24.2数据的离散程度24.3四分位数24.4数据的分组 2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（人教版）

本讲义聚焦初中数学“数据的离散程度”“四分位数”“数据的分组”核心内容，系统梳理离差、离差平方和、方差等离散程度概念，衔接四分位数（Q1、Q2、Q3）、四分位距及箱线图的应用，构建从基础概念到统计量计算再到实际分析的学习支架。 资料以6知识点+10题型+过关检测为框架，题型含解题技巧与变式训练，结合跳绳比赛分组、新能源汽车续航测试等实例，培养数据意识与推理能力。课中辅助教师教学，课后助力学生通过典例与检测查漏补缺，提升数据分析与应用能力。

24.2数据的离散程度24.3四分位数24.4数据的分组 （6知识点+10题型+过关检测） 【题型1 求离差平方和】 2 【题型2 离差平方和的应用】 4 【题型3 求方差】 7 【题型4 利用方差求未知数据的值】 8 【题型5 根据方差判断稳定性】 9 【题型6 运用方差做决策】 10 【题型7 求四分位数】 11 【题型8 画箱线图】 12 【题型9 根据要求选择合适的统计量】 14 【题型10 利用合适的统计量做决策】 14 1. 掌握数据离散程度的核心概念，理解离差平方和、方差的定义与实际意义，能够熟练计算一组数据的离差平方和、方差。 2. 学会利用方差分析数据的波动大小、稳定性，掌握结合方差、平均数进行实际问题决策的方法。 3. 理解四分位数的定义，熟练掌握四分位数的求解步骤，能够根据数据绘制标准箱线图，并解读箱线图包含的数据信息。 03 知识•梳理 24.2 数据的离散程度 1. 离差 单个数据与数据平均数的差值，即：，反映单个数据偏离平均水平的程度。正负代表偏离方向，绝对值代表偏离大小。 2. 离差平方和 一组数据中所有数据与平均数离差的平方之和，公式：。彻底消除离差正负抵消问题，整体反映数据的总偏离程度，平方和越大，数据整体波动越大。 3. 方差 离差平方和的平均值，分为总体方差与样本方差，初中阶段默认总体方差，公式：。方差是描述数据离散程度的核心统计量，方差越小，数据越稳定、波动越小；方差越大，数据越分散、波动越大。 24.3 四分位数 1. 定义 将一组从小到大有序排列的数据平均分为四等份，处于三个分割位置的数值即为四分位数，共三个：下四分位数（Q1）、中位数（Q2）、上四分位数（Q3）。 Q1：前50%数据的中位数（25%分位数）；Q2：整体数据中位数（50%分位数）；Q3：后50%数据的中位数（75%分位数）。 2. 四分位距 公式：，反映中间50%数据的波动范围，不受极端值影响，稳定性优于方差。 3. 箱线图 由最小值、Q1、Q2、Q3、最大值五个关键值绘制而成，直观展示数据的分布、集中趋势和离散程度，可快速对比两组数据的整体特征。 24.4 数据的分组 1. 分组原则 根据数据的取值范围，合理划分组距、组数，保证数据不重不漏、分布均匀，能够清晰反映数据的整体分布规律。 2. 适用场景 针对数据量较大、数值分散的数据集，通过分组整理数据，可简化数据分析过程，结合统计量精准描述数据特征。 04 题型•汇总 【题型1 求离差平方和】 解题技巧 1. 先计算一组数据的平均数；2. 逐个计算每个数据与平均数的离差平方；3. 将所有平方值求和，即为离差平方和。 【典例1】．学校组织了“安全知识”小竞赛，某班的5位同学成绩（单位：分）如下：90，91，92，95，95．将这组数据按从小到大排列，则与的组内离差平方和为（     ） A．0 B．1 C．2 D．5 【变式1】．下表是 10 个城市月均最高气温不同分法的组内离差平方和统计： 分组位置 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第 1 个间隔 0 584.2 584.2 第 2 个间隔 32 380.9 412.9 第 3 个间隔 98.7 285.7 384.4 第 4 个间隔 132 158.8 290.8 第 5 个间隔 228.8 113.2 342 第 6 个间隔 308.8 62 370.8 第 7 个间隔 397.4 14 411.4 第 8 个间隔 562 0.5 562.5 第 9 个间隔 789.6 0 789.6 根据上表，组内离差平方和最小的分组位置是（ ） A．第3个间隔 B．第4个间隔 C．第5个间隔 D．第6个间隔 【变式2】．某女子合唱组合的身高分别是、、、和，那么这个合唱组合身高的离差平方和是___________；如果新加入一名成员的身高为，新的组合身高的方差为___________． 【变式3】．下表是4名学生的数学测试成绩： 学生编号 1 2 3 4 成绩 / 分 72 80 85 93 将这些成绩按从低到高排列后，共有多少种不同的分法？请计算每种分法的组内离差平方和，并找出最优分组． 【题型2 离差平方和的应用】 解题技巧 1. 离差平方和可直接对比多组数据波动大小，样本数量相同时，平方和越小，数据越稳定；2. 可结合平方和推导方差，解决后续稳定性问题；3. 实际应用中，用于判断数据偏离平均水平的整体程度。 【典例2】．某班有5名同学参加一分钟跳绳比赛，体育老师要将他们分成两组进行训练，使得同一组内同学的跳绳成绩尽量接近，便于统一安排训练强度．将5名同学的跳绳次数从小到大排序后分成两组，共有4种分组情况，各组对应的组内离差平方和如下表所示： 序号 分组情况 组内离差平方和 1 第一组1人，第二组4人 2 第一组2人，第二组3人 3 第一组3人，第二组2人 4 第一组4人，第二组1人 则5名同学跳绳成绩的最优分组序号是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】．某班6名学生的数学成绩（单位：分）如下：80，83，86，89，92，95．老师准备将他们分成两组（每组3人）进行对比分析，现有三种分组方案： 方案 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 A 80，83，89 86，92，95 84 B 80，83，86 89，92，95 36 C 80，86，92 83，89，95 144 上述三种分组方案中，较为合理的是__________． 【变式2】．有6个水蜜桃测出了他们的值（糖度值，值越大越甜）如下：16、17、18、18、18、19；以下是计算各种情况的组内离差平方和表（精确到）： 组序 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 1 16 17、18、18、18、19 2 16、17 18、18、18、19 3 16、17、18 18、18、19 4 16、17、18、18 18、19 5 16、17、18、18、18 19 (1)将表格补充完整 (2)如果要将这组水蜜桃分为“优品”和“精品”，应该如何分，为什么？ 【变式3】．综合与实践 刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图． 如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 0 1 2 3 4 观察值 【建立模型】 小组讨论发现：“”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似的刻画水面高度与流水时间的关系． (1)任务1：利用时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数表达式． 【模型优化】 经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小． 为了减少偏差，小组同学利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：． 把自变量值代入各函数所对应的表达式，所得的值如表： 0 1 2 3 4 观察值 对于，计算，同理，的值为的值为． 任务2： (2)计算任务1得到的函数表达式的值； (3)写出你认为最优的函数表达式：__________． 【设计刻度】 得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务3： (4)小方同学也记录了一组数据，请你结合实际情况，判断这组数据的准确性并说明原因． 0 1 2 3 4 观察值 10 5 2 【题型3 求方差】 解题技巧 通用三步法：①算平均数；②求各数据离差平方和；③除以数据总个数n。可使用简化公式快速计算：，大幅减少计算量。 【典例3】．小明根据方差公式，分析和计算得出了四个结论，其中不正确的是（    ） A． B．中位数是 C． D． 【变式1】．某校九（1）班与两年前相比学生没有变动，则该班学生年龄的平均数和方差，与两年前相比分别（     ） A．不变，改变 B．增大两岁，不变 C．增大两岁，改变 D．不变，不变 【变式2】．已知一组数据1，3，5，7，9的方差是8，则另一组数据11，13，15，17，19的方差为 ____________． 【变式3】．为深入落实科教兴国、人才强国战略，切实培育青少年科学素养与创新意识，激发广大青少年崇尚科学、探索未知、勇于创新的科学精神，某校开展了科技主题研学活动，活动结束后，学校以自愿报名的形式组织了校园科学知识竞赛，竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（均为5的倍数，单位：分，满分100分）中各随机抽取10名学生的成绩进行整理分析，并绘制了如下统计图表． 七、八年级所抽取学生成绩折线统计图 七、八年级所抽取学生成绩的统计量如下表： 平均数 众数 中位数 方差 七年级 92 90 八年级 92 90 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中的____________，____________，________（填“”“”“”）； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生科学知识掌握较好？请说明理由． 【题型4 利用方差求未知数据的值】 解题技巧 1. 设未知数据为未知数，结合平均数公式表示出整体平均数；2. 代入方差公式列出方程；3. 解方程求出未知值，最后代入验证方差是否符合题意。 【典例4】．已知一组数据的方差．那么这组数据的总和为（   ） A．32 B．28 C．24 D．8 【变式1】．数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段．请根据如下某组数据的方差计算式：得到以下结论，则下列结论不正确的是（    ） A．这组数据的中位数是3 B． C．这组数据的众数是3 D．这组数据的方差是3 【变式2】．小明在计算一组数据的方差时，列出下面没有化简的式子：，根据这个式子，可以计算出这组数据的平均数是______． 【变式3】．数据的平均数是，方差的计算公式是，现有一组数据的平均数是，方差，则___________． 