24.3数据的四分位数教学设计2025-2026学年 人教版数学八年级下册

第二十四章 数据的分析 人教版(2024) 24.3数据的四分位数 一、教学目标 1.理解百分位数的定义，能初步感知百分位数对数据分布的刻画作用； 2.熟练掌握四分位数的概念、计算步骤，能准确计算一组数据的四分位数； 3.认识箱线图的构成要素，能根据数据绘制箱线图，并通过箱线图分析数据的分布特征； 4.能运用四分位数和箱线图解决实际问题，实现数据分布的比较与决策，体会统计量的实用价值. 二、教学重点及难点 重点：理解百分位数与四分位数的概念，掌握四分位数的计算方法，认识箱线图构成并能绘制箱线图、利用四分位数和箱线图分析数据分布、解决实际问题. 难点：理解四分位数刻画数据分布的意义，掌握四分位数的准确计算规则，读懂箱线图并借助箱线图合理对比多组数据分布特征、做出统计决策. 三、教学过程 【新知导入】 集中趋势和离散程度都是数据分布某一方面的特征.为了获取数据更多的信息，人们还关心数据整体的分布情况.本节我们将学习用四分位数大致刻画一组数据的分布情况. 设计意图：承接前面所学的集中趋势、离散程度相关知识，点明已有统计量只能反映数据局部特征.顺势引出学习四分位数的必要性，旨在刻画数据整体分布情况，自然衔接新课内容，建立前后知识关联，激发学生探究数据分布特征的学习兴趣. 【探究新知】 某银行有A、B两个理财产品经营团队.近三年，这两个团队负责经营12项理财产品，收益率(单位：%)如下： A 4.77 3.98 6.44 4.89 2.15 3.85 3.64 3.21 3.18 2.02 4.11 4.10 B 3.18 3.84 3.99 3.67 3.40 3.60 4.10 4.21 4.15 4.44 3.87 3.91 教师提出：如果你是一位购买理财产品的投资者，会选择哪个团队的产品？ 学生在草稿纸上自主计算A、B两个团队的理财产品收益率的平均数和方差. 3.862，3.863，，. 教师追问：通过计算你有什么发现？ 学生积极回答，教师梳理归纳学生的回答，给出标准答案. 通过计算我们知道，团队B的产品收益率的平均数稍大于团队A，但差别不大. 团队A的产品收益率的方差明显大于团队B，即团队B的产品收益率的稳定性要好于团队A. 因此，如果你是稳健型投资者，那么应该选择团队B经营的理财产品；如果你是激进型投资者，那么应该选择团队A经营的理财产品. 设计意图：以银行理财产品收益率为生活化情境，引导学生计算平均数与方差，巩固已有统计知识.通过对比发现两组数据平均数相近、方差差异明显，结合稳健型与激进型投资者的不同需求进行决策，让学生体会从平均水平、波动稳定性双角度分析数据，并学会用统计结果解决实际选择问题，为后续学习四分位数、进一步刻画数据整体分布做好铺垫. 如果投资者还想进一步了解两个团队理财产品收益率的具体情况，例如收益率大部分在什么范围，哪些范围比较集中等信息，那么产品收益率的平均数和方差能反映出这些信息吗？ 学生小组讨论1-2分钟，自由发言.教师对学生的回答进行反馈，总结观点. 平均数和方差虽然可以反映产品收益率的集中趋势和离散程度，但无法反映出投资客户关心的这些信息．因此，我们需要能反映产品收益率更多分布信息的统计量. 教师阐述：我们知道一组数据按从小到大的顺序排列，中位数是从中间点把数据分成2等份. 将数据分成100等份的每一分点处的值叫作这组数据的百分位数．相比中位数，百分位数可以较全面地反映出数据的分布信息. 百分位数反映数据的分布信息，某一百分位数表示该组数据中小于该值的数据占比恰好为对应百分比(如50%分位数表示有50%的数据小于它).中位数是特殊的百分位数(50%分位数)，是百分位数的简化形式. 设计意图：通过小组讨论，让学生发现平均数和方差无法体现数据的区间分布与集中范围.借助中位数自然引入百分位数，讲明其能全面反映数据分布特征，建立新旧知识联系，引出新知学习. A 4.77 3.98 6.44 4.89 2.15 3.85 3.64 3.21 3.18 2.02 4.11 4.10 B 3.18 3.84 3.99 3.67 3.40 3.60 4.10 4.21 4.15 4.44 3.87 3.91 教师提出：由于每个团队的产品收益率的数据个数不多，我们可以用三个特殊的百分位数来刻画. 