24.2 数据的离散程度-【初中学霸创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(人教版·新教材)

该教案聚焦“数据的离散程度”核心知识点，通过农科院选甜玉米种子的情境导入，先计算平均数发现产量相近，进而引出稳定性探究，衔接集中趋势与离散程度的知识脉络，搭建从直观到抽象的学习支架。 特色在于情境驱动与素养融合，用甜玉米产量、射击成绩等现实问题引导学生用数学眼光观察波动，推导方差时经历“离差-离差平方和-方差”的推理过程培养数学思维，用样本方差估计总体体现数据观念与应用意识，帮助学生提升数据分析能力，为教师提供直观到抽象的教学路径。

24.2 数据的离散程度 课题 数据的离散程度 课型 新授课 教学内容 教材第168-175页的内容 教学目标 1. 理解离差或偏差、离差平方和、方差的定义，会计算方差． 2. 会用方差比较两组数据的波动大小，解决实际问题. 3. 体会用样本估计总体的统计思想。 教学重难点 教学重点：计算方差，用方差反映数据的离散程度. 教学难点：利用方差解决实际问题. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表： 甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？ 【问题1】我们首先来比较甜玉米的产量，应该如何比较呢？ 师生活动：学生独立解题求得甲、乙两种甜玉米产量的平均数x甲＝7.537 t，x乙≈7.515 t，学生发现在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大，由此估计出这个地区种植这两种甜玉米的平均产量相差不大． 【问题2】接下来要探究甜玉米产量的稳定性，应该如何探究呢？ 2.发现探究，学习新知 师生活动：教师演示多媒体，将两组数据画成下面的图1，图2，学生观看. 图1 甲种甜玉米的产量 图2 乙种甜玉米的产量 教师追问：通过图1，图2你能看出甲乙两种甜玉米那种产量更稳定吗？ 学生看图得出结论：比较上面的两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，乙种甜玉米在各试验田的产量较集中地分布在平均产量附近. 教师追问：从图中看出的结果能否用一个量来刻画呢？ 师生活动：教师引导学生进行讨论. · 思路：计算每个数据与平均数的“差距”。 · 离差（偏差）定义： 一般地，有n个数据x1，x2，…,xn，用表示它们的平均数，我们把xi-(i=1，2，…，n)叫作xi关于平均数的离差或偏差. · 提问： 这些离差有正有负，直接相加求和会怎样？（和为0，无法体现波动大小）。 · 解决方案： 将每个离差平方后再求和，以消除正负号影响,得到离差平方和。 · 离差平方和的定义：我们把叫作这n个数据关于平均数的离差平方和.记作“d2”. · 计算甲、乙的离差平方和。 · 结论： 甲的离差平方和大于乙，说明甲的数据波动更大。这与我们的直观感受一致。 再取这些平方数的平均值就可以表示数据整体的偏离程度. 即把离差平方和的平均数叫作这组数据的方差，记作“s2”. 教师追问：观察上面计算方差的式子填空： 当数据分布比较分散（即数据在平均数附近波动较大）时，各个数据与平均数的差的平方和较 大 ，方差就较 大 ； 当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较 小 ，方差就较 小 . 反过来也成立，这样就可以用方差刻画数据的离散程度，即:方差越大，数据的离散程度越 大 ;方差越小，数据的离散程度越 小 . 教师追问：请同学们利用方差来分析甲乙两种甜玉米产量的稳定性. 师生活动：学生独立计算解题： ， . 显然s2甲＞s2乙，即甲种甜玉米产量的波动较大. 教师追问：上述结论与我们从图中看到的结论一致吗？ 师生互动：学生答：一致.教师总结：由此可知，在试验田中，乙种甜玉米的产量比较稳定. 教师追问：前面我们用样本的平均数估计总体的平均数，那么能不能用样本的方差来估计总体的方差呢？由此你能得出什么结论呢？ 师生互动：学生回答问题，可以推测，在这个地区种植乙种甜玉米的产量比甲种的稳定.综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米. 【问题3】我们知道可以用计算器求数据的平均值，请同学们看一下计算器的说明书，能使用计算器的统计功能可以求方差吗？ 师生互动：教师鼓励学生阅读各自计算器的使用说明书，并用计算器求方差. 使用计算器的统计功能求方差时，通常需要先按动有关键，使计算器进入统计状态；然后依次输入数据 x1，x2，…，xn；最后按动求方差的功能键（例如键)，计算器便会求出方差的值. 