【题型5 根据方差判断稳定性】 解题技巧 1. 多组数据平均数相等或相近时，方差越小，数据稳定性越强；2. 方差越大，数据波动越大、参差不齐；3. 可结合离差平方和辅助判断（样本量相同）。 【典例5】．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（） 185 180 185 180 方差 3.6 3.6 6.4 7.1 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式1】．甲、乙、丙、丁四人参加射击训练，经过三组练习，他们的平均成绩都是9.5环，方差分别是，（     ）的成绩更稳定． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式2】．在奥运会备战训练中，中国四位射击运动员10次练习的平均成绩均为环．他们这10次练习成绩的方差如下表所示，则这四位选手中，成绩最稳定的是________． 甲 乙 丙 丁 【变式3】．在“课间一刻钟”活动中，甲、乙、丙三名同学相约到篮球场进行定点投篮练习，共设置5轮投篮，每轮每人投篮5次，投中次数统计整理如下： 甲：2，2，4，5，5； 乙：2，3，4，4，5； 丙：3，3，4，4，4． 根据方差越小，数据的波动越小，发挥越稳定这一统计意义，据此推断，________同学发挥更稳定． 【题型6 运用方差做决策】 解题技巧 1. 优先对比平均数：平均数更高为优选基础；2. 平均数相同时，选择方差更小、更稳定的方案；3. 特殊场景（如竞赛、选拔冲刺型选手），可选择方差稍大、波动大但上限高的数据。 【典例6】．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近10次选拔赛成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（） 方差 根据表中的数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（    ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式1】．我国新能源汽车产业实现了快速发展，产销量和出口量均居世界第一，形成了完整且竞争力强的产业链，涌现了一批具有国际竞争力的企业.某汽车制造公司对旗下四款新型新能源汽车进行续航性能测试，测试结果记录了甲、乙、丙、丁四种车型在满电状态下的平均续航里程（单位：）与续航里程的方差，根据表中数据，要选择一款平均续航里程长且续航表现稳定的车型投入市场，应该选择（   ） 车型 甲 乙 丙 丁 平均续航里程 420 420 410 400 续航里程的方差 0.03 0.06 0.03 0.05 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式2】．某团队为研究不同施肥方案对小麦产量的影响，在试验田中控制影响小麦生长的其他因素，分别选用甲、乙、丙、丁四种方案施肥，个月后得到如下统计结果： 施肥方案 甲 乙 丙 丁 单穗粒数的平均数 单穗粒数的方差 在本次试验中，从单穗粒数的平均数与方差角度看，四种施肥方案中效果最好的是________． 【变式3】．教练对甲、乙、丙、丁四位同学近期多次100米短跑成绩进行了收集，整理，得到如下统计表．现需从这四位同学中选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加田径运动会，那么应选______． 学生 项目 甲 乙 丙 丁 平均数（秒） 16 15 15 16 方差 30.33 28.95 35.63 42.98 【题型7 求四分位数】 解题技巧 1. 排序：将数据从小到大严格排列；2. 定位：数据个数为n，Q2位置为或，Q1为前半段数据中位数，Q3为后半段数据中位数；3. 取值：奇数个数据取中间值，偶数个数据取中间两个数的平均值。 【典例7】．某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中8名同学的成绩（单位：分）分别为：85，81，82，86，82，83，92，89．关于这组数据，下列说法中正确的是（    ） A．众数是92 B．中位数是84.5 C．平均数是84 D．第三四分位数是87.5 【变式1】．据调查，某班30名学生所穿鞋子鞋号统计如下： 鞋号 20 21 22 23 24 频数 1 8 6 14 1 则该班学生所穿鞋子鞋号的上四分位数和众数分别是（     ） A．22，23 B．23，23 C．6，14 D．22.5，14 【变式2】．如图是嘉淇某月1号到6号用于体育锻炼的时间的折线统计图，则该组数据的下四分位数是____分钟． 【变式3】．已知4名学生的期中考试数学成绩（单位：分）按照从小到大排列分别为98，110，m，120，且第三四分位数为118，则m的值为___________． 【题型8 画箱线图】 解题技巧 1. 确定五个核心值：最小值、Q1、中位数Q2、Q3、最大值；2. 在数轴上标出五个点；3. 连接Q1、Q2、Q3绘制矩形箱体，连接箱体与最值绘制线段；4. 标注清晰数值与数轴刻度。 【典例8】．如图，老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图，根据该图判断下列说法错误的是（　　） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大 C．丙班得分低于80分的人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42名学生，则这三个班级的第11名中，丙班的分数最高 【变式1】．学校体育检测中，记录了男、女各10名学生1分钟跳绳的个数，绘制了箱线图（如图），下列说法错误的是（    ） A．男生跳绳个数最多为208个 B．女生跳绳成绩更稳定 C．男生跳绳个数的中位数小于女生跳绳个数的中位数 D．男生跳绳个数的平均数大于女生跳绳个数的平均数 【变式2】．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），则下列说法错误的是_________________ ．（填序号） ①三个班级中，甲班分数的方差最小；②三个班级中，乙班分数的波动最大；③丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数；④若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高． 【变式3】．在以“运动强体魄，青春绽光彩”为主题的跳绳比赛中，已知八年级1班和2班的人数相等．两个班成绩的箱线图如图所示，由图可知_______班成绩更集中． 【题型9 根据要求选择合适的统计量】 解题技巧 1. 反映数据平均水平、整体高低：选平均数；2. 反映数据中间水平、不受极端值影响：选中位数、四分位数；3. 反映数据波动、离散程度：选方差、四分位距；4. 反映数据集中趋势：平均数、中位数均可。 【典例9】．衡量一组数据波动大小的统计量是（     ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【变式1】．下列统计量中，能够反映一组数据分散程度的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．离差平方和 D．众数 【变式2】．在平均数、中位数、众数、方差等几个统计量中，最能刻画数据波动（离散）程度的量是______． 【变式3】．对于一组数据：x1，x2，x3，…，x10，若去掉一个最大值和一个最小值，则下列统计量一定不会发生变化的是________．①平均数；②中位数；③众数；④方差． 【题型10 利用合适的统计量做决策】 解题技巧 1. 日常稳定性、常规选拔：平均数优先，辅以方差（稳中有优）；2. 数据偏差大、有极端值：中位数、四分位数优先；3. 对比数据分布范围：用四分位距、最值；4. 全面分析：集中趋势+离散程度双向结合。 【典例10】．某餐厅推出四种新款粽子（分别以甲、乙、丙、丁表示），请顾客试吃后选出最喜欢的品种．结果反馈如下：丙丁丙甲甲乙甲乙甲乙甲．通过以上数据，你能获得的信息是（    ） A．喜欢乙款粽子的人数占总人数的一半 B．丙款粽子比乙款粽子更受欢迎 C．喜欢丁款粽子的人数占总人数的五分之一 D．甲款粽子最受欢迎 【变式1】．学校准备设计一款女生校服，对全校女生喜欢的颜色进行了问卷调查，统计如下表所示： 颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 学生人数 100 180 220 80 750 学校决定采用红色，可用来解释这一现象的统计知识是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 【变式2】．某药店销售五种品牌的N95型口罩，店长统计了近一个月内这五种N95型口罩的销售量如下表： 品牌 A B C D E 销售量/盒 14 27 11 8 6 则近期在进货时，该药店店长最应关注的是这组数据的_____________． 【变式3】．位学生分别购买如下尺码的鞋子：，，，，，，，，，单位：这组数据的平均数、中位数、众数三个指标中鞋店老板最不喜欢的是______，最喜欢的是______． 05 过关•检测 1．乐乐同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：8.8，7.0，9.0，10，9.0，7.0，9.4，工作人员根据评委所打的分数对这组数据平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（     ）． A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数 2．随着上海国际花卉节的举行，这两天，上海街头各异的绿化带造型，频频在社交媒体上引发爆点．如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化．关于这两个统计量的变化情况，下面描述正确的是（    ） A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数变大，方差变小 D．平均数和方差均不变 3．甲、乙、丙、丁四名短跑运动员最近几次选拔赛的平均成绩（单位：秒）和方差（单位：）如表所示，根据表中数据，要从他们四人中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（     ） 甲 乙 丙 丁 平均成绩/秒 方差/ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．今年五一期间，遵义高速交警在限速的某路段监测到6辆车的车速（单位：）分别为：117，102，106，120，117，113．