专题10 圆的综合（5大考点，62题）（浙江专用）2026年中考数学一模分类汇编

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题10圆的综合(5大考点，62题) ☆5大考点概览 考点01圆中的角度问题 考点02圆中的孤长问题 考点03圆中的面积问题 考点04圆中的切线相关问题 考点05圆的解答压轴题 考点1 圆中的角度问题 “、单选题 1.(2026·浙江丽水·一模)如图，AB为半圆的直径，AB=4,C、D为B上两点，且AC=D若 ∠CED=5 ∠COD,则BD的长为() E 0 B > A. c D. 10 9交 B. 9 【答案】D 【分析】设AC的度数为x,则∠AOC=x,∠BOD=5x,∠COD=180°-6x,构建方程求出x,再利用弧 长公式计算即可. 【详解】解：设AC的度数为x,则∠AOC=x, ac=号a加 :∠BOD=5x,∠COD=180°-6x, :∠CED=S ∠COD, ·∠CED= 2 (180°-6x), :∠CED+I ∠C0D=180°， 5 (180°-6x)+号 (180°-6x)=180°， 解得x=20°， .∠DOB=100°， 1193 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AB=4 圆的半径为2 :BD的长=100x2-10 1809元 故选：D 【点晴】本题主要考查圆心角，弧之间的关系及弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键 2.(2026·浙江丽水·一模)如图，四边形ABCD内接于O0,AC是直径，连接BD,若BD=CD, AB=8,BC=6,则AD的长为() B A.3 B.√10 C.25 D.25 【答案】B 【分析】过点D作DH⊥BC于点H,连接OB,由AC是直径，得到LABC=∠ADC=90°，由勾股定理可 得AC=I0,由三线合一定理得到BH=3,证明O、D、H三点共线，求出DH的长，进而求出BD的长即 可得到答案。 【详解】解：如图所示，过点D作DH⊥BC于点H,连接OB, D A B :AC是直径， ∠ABC=∠ADC=90°， :AB=8,BC=6, AC=AB2+BC2=10, ..OB=AC=5; 2 2/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BD=CD,DH⊥BC, BH=BC=3.ZDHB=90-ZADC: 又：0B=0C, .OH⊥BC, ∴.O、D、H三点共线， 在RtaB0H中，由勾股定理得0H=√OB2-BH2=4, 又：o0=4c=5 .DH=0H+0D=9, BD=DH2+BH2=310, .BD=CD=310, ·AD=V√AC2-CD2=V10 二、填空题 3.(2026·浙江舟山·一模)如图，ABC内接于⊙0，AC为⊙0的直径，点B是AC的中点，延长BC至 点D,连接AD,若∠D=2∠CAD,BC=2,则AD的长为 【答案】4 【分析】根据题意得LABC=90°，AB=BC=2,LACB=45°，LACB=3LCAD,求得LCAD=15°， ∠D=30°，根据AD=2AB计算即可. 【详解】解：：ABC内接于O0,AC为⊙0的直径，点B是AC的中点， LABC=90°，B=BC, .AB =BC=2, LACB=45°， ∠D=2∠CAD, .LACB=∠D+∠CAD=3∠CAD=45°， 3193 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠CAD=15°，∠D=30°， .A D 2 A B =4 4.(2026·浙江宁波·一模)如图，矩形ABCD内接于O0,连接AC,E是AD上一点，连接EB,ED, EB与AD交于点F,若BF=EF,∠BAC=2LABE,则S的值为 【隆)9 【分析】由等腰三角形的性质得OF⊥BE,由圆周角定理得∠AOE=2LABE,再由∠BAC=2∠ABE得 ∠BAC=∠AOE,则AB∥OE,由平行线的性质得OE⊥AD,根据垂径定理得AG=DG,证明 △AFB≌△GFE(AAS),得AF=GF,AB=EG,设AF=GF=x,则AG=DG=2x,AD=4x,证明 EEG0DEG,则GG得AB=EG=2r,即可求解 【详解】解：如图，连接OE交AD于点G,连接OF、BD, .0B=OE,BF=EF, OF⊥BE, :∠BAC=2LABE,∠AOE=2LABE, ∠BAC=∠AOE, AB∥OE, :在矩形ABCD中，AB⊥AD, OE⊥AD, .AG=DG, :LBAF=∠EGF=90°，LAFB=∠GFE,BF=EF, 4/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △AFB≌aGFE(AAS, .AF=GF,AB=EG, 设AF=GF=x,则AG=DG=2x,AD=AG+DG=4x, :矩形ABCD内接于OO, AC、BD交于点O,且为直径， ∴LBED=90°， ∠FEG+∠DEG=90°， 又：OE⊥AD, .LEGF=∠DGE=90°， .LFEG+LEFG=90°， .LEFG=∠DEG, .EFG∽DEG, FG EG EG DG ,即-EC EG 2x EG=√2x, AB=EG=√2x, ABAB 2x2 BC AD 4x 4 5.(2026·浙江·一模)如图，菱形ABCD,AB=4,∠DAB=60°，将菱形ABCD关于AB对称，得到菱 形ABCD',在对角线AC,AC'上有两个动点E,F,AE=CF,连接CF,EC交于点P,连接AP,则 AP的最小值为 D D' 【答案】4 【分析】连接CC',作aCPC'的外接圆，圆心为O,连接OC、OB、OC'、OP,由菱形的性质和轴对称 的性质可证明△ACC'是等边三角形，则AC=CC',∠CAC'=∠ACC=60°，进而证明 △ACE≌ACCF(SAS),则∠AC'E=∠C'CF,结合等量代换可得LCPC'=I20°.由圆周角定理可得 5193 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ∠C0C'=120°，结合BC=BC'容易证明△OBC是等边三角形，则0C=0P=BC=4,∠0BC=60°，根 据AP≥OA-OP,因此当A、P、O三点共线时，AP取得最小值. 【详解】解：如图，连接CC',作aCPC'的外接圆，圆心为O,连接OC、OB、OC'、OP, D B D' :四边形ABCD是菱形， A∠BAC=∠DAB=30°，∠ABC=180°-∠DAB=120°，AB=BC=4, 由轴对称的性质可得，∠BAC'=∠BAC=30°，AC=AC',BC=BC', ∠CAC'=60°， :△ACC'是等边三角形， .AC=CC',∠CAC′=∠ACC=60°， 在ACE和△C'CF中， AE=CF ∠CAC'=∠AC'C, AC=CC .△ACE≌aCCF(SAS), LACE=∠C'CF, :∠AC℃=∠ACE+∠CCE=60°， .∠CCF+∠CCE=60°， ·∠CPC'=180°-∠CCF-∠CCE=120°， 优弧CC圆心角的度数为2×120°=240°， ∠C0C'=360°-240°=120°， BC=BC', ∴∠B0C=∠B0C'=5∠C0C'=60°， 2 :0B=0C, :.△OBC是等边三角形， 6/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .0C=0B=BC=4,∠0BC=60°， 0P=4, :∠ABC+∠0BC=120°+60°=180°， “A、B、O三点共线， ..0A AB 0B 8, :0P+AP≥0A, .AP 2OA-OP, :当A、P、O三点共线时，AP取得最小值8-4=4， 6.(2026·浙江衢州·一模)如图，⊙0的切线PC交直径AB的延长线于点P,C是切点.若∠P=45°， 则∠PAC的大小为 o D 【答案】22.5 【分析】连接OC，根据切线的性质得到∠OCP,可得LCOP,再根据圆周角定理可得结果. 【详解】解：连接OC, A:PC是⊙O的切线， .∠0CP=90°， ∠P=45°， .∠C0P=45°， ∠PAC=1∠C0P=22.5° 2 7.(2026·浙江舟山·一模)如图，ABC为O0内接三角形，其中AB为直径，且AB=6√2，点E为 ∠BAC和∠ACB平分线的交点，延长CE交OO于点P,连结OE,OP,BP. ①BP=; ②若OE=x,CE=y,y与x之间的函数关系为 7193 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 1 【答案】 6 y=-二x2+3 6 【分析】①如图，连接AP,根据圆周角相等得到弦AP=BP,即△ABP为等腰直角三角形，求出 BP=AP=6; ②连接BE,过E分别作ABC三边的垂线，垂足分别为M、N、F,由点E为∠BAC和∠ACB平分线的 交点得到E是ABC的内心，则CN=EN=EF=EM= 二y,证明RtANE≌RtAAME(HL),得到 2 N=4W=AC-号，同座可得BF:BM=BC 之y,再根据AB=AM+BM=6N5,得到 AC+BC=6V+√2y,接着根据S。MBc=S。4CE+S.BCE+SABE,得到 AC.BC= 2 y(AC+BC+AB)=12y+y2,求出(AC-BC)2=(20M)2=-2y2-24y+72,最后在Rt△OEM 中由勾股定理得到-二y2-6y+18+ 2 2 2 =x2,整理化简即可. 【详解】解：①如图，连接AP, B :CP平分角∠ACB, ∠ACP=∠BCP, :AP =BP, :AB为O0的直径，且AB=6√2， ∠APB=90°， .BP=AP=6; ②连接BE,过E分别作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为M、N、F, 8/93 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B :AB为直径， “LACB=90°，0M=日AB=3V, 2 :点E为∠BAC和∠ACB平分线的交点， EN=EF=EM,∠CE=∠FCE=)∠ACB=4S,∠NAE=∠MHE=BAC, .∠NCE=∠CEN=45°， .CN=EN :CE=y, 4CN=EN= 2 -y, CN-EN-EF-EM= 2, :EN=EM,AE=AE,LANE=∠AME=9O°， :RtAANE≌Rt△AME(HL), AN -AM -AC-CN-AC- 2 -y, 同理可得BF=BM=BC-CF=BC- 2, AB=AM +BM=6V2, Ac- 2y+BC三2y=62 整理得AC+BC=6√2+√2y, S.ABC S.ACE+S.BCE +S.ABE .AC.BC=AC.EN+EF.BC+IEM.AB, 即ACBC=2y -yAB, 2 2 4cc-94c8C48-965i,6-12+r. :(4C-BC2=(4C+BC)2-44C.BC=(62+V2y°-412y+y2）=-2y2-24y+72, 9193 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AM=AC- 2y.BM =BC- 3, ..AC-BC=AM-BM =(0A+OM)-(OB-OM)=20M, .(AC-BC)2=(20M)2=-2y2-24y+72, 解符0M2=-6+18, FRt△OEM中EM2+OM2=OE,OE=E,EM=Y2 D, r-6+18 2y=x2, 1 整理得y=- x+3 6 三、解答题 8.(2026·浙江杭州·一模)如图，AB为⊙0的直径，点P在线段OA上，A,Q两点关于点P对称，过 点P作CD⊥AB交⊙O于点C,D,连接CQ并延长交OO于点E,连接DE,AC,AD. (1)求证：CQ=DE; (2)若AB=6,且OP=OQ,求CD的长. 【答案】(1)见解析 (2)42 【分析】(1)连接DQ,根据垂径定理得出CP=DP,根据轴对称的性质得出PA=PQ,则可证明四边形 ACQD是平行四边形，进而证明平行四边形ACQD是菱形，得出AD=CQ,LACD=LQCD,根据圆周角定 理得出AD=DE,根据弧、弦的关系得出AD=DE,即可得证； (2)连接CO,根据PA=PQ并结合OP=OQ可求出AP=2OP,结合AB=6可求出OP=1,在RtACPO中， 根据勾股定理求出CP=2√2，结合(1)中CP=DP即可求解. 【详解】(1)证明：连接DQ, 10/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D :直径AB⊥CD于P, .CP=DP, :A,Q两点关于点P对称， .PA=PO, .四边形ACQD是平行四边形， 又AQ⊥CD, :平行四边形ACQD是菱形， .AD =CQ,ZACD =20CD, ∴AD=DE, :AD=DE, :.CO DE, (2)解：连接C0, P B D AB=6, A0=C0=AB=3, OP=O9,PA=P0=0P+00, .AP =20P, 又AP+OP=3, .0P=1, 在RtaCP0中，CP=VC02-0P2=22=DP, .CD=CP+DP=42 11/93 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 9.(2026·浙江丽水·一模)如图，已知AB是半圆O的直径，点C,D在半圆上，且AD平分∠BAC, DE⊥AC交AC的延长线于点E. E C ◇ A B (1)求证：DE是O0的切线； (2)若ED=4,AB=10,求c0s∠BAC的值. 【答案】(1)见详解 a号 【分析】(1)连接OD,结合已知条件DE⊥AC,证明OD∥AE即可得证； (2)要求c0s∠BAC,尝试把∠BAC放到直角三角形中，连接BC,显然∠ACB=90°，进而可知 OD⊥BC,由垂径定理及ED=4可得BC的长，问题得解. 【详解】(1)证明：如图，连接0D, 0A=0D, ∠1=∠AD0. :AD平分∠BAC, .∠1=∠2， ∠2=∠AD0. .OD∥AE, :DE⊥AC, .DE⊥OD ∴∠ED0=90°， 又：0D是⊙0的半径， .DE是OO的切线； E C A 0 (2)解：连接BC交0D于F, 12/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AB是O0的直径， ∠ACB=90°， .OD AE, L0FB=90°， BC=2CF,四边形ECFD为矩形， :CF=ED=4, .BC=8. 在Rt△ACB中，AB=I0,由勾股定理，得 AC=VAB2-BC2=V102-82=6. .Cos/BAC=63 105 E B 【点晴】本题考查了圆的切线，垂径定理以及三角函数，掌握证明切线的常见方法连半径证垂直”、求三角 函数值时要尝试构造直角三角形等方法是解题的关键 10.(2026·浙江衢州·一模)如图1，己知ABC内接于O0,AB=AC,弦CD⊥AB于点E,连结OB, 交CD于点F. 0. E D D D 图1 图2 备用图 (I)求证：∠BCD=∠AB0. @血图2，造结0.若m∠C6-号求8C的值。 BE (3)当CD=11,BF=2V5时，求⊙0的半径. 