3.学以致用，应用新知 考点1 用方差比较两组数据的波动大小 【例1】甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：环）如表所示。 甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10 乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9 哪名射击运动员的发挥更稳定？ 解：两名运动员射击成绩的平均数分别为 甲 = 8.7,乙 =8.6. 两名运动员射击成绩的方差分别为 s甲2 =2.41,s乙2 =1.04, 由s甲2＞s乙2可知，乙射击运动员的发挥更稳定. 考点2 用样本方差估计总体方差 【例2】自动灌装线灌装饮料时，由于各种不可控的因素，每瓶饮料的实际含量与标准含量会存在一些误差（实际含量-标准含量）。甲、乙两条灌装线同时灌装标准含量为500 mL的饮料，为了检验两条灌装线的灌装质量，从每条灌装线上各随机抽取10瓶饮料进行测量，结果（单位：mL）如表所示。 甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501 乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499 （1）如果每瓶饮料含量的误差的绝对值超过10 mL为不合格品，两条灌装线的灌装质量是不是都合格？ （2）哪条灌装线的灌装质量更好？ 解：（1）甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量500 mL的误差如表所示。 甲组误差/mL 1 -4 -2 -1 3 -2 5 -2 1 1 乙组误差/mL -4 -7 4 -5 0 6 4 5 -2 -1 从表中的数据可以看出，甲、乙灌装线灌装的误差绝对值最大分别为5 mL、7 mL，两者都小于10 mL，因此两条灌装线灌装的质量都是合格的。 （2）甲、乙灌装线饮料实际含量的平均数分别为 甲 = 500,乙 = 500. 两条灌装线饮料实际含量的平均数都等于标准含量。 可以类比方差，计算甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量的平均差异程度，分别为 s甲2= 6.6,s乙2= 18.8. 可以发现，甲灌装线饮料实际含量与标准含量的平均差异更小。 根据样本估计总体，综合来看，甲灌装线的灌装质量更好。 【例3】甲、乙两地同一天的气温记录如表所示。 时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 时刻 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00 甲/℃ 24 21 18 16 14 13 乙/℃ 21 20 18 17 16 15 两地的气温有什么差异？ 解：为了直观地观察两地气温的特点，以时刻为横坐标，气温为纵坐标，把表中的数据用折线图进行表示，得到课本图24.2-3。 从图24.2-3可以看出，甲、乙两地气温在不同的时刻互有高低，但甲地的最高气温高于乙地，而最低气温低于乙地。为进一步了解两地气温的差异，可以从数据的集中趋势和离散程度两个方面分别进行比较。 两地气温的平均数分别为 甲 =16,乙= 16. 将两地气温按从小到大排列，可得 甲地：9　10　11　12　13　14　16　16　18　21　21　23　24 乙地：11　12　13　14　15　15　16　17　17　18　19　20　21 可以发现两地气温的中位数都是16，众数各有两个（甲地是16和21，乙地是15和17）且都出现两次，因为重复次数太少，所以不具有代表性。因此，从数据的集中趋势看，两地的气温差异不明显。 两地气温的方差分别为s甲2 23.5,s乙2 8.6. 由s甲2＞s乙2可知，乙地气温的波动程度比甲地的小，气温更稳定. 4.随堂训练，巩固新知 （1）甲、乙、丙、丁4名同学参加跳远测试各10次，他们的平均成绩及其方差如下表： 测试者 平均成绩(单位:m) 方差 甲 6.2 0.32 乙 6.0 0.58 丙 5.8 0.12 丁 6.2 0.25 若从其中选出1名成绩好且发挥稳定的同学参加学校运动会,则应选( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 答案：D （2）6月26日是“国际禁毒日”,某中学组织七、八年级全体学生参加“禁毒知识”网上竞赛活动,为了解竞赛情况,从两个年级各抽取10名学生的成绩(满分为100分,单位:分)如下: 七年级:90,95,95,80,85,90,80,90,85,100; 八年级:85,85,95,80,95,90,90,90,100,90. 