若将这组数据中的113去掉，则下列统计量中不发生变化的是（     ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 5．某女子排球队场上队员的身高（单位：）是：172，174，178，180，180，184．现换下身高为和的两名队员，换上身高为和的两名替补队员，与换人前相比，场上队员的身高（    ） A．平均数不变，方差变大 B．平均数不变，方差不变 C．平均数不变，方差变小 D．平均数变小，方差变小 6．“幸福指数”是指某个人主观的评价对自己目前生活状态的满意程度的指标．常用0到10（含0与10）的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取6位小区居民，他们的“幸福指数”分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第三四分位数是（     ） A．5 B．6.5 C．7 D．8 7．小明记录了自己10分钟内每分钟的心跳次数，并绘制了如图所示的统计图，则下列结论错误的是（    ） A．下四分位数是80 B．平均数是79 C．中位数是80 D．10分钟内总心跳次数是790次 8．老师记录了全班40名学生跳绳的次数，绘制了箱线图如图，则跳绳次数的上四分位数是（     ） A．162 B．144 C．136 D．132 9．小明同学对数据进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水污染已无法看清，则下列统计量与被污染数字无关的是（    ） A．平均数 B．离差平方和 C．中位数 D．方差 10．若将排序后的数据分为两组，计算组内离差平方和时需（   ） A．仅计算第一组的离差平方和 B．计算两组离差平方和的总和 C．仅计算最大值与最小值的差 D．计算两组离差平方和的平均数 11．将一组数据，，，，，分成前个一组，后个一组，则这组数据的组内离差平方和是___________． 12．如图，甲、乙两名射击运动员进行射击训练，各射10发，将他们的射击成绩绘制成如下的扇形统计图，设甲、乙两人成绩的方差分别为，，则__________（填“”“”或“”） 13．2025年在澳大利亚举行的第66届国际数学奥林匹克竞赛（IMO）中，中国代表队发挥出色，获得团体总分第一名，也是本届比赛唯一一支所有队员都获得金牌的队伍．中国队参赛队员比赛成绩的方差可用公式来计算，由该公式可知中国队参赛队员比赛成绩的中位数为______． 14．从甲、乙两名学生中选拔一人参加科技创新知识竞赛，在相同条件下对他们的科技创新知识进行了次测验，经计算知：，，这表明______（填写“甲”或“乙”）的成绩更稳定． 15．天然气是洁净燃气，供应稳定，能够改善空气质量，因而能为地区经济发展提供新的动力，带动经济繁荣及改善环境．多年来，我国工业天然气生产稳定增长，某段时间，天然气日均产量（单位：亿立方米）依次为6.1，6.1，5.9，5.8，6.0，6.1，6.6，6.7，6.9，7.0，6.6，6.5，这组数据的第三四分位数是_________． 16．甲、乙、丙、丁四支排球队队员身高情况箱线图如图所示，身高最集中的是___队． 17．学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是___________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 44 ② 第一组2个，第二组2个 28 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 18．某单位设有6个部门，共153人，如下表：该单位组织了“学党史，促提升”每周答题活动，一共10道题，每题10分，满分100分．某周的周三，有一个部门还没有参与答题，其余5个部门全部完成了答题，得分为100分、90分、80分、70分和60分的人数之比为，尚未参与答题的部门是___________． 部门 部门1 部门2 部门3 部门4 部门5 部门6 人数 26 16 22 32 43 14 19．通过19.2节的阅读材料我们了解到，位于西北的乌鲁木齐2022年7月1日当日温差大于位于西南的南宁，如果比较这两地月平均气温（单位：），那么结果会如何呢？下表是国家统计局在《中国统计年鉴2021》中给出的2020年两地每月的平均气温，请据此回答2020年乌鲁木齐月平均气温的变化幅度是否大于南宁． 2020年乌鲁木齐和南宁每月的平均气温 单位： 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 乌鲁木齐 2.9 16.4 19.9 21.7 23.8 23.3 16.1 8 1.3 南宁 15.4 16.5 19 19.7 27.4 28.5 29.2 27.6 26.6 22.1 20.2 13.4 20．下表是10个城市月均最高气温不同分法的组内离差平方和统计： 分组位置 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第 1 个间隔 0 584.2 584.2 第 2 个间隔 32 380.9 412.9 第 3 个间隔 98.7 285.7 384.4 第 4 个间隔 132 158.8 290.8 第 5 个间隔 228.8 113.2 342 第 6 个间隔 308.8 62 370.8 第 7 个间隔 397.4 14 411.4 第 8 个间隔 562 0.5 562.5 第 9 个间隔 789.6 0 789.6 根据上表，计算按第4个间隔分组时的组间离差平方和．（提示：总离差平方和组内离差平方和组间离差平方和，总离差平方和为875.0） 21．根据国家统计局《中国统计年鉴2021》报告，南京和福州两地2020年各月降水量（单位：）数据如下表所示： 单位： 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 南京 75.2 35.5 89.8 70.8 33.7 281.6 271.9 114.3 82.8 64.9 76.8 20.5 福州 28.2 65.2 262.8 63.9 262.6 224.1 81.7 80 119.4 5.6 0.5 16.5 (1)两地2020年的月平均降水量各是多少毫米？它们相近吗？ (2)你认为这两个城市该年的降水情况相近吗？请作比较． 22．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 a 70 八年级 m b c (1)上述表中，_______，_______，并补全七年级的箱线图； (2)求八年级所抽取学生的平均成绩m； (3)若该校八年级有600名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数； (4)你认为本次活动，哪个年级的学生成绩更好？请结合统计图进行说明． 23．社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有、两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 B阅览室：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 方差 A 48 48 58.01 B 49.5 332.25 (1)上述表中，________，________，________； (2)小明计算出A阅览室预约人数的四分位数，，；并绘制了箱线图，请求出B阅览室预约人数的四分位数并将箱线图补充完整； (3)根据上述材料分析，社区应该挑选哪间阅览室？请说明你的理由． 24．社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有A、B两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 B阅览室：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 A a 48 48 B 49.5 b c (1)上述表中，_______，_______，_______； (2)小明计算出A阅览室预约人数的四分位数；并绘制了箱线图，请求出B阅览室预约人数的四分位数，并绘制箱线图； (3)根据上述材料分析，社区应该挑选哪间阅览室？请说明你的理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.2数据的离散程度24.3四分位数24.4数据的分组 （6知识点+10题型+过关检测） 【题型1 求离差平方和】 2 【题型2 离差平方和的应用】 5 【题型3 求方差】 11 【题型4 利用方差求未知数据的值】 14 【题型5 根据方差判断稳定性】 16 【题型6 运用方差做决策】 18 【题型7 求四分位数】 20 【题型8 画箱线图】 22 【题型9 根据要求选择合适的统计量】 25 【题型10 利用合适的统计量做决策】 26 1. 掌握数据离散程度的核心概念，理解离差平方和、方差的定义与实际意义，能够熟练计算一组数据的离差平方和、方差。 2. 学会利用方差分析数据的波动大小、稳定性，掌握结合方差、平均数进行实际问题决策的方法。 3. 理解四分位数的定义，熟练掌握四分位数的求解步骤，能够根据数据绘制标准箱线图，并解读箱线图包含的数据信息。 03 知识•梳理 24.2 数据的离散程度 1. 离差 单个数据与数据平均数的差值，即：，反映单个数据偏离平均水平的程度。正负代表偏离方向，绝对值代表偏离大小。 2. 离差平方和 一组数据中所有数据与平均数离差的平方之和，公式：。彻底消除离差正负抵消问题，整体反映数据的总偏离程度，平方和越大，数据整体波动越大。 3. 方差 离差平方和的平均值，分为总体方差与样本方差，初中阶段默认总体方差，公式：。方差是描述数据离散程度的核心统计量，方差越小，数据越稳定、波动越小；方差越大，数据越分散、波动越大。 24.3 四分位数 1. 定义 将一组从小到大有序排列的数据平均分为四等份，处于三个分割位置的数值即为四分位数，共三个：下四分位数（Q1）、中位数（Q2）、上四分位数（Q3）。 Q1：前50%数据的中位数（25%分位数）；Q2：整体数据中位数（50%分位数）；Q3：后50%数据的中位数（75%分位数）。 2. 四分位距 公式：，反映中间50%数据的波动范围，不受极端值影响，稳定性优于方差。 3. 箱线图 由最小值、Q1、Q2、Q3、最大值五个关键值绘制而成，直观展示数据的分布、集中趋势和离散程度，可快速对比两组数据的整体特征。 24.4 数据的分组 1. 分组原则 根据数据的取值范围，合理划分组距、组数，保证数据不重不漏、分布均匀，能够清晰反映数据的整体分布规律。 2. 适用场景 针对数据量较大、数值分散的数据集，通过分组整理数据，可简化数据分析过程，结合统计量精准描述数据特征。 04 题型•汇总 【题型1 求离差平方和】 解题技巧 1. 先计算一组数据的平均数；2. 逐个计算每个数据与平均数的离差平方；3. 将所有平方值求和，即为离差平方和。 