教师提问：这组数据的中位数是多少？ 学生计算并回答：这组数据的中位数为3.915. 教师总结：中位数把所有数据分成2等份，所有数据中小于这个值的占50%，称3.915为这组数据的50%分位数． 教师追问：如图所示，在3.915左侧和右侧的数据中，还可以分别得到它们各自的中位数，分别是多少？ 学生计算并回答：3.915左侧和右侧的数据的中位数分别是3.195和4.44. 教师总结：所有数据中小于3.195和4.44这两个值的分别占25%和75%，称3.195和4.44分别为这组数据的25%分位数和75%分位数. 根据上述探究，教师引导学生总结四分位数的相关知识，学生做笔记. 四分位数：由于3.195，3.915，4.44这三个值把这组按由小到大顺序排列的数据分成四等份，所以称它们为这组数据的四分位数，从小到大分别称为这组数据的第一四分位数、第二四分位数(中位数)、第三四分位数，分别记为Q1，Q2，Q3. 注意：第一四分位数又称下四分位数，第三四分位数又称上四分位数. 设计意图：以理财产品收益率数据为载体，先复习中位数并引出50%分位数；再通过划分左右分段求中位数，顺势给出25%、75%分位数.逐步归纳出四分位数的定义及别称，由旧知自然生成新知，让学生直观理解四分位数把数据四等分的本质含义. 教师提出：根据团队A的产品收益率的三个四分位数，你可以大致看出其产品收益率是如何分布的吗？ 学生小组讨论，自由发言，教师梳理归纳学生的回答. 团队A的产品收益率小于3.195%的项目数占总数的25%，产品收益率小于3.915%的项目数占总数的一半，产品收益率大于4.44%的项目数占总数的25%.产品收益率在3.195%至4.44%之间的项目数占总数的50%. 设计意图：通过小组讨论，引导学生利用四分位数分析收益率区间占比，理解四分位数能直观刻画数据的分布结构，掌握用四分位数解读数据整体分布的方法. 教师提出：类比团队A的产品收益率四分位数的计算方法，计算得出团队B的产品收益率的三个四分位数. 学生计算并回答：团队B的产品收益率的三个四分位数分别为3.635，3.89，4.125. 教师追问：根据团队B的产品收益率的三个四分位数，你可以大致看出其产品收益率是如何分布的吗？ 学生自由发言，教师梳理归纳学生的回答. 由团队B产品收益率的三个四分位数可以知道，其产品收益率小于3.635%的项目数占总数的25%，产品收益率小于3.89%的项目数占总数的一半，产品收益率大于4.125%的项目数占总数的25%.产品收益率在3.635%至4.125%之间的项目数占总数的50%. 设计意图：类比团队A的数据的探究方法，让学生自主计算团队B的产品收益率的四分位数并分析分布特征.巩固四分位数的求解思路与分布解读方法. 通过上述探究，总结确定四分位数的步骤. 按从小到大的顺序排列的一组数据，可以按以下步骤确定其四分位数：先找出这组数据的中位数，作为这组数据的第二四分位数；然后找出中位数左侧和右侧的数据各自的中位数，分别作为这组数据的第一四分位数和第三四分位数.利用一组数据的三个四分位数，以及最小值、最大值可以刻画这组数据的大致分布情况. 设计意图：引导学生梳理归纳确定四分位数的完整步骤，系统化梳理所学知识，帮助学生形成规范的解题流程，夯实知识体系，便于理解记忆和后续应用. 教师说明：为了更加直观地观察产品收益率的分布特征，我们可以用产品收益率的三个四分位数及最小值、最大值这五个数值画出箱线图． 团队A产品收益率的箱线图如图所示，它主要由矩形箱体和从箱体延伸出的两条水平线段(称为须线)构成. 教师提出：根据团队A产品收益率的箱线图，你能发现哪些数据？ 学生观察并回答：箱线图中最左侧和最右侧的竖直线段分别表示这组数据的最小值和最大值，中间箱体的左端竖线表示第一四分位数，箱体中部的竖线表示第二四分位数(中位数)，箱体的右端竖线表示第三四分位数. 教师点拨：整个箱体的长度为第三四分位数减去第一四分位数的差，称为四分位距. 由箱线图，容易看出产品收益率分布的大致情况，如分布的范围、中位数的大小、集中的范围、分布是否对称等. 