24. 2数据的离散程度 教学设计 2025--2026学年人教版八年级数学下册

第二十四章 数据的分析 人教版(2024) 24.2数据的离散程度 一、教学目标 1.理解离差、离差平方和、方差的概念； 2.会计算一组数据的方差； 3.能够运用方差判断数据的波动程度，并解决简单的实际问题. 二、教学重点及难点 重点：理解离差、离差平方和、方差的概念，明确三者的内在关联，并能根据方差的计算公式，熟练、准确地计算一组数据的方差. 难点：能结合实际情境，运用方差分析数据波动的实际意义，灵活解决与数据稳定性相关的简单问题. 三、教学过程 【新知导入】 某农业科学院专家为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题． 为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量(单位：t)如下表： 甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 教师提出：根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢？ 设计意图：创设农业选种的实际生活情境，聚焦甜玉米产量高低与产量稳定性两大核心问题.给出甲、乙两组产量数据，激发学生探究兴趣，自然完成新课导入. 【探究新知】 教师提出：计算两组数据的平均数，能否应用平均数判断选择哪种甜玉米种子呢？ 学生计算并回答：. 甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大．由此估计这个地区种植这两种甜玉米的平均产量相差不大．因此，不能应用平均数判断选择哪种甜玉米种子. 设计意图：引导学生动手计算甲、乙两组甜玉米产量的平均数，发现二者平均产量几乎无差别.制造认知冲突，让学生意识到仅靠集中趋势的平均数无法评判种子优劣，还需要关注产量的波动与稳定性，自然引出探究数据离散程度的必要性，为后续引入方差概念做好铺垫. 教师说明：为了直观地观察甲、乙两种甜玉米在各试验田产量的分布情况，我们把表中的两组数据分别用图形进行描述，如图所示： 教师提出：比较两幅图，你能有什么发现？ 学生同桌之间进行讨论，形成共识后教师选取学生代表进行回答，教师根据回答进行总结. 比较两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，多个产量离平均产量较远；乙种甜玉米在各试验田的产量波动较小，较集中地分布在平均产量附近.因此，从直观上判断乙种甜玉米的产量稳定性更好. 教师提出：如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？ 教师引导学生进行回答. 如上图所示，当数据分布比较分散时，数据与平均数的差异相对较大；当数据分布比较集中时，数据与平均数的差异相对较小.反过来也成立.为了全面反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均数的差异来刻画. 设计意图：借助统计图直观呈现甲、乙两种甜玉米产量的分布差异，让学生通过观察对比，直观感知数据波动大小、集中与分散程度.由直观图形感知上升到数学思考，顺势提出如何用数值量化波动程度的问题，引导学生从数据与平均数的偏差入手思考，为方差概念的引出搭建思维台阶，实现从直观感知到定量刻画的自然过渡. 通过上述探究，得出离差的概念，学生做笔记. 离差：一般地，有n个数据x1，x2 ，…，xn，用表示它们的平均数，我们把(i=1，2，…，n)叫作xi关于平均数的离差或偏差. 设计意图：在观察数据波动的基础上，抽象归纳出离差的定义，用数学语言量化单个数据与平均数的差距.让学生理解离差是刻画数据偏离平均水平的基础量，为后续推导方差公式、定量描述数据波动大小做好概念铺垫. 教师提出：可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？ 教师引导学生进行说明. 用离差可以刻画每个数据与平均数的差异，但(x1-)+(x2-)+…+(xn-)=x1+x2+…+xn-n=0 一组数据的离差和总是0，因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异. 教师阐述：为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和. 叫作这n个数据关于平均数的离差平方和，记作“d2”. 把离差的平方的平均数叫作这组数据的方差，记作“s2”. 通过上述探究，归纳总结离差的相关知识，学生做笔记. 一般地，有n个数据x1，x2 ，…，xn，用表示它们的平均数，我们把离差的平方的平均数叫作这组数据的方差，记作“s2”. 方差的意义：方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量. 方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小． 设计意图：引导学生发现离差总和恒为0、正负相互抵消的弊端.顺势引出对离差平方处理的解决办法，循序渐进地推导离差平方和与方差的定义.归纳方差的含义与大小变化规律，让学生理解方差刻画数据离散程度的原理，完整构建方差的概念与意义体系. 甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 教师提出：下面我们利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米的波动程度. 学生在草稿纸上自主计算，得出结果后教师选取学生代表进行回答.教师公布正确答案，规范解题步骤. 由，可得乙种甜玉米产量的离散程度较小，即乙种甜玉米产量波动较小，稳定性较好. 教师说明：由上述探究可知，在试验田中，乙种甜玉米的产量比较稳定.正如用样本的平均数估计总体的平均数一样，也可以用样本的方差来估计总体的方差.因此可以推测，在这个地区种植乙种甜玉米的产量比种植甲种的稳定.综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米. 设计意图：让学生动手用方差公式计算两组数据方差，掌握方差求解步骤.通过方差大小对比，巩固方差越小越稳定的规律，学会用样本平均数、样本方差综合评判实际问题，体会用样本估计总体的统计思想. 教师提出：用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度？和方差比较，有什么不足？ 学生积极回答，教师对学生的回答进行反馈，给出标准答案. 离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.在比较两组数据的离散程度时，若两组数据的样本量不同，离差平方和的大小会直接受到样本量的影响，因此离差平方和只适用于数据个数相同的情况.而方差是将离差平方和除以样本量(即取平均值)，这一处理消除了样本量对结果的影响，使得方差能够用于比较任意样本量数据的离散程度，故不受离差平方和所受的限制. 设计意图：通过对比设问，引导学生区分离差平方和与方差的差异.让学生明白离差平方和受数据个数影响，仅能比较样本量相同的数据；而方差对离差平方和取平均，消除了样本数量的干扰，可灵活比较任意两组数据的离散程度.加深学生对方差公式设计原理的理解，明确方差作为刻画数据波动标准量的合理性与优越性. 【例题练习】 甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩(单位：环)如表所示 甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10 乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9 解：两名运动员射击成绩的平均数分别为：；. 两名运动员射击成绩的方差分别为：； . 由，乙射击运动员的发挥更稳定. 设计意图：通过射击成绩例题，巩固平均数、方差的计算方法.学会利用方差大小判断成绩稳定性，强化“方差越小，数据越稳定”的知识点，提升学生运用方差解决实际比较问题的能力. 【探究新知】 教师随机选取学生阅读下面的文字，了解利用计算器的统计功能求方差的步骤. 使用计算器的统计功能求方差，操作时需要参阅计算器的使用说明书.通常先按某一功能键，使计算器进入统计状态；然后依次输入数据x1，x2，…，xn；最后按求方差的功能键，计算器便会求出方差的值. 设计意图：引导学生了解利用计算器统计功能求方差的通用操作步骤，掌握快捷计算方差的方法.减轻手动繁琐计算负担，学会借助工具处理统计数据，提升实操能力与学习效率，为后续复杂数据求平均数、方差提供实用方法. 四、随堂练习 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，使学生牢牢掌握新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.离差； 2.离差平方和； 3.方差及方差的意义. 六、板书设计 数据的离散程度 学科网（北京）股份有限公司 $