【典例1】．学校组织了“安全知识”小竞赛，某班的5位同学成绩（单位：分）如下：90，91，92，95，95．将这组数据按从小到大排列，则与的组内离差平方和为（     ） A．0 B．1 C．2 D．5 【答案】C 【分析】本题根据组内离差平方和的定义求解，分别计算两组的组内离差平方和，再相加即可得到结果． 【详解】首先计算第一组的离差平方和 ， 第一组的平均数， 第一组离差平方和， 再计算第二组的离差平方和， 第二组的平均数， 第二组离差平方和， 总组内离差平方和为 ． 【变式1】．下表是 10 个城市月均最高气温不同分法的组内离差平方和统计： 分组位置 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第 1 个间隔 0 584.2 584.2 第 2 个间隔 32 380.9 412.9 第 3 个间隔 98.7 285.7 384.4 第 4 个间隔 132 158.8 290.8 第 5 个间隔 228.8 113.2 342 第 6 个间隔 308.8 62 370.8 第 7 个间隔 397.4 14 411.4 第 8 个间隔 562 0.5 562.5 第 9 个间隔 789.6 0 789.6 根据上表，组内离差平方和最小的分组位置是（ ） A．第3个间隔 B．第4个间隔 C．第5个间隔 D．第6个间隔 【答案】B 【分析】根据第4个间隔对应的数值290.8是所有分法中最小的组内离差平方和求解即可． 【详解】解：观察上表最后一列 “组内离差平方和”，可以发现第4个间隔对应的数值290.8是所有分法中最小的． 【变式2】．某女子合唱组合的身高分别是、、、和，那么这个合唱组合身高的离差平方和是___________；如果新加入一名成员的身高为，新的组合身高的方差为___________． 【答案】 【分析】先求出平均数，再运用公式直接求出离差平方和和方差，注意带单位，计算方差时，注意人数从5个变成了6个． 【详解】平均数为：， 离差平方和为：； 当新增一人的身高为时，与平均数相等，因此离差平方和不变还是； 方差为：． 【变式3】．下表是4名学生的数学测试成绩： 学生编号 1 2 3 4 成绩 / 分 72 80 85 93 将这些成绩按从低到高排列后，共有多少种不同的分法？请计算每种分法的组内离差平方和，并找出最优分组． 【答案】共有3种不同的分法．最优分组是和． 【分析】根据成绩按从低到高排列，然后再按第1个间隔，第2个间隔，第3个间隔分组，然后分别求出对应的组内离差平方和，比较即可得出答案． 【详解】解：步骤1：将成绩按从低到高排列：72，80，85，93． 步骤 2：共有种不同的分法． 步骤 3：计算每种分法的组内离差平方和： 分法1（第1个间隔）：和； 第一组离差平方和； 第二组平均数：，离差平方和：； 组内离差平方和：． 分法2（第2个间隔）：和； 第一组平均数：，离差平方和：； 第二组平均数：，离差平方和：； 组内离差平方和：． 分法3（第3个间隔）：和； 第一组平均数，离差平方和：； 第二组离差平方和0；组内离差平方和． 步骤 4：比较组内离差平方和，64最小， 答：共有3种不同的分法；最优分组是和． 【题型2 离差平方和的应用】 解题技巧 1. 离差平方和可直接对比多组数据波动大小，样本数量相同时，平方和越小，数据越稳定；2. 可结合平方和推导方差，解决后续稳定性问题；3. 实际应用中，用于判断数据偏离平均水平的整体程度。 【典例2】．某班有5名同学参加一分钟跳绳比赛，体育老师要将他们分成两组进行训练，使得同一组内同学的跳绳成绩尽量接近，便于统一安排训练强度．将5名同学的跳绳次数从小到大排序后分成两组，共有4种分组情况，各组对应的组内离差平方和如下表所示： 序号 分组情况 组内离差平方和 1 第一组1人，第二组4人 2 第一组2人，第二组3人 3 第一组3人，第二组2人 4 第一组4人，第二组1人 则5名同学跳绳成绩的最优分组序号是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，要使同一组内成绩尽量接近，组内离差平方和越小，说明组内成绩越接近，因此只需比较四种分组的组内离差平方和，找到最小值对应的分组序号即可． 【详解】解：∵ ， ∴序号2对应的组内离差平方和最小，为最优分组． 【变式1】．某班6名学生的数学成绩（单位：分）如下：80，83，86，89，92，95．老师准备将他们分成两组（每组3人）进行对比分析，现有三种分组方案： 方案 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 A 80，83，89 86，92，95 84 B 80，83，86 89，92，95 36 C 80，86，92 83，89，95 144 上述三种分组方案中，较为合理的是__________． 【答案】B 【分析】分组对比时，组内离差平方和越小，说明组内数据波动越小，分组越合理，只需比较三个方案的组内离差平方和大小即可得到结果． 【详解】解：比较三种方案的组内离差平方和可得：， ∴方案B的组内离差平方和最小，分组最为合理． 【变式2】．有6个水蜜桃测出了他们的值（糖度值，值越大越甜）如下：16、17、18、18、18、19；以下是计算各种情况的组内离差平方和表（精确到）： 组序 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 1 16 17、18、18、18、19 2 16、17 18、18、18、19 3 16、17、18 18、18、19 4 16、17、18、18 18、19 5 16、17、18、18、18 19 (1)将表格补充完整 (2)如果要将这组水蜜桃分为“优品”和“精品”，应该如何分，为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)优品：16、17；精品：18、18、18、19；理由见解析 【分析】（1）根据组内离差平方和的计算公式，计算即可； （2）小题核心是比较表格中5种分组方案的组内离差平方和的大小，要想将水蜜桃分为优品和精品两种，需要两个分组中值尽可能接近，使得分组合理，所以选出组内离差平方和最小即可． 【详解】（1）解：第1组数据为16、17，则平均数为， 第2组数据为：18、18、18、19，则平均数为， ∴组内离差平方和为：； 第1组数据为16、17、18，则平均数为， 第2组数据为：18、18、19，则平均数为， ∴组内离差平方和为：； 填报如下： 组序 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 1 16 17、18、18、18、19 2 16、17 18、18、18、19 3 16、17、18 18、18、19 4 16、17、18、18 18、19 5 16、17、18、18、18 19 （2）解：因为前2个一组，后4个一组时的组内离差平方和为最小，所以分组如下： 优品：16、17 精品：18、18、18、19． 【变式3】．综合与实践 刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图． 如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 0 1 2 3 4 观察值 【建立模型】 小组讨论发现：“”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似的刻画水面高度与流水时间的关系． (1)任务1：利用时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数表达式． 【模型优化】 经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小． 为了减少偏差，小组同学利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：． 把自变量值代入各函数所对应的表达式，所得的值如表： 0 1 2 3 4 观察值 对于，计算，同理，的值为的值为． 任务2： (2)计算任务1得到的函数表达式的值； (3)写出你认为最优的函数表达式：__________． 【设计刻度】 得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务3： (4)小方同学也记录了一组数据，请你结合实际情况，判断这组数据的准确性并说明原因． 0 1 2 3 4 观察值 10 5 2 【答案】(1) (2) (3) (4)准确性较高，原因见解析 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数表达式； （2）利用题干所给偏差计算公式求出对应的值； （3）通过比较偏差确定最优函数表达式； （4）结合实际情况作答即可． 【详解】（1）解：设一次函数解析式是， ，，时，， 则， 解得：， 一次函数的解析式是； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ； （3）解：由题意可知： 对于，， 的值为， 的值为， 其中对应的值最小为， 即的偏差最小， 为最优函数表达式； （4）解：准确性较高． 因为随着h降低，液体对容器底部压强变小，会使得水流速度变慢，满足题中出现的方程， 因此数据准确性较高． 【题型3 求方差】 解题技巧 通用三步法：①算平均数；②求各数据离差平方和；③除以数据总个数n。可使用简化公式快速计算：，大幅减少计算量。 【典例3】．小明根据方差公式，分析和计算得出了四个结论，其中不正确的是（    ） A． B．中位数是 C． D． 【答案】B 【分析】从给出的方差公式中可直接得到数据个数和这组数据的平均数，依次计算，中位数和方差，即可判断各选项正误． 【详解】解：∵方差公式为， ∴这组数据共5个，平均数为3，可得，C结论正确，不符合题意； 由平均数的定义得， 解得，A结论正确，不符合题意； 将这组数据从小到大排列为，共5个数，中位数为第3个数，即中位数为， ∴B结论错误，符合题意； 计算方差得：， ∴D结论正确，不符合题意． 【变式1】．某校九（1）班与两年前相比学生没有变动，则该班学生年龄的平均数和方差，与两年前相比分别（     ） A．不变，改变 B．增大两岁，不变 C．增大两岁，改变 D．不变，不变 【答案】B 【分析】根据平均数和方差的定义计算变化即可得出结论． 【详解】设该班有名学生，两年前学生年龄分别为，，，，两年前年龄平均数为，方差为， 则，， 现在每名学生年龄都增加岁，则学生年龄分别为，，，， ， ， 平均数增大两岁，方差不变． 【变式2】．已知一组数据1，3，5，7，9的方差是8，则另一组数据11，13，15，17，19的方差为 ____________． 【答案】8 【详解】把数据1，3，5，7，9每个数加10得到新数据11，13，15，17，19， 因为一组数据加上同一个常数，方差不变，故方差仍为8． 【变式3】．