整理数据: 　年级　　 人数 成绩 80 85 90 95 100 七年级 2 2 3 2 1 八年级 1 2 4 a 1 分析数据: 平均数 中位数 众数 方差 七年级 89 b 90 39 八年级 c 90 d 30 根据以上信息回答下列问题: ①请直接写出表格中a,b,c,d的值; ②通过数据分析,你认为哪个年级的成绩比较好?说明理由; ③该校七、八年级共600人,本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”,估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”. 答案：①a=2,b=90,c=90,d=90　 ②八年级的成绩比较好,理由略 ③390名. （3）在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高（单位：cm）如下表所示． 甲团 163 164 164 165 165 166 166 167 乙团 163 165 165 166 166 167 168 168 哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？ 解：甲、乙两团演员的身高平均数分别是 x甲＝＝165， x乙＝＝166. 方差分别是 s2甲＝＝1.5， s2乙＝＝2.5. 由s2甲<s2乙可知，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐． （4）某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者欢迎．现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近，快餐公司决定通过检查鸡腿的质量来确定选购哪家的鸡腿．检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取15个，记录它们的质量（单位：g）如下表所示，根据表中数据，你认为快餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿？ 甲 74 74 75 74 76 73 76 73 76 75 78 77 74 72 73 乙 75 73 79 72 76 71 73 72 78 74 77 78 80 71 75 解：检查人员从甲、乙两家农副产品加工厂各随机抽取的15个鸡腿分别组成一个样本，样本数据的平均数分别是 x甲＝≈75， x乙＝≈75. 样本数据的方差分别是 s2甲=≈3， s2乙=≈8. 由x甲≈x乙可知，两家加工厂的鸡腿质量大致相等；由s2甲<s2乙可知，甲加工厂的鸡腿质量更稳定，大小更均匀．因此，快餐公司应该选购甲加工厂生产的鸡腿． 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.我们可以通过哪个统计量刻画数据的波动性呢，它是怎样刻画数据的离散程度的呢？ 6.布置作业 1.教材P174练习第1-2题. 2.教材P174习题24.2 创设问题情境，引出对数据平均值和稳定性的讨论.本例先通过计算平均数得出两种甜玉米的平均产量相差不大，进而讨论判断产量稳定性的方法，让同学们深入体会用平均数和方差比较两组数据并作出评价的过程. 这里先通过多媒体播放根据两组数据画散点图的过程，让学生直观的体会两组数据的波动大小. 通过对散点图的观察让同学们知道数据的波动大小是每个数据与平均数的偏离程度，然后摸索用数据表示这个偏离程度的方法，进而给出方差的计算公式. 通过方差的计算公式得出方差和数据波动大小之间的关系.再回归到问题当中，计算甲、乙两种甜玉米产量的方差，最终解决问题. 阐述可以用样本方差估计总体方差，最终解决本节课开始时提出的问题. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括用方差比较两组数据的波动大小，用样本方差估计总体方差. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 24.2 数据的离散程度 方差： 例题 练习 教学反思 本课时的重点是方差公式的推导.当平均水平相同时，就要分析数据的稳定性，画图能直观地反映数据波动大小的方法，因此在这个环节设计了多媒体播放画图的过程，从中体会画统计图是描述数据波动大小的一种方法.接着引出了如何用数值表示一组数据的波动. 学科网（北京）股份有限公司 $