【答案】(1)见解析 (20 2 13/93 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ③56 2 【分析】(1)延长BO交⊙O于点G,连结AG,可得∠BAG=∠BEC=90°，∠AGB=∠ACB,再根据 AB=AC,得到∠ACB=∠ABC,推出∠ABC=∠AGB,即可证明结论； (2)设CE=3a,AC=5a,求出AE=4a,AB=5a,，BE=a,BC=V10a,易证∠CAB=LBDC,可得 n80C-8胎}甲品 CBD·求出BD3A,由D知∠BCD=LAB0,由cos∠BCD=Cos∠AB0 即求出BF=0 a,即可求解： 3 (3)延长BO交⊙O于点G,连结AG,过点O作OH⊥AB于点H,先证明BD=DF,设EF=m,CE=n, 求出DE=Il-N,证明△BEF∽△CEB,推出BE2=CEEF=mn,BD=I1-n+m,在RtABEF,RtABED中， m2+mnm=(2V5)① BF2=BE2+EF2,BD2=BE2+DE2,得到则 ，求出m=2,n=8,进而得到 11-n)2+mn=(11-n+m)2② EF=2,CE=8,DE=3,BD=5,BE=4,再证明△AEC∽△DEB,推出AE=6,则AB=10,根据垂径定 理得到BH=，AB=5,再证明△BEFn△BH0,推出OB即可. 【详解】(1)证明：延长BO交⊙O于点G,连结AG, 则∠BAG=90°， :CD⊥AB, ∠BEC=90°， ∠BAG=∠BEC=90°， ADB=ADB' .∠AGB=∠ACB, AB=AC, ∠ACB=∠ABC, ∠ABC=∠AGB, :∠BCD=180°-∠BEC-∠ABC,∠ABO=180°-∠BAG-∠AGB, 14/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠BCD=LABO; 2)解：sin∠CAB=,∠AEC=90 ·sin∠CAB=CE-3 AC 5 设CE=3a,AC=5a, :AE=AC2-CE2 =4a, AB=AC, .AB=5a, :BE AB AE a, BC=BE2+CE2=10a, BC=BC. .∠CAB=∠BDC, :∠BED=90°， sin∠BDc= 50 BD 5' 5 BD-a 由(1)知∠BCD=∠AB0, cos∠BCD=cos2AB0,即CE=BE BC BF 3a a 10a BF' BF=10 3 5 BD 3aV10 3 BF 2 -a (3)解：延长BO交⊙O于点G,连结AG,过点O作OH⊥AB于点H, G HE B D 15/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由(1)知∠BCD=∠ABO,则BD=AG, ·BD+AiD=AG+AD,即DAG=ADB, ∠ACB=∠DBG, :∠CAB=∠CDB, 180°-∠ACB-∠CAB=180°-∠DBG-∠CDB,即∠ABC=∠BFD, :AC=AB,即∠ACB=∠ABC, ∠DBG=∠BFD, :BD=DF, 设EF=m,CE=n, CD=11, .DE =11-n, :∠BCD=∠ABO,∠BEF=∠BEC=90°， △BEFACEB, BE EF ·CEBE 即BE2=CEEF=mn, BD=DF, BD=11-n+m, 在Rt△BEF,Rt△BED中，BF2=BE2+EF2,BD2=BE2+DE2, r2+mn=(25① 则{ 11-n2+mm=(11-n+m2② ①-②得m2-(11-n)2=20-11-n+m)2,整理得m2=10-11m+mn, 由①得mm=20-m2, ÷m2=10-11m+20-m2,即2m2+11m-30=0, 解得m三2或m- (舍去)， .22+2n=20,解得n=8, EF=2,CE=8,DE=3,BD=5, BE=√BD2-DE2=4, ,∠AEC=∠BED=90°，∠ACE=∠DBE, △AEC∽△DEB, 16/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DE-BE. AECE 4E、8 3=4 AE=6,则AB=AE+BE=10, :OH⊥AB, H8=5, :OH⊥AB,CE⊥AB, .OH‖EF, .△BEF∽△BHO, BE BF 即42V5 BH OB 5 OB 5w5 .OB= 即00的半径为55 考点2 圆中的弧长问题 一、单选题 11.(2026·浙江·一模)如图，菱形ABCD的边长为2，以A为圆心，AB长为半径作弧，分别与BC, CD交于E,F两点，若BE与EF的长之比为1：2，则BD的长为() 10 A.刀 B. 【答案】C 【分析】连接AE,AF,AC,AC交BD于点G,连接BD交AC于点O,连接EG,FG,先证 △ABE≌△ADF(AAS),设LBAE=∠DAF=a,则LFAE=2LBAE=2a,由三角形内角和定理得 ∠ABE=90°-a,由菱形对角线互相平分，可得∠AB0=∠1BE=45°-a,∠BA0=)∠BAD=2a,再 2 2 4 根据☑310：480=90，可得a=(9。最后利用照长公式求解。 【详解】解：如图，连接AE,AF,AC,AC交BD于点G,连接BD交AC于点O,连接EG,FG, 17/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由题意知AD=AF=AG=AE=AB=2, ∠ABE=∠AEB,∠ADF=∠AFD, :四边形ABCD是菱形， ·∠ABE=∠ADF, ∠ABE=∠AEB=∠ADF=∠AFD, 又：AD=AB, :△ABE≌△4DF(AAS), ·∠BAE=∠DAF, 设∠BAE=∠DAF=a, 则∠4ABE=180-∠B46)=l80-a)=0-a, 2 2 ∠AB0=ABE=45-a BE与EF的长之比为1：2， ·∠FAE=2LBAE=2a, :∠BAD=a+2a+=4a, ∠BA0=∠BAD=2a, 菱形ABCD中AC⊥BD, ∠BAO+∠AB0=90°， 2a+45°- a=90°， 4 a= ∠BAD=4a= 720。 7 720 °π2 7 BD= 4a·π·AB 8 180° 180° 7元 故选：C. 18/93 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 【点晴】本题考查弧长的计算，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角 和定理等，掌握菱形的性质是解题的关键， 12.(2026·浙江杭州·一模)如图，在菱形ABCD中，AB=6,∠B=60°，以CD为直径的圆与AD交于点 E,则CDE的长是() D A.3π B. C.4π D.5π 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧长的计算，圆周角定理.取CD的中点O,连接OE,根据菱形的性质得 ∠D=∠B=60°，CD=AB=6,根据圆周角定理得∠C0E=2∠D=120°，OC=3,再根据弧长公式计算即 可 【详解】解：如图，取CD的中点O,连接OE, 菱形ABCD中，AB=6,∠B=60°， B ( ∠D=∠B=60°，CD=AB=6, ∴.∠C0E=2∠D=120°，0C=3, :CDE的长是240xx3-4r. 180 故选：C. 13.(2026·浙江绍兴·一模)一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm,当重物上升6πcm时滑轮 的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为() ∠∠ A.36° B.54° C.72 D.108 【答案】D 19/93 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】本题考查了弧长的计算公式，正确理解公式是关键 重物上升6πcm,即弧长是6πcm,利用弧长公式即可求解. 【详解】解：设旋转角度为n°，由题意得， nr-10 =6元， 180 解得n=108°. 故选D 14.(2026·浙江温州·一模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，AC=4,BD为AC边上的 高，以点B为圆心，BD长为半径画圆弧分别交边AB,BC于点E,F,则EF的长为() A.3 B. C. D. 【答案】B 【分析】根据30°直角三角形的性质求出BC=2,AB=2V3,再利用等面积法求出BD=√5，利用弧长公式 进行计算即可。 【详解】解：：∠ABC=90°，∠A=30°，AC=4, BC三AC=2 AB=VAC2-BC2=V42-22=25, ∠C=60°， “BD为AC边上的高线， 1 .SAACAB:BC-AC.BD 即BD=VF, :.BE BD=BF=3, EF nr 90xπx√5√5 π. 180 180 2 20/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 二、填空题 15.(2026·浙江金华·一模)如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，点G为AF的中点，连接DG交 CF于点H,则四边形EFHD的周长为 A G B E D 【答案】16+23 3 【分析】如图，连接AD,BE交于点O,连接FD,由正六边形性质得到点O在CF上， AF=CD=EF=DE=2,OA=OF=OE=OD=OC,证明出aOEF,△OED,△OCD是等边三角形，得到 OC=OF=OE=2,然后利用勾股定理求出GD=VGF2+DF2=V3,证明出aGHF∽aDHC,得到 GFGH_FH CD DH CH ,代数求出DH=2E,FH=号 3 ，进而求解即可。 【详解】解：如图，连接AD,BE交于点O,连接FD A B E :正六边形ABCDEF的边长为2 点O在CF上，AF=CD=EF=DE=2,0A=0F=0E=OD=0C,∠AOF=∠F0E=∠E0D=60 ∴△OEF,△OED,△OCD是等边三角形 ∴.0C=0F=0E=2 ..CF=4 :正六边形ABCDEF ∠CDE=∠DEF=(6-2x180° =120° 6 :EF=ED ∠EFD=∠EDr=I80e-<DEP=30 ∠CDF=∠CDE-∠EDF=90° 21/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.DF2=CF2-CD2=12 :AF∥CD ∠AFD=180°-∠CDF=90° :点G为AF的中点 AG=FG=14AF手 :GD=VGF2+DF2=√13 :AF∥CD △GHF∽△DHC CD-DH-CH,即}=E-D。FH GF GH FH 2 DH 4-FH .DH 213.FH=3 4 3 :四边形EFHD的周长为DE+EF+FH+HD=2+2+4+2E_16+2 33 3 16.(2026·浙江宁波·一模)如图，扇形A0B是某wif标志的外轮廓图，已知扇形半径0A=6cm, ∠A0B=60°，则扇形的弧长为 cm.(结果保留n) B ○ 【答案】2π 【分析】根据弧长公式1=” 求解即可 1801 【详解】解：根据题意，扇形的弧长为60xT×6=2xcm). 180 17.(2026·浙江舟山·一模)如图，正五边形0ABCD的边长为2，⊙0经过点A,D,则阴影部分扇形的 AD的长为 22/93 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【你初身 【分析】利用正五边形的性质求出∠D0A=108°，OD=OA=2,再利用弧长公式计算即可 【详解】解：：五边形DABCD是正五边形，边长为2， ·∠D0A=5-2x180 -=108°，0D=0A=2, 5 ÷阴影部分扇形的加的长为108×πx2_6元 1802=3: 18.(2026·浙江杭州·一模)如图，AB是⊙0的直径，C为AB延长线上一点，CD切O0于点D.连结 OD、BD.若∠BDC=30°，OA=3,则AD的长等于 【答案】2π 【分析】根据切线的性质得∠0DC=90°，再根据等边对等角得∠0BD=∠ODB=60°，继而得到 ∠A0D=120°，最后根据弧长公式计算即可. 【详解】解：：CD切⊙0于点D,∠BDC=30°，OA=3, ∠0DC=90°，0D=0A=3, ∠0BD=∠0DB=∠0DC-∠BDC=90°-30°=60°， .∠A0D=∠0BD+∠0DB=60°+60°=120°， AD的长为： 120×元×3=2r. 180 19.(2026·浙江舟山·一模)如图，在ABC中，点O在AC上，以点O为圆心，OC长为半径作圆与AB 相切于点B,若∠A=50°，OC=3,则弧BC的长为 【答案】子 【分析】连接OB,根据相切得0B⊥AB,由∠A=50°，得LA0B=40°，进而得∠B0C=140°，最后由弧 长公式1=C计算弧BC的长 180 23/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】解：连接OB,如图所示， OO与AB相切于点B, OB⊥AB, :∠A=50°， ∠A0B=90°-∠A=40°， ∠B0C=180°-∠A0B=140°， 0C=3, 8C=140元×37 180 3 7 故答案为：3π 20.(2026·浙江宁波·一模)不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体制作了一 个戴帽子的不倒翁（如图1），图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为0）.已知帽子的边缘 PA,PB分别与O0相切于点A,B,若该圆半径是4，∠P=60°，则MB的长是 (结果保留π M 图1 图2 【省】 【分析】本题考查切线的性质，弧长的计算，多边形内角和，熟练掌握切线的性质，以及弧长公式是解题 的关键.利用切线的性质可得LPA0=LPB0=90°，进而得到∠A0B=120°，以及AMB所对圆心角，最后 利用弧长公式求解即可解题， 【详解】解：：PA,PB分别与O0相切于点A,B, ∠PA0=∠PB0=90°， :∠P=60°， ∠A0B=120°， 24/93 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AMB所对圆心角为360°-LA0B=240°， 该圆半径是4， AMB的长是 240×π×4-1 ， 180 3 故答案为： 16 π 21.(2026·浙江丽水·一模)埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学这个词，被尊称 为“地理学之父”.他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，塞伊尼（点 A)和亚历山大（点B)是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约800km,在塞伊尼城有一口垂直于地 面的水井，夏至日中午12点太阳光可直射井底，同一时刻在亚历山大城竖起一根垂直于地面的木棍，利用 影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角约为7.2°，据此可以估算地球的周长约为km 【答案】40000 【分析】本题考查弧长的计算，根据所给条件得到πr的值是解决本题的关键。易得AB的长度为800km, AB所对的圆心角为72°，根据弧长公式可得πr的值，进而可求得地球的周长， 【详解】解：如图， D B 由题意得：OA∥BC,LCBD=7.2°，AB的长度为800km, ∠A0B=7.2°， 设地球的半径为rkm, 7.2rr=800, 180 解得：πr=20000, 地球的周长为2πr=40000(km), 25/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故答案为：40000. 三、解答题 22.(2026·浙江金华·一模)如图，在ABC中，∠CAB=RtL,以AB为直径作半O0,点D是该半圆上 的点，连接AD交BC于点E,AE=BE, D E (I)求证：E为BC的中点； (2)若AC=AE=6,求BD的长。 【答案】(1)证明过程见解析： (2)BD的长为√3π 【分析】(1)连接EO,由等腰三角形的性质，可得∠AE0=BE0,∠BOE=90°=∠CAB,可得EO‖AC ,可得∠BEO=∠C,LAEO=LCAE,可得∠C=∠CAE,由等角对等边可得AE=CE,即可证得结论； (2)连接OD,△ACE是等边三角形，可得∠C=∠CAE=LAEC=60°，可得LEAB=30°，由圆周角定理 可得∠DOB=60°，由三角形外角的性质，可得∠CBA=30°，由30°角所对的直角边与斜边的关系，结合勾 股定理，可得AB,可得OA,即可得BD的长 【详解】(1)证明：连接EO, D B :AB是⊙O的直径， A0=B0, AE=BE, EO⊥AB,∠AEO=∠BEO, .∠B0E=90°=∠CAB, EO‖AC, ∠BEO=∠C,LAEO=LCAE, 26/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .ZC=ZCAE, .AE CE, ∴BE=CE, ∴E为BC的中点. (2)解：连接0D, D A 0 B AC=AE=6,AE =CE, .AC=AE=CE, :△ACE是等边三角形， LC=LCAE=LAEC=60°， .∠EAB=∠CAB-∠CAE=90°-60°=30°， ∠D0B=30°×2=60°，∠CBA=60°-30°=30°， BC=2AC=2×6=12, AB=V122-62=6√5， 40=80=65x35, ·BD的长为60m×3V5 =V3π. 180 23.(2026·浙江·一模)如图，AB切圆O于点C,过直径DG上一点E作AE⊥DB,AE交CD于点F, AC交DG的延长线于点B. D A C (1)求证：AF=AC; (2)若E为0D中点，AB=7√2，tanB=1,求弧CG的长度. 【答案】()证明见解析 27/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 222-1 2 元 【分析】(1)连接OC,由切线的性质可得∠ACF+∠OCD=90°，由AE⊥DB得∠DFE+∠ODC=90°， 由等腰三角形的性质可得∠OCD=∠ODC,则∠ACF=∠DFE,结合对顶角相等可得 ∠AFC=∠DFE=∠ACF,因此AF=AC; (2)设圆O的半径为r,由tanB=1可得∠B=45°，则∠B0C=45°，利用三角函数计算出BE=7, OB=,表据题意可得能=+分=7，解得r=4反-2，最后利用扇形的弧长公式进行计算即 可 【详解】(1)证明：如图，连接0C, D B :AB与圆O相切于点C, .OC⊥AB, .LAC0=90°， ∠ACF+∠0CD=90°， :AE⊥DB, ∴LAED=90°， .∠DFE+∠0DC=180°-∠AED=90°， :0C=0D, ∠0CD=L0DC, LACF=∠DFE, :∠DFE=∠AFC, LAFC=∠ACF, .AF=AC; (2)解：如图，设圆0的半径为r, 28/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D tan B =1, ∠B=45°， :AE⊥DB, ∠AEB=90°， 在RIABE中，BE=AB·cOsB=7V2×coS45°=7， OC⊥AB, ·∠0CB=90°， .∠B0C=180°-∠0CB-∠B=45°， 在R1a0BC中，OB=0C= =V2r, sin B sin45° ”E为OD中点， ÷0E=20D= 1 5 r, BE 0B 0E =7, :2r+r=7,解得，=42-2， 2 弧CG的长度为nr 45π×4V2-222-1 180 180 2 考点3 圆中的面积问题 、 单选题 24.(2026·浙江舟山·一模)如图，在Rt△ABC中，已知∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6.把 ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至AB边延长线上的C处，那么AC边转过的图形（图中阴 影部分)的面积是() 29/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.9m-9v3 B.27m-95 C.27π D.9元 2 【答案】D 【分析】先求出LABA'=LCBC'=I20°，再利用阴影面积=S△MBC+S扇形ABA-SA4Bc-S窟彩cBc=S形HB4-S血形cBc求 解即可。 【详解】解：：LBCA=90°，∠BAC=30°，AB=6, BC=4B=3.Z4BC 600. .∠CBC'=180°-∠ABC=120°， 由旋转得∠ABA'=∠CBC'=120°，AB=A'B=6,BC=BC'=3, 阴影面积=S。ABC+S期形HBA-S。ABC-S扇形cBC =S期形B4一S帛形CBC 120元62120π32 360 360 =9元. 25.(2026·浙江舟山·一模)如图，在ABC中，AB=3,将ABC绕点A逆时针旋转40°得到ADE, 点B经过的路径为BD,则图中阴影部分的面积是() H B A. B. C.n 元 D.2 【答案】C 【分析】本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用扇形面积的计算公式 和数形结合的思想解答 根据旋转的性质可知，△ABC≌AADE,从而可以得到△ABC和△ADE的面积相等，再根据图形可知，阴影 部分的面积=扇形ABD的面积+△ADE的面积-△ABC的面积，然后代入数据计算即可解答本题， 30/93 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【详解】解：由题意可知，△ABC≌△ADE, 故△ABC和△ADE的面积相等， :在△ABC中，AB=3,将△ABC绕点A逆时针旋转40°后得到△ADE, 阴影部分的面积是： 40×π×32 =， 360 故选：C 二、填空题 26.(2026·浙江衢州·一模)半径为30cm,圆心角150°的扇形面积为 【答案】375π 【分析】根据扇形的面积公式解答，即S影=360 -nR2 【详解】解：S形= 50π×302 =375πcm2, 360 所以扇形的面积是375πcm2. 27.(2026·浙江舟山·一模)某圆锥的母线为6cm,底面半径为2cm,则圆锥的侧面积为 cm2 【答案】12π 【分析】根据圆锥的侧面积公式S=πrl,其中r是底面半径，1是母线长，计算即可得出结果。 【详解】解：圆锥的侧面积为元×2×6=12πcm2. 28.(2026·浙江杭州·一模)己知圆锥的底面半径为3cm,母线长为5cm,则此圆锥的侧面积为 cm2. 【答案】15π 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，根据公式S=πl计算即可求解 【详解】解：圆锥的底面半径为3cm,，母线长为5cm,则此圆锥的侧面积为π×3×5=15πcm2, 故答案为：15π， 29.(2026·浙江舟山·一模)已知圆锥的底面半径为4cm,母线长为6cm,则圆锥的侧面积为 【答案】24π 【分析】圆锥的侧面积πl(底面半径r，母线长)，把相应数值代入即可求解. 【详解】解：：圆锥的底面半径为4cm,母线长为6cm, .圆锥的侧面积=π×4×6=24π(cm2), 故答案为：24π， 【点晴】本题考查圆锥侧面积的求法，掌握相应公式是解题的关键 31/93 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 三、解答题 30.(2026·浙江温州·一模)如图，点A,B,C在O0上，∠BAC=30°，以AB,BC为边作口ABCD. 图1 图2 (1)如图1，当AB经过圆心O时，求∠D的度数， (2)如图2，当CD与00相切时，若00的半径为2，求▣ABCD与O0的重叠部分（阴影部分）的面积. 【答案】(1)60° Qjr 【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角得到LACB=90°，根据三角形内角和定理求出∠B=60°，再根 据平行四边形的性质即可求解； (2)连接OC交AB于点E,连接OA,根据相切得到OC⊥CD,结合平行四边形的性质和平行线的性质得 出OC⊥AB,根据垂径定理得出BE=AE,AC=BC,根据同圆中，等弧所对的圆周角相等和同圆中，等弧 所对的圆周角是圆心角的一半得出∠A0C=60°，根据等边三角形的判定和性质得出0E=CE,根据全等三角 形的判定和性质得出S。4oE=SBCE,根据扇形的面积公式，即可求解. 【详解】(1)根据题意可得AB为O0的直径， .∠ACB=90°， :∠BAC=30°， ∴.∠B=180°-∠ACB-∠BAC=180°-90°-30°=60°， :四边形ABCD是平行四边形， ∠D=∠B=60°. (2)连接OC交AB于点E,连接OA,如图： 32/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C 图2 :CD与00相切， .0C⊥CD, 在平行四边形ABCD中，AB∥CD, OC⊥AB, .BE=AE,AC=BC, ∠BAC=∠ABC=30°， .∠A0C=2∠ABC=60°， :0A=0C, :△OAC为等边三角形， ..0A=AC, 故点A在0C的垂直平分线上， 又：AB1OC, :AB是OC的垂直平分线， :.OE=CE, 在△AOE和△BCE中， OE=CE ∠AEO=∠BEC=90°， AE=BE .△AOE≌△BCE(SAS), 即SAOE=SBCE, 故阴影部分的面积即为扇形AOC的面积， 扇形40C的面积=三O文之己元 360 360 考点4 圆中的切线相关问题 、 单选题 33/93 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 31.(2026·浙江杭州·一模)如图，P为00外一点，PA、PB分别切00于点A、B,CD切⊙0于点E, 分别交PA、PB于点C、D,若PA=8,则△PCD的周长为() B A.8 B.12 C.16 D.20 【答案】C 【分析】根据切线长定理得到PB=PA=8,CA=CE,DB=DE,再根据三角形的周长公式计算即可. 【详解】解：：PA、PB分别切OO于点A、B,CD切OO于点E,PA=8, :PB=PA=8,CA=CE DB=DE :△PCD的周长=PC+CD+PD =PC+CE+DE+PD =PC+CA+PD+DB =PA+PB=16, 故选：C. 【点晴】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，关键是把△PCD的周 长转化为已知切线相关的线段计算。 32.(2026·浙江舟山·一模)如图，AB是O0的直径，CD是⊙0的弦，AB⊥CD,垂足为E,连接BD 并延长，与过点A的切线AM相交于点P,连接AC,若⊙0的半径为6.5，AC=12,则AP的长是() PM A.144 B.26 C.156 D.24 5 【答案】C 【分析】本题主要考查垂径定理、圆的切线的性质、相似三角形的性质及判定圆周角定理的推论等，根据 垂径定理容易求AC=AD=12,然后证明△ADB∽△BAP,可求得AP=DMB BD 【详解】如图所示，连接AD 34/93 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A PM E D B 因为AB是OO的直径，AB⊥CD, 所以AB垂直平分线段CD,∠ADB=90°. 所以AC=AD=12,∠ABP+∠BAD=90°. 所以BD=√AB2-AD2=5· 因为AM是O0的切线， 所以LBAP=90°. 所以∠ADB=∠BAP. 又因为∠ABD=∠ABP. 所以△ADB∽△BAP. 所以D、BD 所以AP=D:AB156 BD 5 故选：C 二、填空题 33.(2026·浙江·一模)如图，AB是圆O的直径，点C是圆上的一点，AD⊥AB,且AC=AD,连接 CD交圆O于点E,连接AE,若LD=25°，则∠AEC=· B 【答案】50°/50度 【分析】连接OE,由等边对等角结合圆周角定理求出∠A0E=50°，再根据等腰三角形和三角形内角和定理 求出∠OAE=65°，由题意可得AD切圆O于点A,进而求出LDAE=25°，最后利用三角形外角的性质即可 求解 【详解】解：连接OE,如下图， 35/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B AC=AD, ∠C=∠D=25°， ∠A0E=2×25°=50°， :0A=0E, .∠OAE=∠0EA, 1 ∠201E=2180°-∠40E)=65°， :AD切圆O于点A, .∠0AD=90°， ∠DAE=25°， LAEC=∠D+∠DAE=50°. 34.(2026·浙江杭州·一模)如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB=BC=CD,∠ADC=100°，则 ∠AOD= B D C 【答案】60° 【分析】连接OB、OC，根据圆内接四边形的性质求出∠ABC,根据圆周角定理求出LAOC,计算即可 【详解】解：如图，连接OB、OC, ○ 36/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :四边形ABCD内接于⊙O, ∠ADC+∠ABC=180°， .∠ABC=180°-100°=80°， ∴∠A0C=2LABC=160°， ∠A0B+∠B0C=360°-160°=200°， .AB=BC=CD, AB=BC=CD .∠A0B=∠B0C=∠D0C=100°， .∠A0D=360°-100°×3=60°， 故答案为：60° 35.(2026·浙江温州·一模)如图，⊙0是ABC的内切圆，切点分别为D、E、F,连接DE,FE. ∠B=60°，∠C=70°，则∠DEF=°. 【答案】65 【分析】本题主要考查的是切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理.连接OD,OF·由三角形内角和 定理可求得∠A=50°，由切线的性质易求∠DOF=130°，由圆周角定理可求解. 【详解】解：如图所示，连接OD,OF. :∠B=60°，∠C=70°， B :∠A=180°-70°-60°=50° :AB是圆O的切线， .∠0FA=90°， 同理∠0DA=90°， 37/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠A+LD0F=180°. ∠D0F=130°. .LDEF=65°， 故答案为：65. 36.(2025·浙江杭州·一模)如图，⊙0的切线PA与直径CB的延长线交于点A,点P为切点，连接PC.若 ∠A=20°，则∠C的度数为°. 【答案】35 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，先根据切线的性质求出∠AP0=90°，然后根据三角形内角 和定理求出∠AOP=70°，最后根据圆周角定理求解即可. 【详解】解：连接OP, :PA是O0的切线， OP⊥AP,即∠AP0=90°， :∠A=20°， .∠A0P=70°， :∠C=∠A0P=35°， 故答案：35， 37.(2026·浙江杭州·一模)如图，AB是00的切线，B为切点，连接A0交O0于点C,延长A0交 OO于点D,连接BD.若∠A=∠D,且AC=3,则AB的长度是 38/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 B 【答案】35 【分析】本题主要考查圆的相关计算，涉及切线的定义，含30°直角三角形的性质，勾股定理，连接OB, 设O0的半径为r,根据LA0B=2LD,∠A=∠D,得LA0B=2LA,结合切线的定义可知LA=30°，再根 据含30°直角三角形的性质即可求解. 【详解】解：连接OB, ○ A B 设⊙0的半径为”， :∠A0B=2∠D，∠A=∠D, .LA0B=2∠A, :AB是⊙O的切线，B为切点， .∠0BA=90°， ∠A+∠A0B=90°， ∠A+2∠A=90°， ∠A=30°， A0=20B=2r,AB=V0A2-0B2=V30B=V3r, AC+0C=0A,则3+r=2r, r=3, AB=30B=33, 故答案为：3√5。 39193 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 三、解答题 38.(2026·浙江宁波·一模)如图，在ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D,过点D作 AD的垂线交AB于点E. E (1)请画出ADE的外接圆O0(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)： (2)求证：BC是00的切线： 【答案】()见解析 (2)见解析 【分析】(I)根据圆周角定理可知AE是ADE的外接圆的直径，所以作AE的垂直平分线，交AE于点O, 以O为圆心以OA为半径画圆即可； (2)连接OD,由AE为直径、DE1AD可得出点D在OO上且∠DA0=LADO,根据AD平分∠CAB可 得出∠CAD=∠DA0=∠AD0,进而得出AC∥D0,再结合∠C=90°即可得出∠ODB=90°，进而即可证 出BC是⊙O的切线： 【详解】(1)解：如图1所示，⊙0即为所求； C D 图1 (2)证明：如图2，连接0D, C D B 图2 40/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AD平分∠CAB, ∠CAD=∠OAD, :0A=0D, LDA0=∠AD0, LCAD=∠AD0, AC∥DO, :∠C=90°， .0D⊥BC, :0D为00的半径， BC是⊙0的切线. 【点晴】本题考查了切线的判定与性质、平行线的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键 39.(2026·浙江宁波·一模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D,点E在 边AC上，以CE为直径的OO恰好过点D. B (1)求证：AB与⊙0相切. (2)当AE=E0=2时，求CD的长」 【答案】（①）见解析 (2)25 【分析】(1)连接0D,证明OD∥BC即可； (2)利用解直角三角形求解即可： 【详解】(1)解：如图，连接0D, 41/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :CD平分∠ACB, E LBCD=∠OCD, :0D=0C, ·∠0DC=∠0CD, :∠ODC=∠BCD, OD∥BC, :∠ABC=∠AD0=90°， OD⊥AB, :AB与⊙O相切. (2)解：AE=E0=0D=2, A0=20D=4, :0D⊥AD, AD=2V5,∠A=30°，∠A0D=60°. :∠A0D=∠0DC+∠0CD=2∠0CD, :∠A=∠0CD=30°， :CD=AD=23. 40.(2026·浙江舟山·一模)如图，点C是0E外一点，CE的延长线交0E于点B,点A在圆上，连接 AE,且AB=AC,∠C=30°. B (I)求证：AC为⊙E切线： (2)若AE=1,求BC的长. 【答案】(1)见解析 (2)3 42/93 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】(1)通过证明∠EAC=90°得以论证AC为⊙E切线： (2)利用直角三角形的性质求解即可 【详解】(1)证明：AB=AC, ∴∠B=∠C=30°， .∠BAC=120°， EB=EA, ∠B=∠EAB=30°， .LEAC=∠BAC-∠EAB=90°， 即AE⊥AC, AC为OE切线； (2)解：在Rt△AEC中，∠C=30°， .CE =2AE=2, BE=AE =1, .CB=CE+BE=2+1=3. 41.(2026·浙江金华·一模)如图，在AABC中，AB=AC,以AB为直径作⊙O,交BC于点D,过点D 作DE⊥AC,垂足为E. B (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若CE=6,AE=2. ①求BC的长； ②点P为BC上一点，连接PA,PA+PB是否有最小值？若有，请直接写出这个最小值；若没有，请说 明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)①8√3；②PA+一PB的最小值为4V3 【分析】本题考查与圆的性质概念，与圆有关的位置关系，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质 并正确作出辅助线是解题关键. 43/93 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)连接OD、AD,由“直径所对的圆周角是直角”得∠ADB=90°，即有AD⊥BC,由己知、根据等腰 三角形三线合一”得BD=CD,从而得出：OD是△4BC的中位线，由三角形中位线定理得OD‖AC,由己 知、“一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条得DE⊥OD,根据切线的判定定理得证； (2)①由题意证明aDEC∽aADC,求出CD,从而得出结论； ②在R1:BD中，山边角关系可以求出∠4BC=30:,从面得出：AD-号4B=4,∠840=60，过点P作 PG1AB于点G,则由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”得PG+}PB,延长AD到点F ,使FD=AD=4,，则由线段垂直平分线的性质可知：BC上任意一点P到点A与点F的距离都相等，即总 有PF=PA,由两点之间，线段最短”可知：当点F在直线PG上时，PF+PG的长最小，从而PG+!PB 的长最小，最小值为线段FG的长，此时，在RtAAFG中，由边角关系即可求出最小值. 【详解】(1)证明：连接OD、AD,如图： D :AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°，0A=0B, :AD⊥BC, :AB=AC, :BD=CD, :.OD是△ABC的中位线， .ODI AC, :DE⊥AC, DE⊥OD, :0D是⊙O的半径， :DE是⊙O的切线. (2)解：①若CE=6,AE=2,则AB=AC=8, :∠ADB=90°， ∴.∠ADC=90°， 44/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :DE⊥AC, ∴.∠DEC=90°=∠ADC, ZC=ZC, ·△DECn△ADC, DC CE AC CD .CD2=CEAC=6×8=48, CD>0, CD=45, BC=2CD=85, 即BC的长为8√3. ②点P为8C上一点，连接PA,PA+PB有最小值。 在RtABD中，BD=CD=4V5,coS∠BAD= BD 433 BA 8 2 ∠BAD=60°， ∴∠ABC=90°-60°=30°， :.AD=14B=4, 2 过点P作PG1AB于点G,则PG=PB, 延长AD到点F,使FD=AD=4,则BC上任意一点P到点A与点F的距离都相等，即总有PF=PA, 由两点之间，线段最短可知：当点F在直线PG上时，PF+PG的长最小，从而PA+)PB的长最小，最小 值为线段FG的长， D E B OG 此时，在Rt&AFG中，AF=AD+DF=8, FG=AFxsi2B4D=8x 2 即P1+2PB的最小值为4V5. 45/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 42.(2026·浙江温州·一模)如图，以AB为直径作半圆O,过点B作半圆的切线BC,连接AC交半圆O 于点D,连接OD. B (1)求证：∠A0D=2LC: (2)若∠A0D+LC=150°，求∠0DC的度数， 【答案】（①）见解析 (2)140° 【分析】(1)利用三角形的外角性质以及等角的余角相等即可证明∠A0D=2∠C: (2)利用(1)的结论求得∠A0D=100°，再利用等边对等角结合邻补角的性质即可求解， 【详解】(1)证明：如图，连接BD. :BC是半圆O的切线， BC⊥AB, ∴.∠1+∠DBC=90°. :AB为半圆O的直径， ∠ADB=90°， .∠C+∠DBC=90°， ∠C=L1. .∠A0D=2∠1， :∠A0D=2LC; (2)解：：∠A0D=2LC,∠A0D+∠C=150°， ∠A0D=100°. 0A=0D, 46/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠0DA=∠A=40°， ∴.∠0DC=180°-40°=140°. 43.(2026·浙江嘉兴·一模)如图，P为⊙0外一点，PA,PB分别与⊙0相切于点A,B,连接OA, OB.已知∠APB=50°，O0的半径为18. A B (1)求∠A0B的度数. (2)求AB的长. 【答案】(1)∠A0B=130° (2)AB=13元 【分析】(1)根据切线的性质和四边形内角和定理进行解答即可； (2)利用弧长公式进行解答即可 【详解】(1)解：PA,PB分别与OO相切于点A,B, ○ B .∠PA0=∠PB0=90°， ∠APB=50°， ∠A0B=360°-90°-90°-50°=130°. (2)解：：∠A0B=130°，⊙0的半径为18， :AB=130元x18 13元. 180 44.(2026·浙江台州·一模)综合实践活动：求甲、乙两个圆形薄板的直径（已知甲的直径小于乙的直径）. 工具：自制的矩形直尺ABCD(边AB长2cm,边AD从点A至点D标有刻度).小明的做法：如图1，将 矩形直尺ABCD放置在圆形薄板甲上，使点A,B都恰好落在薄板的边缘，边AD,BC分别交薄板的边缘于 点E,F,从直尺刻度中读出AE=6cm·小明认为线段BE就是圆形薄板甲的一条直径，接着通过计算求出 BE长度.如图2，将矩形直尺ABCD放置在圆形薄板乙上，点A恰好落在薄板的边缘，边AD与薄板的边 47/93 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 缘交于点M,边BC与薄板的边缘相切于点G,从直尺刻度中读出AM=8cm,接着添加辅助线，通过推理 和计算求出圆形薄板乙的直径长度 乙 甲 D MD G 图1 图2 (1)请你帮助小明说出图1中BE是圆形薄板甲的直径的理由，并求出BE的长度. (2)按照小明的做法，请你在图2中添加辅助线，通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度， 【答案】(1)理由见解析，BE=2√10 (2)圆形薄板乙的直径为10cm 【分析】(1)根据90°的圆周角所对的弦是直径解答；再根据勾股定理求出解即可； (2)设圆心为O,连结OG,OM,圆形薄板半径为℃m,先根据切线的性质得0G⊥BC,进而得出 OG⊥AD,再根据垂径定理得AE=EM=4,然后根据勾股定理求出半径，即可得出答案. 【详解】(1)解：理由：90°的圆周角所对的弦是直径 因为矩形直尺ABCD, 所以LA=90°， 所以BE2=AB2+AE2 又因为AB=2,AE=6, 所以BE=2√10. (2)解：设圆心为O,连结OG,OM,圆形薄板半径为cm 因为BC与00相切于点G, 所以0G⊥BC. 又因为矩形直尺ABCD对边平行， 所以0G⊥AD, 所以AE=EM=4, 所以(r-22+42=r2 48/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得r=5, 即圆形薄板乙的直径为1Ocm. E /MD TTTTTTTTTTTT 45.(2026·浙江丽水·一模)如图，在ABC中，∠B=90°，点D在边AC上，以AD为直径的00与BC 相切于点E. B (I)求证：AE平分∠BAC. (2)若AB=6,AD=8,求BE的长. 【答案】(1)见解析 (2)2V5 【分析】(1)连接OE,利用切线性质证明OE∥AB,再结合角平分线性质和等腰三角形性质分析证明，即 可解题 (2)作OF⊥AB,证明四边形OEBF为矩形，进而求出AF,再利用勾股定理求解，即可解题. 【详解】(1)证明：如图，LB=90°，⊙0与BC相切，连接OE, B 图1 49/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB⊥BC,OE⊥BC, OE∥AB, ∠BAE=∠OEA, 0A=0E, ∠OEA=LOAE, .ZBAE=ZOAE, AE平分∠BAC; (2)解：如图，AD=8,作OF⊥AB, B 图2 00-=01=0=4, :∠OEB=∠B=∠OFB=90°， ∴.四边形OEBF为矩形， .OE=BF=4,BE=OF, AB=6, AF=6-4=2, 在R1aA0F中，由勾股定理得：0F=√A02-AF2=V42-22=25, .BE OF =23. 46.(2026·浙江杭州·一模)已知AB为00的直径，C为00上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂 足为D,连接AC. D D B 图1 图2 50/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)如图1，求证：∠BAC=∠DAC; (2)如图2，连接BC,延长DC交AB的延长线于点E,∠AEC的平分线分别交AC,BC于点F,G,求 证：CF=CG; (3)如图2，在(2)的条件下，若G是EF的中点，且4E-0,CD=4,求线段CF的长。 【答案】(1)见解析 (2)见解析 ⊙s 【分析】(1)连接OC,证明LOCB=LADC,LAC0=∠DAC,由OA=OC即可得到结论； (2)连接OC,证明∠CFG=∠CGF,即可证明结论； (3)取CE的中点，连接Q6,求出4伍-号，根据勾股定军即可求出答案。 【详解】(1)证明：如图，连接OC, D :DC切0于点C, OC⊥CD, .∠0CD=90°， :AD⊥CD, .∠ADC=90°， ·∠0CD+∠ADC=180°， 0C∥AD, ∴.∠ACO=∠DAC, :0A=0C, :LAC0=∠BAC, LBAC=∠DAC; (2)证明：如图，连接0C, 51/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D F E 由(1)知：∠0CE=∠0CD=90°，∠CA0=LAC0, :∠OCB+∠BCE=90 :AB是OO的直径， ∠ACB=90°， :ZACB=ZOCE, .∠BCE=∠ACO, ∠CA0=∠BCE, :EF是∠AEC的平分线， .∠CEF=∠AEF, :ZCFG=ZCAO+ZAEF,ZCGF=ZBCE+ZCEF, LCFG=∠CGF, .CF=CG: (3)解：如图，取CE的中点，连接QG, D ~G是EF的中点， ∴.GQ∥CF,GQ=三CF, .∠CGQ=∠ACB=90°， 由(2)知：CF=CG, .c0-icG 由(2)知：∠DAC=∠BAC=∠BCE, tan∠DAC=tan∠BAC=tan∠BCE=Ge_L, CG 2' CD-BC=1 AD AC 2' 52/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 41 AD 2' AD=8, :AC=AD2+CD2=45, c-4c=25 :AB=AC2+BC2=10 AE=40 3 BE=AE-AB=10 AE=40 DE=AE2-ADE =32 ∴.CE=DE-DC= 20 3 :∠CAE=∠GCE,∠FEA=∠CEG, ∴△AFEACGE, 40 3 :AF=2CG, CF=CG, :AF =2CF, AC=45, CF- 47.(2026·浙江舟山·一模)周末，小明，小亮和小红去游乐园玩，他们分别排队去坐摩天轮，如图，地 面PQ切摩天轮⊙0于点A,小明在摩天轮上M处时发现，小亮在A处正准备登上摩天轮，而小红在小明 正下方的地面B处排队，若MN为摩天轮⊙O的直径，请解决以下问题 53/93 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：MA平分∠BMN; (2)若摩天轮的直径MN为80m,且小明到地面的高度MB为45m,求小亮与小明之间的距离是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)60米 【分析】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质： (1)连接OA,结合切线的性质可得OA∥MB,从而得到∠OAM=∠AMB,再由OM=OA,可得 ∠OAM=∠OMA,即可求证： (2)证明△NMA∽△AMB,即可解答. 【详解】(1)证明：如图所示，连接OA, A B :PQ切O0于A, :OA⊥PQ 由题意得，MB⊥PQ, OA∥MB, .∠OAM=∠AMB, :0M=0A, ∠OAM=∠OMA, .∠OMA=∠AMB, .MA平分∠NMB; (2)解：：MN为直径， .∠MAN=90°. 又：∠MBA=90°， ∠MAN=∠MBA, 又，∠OMA=∠AMB, .△NMAn△AMB, 器 80 MA Ma=45' 54/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .MA=60m, 答：小亮与小明之间的距离是60米。 48.(2026·浙江·一模)如图，在ABC中，∠B=90°，点D在边AC上，以AD为直径的00与BC相切 于点E. (1)求证：AE平分∠BAC. (2)若AB=6,AD=8,求BE的长. 【答案】(1)见解析 (2)23 【分析】本题考查了切线的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，等边对等角，正 确掌握相关性质内容是解题的关键 (1)先由切线的性质得OE⊥BC,又因为∠B=90°，得出OE‖AB,则∠BAE=∠OEA,根据OA=OE,得 ∠OEA=∠OAE,整理得∠BAE=∠OAE,即AE平分∠BAC; (2)先证明四边形OEBF为矩形，得OE=BF=4,BE=OF,因为AB=6,得AF=6-4=2,故运用勾股定理得 BE=0F=VA02-AF2=2V5,即可作答. 【详解】(1)证明：连接OE, :BC与O0相切， OE⊥BC, 又：∠B=90°， AB⊥BC, .OE‖AB, ∠BAE=∠OEA, 55/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OA=OE, ∠OEA=∠OAE, ∠BAE=∠OAE, AE平分∠BAC; (2)解：作OF⊥AB,如图所示： D :AD=8, 0D=0A=4, :∠0EB=∠B=∠OFB=90°， .四边形OEBF为矩形 .OE=BF=4,BE =OF, AB=6, .AF=6-4=2, BE=0F=VA02-AF2=V42-22=25 49.(2026·浙江嘉兴·一模)如图，AB为⊙0的直径，点C在AB的延长线上，CD与O0相切于D,过 点B作BE1ICD交⊙0于点E,连接AD,AE.∠EAD=22.5° A ○ B D C (1)求∠EAB的度数： (2)若BC=2√2-2，求BE的长. 【答案】(1)45；(2)√2 【分析】(I)连接OD,交BE于点F,在OO中CD与OO相切于点D,OD⊥CD,∠EAD=∠DAB,即可 求解； 56/93 学科网 www.zxxk .com 让教与学更高效 (2)根据AB是直径，∠AEB=90°，所以△ODC是等腰直角三角形，设OD=OB=r,则OC=√2r,进而得 出结论。 【详解】(1)连接OD,交BE于点F,如图所示：在⊙O中 :CD与OO相切于点D, .OD⊥CD, :BE//CD OD⊥BE, .DE DB, .∠EAD=∠DAB, ∠EAD=22.5°， :∠EAB=∠EAD+∠DAB=4S°. (2)解：AB是直径， ∠AEB=90°， :∠EAB=45°，BEl/CD, :LC=∠ABE=45°， :△0DC是等腰直角三角形， 设0D=0B=r,则0C=√2r, BC=0C-0B=V2r-r=2V2-2, ∴.r=2, BF=0Bcos45°=V2. 【点晴】本题主要考查了圆的切线的相关知识，正确作出辅助线理解题目含义是解题的关键 考点5 圆的解答压轴题 解答题 50.(2026·浙江温州·一模)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,过点A,B,C作O0交CD边于点E,连接 57/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AE,且AD=AE. (I)求证：四边形ABCD是平行四边形. (2 AB=AC,AB=317,AE=6. ①求四边形ABCD的面积. ②延长BC至点G,连结DG,使an∠DGB=3 在线段CG上取点F,过点F作FH⊥AF交DG于点H,求GH的 最大值。 【答案】(1)见解析 (2)①72：②V13. 【分析】(1)通过证明AB∥CD,结合AD∥BC即可证明； (2)①连结A0并延长交BC于点1，利用垂径定理结合勾股定理得到A,再根据平行四边形的面积公式 求解； ②方法1：分别过点A,D,H作BG的垂线于点IMN,则四边形AIMD为矩形，解三角形得到IG=14,再证 。4F”aFNH,得到儿=E,令F=b,进而得到b2+(2a-14)b+36a=0,再利用根的判别式得到 FN NH' 。≤1即可求解，方法2：同方法1得1G=b+360+2a=14,再利用配方法得 b b36a 6va +12后≥12a,再解不等式即可；方法3：同方法1得a=办+14b,再换元令 b b 2b+36 b+18=m,结合配方法求最值即可. 【详解】(1)解：如图， A D E B AD=AE, 58/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠1=∠2 :AD∥BC, ∠1=∠DCG, ·L2=LDCG. :∠2+∠AEC=180°，∠B+∠AEC=180°， ∠2=∠B, ∠DCG=∠B, AB∥CD, :.四边形ABCD是平行四边形 (2)①如图，连结A0并延长交BC于点1. D B :四边形ABCD是平行四边形，AD=AE=6, .BC=AD=6. AB=AC, AI⊥BC,BI=IC=3. :AB=317 A1=37-32=12 :.四边形ABCD的面积=BC×A1=6x12=72. ②方法1： 如图，分别过点A,DH作BG的垂线于点I,M,N,则四边形AIMD为矩形， A D E H B C MF .IM AD=6,DM=AI =12. 59/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 tan∠DGB=3 MG=8, 1G=14. 设NH=3a,则NG=2a,GH=V13a :∠AIF=∠FNH=90°，∠IAF=∠NFH, △AIF∽△FNH, AI IF FN NH 令F=b,则12=b FN 3a .FN=36a ÷1G=b+36a+2a=14. 6 b2+(2a-14)b+36a=0. :△=(2a-14)-4×36a≥0，即a2-50a+49≥0， :由二次函数y=a2-50a+49的图象得a≤1(a≥49舍去)， :当a=1时，GH的最大值为√13，此时b=6符合题意， 方法2： 同上可得IG=b 36a+2a=14, b 要使GH最大，只需NG最大，只需b+360最小. b 2 b+36a 66a +12a≥12√a :当GH取最大值时，12a+2a=14,即a+6a-7=0, 解得a=1, GH的最大值为V3 方法3： 由比例式可得 12 b 14-b-2a3a -b2+14b .a= 2b+36 60/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 令b+18=m,则a=- m,288 +25 m +288 288 2 +24≥24. 2”m m .0≤-24+25=1， :当a=1时，GH的最大值为√3 51.(2026·浙江绍兴·一模)如图，四边形ABCD内接于圆O,AB为直径，CD=CB,AC交BD于点G ,CE⊥AB,垂足为E,CE交BD于点F. D D G F 0 E 图1 图2 图3 (1)如图1，证明：FC=FB. (2)如图2，连结0F,若∠CAD=20°，求∠0FE的度数 (3)如图3，连结0G,若0G=4,B0=BG,求四边形OEFG的面积. 【答案】(1)见解析 (2)70° ©管 【分析】(1)根据圆中直径对应的圆周角为90°和CE⊥AB证明∠CBD=∠BCE即可. (2)根据已知关系证明CF=FG,得到F是BG中点，从而OF是中位线，故OF∥AG,再根据弧长相等 则对应的角相等求得LFOE=20°，最后求出∠OFE. (3)连结OF,过O作OH⊥AC,垂足为H,证明aAOH≌aBGC(AAS),得出相应边的比例关系，三角 形的面积关系，用勾股定理表示出相应边和面积，最后求解。 【详解】(1)证明：：AB为直径，所以∠ACB=90°，∠CAB+∠CBA=90°. D F E 又：CE⊥AB. ·LBCE+LCBA=90°. 61/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·LCAB=LBCE. CD=CB, ·∠CBD=LCDB=∠CAB. ·∠CBD=∠BCE, ·FC=FB, (2)解：由(1)已知∠FBC=∠FCB,∠ACB=90°，CF=BF, D ∠FBC+∠CGB=∠FCB+∠FCG=90°， F B E LFCG=∠CGB :FC=FG, ·FG=FB,即F是BG中点， :O是AB的中点， 所以OF∥AG. :∠CAD=20°，CD=CB, .CB=CD, :∠CAB=∠CAD=20°· :CE⊥OB, ·∠ACE=90°-LCAB=70°， :∠0FE=∠ACE=70° (3)解：连结OF,过O作OH⊥AC,垂足为H,所以AH=HC, 由圆的性质和已知条件得OA=OB=BG, D 62/93 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 「∠AHO=∠ACB=90° 由 ∠CAB=∠CBG OA=BG :△AOH≌aBGC(AAS), CG-OH-BC-AH-3HC (mZCAB- 1 2 G是CH中点，HG=CH, 2 0H=HG,设OH=a, :0H2+HG2=0G2, ÷a2=8,所以Sc-a=12. 2 ZBCE ZCAB, m∠BcE=8E-mC4a-9g- BE 1 AE BE 1 AE4' :A0=B0, BE 2 OE 3' S.OEF= _S.BOF :F为BG的中点， S.OFG =S.OBF 4 ·S四边形OBPG=】 LSA0G' 48 S四边形OEFG= -×12= 5 52.(2026·浙江杭州·一模)如图，在ABCD中，以AD为直径作O0,交BC于点E,F,交CD于点 G,过点E作EH⊥AD于点H,交OO于点P,连接PG,交AD于点Q. D H B E F B 图1 图2 (I)如图1，若AE=EF,FG=GD. 63/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①求∠P的度数。 ②求证：PQ=√3QG. ②如图2,4D=24B,点E为BC中点，若an∠EPG=3,CG=3,求PG的R 【答案】(1)①45°；②见解析 (2)92f3 13 【分析】(1)①根据圆周角定理得到∠AOE=∠E0F、∠FOG=∠DOG,进而得到∠E0G=∠AOE+∠DOG ,从面求出<E0G=90°，利用圆周角定理得到☑P)∠EOG,据此求解即可 ②连接OE、PF、Q、EG、AF,根据平行四边形和垂径定理易得到AE=EF=FD,进而得到 ∠E0F=60°，证得△EOF是等边三角形，根据圆周角定理得到∠QGE=60°，根据垂径定理得到PH=HE, 易证明PQ-=E0,在Ra50G中，号-m60,从面得结论： (2)连接AE、OE、OC,易证四边形AEC0是平行四边形、四边形0ECD是菱形，进而得到QG‖OC、 OCF=CG,根据tan∠EPG设H0=2a、PH=HE=3a,证明aAHE≌△QHP(ASA,进面 AH=2a、OE=4a-3及0H=2a-3,利用勾股定理求出a的值，根据QG‖OC证得△QDG∽aODC,进而 得到D、G 利用PG=PQ+QG求解即可. OD OC 【详解】(1)①解：连接OE、0F、0G, D AE EF,FG=GD, G 图1 .∠AOE=LEOF、∠F0G=∠DOG, :∠E0F+LFOG=LA0E+∠D0G, 即∠E0G=∠A0E+∠D0G, :∠E0G+∠A0E+∠D0G=180°， 2∠E0G=180°， ∠E0G=90°， :.∠P=∠E0G=x90°=450： 2 2 64/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②证明：连接OE、PF、EQ、EG、AF, EH⊥BC, B E 图1 .∠PEF=90°， PF为O0的直径， :四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC, ∴∠DAF=∠AFE, :DF AE AE EF, AE=EF=FD. ∠AOE=∠EOF=∠FOD, :∠A0E+∠E0F+∠F0D=180°， ∠E0F=60°， :0E=0F, EOF是等边三角形， ∠EF0=60°， :∠PGE=∠PFE, ∴.∠PGE=60°， EH⊥AD, :PH=HE, 在PQE中，QH⊥PE, △PQE是等腰三角形， ..PO=EO, 由①知，∠P=45°， ∴.∠P=∠HEQ=45°， 65/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴∠HQE=90°-∠HEQ=90°-45°=45°， ∴.∠PQH=90°-∠P=45°， ∴.∠GQH=180°-∠PQH=180°-45°=135°， ∴∠EQG=∠GQH-∠HQE=135°-45°=90°， 在Rt△EQG中，∠QGE=60°， =tan60=3, GO E0=V30G, :PO=30G: (2)解：连接AE、OE、OC、ED, D 四边形ABCD是平行四边形， B E 图2 AD=BC、AB=DC, :O为AD的中点、E为BC的中点， .0AD EC-BC. ∴AO=EC, .AD BC, 四边形AEC0是平行四边形， :AE =OC, AD =2AB, :.0E=OD=CD=EC, “四边形OECD是菱形， OC⊥ED、∠QDE=∠GDE, :∠EPG=LEDG, .∠HPQ=∠QDE, :∠HPQ+∠HQP=90°、∠HQP=∠DQG, 66/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠QDE+∠DQG=90°， ∠QMD=180°-∠QDE+∠DQG)=90°， OG⊥ED, ..OGllOC, EC=CD, ∠DEC=∠EDC, :DF=EG, EG=EF+FG、DF=DG+FG, .EF=DG, :EF=DG, :.CF =CG=3, 在△QDM和△GDM中， ∠QMD=∠GMD DM=DM ∠QDM=∠GDM △QDM≌GDM(ASA), ∴D=GD, ∴.OD-QD=CD-DG, 00=CG=3, tan∠EPG= 3, :设HQ=2a、PH=HE=3a, AE PG, ∴.∠AEP=∠QPE, 在△AHE和aQHP中， [∠AHE=∠QHP EH=PH ∠AEH=∠QPH 67/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △AHE≌△DHP(ASA, ∴AH=HQ=2a、PQ=AE, ..OC=PO=AE, 0A=0E=4a-3、0H=2a-3, 在Rt△OHE中，EH2+OH=OE2, ∴.(3a)2+(2a-3)2=(4a-32, 解得a=4, AH=8、HE=12、0E=13, 在Rt△AHE中，由勾股定理得：AE=√AH2+HE2=V⑧2+122=4N3, 0C=PQ=43, .OGOC, ∴.∠DQG=∠DOC, ∠QDG=∠ODC, ∴.△QDGn△ODC, OD_OG OD OC 号器 解得QG=40v13 13 PG=P0+0G=4N13+401392I3 1313 【点晴】本题考查圆周角定理、平行四边形与菱形的判定与性质、垂径定理、全等三角形和相似三角形的 判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键， 53.(2026·浙江舟山·一模)如图，AB是⊙0的直径，点C,D是直径AB上方半圆上两点，且 OD∥AC,OD与BC交于点E. D (I)求证：E为BC的中点： 68/93 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (2)若AC=6,DE=2,求BC. 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】本题考查圆的知识，垂径定理，勾股定理，三角形的中位线等知识，解题的关键是掌握以上定理， 进行解答，即可。 (1)根据直径所对的圆周角是直角，得∠C=90°，根据平行线是性质，可得∠OEB=∠C=90°，根据垂 径定理，即可； (2)根据三角形的中位线，则OE=)AC=3,根据OB=OD=OE+DB,求出OB,根据勾股定理求出BE ，即可 【详解】(1)：AB是⊙0的直径， ∠C=90°， ODI AC, ∠0EB=∠C=90°， .OD⊥BC, .BE CE, E为BC的中点： (2)解：E为BC的中点，O为AB的中点， OE-3. .OB=OD=0E+DE, .0B=0D=5, 在RtA BE0中，BO2=BE2+OE2, 52=BE2+32, BE=4, BC=8. 54.(2026·浙江金华·一模)如图，在矩形ABCD中，以AB为直径的O0交CD于点E,F,连接OE,过 点O作OG⊥OE交EF于点G,过点G作GH⊥CD于点H,连接GF,GC. 69/93 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G E D H 0 (1)求证：GH=FH; (2)若FH=1,BC=2,求AB的长： (3)若CG是O0的切线，求证：FH=BC.CF, 【答案】(1)见解析 (2)213 (3)见解析 【分析】C1)粮据圆周角定理得出∠EFG=<B0G=45,根据直角三角形两锐角互余得出 ∠FGH=90°-45°=45°，证明∠EFG=∠FGH,根据等角对等边即可证明结论； (2)延长GH交AB于点M,过E作EN⊥AB于点N,证明四边形BCHM为矩形，得出HM=BC=2, ∠BMH=90°，说明四边形BCEN为矩形，得出EN=BC=2,∠EN0=90°，证明△ENO≌△OMG(AAS), 得出0M=EN=2,根据勾股定理求出0G=√OM'+GM?=√22+32=√3，即可得出答案； (3)设GH=HF=a,BC=b,根据解析(2)得出EN=HM=BC=b,GM=GH+HM=a+b, 0W=N=b,证明&0 MGw.GHC,待出C总求出HCa十6a+2,待田 b b Cp=HC-FHea+ab-a=,再求出BC.CF=a2,即可得出答案， b 【详解】(1)证明：0G⊥0E, ∠E0G=90°， :∠EFG=∠B0G=45°， :GH⊥CD, ∠GHF=90°， ∠FGH=90°-45°=45°， .ZEFG ZFGH 70/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .GH=FH; (2)解：延长GH交AB于点M,过E作EN⊥AB于点N,如图所示： :四边形ABCD为矩形， .AB∥CD,∠ABC=∠BCD=90°， :GH⊥CD, .∠CHM=90°， :.四边形BCHM为矩形， HM=BC=2,∠BMH=90°， .∠0MG=180°-90°=90°， 同理可得：四边形BCEN为矩形， .EN=BC=2,∠EN0=90°， :∠1+∠3=90°，∠4+∠3=90°， ∠1=∠4， :∠EN0=∠GM0=90°，0E=0G, :.△ENO≌aOMG(AAS, .OM=EN =2, :GH FH=1, GM=GH+HM=1+2=3, :在Rt△OGM中，根据勾股定理得： 0G=V0M'+GM2=V22+32=√13， AB=20G=2V13: (3)解：设GH=HF=a,BC=b, 则根据解析(2)可得： EN =HM =BC=b,GM=GH +HM =a+b,OM EN=b, :CG是00的切线， 71/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .0G⊥CG, ∠1+∠2=90°， :∠1+∠3=90°， ∠2=∠3， :∠GHC=∠0MG=90°， ∴aOMG∽△GHC, HC GH GM OM 即c、a a+bb' .HC=a(a+b)a+ab b ∴CF=HC-FH=a+ab -a= a2 6 6, BC.CF=b. =a2, b :FH2=a2, .FH2=BC.CF. 55.(2026·浙江杭州·一模)如图，AB是⊙O的直径，点C,D是⊙O上的点，且OD川BC,AC与0D相 交于点E,连接BE. D (1I)求证：AE=EC. (2)若AC=8,DE=2,求BE的长 【答案】(1)见解析 (2)2V13 【分析】(1)根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据平行线的性质得到OD⊥AC,再根据垂径定理证明： (2)根据勾股定理列出方程，解方程求出⊙O的半径，根据勾股定理求出BC,再根据勾股定理计算得到 答案。 【详解】(1)证明：：AB是直径， 72/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠C=90°， :OD∥BC, 六∠0EA=LC=90°， OD⊥AC, :0D为半径， :AE EC; (2)解：：AE=EC,AE+EC=AC, AE=EC=)4C=)x8=4, 2 设0A=0D=x,则0E=OD-DE=x-2, 在Rt△0AE中，根据勾股定理得：AE2+OE2=OA2, 42+(x-2)=x2, 解得：x=5, AB=20A=10, 在Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC=√AB2-AC2=6, 在RtaBCE中，根据勾股定理得：BE=√BC2+EC2=2√3. 56.(2026·浙江衢州·一模)己知：在O0中，点E是弦BD上的动点（不与点B,D重合），过点E作 AC⊥BD交OO于点A,C,连接AB,BC,CD,AD,过点B作BF⊥AD于点F,交AC于点G. G 图1 图2 (1)如图1，若BF经过点0. ①求证：BG=BC. ②若am<GAF=号，AG=5,求00的￥径. (2如图2，若AC=8D,设4C= BE GE=BD =y,求y关于x的函数表达式 【答案】(1)①见解析；②00的半径为2.5 73/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)y=x+1 1 或y= x+2 x+2 【分析】(I)①证明△BEG≌△BEC(ASA),即可得到BG=BC; ②连接OD,推出BF垂直平分AD,设GF=a,AF=2a,利用勾股定理求得a=1,在RteABF中，求得 BF=4,在Rt△OFD中，利用勾股定理求解即可； (2)分①当点E靠近点D时，当点E靠近点B时，两种情况讨论，即可求解， 【详解】(1)①证明：：AC⊥BD,BF⊥AD, .∠BEG=∠AFG=90°， :LBGE=∠AGF, LGBE=∠GAF, :∠CBD=LGAF, .ZGBE ZCBD, :LBEG=∠BEC=90°，BE=BE, :△BEG≌△BEC(ASA), .BG=BC ②解：连接0D, D :BF⊥AD,BF经过点O, .AF =DF, BF垂直平分AD, ∠ABF=∠DBF, tan ZGAF= 1 ·tan∠GAF=GF=1 AF2' 设GF=a,AF=2a, :GF2+AF2=AG2,即a2+(2a2=(W5, 74/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得a=1, GF=1,AF=2, :LABF=LDBF=∠GAF, 在RtABF中，tan∠ABF=AF-L BF-2 BF=4, 令0B=r,则OF=4-r,DF=AF=2, .在Rt△0FD中，由勾股定理得2+(4-r=r2, 解得r=2.5; (2)解：①当点E靠近点D时， AC=BD, BD=AC·BC=AD, ∠BAE=LDBA=∠EDC=∠ECD, :AC⊥BD，.∠AEB=∠CED=90°， :△ABE和△CDE均为等腰直角三角形， :AE=BE,DE =CE, .BG=BC, 又：BE⊥GC, .GE CE, .GE CE=DE, 设GE=CE=DE=a,则AG=ax, .AE=AG+GE ax+a, ∴.BE=AE=ax+a, .BD=BE DE ax+2a, BE ax+a x+l y=BD=a+2dx+2 75/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②当点E靠近点B时， A 同理可证BEC和△AED均为等腰直角三角形， 令BE=CE=EG=a, .AG ax,AE DE =ax+a, :BD BE+DE ax+2a, BE a 1 .y= BD ax+2ax+2 “综合上得：y=x+1 x+2 或y=1 x+2 57.(2026·浙江衢州·一模)如图，⊙0的周长为4厘米，AB为00的直径.动点P从点A出发，在圆周 上按顺时针方向作匀速运动，速度为1厘米/秒，点P出发1秒后，动点Q也从A点出发，以厘米/秒的速 度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点P运动秒时，点P,Q与点A间的劣弧（或半圆）长分别记 为片，，则，关于t的函数图象如图2所示. P Ay(厘米) —y -y2 0 22.53 5秒) 图1 图2 (1)试确定动点Q的速度. (②)当2≤1≤4时，求片关于1的一次函数表达式，并求出当1=时，y的值： (3)若图2中的点C为两个函数图象的交点，求点C的坐标，并求此时点P,点Q间的劣弧长 【答案】0加=里米秒 ②=-1+412≤1≤4，当-秒时，为2 3 (③)点P,点Q间的劣弧长为号厘米 【分析】本题主要考查一次函数的运用， 76/93 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)根据图2可知，当t=2.5秒时，y2=2厘米，由此即可求解： (2)根据图2信息，运用待定系数法得到函数解析式，令1=氵代入函数解析式即可求解； (3)运用待定系数法得到y的解析式，联立方程组求解得到点C的坐标，结合点C得到点P,点Q间的 劣弧长. 【详解】(1)解：点Q与点A间的劣弧（或半圆）长分别记为， 根据图2可知，当t=2.5秒时，y2=2厘米， v=2÷25-)=4厘米/秒： (2)解：当1=2秒时，片=2厘米，当t=4秒时，y=0厘米， .设y=k1+b(k≠0,2≤1≤4， [2k+b=2 4k+b=0' k=-1 解得， b=4 y1=-1+42≤1≤4)， 当=秒时，片： 5+42 3 (3)解：设y2=mt+nm≠0,1≤1≤2.5， 由图2可知，当t=1秒时，y2=0厘米，当1=2.5秒时，y2=2厘米， m+n=0 2.5m+n=2' 4 m= 3 解得， 4” n=- 3 %-号s1s2, y=-t+4 当2≤t≤2.5时，联立方程组得 4.4, y= 33 77/93 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 16 t= 解得， 1 12 y= c》 当1-秒时，点P从点A顺时针旋转到点B下方，路程为气<1-9（里米，此时点P距点A的距离为 4-16-12 77 (厘米)， 点Q从点4顺时针旋转到直径4B上方，路程为二厘米， :此时点P,点Q间的劣弧长为6-12=号（厘米）. 777 58.(2026·浙江宁波·一模)如图，AB为O0直径，C为圆O上一动点，且C在直径AB上方，连接AC ,BC,点M为AC中点，连接BM,与AC相交于点N. M M 图1 图2 图3 (1)如图1，连接0M,求证：OM∥BC; (2)如图2，连接ON,AM,当ON⊥BM时，求tan∠BAC的值； (3)如图3，作MH⊥AB于H,LBMK=LBAC,与OO交于点K(点K在AB下方)，MK与AB交于点E.若 BC=V5,MH=V6,求： ①00的直径； ②EK的长 【答案】(1)见解析 4 (3)①3V5;②EK=2 【分析】(1)由垂径定理可得OM⊥AC,再由圆周角定理得出CB⊥AC,即可得证： (2)连接OM交AC于点G,由垂径定理可得OM⊥AC,AG=CG,证明OG为ABC的中位线，得出 BC=2OG,再由垂径定理可得BN=MN,由圆周角定理可得∠ACB=90°，证明aBCN≌△MGN(AAS), 78/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 得出MG=BC=20G,求出0A=0M=30G,由勾股定理可得AG=2√20G,即可得出 AC=2AG=4√20G,最后由正切的定义计算即可得出结果； (3)①延长MH交OO于点F,由题意可得AM=MC,由垂径定理可得AM=AF,由圆周角定理可得 ∠ACB=90°，再证明MF=AC,得出AC=MF=2MH=2√6，最后再由勾股定理计算即可得出结果； ②设AH=a,则BH=3V3-a,证明△AMH∽△BMH,求出AH=√5，BH=2√5，由勾股定理可得 AM=3,BM=3W2,求出an∠ABM=5,由O可得AC=2N6,an∠BMK=an∠BAC=5 ,过点E作 EP⊥BM于点P,设PE=√2b,则BP=2b,MP=4b,求出PE=1,BP=√2，MP=2√2，由勾股定理 可得BE=V5,ME=3,则4E=25,连接BK,则∠MAB=LMKB,证明AAEM∽AKEB,得出EK-BE AE EM 代入计算即可得出结果 【详解】(1)证明：：点M为AC中点， .OM⊥AC, :AB为直径， :∠ACB=90°，即CB⊥AC, .OM∥BC: (2)解：如图，连接0M交AC于点G, M :点M为AC中点， .OM⊥AC,AG=CG, :O为AB的中点， OG为ABC的中位线， .BC =20G, ON L BM, .BN MN, :AB为直径， 79/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠ACB=90°， 在△BCN和aMGN中， ∠BCN=∠MGN=90° ∠BNC=∠MNG BN=MN .△BCN≌△MGN(AAS), .MG=BC=20G, 0M=0G+MG=30G, 0A=0M=30G, AG=V0A2-0G2=2V20G, AC=2AG=420G, tan∠BAC= BC 20G√2 AC420G4 (3)解：①延长MH交O0于点F, F :点M为AC中点， .AM =MC, :MH⊥AB,且AB为直径， AM=AF,LACB=90°， :AM+AF=AM+MC, :MF AC, AC=MF =2MH=26, ·AB=VAC2+BC2=3V5; 80/93 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②设AH=a,则BH=AB-AH=3V5-a, :AB为直径，MH⊥AB, ∠AMB=∠AHM=∠BHM=90°， .∠AMH+∠MAH=∠AMH+∠BMH=90°， .∠MAH=∠BMH, ∴△AMH∽△MBH, AH MH MH BH a 6 √633-a 解得：4，=25（不符合题意，舍去），a,=5, :AH=3,BH=23, AM=√AH2+MH2=3,BM=VMH2+BH2=3√2， ·tan∠ABM=AM-V2 BM 2 由0可得：4C=26,an∠BAC=8C=5 AC 4 :∠BMK=∠BAC, ian∠BMK=tan∠BAC=2 4 过点E作EP⊥BM于点P, 设PE=√2b, 7m8M-器9，am∠BK-PE.5 BP 2 MP 4 .BP=26,MP=4b, .BM MP+BP=6b, 6b=3√2， “b=② 2 PE=1,BP=V2,MP=2√2， :BE =PE2+BP2=3,ME =MP2+PE2 =3, AE AB-BE=23, 81/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 连接BK,则∠MAB=∠MKB, :∠AEM=∠BEK, △AEM∽△KEB, EK BE AE EM' EK3 253 EK=2. 59.(2026·浙江衢州·一模)如图1，点E是O0的弦BD上一动点，过点E作AC1BD交O0于点A,C ,连接AB,BC,CD,AD,过点B作BF⊥AD于点F,交AC于点G. G O。G E D B 图1 图2 备用图 (1)如图2，若BF经过点O. ①求证：BG=BC. ②若an∠G4F=2,CD=V5,求00的半径 AG BE (2)若AC=BD, =X, BD =y,求y关于x的函数表达式 GE 【答案】(1)①见解析；②2.5 (2y=+1 +2或y 1 x+2 【分析】(I)①证明∠GBE=∠CBD,运用ASA证明△BEG≌△BEC可得结论： ②连结0D,得到LABF=LCBD,证明△ABG≌△BCD得出AG=CD=5,由tan∠GAF=】得GF=l, AF=2.求出BF=4,令0B=r,则0F=4-.DF=AF=2,由勾股定理得22+(4-r2=r2,求出 r=2.5. (2)分当点E靠近点D和当点E靠近点B两种情况，证明△ABE和△CDE均为等腰直角三角形.分别求出 BE和BD,即可求出y. 【详解】(1)解：①证明：：AC⊥BD,BF⊥AD, LBEG=LAFG=90°. 82/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠BGE=∠AGF, ∴.∠GBE=∠GAF. :∠CBD=LGAF, .ZGBE ZCBD. :LBEG=∠BEC=90°，BE=BE, △BEG≌△BEC(ASA). .BG BC. ②连结OD, GAF :BF⊥AD,BF经过点O, :AF DF. .BF垂直平分AD, ∠ABF=∠DBF. ∠ABF=∠CBD, AB=BD,BG BC, △ABG≌△BCD(SAS. AG=CD=5, 1 .:tan∠GAF= .GF=1,AF=2. ∠ABF=∠DBF=∠GAF, 在RtABF中，tan∠ABF=AF-1 BF 2 .BF=4. 令0B=r,则0F=4-r.DF=AF=2. .在Rt△0FD中，22+(4-r2=r2. 解得r=2.5. 83/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：①当点E靠近点D时， AC=BD, :BD=AC. BC=AD. :ZBAE ZDBA=ZEDC=ZECD. :AC⊥BD, .∠AEB=LCED=90°. ·△ABE和△CDE均为等腰直角三角形. AE BE,DE CE. 由①得BG=BC. :BE⊥GC, .GE CE. .GE =CE DE, 设GE=CE=DE=a,则AG=ax, .AE AG+GE ax+a. .BE AE ax a .BD BE DE ax +2a BE ax+a x+1 .y= BD ax+2a x+2 ②当点E靠近点B时， 同理可证BEC和△AED均为等腰直角三角形， 84/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 令BE=CE=EG=a, .AG ax,AE DE ax+a, ∴BD=BE+DE=ax+2a, BE a= 1 .y= BD ax+2a x+2 :综合所述可得：y=x+!或y x+2 x+2 60.(2026·浙江·一模)点B,C在以点O为圆心，OA为半径的⊙0上，连接AB,AC,BC,AB=AC. 4 D D 图① 图② 图③ (1)如图①，求证：A0平分∠BAC; (2)如图②，D为弦BC下方OO上一点，连接BD,CD,E是CD上一点，DE=DB,过点E作EF∥AC交 BC于点F,连接DF,求证DB=DF; (3)如图③，在(2)的条件下，若BC为O0的直径，△ABF的面积为8，CE=2,求⊙0的半径. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)√13 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质， 圆的性质，四点共圆，正弦函数的应用，熟练掌握判定和性质，三角函数的应用是解题的关键。 (1)连接OB,OC,证明△ACO≌△AB0(SSS)即可证明A0平分∠BAC; (2)连接AD,交BC于点K,连接EK,证明K,D,E,F四点共圆，得到∠DKE=∠DFE,∠BKD=∠DEF ,再证明aBDK≌aEDK(SAS),等量代换证明即可结论. (3)先证明aBFE∽△BEC,得到BE2=BF·BC,再根据△ABF的面积为8，得到BF·BC=32,确定 BE=42,继而得到DB=DE=4,后利用勾股定理解答即可. 【详解】(1)证明：连接OB,OC, 在AOB和△AOC中， 85/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AC=AB :{C0=BO, A0=A0 :△ACO≌△AB0(SSS), ∠BA0=∠CA0, AO平分∠BAC. (2)证明：连接AD,交BC于点K,连接EK, AB=AC, .LABC=∠ACB=∠ADB=∠ADC, :EF∥AC, .ZEFC ZACB, ∠EFC=∠ABC=LACB=∠ADB=∠ADC, :∠KFE+∠EFC=180°， .∠KFE+∠ADC=I80°， K,D,E,F四点共圆， .∠DKE=∠DFE，LBKD=LDEF, 在△BDK和△EDK中， DB=DE ∠BDK=∠EDK DK=DK ∴△BDK≌△EDK(SAS ∴.∠BKD=∠EKD, ∴.∠DEF=∠DFE, .DE DF, DE DB, 86/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D .DB=DF. (3)解：连接BE, AB=AC,OB=OC, .∠ABC=∠ACB=∠ADB=LADC,AO⊥BC, :EF∥AC, :ZEFC=ZACB, .ZEFC ZABC ZACB=ZADB ZADC :BC为OO的直径， LBAC=LBDC=90°， .∠EFC=∠ABC=∠ACB=∠ADB=∠ADC=45°， :DE=DB,∠BDC=90°， ∠DBE=∠DEB=45°， ∠BEC=∠BFE=I35°， :LEBF=∠CBE △BFE∽△BEC, BF BE ÷BEBC' .BE2=BF.BC, :△ABF的面积为8， 7BF:A0=品' BF·A0=16, BF.2A0=32, BF·BC=32, .BE2=32, :BE=4√2（负的舍去）， DB=BE sin45°=4=DE, 87/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CE=2, D .DC=DE+EC=6, ·BC=VDB2+DC2=213, :00的半径BC=V3 3,an8=3 61.(2026·浙江温州·一模)如图1，已知4BC的高4D=10,BC- ,点E是边AB上的动点， 以DE为直径作圆O,交边AB于F,交线段BD于N,交线段AD于M, 图1 图2 (I)求证：∠DAB=∠FDB (2)如图2，连接CF,若CF恰好经过点M. EF ①求N的值， ②求DN的长. 【答案】(1)见解析 (20EF8 DMS:②DW=40 49 【分析】(1)由直径所对的圆周角是直角得到∠EFD=90°，再根据同角的余角相等得到∠FDB=∠DAB; (2)①先求出BD=4AD=40 3 GD8c-D5,48=VD+0-”,再银据B=5-40 BDAB,得 到DF=8,接着证明EFDMDC,则EE=DF_8 DM CD5 ②由C-2S-设MD=5xEF=8x,作PP⊥ND于点P,则LB=∠DP=90-∠BDP,先求出一 P气DP兰再明FNPOADEF,得到P伦代入整理得到P2 x,证明△CMDn△CFP, 得到CD、MD CP=EFP,代入解得x≤ =9·则P-32x=3232 -X- 549 最后根据DN=DP+NP计算即可. 88/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)解：：DE是直径， E .∠EFD=90°，则∠B+∠FDB=90°， B N :AD为三角形的高， ∴∠ADB=90°，∠B+∠DAB=90°， ∴.∠DAB=∠FDB; 手AD,AD=10BC-= (2)解：①tanB=3=AD 3, :BD=4D=40 3 3,则CD=BC-BD=5 .AB=AD2+BD2= 50 3 DF AD .sinB BD AB DF 10 540=50, 33 解得DF=8, :四边形FEDM内接于圆， ∠FED+∠FMD=180°， :∠DMC+LFMD=180°， :∠FED=∠DMC,且∠EFD=∠ADC=90°， △EFD∽aMDC, 则EE=DF8 DM CD5 ②：EF-DF8 DM CD 5' .设MD=5x,EF=8x, 作FP⊥ND于点P,则∠B=∠DFP=90°-∠BDF, 89/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F DF=8,sin B= DF BD =sin∠DFp=D2 DP= ,则FP=Dr-DP :∠FED=∠FND,∠EFD=∠FPN=90°， △FNP∽aDEF, F5,则8 FD FP 32 5, 8x NP :NP= 32 x, 5 :∠MCD=LFCP,∠MDC=∠FPD=90°， aCMD∽aCFP, CD MD 5 5x CP FP 即5+2432， 5 32 解得：x= 49 :Np=32x=3232 x=- 549 ∴DN=DP+NP= 24,3232440 554949 62.(2026·浙江舟山·一模)如图1，在⊙0中，直径AB垂直弦CD,连结AC、AD,弦CG平分∠ACD分 别交AB,AD于点E,F,AG与CD的延长线交于点H. G 3 D B B 图1 图2 (1)求证：△ACG∽△AHC; (②)如图1，当HG=HD时，求 GH 90/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)如图2，当EF=FG时，求S: 【答案】(1)见解析 (2)4G-5-1 GH 2 、1 【分析】(1)由垂径定理得AC=AD,由圆周角定理得LAGC=LACD,进而可证△ACG∽△AHC; (2)连接DG,利用圆的内接四边形的性质和相似三角形的判定定理得到aHDG∽△HAC,利用(1)的结 论海到△HDG∽C4G,利用相似三角形的性质得到AC=CG=HG,G化，则G为AH的黄爸分氢 点，利用黄金分割的知识解答即可； (3)连结ED,DG,利用线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质得到∠EDC=∠H,则 ED∥GH；利用全等三角形的判定与性质，菱形的判定定理得到四边形AEDG为菱形，再利用圆周角定理 和等边三角形的判定定理得到AC=CD=AD,CG为直径，最后利用相似三角形的判定与性质解答即可. 【详解】(1)证明：：直径AB⊥弦CD :AC=AD .∠AGC=LACD 又：∠CAG=∠HAC △ACGn△AHC (2)连接DG, :四边形ACDG为圆的内接四边形， :∠CDG+∠CAH=180°. :LCDG+∠HDG=180°， ∴.∠HDG=∠CAH, :∠H=∠H, 91/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.△HDGn△HAC, :△HACn△CAG, ∴△HDG∽aCAG, HD CA HG CG HD HG, :AC=CG, .AC=CG=HG, :△ACG∽aAHC, AG AC AC AH AG GH GH AH' G为AH的黄金分割点， AG_5-1 GH 2 (3)连结ED,DG,如图， D :直径AB垂直弦CD, AB垂直平分CD, .EC ED, :ZECD ZEDC, 由(2)知：△HDG∽△CAG, ∴.∠ACG=∠H. :LACG=∠ECD, LEDC=∠H, ED∥GH, :ZGAF ZEDF 92/93 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在△AFG和△DFE中， ∠GAF=∠EDF ∠AFG=∠DFE, GF=EF :△AFG≌△DFE(AAS, .AF DF, 四边形AEDG为平行四边形， .:∠ACG=∠DCG, ·AG=GD, .AG=DG 四边形AEDG为菱形， CG⊥AD, :CG垂直平分AD, AC=CD=AD,CG为直径， .∠CAD=60°=∠ACD, ∠CAE=∠EAF=∠ACG=∠H=30°， ∠AEF=∠AGC=60°， .AF=tan60°EF=3EF, .AC =2AF=23EF. :∠AFE=LHAC=90°， ·.△AEF∽△HCA, S&AEF S。ACH 【点晴】本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性 质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质， 圆的内接四边形的性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键， 93/93 专题10 圆的综合（5大考点，62题） 5大考点概览 考点01圆中的角度问题 考点02圆中的弧长问题 考点03圆中的面积问题 考点04圆中的切线相关问题 考点05圆的解答压轴题 圆中的角度问题 考点1 一、单选题 1．（2026·浙江丽水·一模）如图，AB为半圆的直径，AB＝4，C、D为上两点，且＝，若∠CED＝∠COD，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．（2026·浙江丽水·一模）如图，四边形内接于，是直径，连接，若，，，则的长为（   ） A．3 B． C． D． 二、填空题 3．（2026·浙江舟山·一模）如图，内接于，为的直径，点B是的中点，延长至点D，连接，若，，则的长为________． 4．（2026·浙江宁波·一模）如图，矩形内接于，连接，是上一点，连接，，与交于点．若，，则的值为________． 5．（2026·浙江·一模）如图，菱形，，，将菱形关于对称，得到菱形，在对角线，上有两个动点，，，连接，交于点，连接，则的最小值为______． 6．（2026·浙江衢州·一模）如图，的切线交直径的延长线于点P，C是切点．若，则的大小为______． 7．（2026·浙江舟山·一模）如图，为内接三角形，其中为直径，且，点为和平分线的交点，延长交于点，连结，，． ①________； ②若，，与之间的函数关系为________． 三、解答题 8．（2026·浙江杭州·一模）如图，为的直径，点P在线段上，A，Q两点关于点P对称，过点P作交于点C，D，连接并延长交于点E，连接，，． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 9．（2026·浙江丽水·一模）如图，已知是半圆的直径，点，在半圆上，且平分，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的值． 10．（2026·浙江衢州·一模）如图1，已知内接于，．弦于点E，连结，交于点F． (1)求证：． (2)如图2，连结．若，求的值． (3)当，时，求的半径． 圆中的弧长问题 考点2 一、单选题 11．（2026·浙江·一模）如图，菱形的边长为2，以A为圆心，长为半径作弧，分别与，交于E，F两点，若与的长之比为，则的长为（   ） A． B． C． D． 12．（2026·浙江杭州·一模）如图，在菱形中，，，以为直径的圆与交于点E，则的长是（    ） A． B． C． D． 13．（2026·浙江绍兴·一模）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当重物上升时滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（   ） A． B． C． D． 14．（2026·浙江温州·一模）如图,在中，，，，为边上的高，以点B为圆心，长为半径画圆弧分别交边，于点E，F，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 15．（2026·浙江金华·一模）如图，在边长为2的正六边形中，点G为的中点，连接交于点H，则四边形的周长为_____________． 16．（2026·浙江宁波·一模）如图，扇形是某标志的外轮廓图，已知扇形半径，，则扇形的弧长为________．（结果保留） 17．（2026·浙江舟山·一模）如图，正五边形的边长为2，经过点，则阴影部分扇形的的长为_____． 18．（2026·浙江杭州·一模）如图，是的直径，为延长线上一点，切于点．连结、．若，，则的长等于________． 19．（2026·浙江舟山·一模）如图，在中，点在上，以点为圆心，长为半径作圆与相切于点．若，，则弧的长为___________． 20．（2026·浙江宁波·一模）不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体制作了一个戴帽子的不倒翁（如图1），图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为）．已知帽子的边缘，分别与相切于点，，若该圆半径是，，则的长是________．（结果保留）      21．（2026·浙江丽水·一模）埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学之父”．他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，塞伊尼点和亚历山大点是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约，在塞伊尼城有一口垂直于地面的水井，夏至日中午12点太阳光可直射井底，同一时刻在亚历山大城竖起一根垂直于地面的木棍，利用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角约为，据此可以估算地球的周长约为______ 三、解答题 22．（2026·浙江金华·一模）如图，在中，，以为直径作半，点是该半圆上的点，连接交于点，． (1)求证：为的中点； (2)若，求的长． 23．（2026·浙江·一模）如图，切圆于点，过直径上一点作，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若为中点，，，求弧的长度． 圆中的面积问题 考点3 一、单选题 24．（2026·浙江舟山·一模）如图，在中，已知，，． 把以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至边延长线上的处，那么边转过的图形（图中阴影部分）的面积是（   ） A． B． C． D． 25．（2026·浙江舟山·一模）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转40°得到，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 26．（2026·浙江衢州·一模）半径为，圆心角的扇形面积为________． 27．（2026·浙江舟山·一模）某圆锥的母线为，底面半径为，则圆锥的侧面积为_________． 28．（2026·浙江杭州·一模）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面积为___________． 29．（2026·浙江舟山·一模）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为______ 三、解答题 30．（2026·浙江温州·一模）如图，点，，在上，，以，为边作． (1)如图1，当经过圆心时，求的度数． (2)如图2，当与相切时，若的半径为，求与的重叠部分（阴影部分）的面积． 圆中的切线相关问题 考点4 一、单选题 31．（2026·浙江杭州·一模）如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 32．（2026·浙江舟山·一模）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，连接并延长，与过点的切线相交于点，连接．若的半径为，，则的长是（       ） A． B． C． D． 二、填空题 33．（2026·浙江·一模）如图，是圆O的直径，点C是圆上的一点，，且，连接交圆O于点E，连接，若，则______． 34．（2026·浙江杭州·一模）如图，四边形内接于，，，则________ ． 35．（2026·浙江温州·一模）如图，是的内切圆，切点分别为，连接．，，则______°． 36．（2025·浙江杭州·一模）如图，的切线与直径的延长线交于点，点为切点，连接．若，则的度数为______°． 37．（2026·浙江杭州·一模）如图，是的切线，B为切点，连接交于点C，延长交于点D，连接．若，且，则的长度是 ______． 三、解答题 38．（2026·浙江宁波·一模）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作的垂线交于点E．    (1)请画出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：是的切线； 39．（2026·浙江宁波·一模）如图，在中，，平分交于点，点在边上，以为直径的恰好过点． (1)求证：与相切． (2)当时，求的长． 40．（2026·浙江舟山·一模）如图，点是外一点，的延长线交于点，点在圆上，连接，且，． (1)求证：为切线； (2)若，求的长． 41．（2026·浙江金华·一模）如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求的长； ②点P为上一点，连接，是否有最小值？若有，请直接写出这个最小值；若没有，请说明理由． 42．（2026·浙江温州·一模）如图，以为直径作半圆O，过点B作半圆的切线，连接交半圆O于点D，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 43．（2026·浙江嘉兴·一模）如图，为外一点，，分别与相切于点，，连接，．已知，的半径为18． (1)求的度数． (2)求的长． 44．（2026·浙江台州·一模）综合实践活动：求甲、乙两个圆形薄板的直径（已知甲的直径小于乙的直径）．工具：自制的矩形直尺（边长，边从点A至点D标有刻度）．小明的做法：如图1，将矩形直尺放置在圆形薄板甲上，使点A，B都恰好落在薄板的边缘，边分别交薄板的边缘于点E，F，从直尺刻度中读出．小明认为线段就是圆形薄板甲的一条直径，接着通过计算求出长度．如图2，将矩形直尺放置在圆形薄板乙上，点A恰好落在薄板的边缘，边与薄板的边缘交于点M，边与薄板的边缘相切于点G，从直尺刻度中读出．接着添加辅助线，通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度． (1)请你帮助小明说出图1中是圆形薄板甲的直径的理由，并求出的长度． (2)按照小明的做法，请你在图2中添加辅助线，通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度． 45．（2026·浙江丽水·一模）如图，在中，，点D在边上，以为直径的与相切于点E． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 46．（2026·浙江杭州·一模）已知为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，延长交的延长线于点，的平分线分别交，于点，，求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，若是的中点，且，，求线段的长． 47．（2026·浙江舟山·一模）周末，小明，小亮和小红去游乐园玩，他们分别排队去坐摩天轮，如图，地面PQ切摩天轮于点A，小明在摩天轮上M处时发现，小亮在A处正准备登上摩天轮，而小红在小明正下方的地面B处排队，若为摩天轮的直径，请解决以下问题． (1)求证：平分； (2)若摩天轮的直径为，且小明到地面的高度为，求小亮与小明之间的距离是多少？ 48．（2026·浙江·一模）如图，在中，，点D在边上，以为直径的与相切于点E． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 49．（2026·浙江嘉兴·一模）如图，AB为的直径，点C在AB的延长线上，CD与相切于D，过点B作交于点E，连接AD，AE． （1）求的度数； （2）若，求BE的长． 圆的解答压轴题 考点5 一、解答题 50．（2026·浙江温州·一模）如图，在四边形中, ,过点A,B,C作交边于点E,连接,且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若,,． ①求四边形的面积． ②延长至点G,连结,使,在线段上取点F,过点F作交于点H,求的最大值． 51．（2026·浙江绍兴·一模）如图，四边形内接于圆O，为直径，，交于点G，，垂足为E，交于点F． (1)如图1，证明：． (2)如图2，连结，若，求的度数． (3)如图3，连结，若，，求四边形的面积． 52．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，以为直径作，交于点，，交于点．过点作于点，交于点，连接，交于点． (1)如图1，若，． ①求的度数． ②求证：． (2)如图2，，点为中点，若，，求的长． 53．（2026·浙江舟山·一模）如图，是的直径，点，是直径上方半圆上两点，且，与交于点． (1)求证：为的中点； (2)若，，求． 54．（2026·浙江金华·一模）如图，在矩形中，以为直径的交于点E，F，连接，过点O作交于点G，过点G作于点H，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若是的切线，求证：． 55．（2026·浙江杭州·一模）如图，是的直径，点C，D是上的点，且，与相交于点E，连接． (1)求证：． (2)若，求的长． 56．（2026·浙江衢州·一模）已知：在中，点是弦上的动点（不与点，重合），过点作交于点，，连接，，，，过点作于点，交于点． (1)如图1，若经过点． ①求证：． ②若，，求的半径． (2)如图2，若，设，，求关于的函数表达式． 57．（2026·浙江衢州·一模）如图，的周长为4厘米，为的直径．动点从点出发，在圆周上按顺时针方向作匀速运动，速度为1厘米/秒，点出发1秒后，动点也从点出发，以厘米/秒的速度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点运动秒时，点，与点间的劣弧（或半圆）长分别记为，，则，关于的函数图象如图2所示． (1)试确定动点的速度． (2)当时，求关于的一次函数表达式，并求出当时，的值． (3)若图2中的点为两个函数图象的交点，求点的坐标，并求此时点，点间的劣弧长． 58．（2026·浙江宁波·一模）如图，为直径，C为圆O上一动点，且C在直径上方，连接，，点M为中点，连接，与相交于点N． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，连接，，当时，求的值； (3)如图3，作于H，，与交于点K（点K在下方），与交于点E．若，，求： ①的直径； ②的长． 59．（2026·浙江衢州·一模）如图1，点E是的弦上一动点，过点E作交于点A，C，连接，过点B作于点F，交于点G． (1)如图2，若经过点O． ①求证：． ②若，，求的半径． (2)若，，，求y关于x的函数表达式． 60．（2026·浙江·一模）点B，C在以点O为圆心，为半径的上，连接，． (1)如图①，求证：平分； (2)如图②，D为弦下方上一点，连接，E是上一点，，过点E作交于点F，连接，求证； (3)如图③，在（2）的条件下，若为的直径，的面积为8，，求的半径． 61．（2026·浙江温州·一模）如图1，已知的高，点是边上的动点，以为直径作圆，交边于，交线段于，交线段于． (1)求证：． (2)如图2，连接，若恰好经过点． ①求的值． ②求的长． 62．（2026·浙江舟山·一模）如图1，在中，直径垂直弦，连结，弦平分分别交于点与的延长线交于点．    (1)求证：； (2)如图1，当时，求； (3)如图2，当时，求． 2 / 97 1 / 97 学科网（北京）股份有限公司 $