设计意图：引入箱线图，借助最值、三个四分位数讲解其构成要素；同时给出四分位距定义，引导学生读懂箱线图各部分含义，掌握利用箱线图观察数据范围、集中区间、分布对称性等特征的方法. 教师提出：类似地，画出团队B产品收益率的箱线图. 学生在草稿纸上作图，教师进行巡视指导，观察学生的作图进度，在绝大多数学生完成作图后，应用ppt展示正确图形.学生自行校对. 设计意图：让学生模仿A组箱线图的画法自主绘制B组图形，动手实操巩固箱线图作图步骤.教师巡视指导并统一订正，规范作图格式，加深对箱线图结构的理解，为后续对比两组数据分布差异奠定基础. 教师说明：箱线图也可以按竖直方向画.为了便于比较两个团队产品收益率的分布特征，把两个箱线图按竖直方向并列画在同一幅图中，如图所示. 教师提出：根据上图，你能有什么发现？ 学生积极回答，教师对学生的回答进行反馈，总结观点. 从图中可以发现，两个团队产品收益率的中位数几乎相等(表示中位数的水平线段差不多高)， 但团队A的产品收益率波动明显比团队B的大(团队A的箱体和须线比团队B的长)，这与用平均数、方差比较的结果是一致的． 教师点拨：从箱线图中，还可以看出分布的一些其他特征.例如，团队B的产品收益率分布比团队A的更对称(中位数对应的水平线段在箱子的中间位置)；团队A有约25%的产品收益率高于团队B的最高产品收益率，也有约25%的产品收益率低于团队B的最低产品收益率，等等. 设计意图：将两组箱线图竖直并列呈现，方便学生直观对比分析.引导学生从中位数、箱体与须线长度、分布对称性、区间占比等角度提取信息，印证平均数和方差的结论，同时学会借助箱线图多角度解读数据分布差异，提升读图析图能力. 教师提出：与直方图、条形图比较，箱线图在表示数据方面有什么特点？ 学生小组讨论1-2分钟，自由发言.教师对学生的回答进行反馈，总结观点. 箱线图可展示四分位数、最大值、最小值等，反映数据分布范围与离散程度，适合多组数据整体分布情况的比较. 设计意图：通过小组对比讨论，引导学生辨析箱线图与直方图、条形图的区别.归纳箱线图能直观呈现五数特征、反映数据分布与离散程度，且便于多组数据横向对比的优势，完善学生对统计图表的认知体系. 【例题练习】 时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00 甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13 乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15 分别计算甲、乙两地气温的四分位数，在同一幅图中画出箱线图，据此比较甲、乙两地的气温特点. 解：将表中两地的气温（单位：℃）分别按从小到大的顺序排列，可得 甲地：9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24 乙地：11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21 甲、乙两地气温各有13个数据. 甲地气温的最小值为9，最大值为24，三个四分位数分别为Q2=16，Q1==11.5， Q3==21. 乙地气温的最小值为11，最大值为21，三个四分位数分别为Q2=16，Q1==13.5， Q3==18.58. 在同一幅图中画出两地气温的箱线图，如图所示. 可以看出，甲、乙两地气温的中位数相同，但甲地气温的波动明显比乙地的大，甲地约有25%时刻的气温高于乙地的最高温度，约有25%时刻的气温低于乙地的最低温度. 设计意图：通过气温实例练习四分位数求解与箱线图绘制，巩固四分位数计算步骤和箱线图画法.引导学生借助箱线图对比两地气温的中位数、波动范围与分布特征，学会运用四分位数和箱线图分析实际数据，强化知识应用与读图分析能力. 四、随堂练习 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，使学生牢牢掌握新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.百分位数； 2.四分位数； 3.箱线图. 六、板书设计 数据的四分位数 学科网（北京）股份有限公司 $