为深入落实科教兴国、人才强国战略，切实培育青少年科学素养与创新意识，激发广大青少年崇尚科学、探索未知、勇于创新的科学精神，某校开展了科技主题研学活动，活动结束后，学校以自愿报名的形式组织了校园科学知识竞赛，竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（均为5的倍数，单位：分，满分100分）中各随机抽取10名学生的成绩进行整理分析，并绘制了如下统计图表． 七、八年级所抽取学生成绩折线统计图 七、八年级所抽取学生成绩的统计量如下表： 平均数 众数 中位数 方差 七年级 92 90 八年级 92 90 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中的____________，____________，________（填“”“”“”）； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生科学知识掌握较好？请说明理由． 【答案】(1)100，90， (2)八年级的学生科学知识掌握较好 【分析】（1）根据中位数、众数、方差的定义进行解答即可； （2）根据平均数、中位数、众数进行判断即可． 【详解】（1）解：七年级学生成绩的众数为：100； 八年级学生成绩的中位数为：； ∴，． 根据折线统计图，七年级学生成绩的波动程度更大， ∴． （2）解：∵七八年级学生成绩的平均数、中位数相同，而七年级学生成绩的众数大于八年级学生成绩的众数， ∴八年级的学生科学知识掌握较好． 【题型4 利用方差求未知数据的值】 解题技巧 1. 设未知数据为未知数，结合平均数公式表示出整体平均数；2. 代入方差公式列出方程；3. 解方程求出未知值，最后代入验证方差是否符合题意。 【典例4】．已知一组数据的方差．那么这组数据的总和为（   ） A．32 B．28 C．24 D．8 【答案】A 【分析】根据方差的定义，从题给方差表达式中可得到这组数据的个数和平均数，再计算总和即可得到结果． 【详解】解：∵方差的计算公式为，其中是数据的个数，是这组数据的平均数， 对比题中给出的方差， 可得数据个数，这组数据的平均数， ∴这组数据的总和为． 【变式1】．数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段．请根据如下某组数据的方差计算式：得到以下结论，则下列结论不正确的是（    ） A．这组数据的中位数是3 B． C．这组数据的众数是3 D．这组数据的方差是3 【答案】D 【分析】根据方差计算公式确定原数据和数据个数，再结合中位数、众数定义判断各选项即可． 【详解】解：∵方差计算公式为， ∴这组数据为，，，，，数据个数，故B正确； ∵这个数的第个数据是， ∴中位数为，故A正确； ∵数据中出现次，次数最多， ∴众数为，故C正确； 计算平均数得， 代入方差公式得， ∴D不正确． 【变式2】．小明在计算一组数据的方差时，列出下面没有化简的式子：，根据这个式子，可以计算出这组数据的平均数是______． 【答案】 3 【分析】本题考查了方差的定义及平均数的计算，解题的关键是从方差公式中识别数据点并计算平均数． 由方差公式可知式子中的数据点为、、、，然后通过算术平均数公式计算即可． 【详解】解：由方差公式可得数据点为、、、，则平均数 故答案为：． 【变式3】．数据的平均数是，方差的计算公式是，现有一组数据的平均数是，方差，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了方差的公式，熟记方差公式是解题的关键．通过方差表达式中的系数可知数据的频数，从而计算平均数． 【详解】解：从方差表达式中的系数可知，数据组中包含2个7，1个6，3个9，3个8，1个10，共10个数据， 这些数据的和为， 所以平均数． 故答案为：． 【题型5 根据方差判断稳定性】 解题技巧 1. 多组数据平均数相等或相近时，方差越小，数据稳定性越强；2. 方差越大，数据波动越大、参差不齐；3. 可结合离差平方和辅助判断（样本量相同）。 【典例5】．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（） 185 180 185 180 方差 3.6 3.6 6.4 7.1 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查平均数和方差的意义，平均数越大代表整体成绩越好，方差越小代表发挥越稳定，先比较平均数筛选出成绩好的运动员，再比较方差即可选出符合要求的人选． 【详解】解：∵ ， ∴ 从甲和丙中选择一人参加比赛； ∵ ，方差越小发挥越稳定， ∴ 甲成绩好且发挥稳定，应选择甲． 【变式1】．甲、乙、丙、丁四人参加射击训练，经过三组练习，他们的平均成绩都是9.5环，方差分别是，（     ）的成绩更稳定． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查方差的性质．方差用来衡量数据的波动程度，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，比较四人方差的大小即可得到结果． 【详解】解：平均成绩相同时，方差越小成绩越稳定， 又， 甲的方差最小，甲的成绩更稳定． 【变式2】．在奥运会备战训练中，中国四位射击运动员10次练习的平均成绩均为环．他们这10次练习成绩的方差如下表所示，则这四位选手中，成绩最稳定的是________． 甲 乙 丙 丁 【答案】甲 【分析】当各组数据平均数相等时，方差越小，成绩波动越小，成绩越稳定，据此即可解答． 【详解】解：四位运动员10次练习的平均成绩相等，且方差， 甲的方差最小，甲的成绩最稳定． 【变式3】．在“课间一刻钟”活动中，甲、乙、丙三名同学相约到篮球场进行定点投篮练习，共设置5轮投篮，每轮每人投篮5次，投中次数统计整理如下： 甲：2，2，4，5，5； 乙：2，3，4，4，5； 丙：3，3，4，4，4． 根据方差越小，数据的波动越小，发挥越稳定这一统计意义，据此推断，________同学发挥更稳定． 【答案】丙 【分析】先计算三组数据的平均数，再根据方差公式计算三组数据的方差，比较方差大小，根据方差越小数据波动越小发挥越稳定的性质，得到结论． 【详解】解：，，， ∴，，， ∵， ∴丙同学的方差最小，发挥更稳定． 【题型6 运用方差做决策】 解题技巧 1. 优先对比平均数：平均数更高为优选基础；2. 平均数相同时，选择方差更小、更稳定的方案；3. 特殊场景（如竞赛、选拔冲刺型选手），可选择方差稍大、波动大但上限高的数据。 【典例6】．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近10次选拔赛成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（） 方差 根据表中的数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（    ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】要选择成绩好且发挥稳定的运动员，需先通过平均数判断成绩好坏，平均数越大成绩越好，再通过方差判断稳定性，方差越小发挥越稳定． 【详解】解：∵由表中数据可知 ∴甲和丙的平均成绩更好． 又∵，，可得 ∴丙的方差更小，发挥更稳定． 综上，应选择丙参加比赛． 【变式1】．我国新能源汽车产业实现了快速发展，产销量和出口量均居世界第一，形成了完整且竞争力强的产业链，涌现了一批具有国际竞争力的企业.某汽车制造公司对旗下四款新型新能源汽车进行续航性能测试，测试结果记录了甲、乙、丙、丁四种车型在满电状态下的平均续航里程（单位：）与续航里程的方差，根据表中数据，要选择一款平均续航里程长且续航表现稳定的车型投入市场，应该选择（   ） 车型 甲 乙 丙 丁 平均续航里程 420 420 410 400 续航里程的方差 0.03 0.06 0.03 0.05 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查平均数和方差的实际意义，平均数越大代表平均续航里程越长，方差越小代表续航表现越稳定，结合两个要求筛选即可得到答案． 【详解】解：∵ 四款车型中，平均续航里程最大的是甲和乙，均为 ， ∴甲和乙满足平均续航里程长的要求， 又∵ 方差越小续航表现越稳定，甲的方差为，小于乙的方差， ∴ 甲满足平均续航里程长且续航表现稳定的要求，因此选A． 【变式2】．某团队为研究不同施肥方案对小麦产量的影响，在试验田中控制影响小麦生长的其他因素，分别选用甲、乙、丙、丁四种方案施肥，个月后得到如下统计结果： 施肥方案 甲 乙 丙 丁 单穗粒数的平均数 单穗粒数的方差 在本次试验中，从单穗粒数的平均数与方差角度看，四种施肥方案中效果最好的是________． 【答案】丁 【详解】解：根据表格数据可得，平均数满足 ， 因此优先选择平均数更大的甲和丁． 比较方差可得，，方差越小，单穗粒数越稳定， 因此，在平均数最大的甲、丁方案中，丁方案的方差更小，故效果最好． 【变式3】．教练对甲、乙、丙、丁四位同学近期多次100米短跑成绩进行了收集，整理，得到如下统计表．现需从这四位同学中选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加田径运动会，那么应选______． 学生 项目 甲 乙 丙 丁 平均数（秒） 16 15 15 16 方差 30.33 28.95 35.63 42.98 【答案】 乙 【分析】先比较平均数筛选出成绩较好的对象，再比较方差确定状态更稳定的对象即可. 【详解】解：乙和丙的平均数为秒，甲和丁的平均数为秒，由，可得乙、丙的成绩好于甲、丁； 乙的方差为，丙的方差为，由，可得乙的方差更小，状态更稳定； 故应选乙. 【题型7 求四分位数】 解题技巧 1. 排序：将数据从小到大严格排列；2. 定位：数据个数为n，Q2位置为或，Q1为前半段数据中位数，Q3为后半段数据中位数；3. 取值：奇数个数据取中间值，偶数个数据取中间两个数的平均值。 【典例7】．某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中8名同学的成绩（单位：分）分别为：85，81，82，86，82，83，92，89．关于这组数据，下列说法中正确的是（    ） A．众数是92 B．中位数是84.5 C．平均数是84 D．第三四分位数是87.5 【答案】D 【详解】解：首先将这组数据从小到大排列得：，数据总数． 对于A选项，∵数据中82出现次数最多，∴众数为82，A错误； 对于B选项，中位数为第个和第个数据的平均数，即，B错误； 对于C选项，平均数，C错误； 对于D选项，，因此第三四分位数为第个和第个数据的平均数，即，D正确． 【变式1】．据调查，某班30名学生所穿鞋子鞋号统计如下： 鞋号 20 21 22 23 24 频数 1 8 6 14 1 则该班学生所穿鞋子鞋号的上四分位数和众数分别是（     ） A．22，23 B．23，23 C．6，14 D．22.5，14 【答案】B 【详解】解：由表格可知鞋号23的频数最大，为14，因此众数为23， ∵共有30个数据，上四分位数的位置为， ∴i不是整数，向上取整得，取第23个数据作为上四分位数； 将数据从小到大排列，计算累计频数可得，前15个数据均不大于22，第16到第29个数据均为23，因此第23个数据为23，即上四分位数为23． 【变式2】．如图是嘉淇某月1号到6号用于体育锻炼的时间的折线统计图，则该组数据的下四分位数是____分钟． 【答案】40 【分析】从折线统计图中提取1号到6号每天的体育锻炼时间，得到6个原始数据，将提取到的6个数据按照从小到大的顺序排列，根据下四分位数的计算方法，计算，其中，，根据是否为整数，选择对应方法确定下四分位数． 【详解】从折线图读取1号到6号锻炼时间（单位：分钟）为：， 从小到大排序得：，共个数据， 下四分位数是第25百分位数，位置， 根据计算规则，不是整数时，向上取整，取排序后第2个数据，因此该组数据的下四分位数为． 【变式3】．已知4名学生的期中考试数学成绩（单位：分）按照从小到大排列分别为98，110，m，120，且第三四分位数为118，则m的值为___________． 【答案】116 【分析】先根据数据个数确定第三四分位数的计算方式，再结合已知排好序的数据列方程求解即可． 【详解】解：由题意，数据个数，计算第三四分位数的位置， 因此第三四分位数为排序后第个数据与第个数据的平均数． 已知数据已按从小到大排序为，因此可得 ， 解得． 【题型8 画箱线图】 解题技巧 1. 确定五个核心值：最小值、Q1、中位数Q2、Q3、最大值；2. 在数轴上标出五个点；3. 连接Q1、Q2、Q3绘制矩形箱体，连接箱体与最值绘制线段；4. 标注清晰数值与数轴刻度。 【典例8】．如图，老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图，根据该图判断下列说法错误的是（　　） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大 C．丙班得分低于80分的人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42名学生，则这三个班级的第11名中，丙班的分数最高 【答案】C 【分析】根据箱线图的信息解答即可． 【详解】解：由题意可知： 三个班级中，甲班分数的方差最小，故选项A说法正确，不符合题意； 三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大，故选项B说法正确，不符合题意； 丙班的中位数比80分稍多，所以丙班得分低于80分的人数不可能多于得分高于80分的学生人数，故选项C说法错误，符合题意； 根据题意，得第11名刚好是对应各班的上四分位数，从箱线图看出丙班的上四分位数最大， ∴若每班有42名学生，则三个班级的第11名中，最高的是丙班，故选项D说法正确，不符合题意． 【变式1】．学校体育检测中，记录了男、女各10名学生1分钟跳绳的个数，绘制了箱线图（如图），下列说法错误的是（    ） A．男生跳绳个数最多为208个 B．女生跳绳成绩更稳定 C．男生跳绳个数的中位数小于女生跳绳个数的中位数 D．男生跳绳个数的平均数大于女生跳绳个数的平均数 【答案】D 【分析】观察箱线图，提取最大值、中位数及数据离散程度信息，结合统计量的意义进行判断即可. 【详解】解：A、左侧箱线图最大值为，故男生跳绳个数最多为208个，原说法正确； B、右侧箱线图（女生）的极差和四分位距均小于左侧（男生），女生成绩波动小，更稳定，故女生跳绳成绩更稳定，原说法正确； C、左侧箱线图中位数线低于右侧，故男生跳绳个数的中位数小于女生跳绳个数的中位数，原说法正确； D、通过箱线图无法确定平均数，故不能得到男生跳绳个数的平均数大于女生跳绳个数的平均数，原说法错误. 【变式2】．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），则下列说法错误的是_________________ ．（填序号） ①三个班级中，甲班分数的方差最小；②三个班级中，乙班分数的波动最大；③丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数；④若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高． 【答案】③ 【分析】 根据箱线图的信息解答即可． 【详解】 解：箱线图的箱体越窄、数据分布越集中，方差越小．甲班的箱线图最紧凑，所以方差最小，①正确； 乙班的箱线图的须最长，数据分布最分散，波动最大，②正确； 丙班的中位数（箱体中间的线）大于80，说明有一半以上的学生得分，所以得分低于80的人数少于得分高于80的人数，③错误； 每班42人，第11名是从高到低排列的第11个，属于上四分位数（前），丙班的上四分位数（箱体的上沿）最高，所以丙班的第11名分数最高，④正确． 故答案为：③． 【变式3】．在以“运动强体魄，青春绽光彩”为主题的跳绳比赛中，已知八年级1班和2班的人数相等．两个班成绩的箱线图如图所示，由图可知_______班成绩更集中． 【答案】二 【详解】解：由箱线图可知，一班在50和140之间波动，二班在70和130之间波动， 所以成绩比较集中的班级是二班． 【题型9 根据要求选择合适的统计量】 解题技巧 1. 反映数据平均水平、整体高低：选平均数；2. 反映数据中间水平、不受极端值影响：选中位数、四分位数；3. 反映数据波动、离散程度：选方差、四分位距；4. 反映数据集中趋势：平均数、中位数均可。 【典例9】．衡量一组数据波动大小的统计量是（     ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】D 【分析】只需区分反映数据集中趋势和波动大小的对应统计量即可。 【详解】解：∵平均数，众数，中位数都是反映一组数据集中趋势的统计量，只有方差是用来衡量一组数据波动大小的统计量. 【变式1】．下列统计量中，能够反映一组数据分散程度的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．离差平方和 D．众数 【答案】C 【分析】根据离差平方和的定义求解即可． 【详解】解：离差平方和是每个数据与该组平均数之差的平方和，它能够很好地反映一组数据的分散程度（即离散程度）． 【变式2】．在平均数、中位数、众数、方差等几个统计量中，最能刻画数据波动（离散）程度的量是______． 【答案】方差 【分析】根据方差和标准差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差（或标准差）越大，数据的离散程度越大，稳定性越小；反之，则离散程度越小，稳定性越好可得答案． 【详解】解：在平均数、中位数、众数、方差等几个统计量中，最能刻画数据波动（离散）程度的量是方差， 故答案为：方差． 【点睛】此题主要考查了统计量的选择，关键是掌握平均数、众数、中位数和极差、方差在描述数据时的区别． 【变式3】．对于一组数据：x1，x2，x3，…，x10，若去掉一个最大值和一个最小值，则下列统计量一定不会发生变化的是________．①平均数；②中位数；③众数；④方差． 【答案】② 【分析】根据中位数的定义，位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数． 【详解】解：先去掉一个最大值，去掉一个最小值，再进行统计，则上述四个统计量中，一定不会发生变化的是中位数； 故答案为：② 【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数，中位数，众数，方差的意义，此题主要是了解中位数的定义． 【题型10 利用合适的统计量做决策】 解题技巧 1. 日常稳定性、常规选拔：平均数优先，辅以方差（稳中有优）；2. 数据偏差大、有极端值：中位数、四分位数优先；3. 对比数据分布范围：用四分位距、最值；4. 全面分析：集中趋势+离散程度双向结合。 【典例10】．某餐厅推出四种新款粽子（分别以甲、乙、丙、丁表示），请顾客试吃后选出最喜欢的品种．结果反馈如下：丙丁丙甲甲乙甲乙甲乙甲．通过以上数据，你能获得的信息是（    ） A．喜欢乙款粽子的人数占总人数的一半 B．丙款粽子比乙款粽子更受欢迎 C．喜欢丁款粽子的人数占总人数的五分之一 D．甲款粽子最受欢迎 【答案】D 【分析】先统计各款粽子的频数和数据总数，再逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，总共有11个统计结果，其中喜欢甲款粽子的有5人，喜欢乙款粽子的有3人，喜欢丙款粽子的有2人，喜欢丁款粽子的有1人． A、∵， ∴喜欢乙款粽子的人数不占总人数的一半，原说法错误，不符合题意； B、∵， ∴乙款粽子比丙款粽子更受欢迎，原说法错误，不符合题意； C、喜欢丁款粽子的人数占总人数的，原说法错误，不符合题意； D、∵， ∴甲款粽子最受欢迎，原说法正确，符合题意． 【变式1】．学校准备设计一款女生校服，对全校女生喜欢的颜色进行了问卷调查，统计如下表所示： 颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 学生人数 100 180 220 80 750 学校决定采用红色，可用来解释这一现象的统计知识是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 【答案】C 【分析】根据各统计量的实际意义即可判断． 【详解】解：∵喜欢红色的女生人数最多，是这组数据的众数，符合众数的统计意义， ∴可以用众数解释学校选用红色的现象． 【变式2】．某药店销售五种品牌的N95型口罩，店长统计了近一个月内这五种N95型口罩的销售量如下表： 品牌 A B C D E 销售量/盒 14 27 11 8 6 则近期在进货时，该药店店长最应关注的是这组数据的_____________． 【答案】众数 【分析】本题考查统计分析中平均数、方差、众数及中位数的概念及识别，理解定义及统计意义是解题的关键．根据平均数、方差、众数和中位数的定义及统计意义求解． 【详解】解：由表知：销售B品牌的数量最多，即统计数据中，B品牌的销售量数最多，共27次，即为众数； 故答案为：众数． 【变式3】．位学生分别购买如下尺码的鞋子：，，，，，，，，，单位：这组数据的平均数、中位数、众数三个指标中鞋店老板最不喜欢的是______，最喜欢的是______． 【答案】 平均数 众数 【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．根据平均数、中位数、众数的意义分析判断． 【详解】解：平均数体现平均水平；众数体现数据的最集中的一点，故鞋店老板最不喜欢的是平均数，最喜欢的是众数． 故填平均数；众数． 05 过关•检测 1．乐乐同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：8.8，7.0，9.0，10，9.0，7.0，9.4，工作人员根据评委所打的分数对这组数据平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（     ）． A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数 【答案】C 【分析】根据平均数、方差、众数、中位数的定义，分别判断去掉一个最高分和一个最低分后各统计量的变化即可求解． 【详解】解：先将原7个数据从小到大排列为：， 判断中位数：原数据共7个，中位数为第4个数据，原中位数是；去掉一个最高分和一个最低分后，剩余5个数据从小到大排列为，中位数为第3个数据，仍为，中位数不变，C正确； 判断平均数：原数据总和为 ，原平均数为 ，去掉极端值后平均数为 ，平均数发生变化，B错误； 判断方差：方差反映数据波动程度，平均数改变，数据个数改变，方差一定发生变化，A错误； 判断众数：原数据中和都出现2次，众数为和，去掉一个后，只有出现2次，众数发生变化，D错误． 2．随着上海国际花卉节的举行，这两天，上海街头各异的绿化带造型，频频在社交媒体上引发爆点．如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化．关于这两个统计量的变化情况，下面描述正确的是（    ） A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数变大，方差变小 D．平均数和方差均不变 【答案】A 【分析】根据题意得出现有的高度一定小于等于原先的高度，即平均数变小，平整即波动变小了，方差就变小． 【详解】解：根据题意得，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，即现有的高度一定小于等于原先的高度，波动变小了，方差就变小， ∴平均数变小，方差变小． 3．甲、乙、丙、丁四名短跑运动员最近几次选拔赛的平均成绩（单位：秒）和方差（单位：）如表所示，根据表中数据，要从他们四人中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（     ） 甲 乙 丙 丁 平均成绩/秒 方差/ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查利用平均数和方差做决策，100米短跑中，平均成绩越小代表成绩越好，方差越小代表发挥越稳定，先比较平均数筛选出成绩更好的选手，再比较方差得到发挥稳定的选手即可求解． 【详解】解：∵平均成绩越小，运动员成绩越好，甲、乙的平均成绩为秒，小于丙、丁的平均成绩秒， ∴从甲和乙中选择一人参赛， ∵方差越小，运动员发挥越稳定，甲的方差为，乙的方差为，， ∴乙的发挥更稳定，因此应选择乙． 4．今年五一期间，遵义高速交警在限速的某路段监测到6辆车的车速（单位：）分别为：117，102，106，120，117，113．若将这组数据中的113去掉，则下列统计量中不发生变化的是（     ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】B 【分析】根据平均数、众数、中位数、方差的定义，分别计算去掉113前后各统计量的值，对比得到不发生变化的统计量． 【详解】解：将原6个数据从小到大排序得：102，106，113，117，117，120， ∴这组数据的中位数是， 平均数是， 众数是117， 方差为： ； 去掉113后将剩余的数据从小到大排序得：102，106，117，117，120， ∴这组数据的中位数是， 平均数是， 众数是117， 方差为： ， ∴这组数据中的113去掉，不发生变化的是众数． 5．某女子排球队场上队员的身高（单位：）是：172，174，178，180，180，184．现换下身高为和的两名队员，换上身高为和的两名替补队员，与换人前相比，场上队员的身高（    ） A．平均数不变，方差变大 B．平均数不变，方差不变 C．平均数不变，方差变小 D．平均数变小，方差变小 【答案】C 【分析】先通过总身高和判断平均数的变化，再根据方差的定义计算判断方差的变化即可． 【详解】解：∵换下队员的身高和为，换上队员的身高和为， ∴总身高和不变，队员人数不变，因此平均数不变． 计算原数据的平均数得， 原数据的方差为： ； 换人后数据为172，176，178，178，180，184，平均数仍为， 方差为： ； ， 综上所述，平均数不变，方差变小． 6．“幸福指数”是指某个人主观的评价对自己目前生活状态的满意程度的指标．常用0到10（含0与10）的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取6位小区居民，他们的“幸福指数”分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第三四分位数是（     ） A．5 B．6.5 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据位于数据序列位置处的数，也称为上四分位数，通过排序、计算位置、确定对应数据三步求解． 【详解】解：数据重新排序为：5，5，6，7，8，9， ∵第三四分位数即第75%位置的数，， 当计算结果为非整数时，取比该数大的最小整数对应的位置，即第5个数据， ∴这组数据的第三四分位数是第5个数8． 7．小明记录了自己10分钟内每分钟的心跳次数，并绘制了如图所示的统计图，则下列结论错误的是（    ） A．下四分位数是80 B．平均数是79 C．中位数是80 D．10分钟内总心跳次数是790次 【答案】A 【分析】下四分位数是将一组数据按照从小到大的顺序排列前半部分数据的中位数；算术平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据由小到大（由大到小）排序后，位于中间位置的数据，当有偶数个数据时，取中间两数的平均数． 【详解】解：A．由附图知，将数据按照从小到大的顺序排列为， 下四分位数是前半部分的中位数，即，故本选项结论错误，符合题意； B．平均数为（次），故本选项结论正确，不符合题意； C．将10个数据按从小到大排列后，第5、第6个数据都是80， ∴中位数是80次，故本选项结论正确，不符合题意； D．∵（次）， ∴10分钟内心跳总次数为790（次），故本选项结论正确，不符合题意； 故选：A． 8．老师记录了全班40名学生跳绳的次数，绘制了箱线图如图，则跳绳次数的上四分位数是（     ） A．162 B．144 C．136 D．132 【答案】B 【详解】解：由箱线图可知，跳绳次数的上四分位数是144． 9．小明同学对数据进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水污染已无法看清，则下列统计量与被污染数字无关的是（    ） A．平均数 B．离差平方和 C．中位数 D．方差 【答案】C 【分析】本题考查了平均数，离差平方和，方差与中位数．熟练掌握平均数，离差平方和，方差与中位数的定义是解题的关键．根据平均数，离差平方和，方差与中位数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数，与被污染数有关，故不符合题意； B、离差平方和是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方的和，与被污染数有关，故不符合题意； C、中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数为9，与被污染数无关，故符合题意； D、方差是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方和的平均数，与被污染数有关，故不符合题意； 故选：C． 10．若将排序后的数据分为两组，计算组内离差平方和时需（   ） A．仅计算第一组的离差平方和 B．计算两组离差平方和的总和 C．仅计算最大值与最小值的差 D．计算两组离差平方和的平均数 【答案】B 【分析】本题主要考查了组内离差平方和的定义，离差平方和是指每个数据点与组平均数的差的平方和，当数据分为两组后，组内离差平方和应计算每组内部的离差平方和，再将两组的结果相加，以反映整体的组内变异．根据组内离差平方和的定义即可求解． 【详解】解：由组内离差平方和的定义可知，需计算两组离差平方和的总和． 故选：B． 11．将一组数据，，，，，分成前个一组，后个一组，则这组数据的组内离差平方和是___________． 【答案】 【分析】先将数据按要求分组，再分别计算每组的平均数与每组的组内离差平方和，将两组的组内离差平方和相加即可得到结果. 【详解】解：由题意得，前个数据为第一组：，，，后个数据为第二组：，，， 计算第一组的平均数：， 第一组的组内离差平方和：； 计算第二组的平均数：， 第二组的组内离差平方和：； 总的组内离差平方和为． 12．如图，甲、乙两名射击运动员进行射击训练，各射10发，将他们的射击成绩绘制成如下的扇形统计图，设甲、乙两人成绩的方差分别为，，则__________（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解： ∵ ∴ 13．2025年在澳大利亚举行的第66届国际数学奥林匹克竞赛（IMO）中，中国代表队发挥出色，获得团体总分第一名，也是本届比赛唯一一支所有队员都获得金牌的队伍．中国队参赛队员比赛成绩的方差可用公式来计算，由该公式可知中国队参赛队员比赛成绩的中位数为______． 【答案】38 【分析】根据方差公式可得中国队6名队员的成绩，将成绩排序后根据中位数的定义计算即可得到结果． 【详解】解：根据方差公式 ，可得中国队6名队员的成绩分别为个，个，个，个， 将成绩从小到大排列为：，，，，，. 一共有个数据，中位数为第个和第个数据的平均数， 因此中位数为． 14．从甲、乙两名学生中选拔一人参加科技创新知识竞赛，在相同条件下对他们的科技创新知识进行了次测验，经计算知：，，这表明______（填写“甲”或“乙”）的成绩更稳定． 【答案】乙 【分析】比较甲和乙的方差大小，根据方差越小数据越稳定即可判断结果． 【详解】解：方差反映一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，波动性越小，成绩越稳定， ∵，， ∴， 因此乙的成绩波动更小，成绩更稳定． 15．天然气是洁净燃气，供应稳定，能够改善空气质量，因而能为地区经济发展提供新的动力，带动经济繁荣及改善环境．多年来，我国工业天然气生产稳定增长，某段时间，天然气日均产量（单位：亿立方米）依次为6.1，6.1，5.9，5.8，6.0，6.1，6.6，6.7，6.9，7.0，6.6，6.5，这组数据的第三四分位数是_________． 【答案】6.65 【分析】将这组数据从小到大重新排列，根据百分位数的计算规则计算即可得到结果． 【详解】解：将原数据从小到大排列为：，，，，，，，，，，，， ∵数据共有个，第三四分位数即分位数， ∴， ∴第三四分位数为排列后第个数据与第个数据的平均数，即． 16．甲、乙、丙、丁四支排球队队员身高情况箱线图如图所示，身高最集中的是___队． 【答案】乙 【分析】根据箱线图分析即可得到答案． 【详解】解：乙队队员的身高差距最小，身高较为集中． 17．学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是___________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 44 ② 第一组2个，第二组2个 28 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 【答案】③ 【分析】本题要求得到使同组株高尽量接近的最优分组，根据组内离差平方和的意义，最优分组对应组内离差平方和最小，只需比较表格中三组的组内离差平方和大小即可求解. 【详解】解：由题意可知，要使同组内植物株高尽量接近，需选择组内离差平方和最小的分组. 比较表格中三组的组内离差平方和，得， 因此序号③的组内离差平方和最小，为最优分组. 18．某单位设有6个部门，共153人，如下表：该单位组织了“学党史，促提升”每周答题活动，一共10道题，每题10分，满分100分．某周的周三，有一个部门还没有参与答题，其余5个部门全部完成了答题，得分为100分、90分、80分、70分和60分的人数之比为，尚未参与答题的部门是___________． 部门 部门1 部门2 部门3 部门4 部门5 部门6 人数 26 16 22 32 43 14 【答案】 部门5 【分析】本题考查统计与概率，解本题的关键首先考虑人数为正整数，还要掌握统计的基本知识． 分别求出得分为100分、90分、80分、70分和60分的人数占完成人数的比例，可得完成人数的总和的个位数为0，再由 6个部门有153人，可得未参与部门人数个位一定为3，即可求解． 【详解】解：得分为100分的人数占完成人数的， 得分为90分的人数占完成人数的， 得分为80分的人数占完成人数的， 得分为70分的人数占完成人数的， 得分为60分的人数占完成人数的， ∵各分数人数为正整数，即总参与人数正整数， ∴总参与人数是10的倍数，即完成人数的总和的个位数为0， ∵ 6个部门有153人，即人， ∴未参与部门人数个位一定为3， ∴未参与答题的部门是部门5． 故答案为：部门5． 19．通过19.2节的阅读材料我们了解到，位于西北的乌鲁木齐2022年7月1日当日温差大于位于西南的南宁，如果比较这两地月平均气温（单位：），那么结果会如何呢？下表是国家统计局在《中国统计年鉴2021》中给出的2020年两地每月的平均气温，请据此回答2020年乌鲁木齐月平均气温的变化幅度是否大于南宁． 2020年乌鲁木齐和南宁每月的平均气温 单位： 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 乌鲁木齐 2.9 16.4 19.9 21.7 23.8 23.3 16.1 8 1.3 南宁 15.4 16.5 19 19.7 27.4 28.5 29.2 27.6 26.6 22.1 20.2 13.4 【答案】2020年乌鲁木齐月平均气温的变化幅度大于南宁 【详解】解： ， ； ， ； ∵， ∴2020年乌鲁木齐月平均气温的变化幅度大于南宁． 20．下表是10个城市月均最高气温不同分法的组内离差平方和统计： 分组位置 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第 1 个间隔 0 584.2 584.2 第 2 个间隔 32 380.9 412.9 第 3 个间隔 98.7 285.7 384.4 第 4 个间隔 132 158.8 290.8 第 5 个间隔 228.8 113.2 342 第 6 个间隔 308.8 62 370.8 第 7 个间隔 397.4 14 411.4 第 8 个间隔 562 0.5 562.5 第 9 个间隔 789.6 0 789.6 根据上表，计算按第4个间隔分组时的组间离差平方和．（提示：总离差平方和组内离差平方和组间离差平方和，总离差平方和为875.0） 【答案】组间离差平方和为 【分析】根据公式：组间离差平方和总离差平方和组内离差平方和求解即可． 【详解】解：∵总离差平方和为875.0，按第4个间隔分组时的组内离差平方和为290.8． ∴组间离差平方和． 答：组间离差平方和为． 21．根据国家统计局《中国统计年鉴2021》报告，南京和福州两地2020年各月降水量（单位：）数据如下表所示： 单位： 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 南京 75.2 35.5 89.8 70.8 33.7 281.6 271.9 114.3 82.8 64.9 76.8 20.5 福州 28.2 65.2 262.8 63.9 262.6 224.1 81.7 80 119.4 5.6 0.5 16.5 (1)两地2020年的月平均降水量各是多少毫米？它们相近吗？ (2)你认为这两个城市该年的降水情况相近吗？请作比较． 【答案】(1)南京月平均降水量约为 ，福州月平均降水量约为 ，二者月平均降水量相近． (2)两个城市该年降水情况不相近，福州月降水量的波动比南京更大． 【分析】本题考查平均数和方差，掌握求方差的方法是解题的关键 （1）用数据数和除以，据此求出平均数，比较即可； （2）先求出方差，再比较即可． 【详解】（1）南京2020年的月平均降水量： 福州2020年的月平均降水量： ∵， ∴从计算结果看，它们较为相近； （2）南京的方差为：， 福州的方差为：， ∵， ∴福州月降水量的波动比南京更大． 两个城市该年降水情况不相近，福州月降水量的波动比南京更大． 22．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 a 70 八年级 m b c (1)上述表中，_______，_______，并补全七年级的箱线图； (2)求八年级所抽取学生的平均成绩m； (3)若该校八年级有600名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数； (4)你认为本次活动，哪个年级的学生成绩更好？请结合统计图进行说明． 【答案】(1)90，93； (2)八年级所抽取学生的平均成绩为87分 (3)估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为300人 (4)八年级的学生成绩更好，理由如下：因为两个年级成绩的中位数相同，而八年级的平均数和众数高于七年级，从箱线图看，八年级中间的学生成绩高于90分，所以八年级的学生成绩更好 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求出b，c，,然后求出a，然后补全箱线图即可； （2）根据平均数得概念求解即可； （3）用600乘以成绩超过90分的人数所占的比例即可得解； （4）根据平均数、中位数以及众数的意义分析即可． 【详解】（1）解：∵共有12个数据， ∴中位数为第6个数据和第7个数据的平均数， ∴八年级所抽取学生的中位数； ∵93出现的次数最多， ∴八年级所抽取学生的众数； 七年级所抽取学生的中位数； 补全七年级的箱线图如图； （2）解：（分）， 答：八年级所抽取学生的平均成绩为87分； （3）解：八年级随机抽取的12名学生中90分以上的有6人，（人）， 答：估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为300人； （4）略 23．社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有、两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 B阅览室：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 方差 A 48 48 58.01 B 49.5 332.25 (1)上述表中，________，________，________； (2)小明计算出A阅览室预约人数的四分位数，，；并绘制了箱线图，请求出B阅览室预约人数的四分位数并将箱线图补充完整； (3)根据上述材料分析，社区应该挑选哪间阅览室？请说明你的理由． 【答案】(1)，  25和40 ， (2)B阅览室的，，，绘制箱线图如图所示： (3)社区应该挑选阅览室，理由：因为阅览室的中位数大于阅览室，由方差和箱线图可以看出，阅览室过去10周周末上午的预约人数波动更小，所以社区应该挑选阅览室A． 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义，结合数据和折线图，完成表格即可； （2）四分位数包括下四分位数、中位数和上四分位数，结合图表计算出B阅览室预约人数的四分位数后，绘制箱线图即可； （3）结合图表，从多角度分析，用平均数和中位数反映集中趋势，用方差判断稳定性． 【详解】（1）解：A阅览室预约人数的平均数； 根据折线图， B阅览室预约人数为25和40的出现次数最多，因此众数和； 将B阅览室预约人数从小到大顺序排列，第5个数为40，第6个数为55，因此中位数为； 故答案为：，和40，； （2）解：由题意，B阅览室预约人数的四分位数为，，； （3）略 24．社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有A、B两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 B阅览室：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 A a 48 48 B 49.5 b c (1)上述表中，_______，_______，_______； (2)小明计算出A阅览室预约人数的四分位数；并绘制了箱线图，请求出B阅览室预约人数的四分位数，并绘制箱线图； (3)根据上述材料分析，社区应该挑选哪间阅览室？请说明你的理由． 【答案】(1)，40和25，； (2)； 绘制箱线图如图所示： (3)社区应该挑选阅览室A． 理由：因为阅览室A的众数和中位数大于阅览室B，且从箱线图看B阅览室预约人数的差距大，A阅览室预约人数的差距小，更稳定，所以社区应该挑选阅览室A． 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义，结合数据完成表格即可； （2）结合数据和图表确定第25、50、75百分位数对应的位置，计算得到对应的四分位数，在B的位置标注最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值，画出箱线图即可； 【详解】（1）解：A阅览室预约人数的平均数； 根据数据， B阅览室预约人数为25和40的出现次数最多，因此众数b为25和40； 将B阅览室预约人数从小到大顺序排列，第5个数为40，第6个数为55，因此中位数为； （2）略 （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $