P在线段上运动，作点B关于的对称点H，连接，，，过点作于点G，如图， ∴ ∴ ∴当点H、P、Q在同一直线上，的值最小，为的长度， ∵，， ∴ ∴ ∵点为的中点 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴． 15．（2026·河南郑州·一模）如图，在矩形中，，，点为对角线上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在射线上，当的垂直平分线经过矩形一边的中点时，的长为_______． 【答案】 或或 【分析】根据含角直角三角形的性质结合勾股定理可得，的长，根据旋转的性质得到， ，  分情况讨论： 当经过的中点时，当经过的中点时，当经过的中点时，当经过的中点时，根据线段垂直平分线的性质结合相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， ，， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， ， ，   分情况讨论： 当经过的中点时，交于点，连接，， 如图所示， ， ，   ， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ，即， ； 当经过的中点时，交于点，连接， 如图所示， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ； 当经过的中点时，交于点，连接，，过点作于，如图所示，则四边形是矩形， ，， 垂直平分， ，， 是等边三角形，    ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，， ，解得， ； 点在上，在射线上， 的垂直平分线位于的右侧，与的延长线会存在交点，但不存在与线段相交的情况，故不会存在经过的中点的情况； 综上，的长为或或． 16．（2026·上海青浦·二模）已知中，，．将沿过点的直线翻折，使点落在斜边上，折痕与边的交点记为．如果，那么折痕的长为__________． 【答案】 【分析】先利用翻折的性质得到平分，再结合相似三角形的对应角相等推出三角形各内角度数，利用直角三角形的性质求出的长度，最后在 中计算的长． 【详解】解：设翻折后点落在斜边上的点处， 由折叠的性质可知，平分，即， ， ， ， 在中，， ， 代入得， 解得，， 在中，，， ， 在中，，，， ∴，， ∴， 解得（负值舍去）． 17．（2026·安徽亳州·二模）如图，在正方形中，对角线交于点，将绕点逆时针旋转到，连接． （）若，则点到的距离为______； （）______． 【答案】 【分析】（）过作于点，由旋转知，，得，再利用正方形的性质和勾股定理求出即可求解； （）证明四边形是矩形，得，设，则，可得，，即得，再根据正切的定义解答即可求解； 本题考查了正方形的性质，旋转的性质，正切的定义等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：（）如图，过作于点， 由旋转知，， ， ∵四边形为正方形，， ∴， ， ∴点到的距离为， 故答案为：； （）由（）知，，，， ∴， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， ， 设，则， ∴，， ， ， 故答案为：． 18．（2026·甘肃白银·二模）如图，在矩形中，，，点P在的延长线上，点Q在直线上，连接，，若，则取最大值时，______． 【答案】/ 【分析】根据角度关系证明，确定点在以为直径的圆上运动；然后根据点圆模型确定最大时三点共线；过点作于点，证明，，求出，,再求． 【详解】解：∵四边形是矩形 ， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动 ∴设的中点为，则为圆心， ∴， 当B，O，Q三点共线，且在延长线上时，取得最大值， 在中，，， 由勾股定理得， ∵， ∴， 过点作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 19．（2026·甘肃白银·二模）已知：如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿运动，当再运动到点A时静止．设点P的运动时间为t秒，当t的值为______秒时，和相似． 【答案】或 【分析】分当在上时， 当在上时，不符合题意，当在上时，当在上时，不符合题意，再进一步分析求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵在长方形中，，， ∴，，， ∵， ∴， 当在上时，， ∴， 当和相似， ∴或， ∴或， 解得：（舍去）或（经检验符合题意）， 当在上时，不符合题意， 当在上时，如图， ∴， 当和相似， ∴或， ∴或， 解得：（舍去）或（经检验符合题意）， 当在上时，不符合题意， 综上：t的值为或． 20．（2026·甘肃白银·二模）如图，点是等边三角形边上一动点（与点、点不重合），连接，把绕点逆时针方向旋转到，连接交于点，，点是中点，连接，则线段的长度最小时，的长为______． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得，，结合等边三角形的性质证明，从而得出，，确定点的运动轨迹，根据垂线段最短可知当时最小，在中利用含角的直角三角形性质求出的长，进而得出的长． 【详解】解：如图，连接， 由旋转的性质可知，， ∵是等边三角形， ∴，， ，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点在射线上运动， ∵点是中点，， ∴，， 当时，线段的长度最小，如图， 在中，， ∴， ∴， ∴， 即线段的长度最小时，的长为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $