精品解析：2025年浙江杭州拱墅文晖实验中学九年级一模数学试卷

2025年浙江杭州拱墅文晖实验中学初三一模数学试卷 一．选择题（共10小题） 1. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 从地面向上抛的硬币会落下 B. 射击运动员射击一次，命中环 C. 太阳从东边升起 D. 有一匹马奔跑的速度是米秒 2. 杭州亚运会主会场莲花体育场有固定座位80800个，其中数字80800用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 如图是生活中常用的“空心卷纸”，其主视图是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知， 平分．若，则（ ） A. B. C. D. 6. 某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（ ） A. 平均分不变，方差变大 B. 平均分不变，方差变小 C. 平均分和方差都不变 D. 平均分和方差都改变 7. 已知a，b，c是实数，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在课外活动跳绳时，相同时间内小季跳100下，小范比小季多跳20下．已知小范每分钟比小季多跳30下，设小季每分钟跳x下，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 设函数，，直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，在正方形中，点E，点F分别在边上（点E不与点B，C重合），且．连接交于点G，连接交于点H．若，则＝（　　） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题） 11. 因式分解：x2﹣x=______． 12. 一个不透明袋子里只装有4个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球，3个白球．从中任意摸出一个球，这个球是红球的概率为___． 13. 一个圆锥高为4，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为______． 14. 如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动砝码上升（假设绳索足够长且粗细不计，与滑轮之间无滑动），若滑轮旋转了，则砝码上升了_________cm．（结果保留） 15. 已知关于x的二次函数，在的取值范围内最大值为7，则该二次函数的最小值为______． 16. 如图，在锐角三角形 中，是 边上的高线，是边上的中线．若，，，则________（用含a的代数式表示）． 三．解答题（共8小题） 17. 计算： （1）； （2）sin． 18. 为了解学生对篮球、排球、足球这三大球类的喜爱情况，某校从九年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，通过分析整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的相关信息解答下列问题． （1）求参与调查的学生中喜爱篮球的人数； （2）该校九年级共有500名学生，请你估计该校九年级学生中喜爱足球的有多少人？ 19. 已知函数 和函数（k为常数且）的图象交于点． （1）求和的函数关系式； （2）将向下平移个单位，平移后的图象与交于点B，若A，B两点关于原点中心对称，求t的值． 20. 如图，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A． （1）求证：BC是半圆O的切线； （2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长． 21. 星期日上午，小明从家里出发步行前往离家的镇海书城参加读书会活动，他以的速度步行了后发现忘带入场券，于是他停下来．打电话给家里的爸爸寻求帮助，爸爸骑着自行车从家里出发，沿着同一路线以的速度行进，同一时刻小明继续按原速步行赶往目的地．爸爸追上小明后载上他以相同的车速前往书城（停车载人时间忽略不计），到达书城后爸爸原速返回家．爸爸和小明离家的路程与小明所用时间的函数关系如图所示． （1）求爸爸在到达镇海书城前，他离开家的路程s关于t的函数表达式及a的值． （2）爸爸出发后多长时间追上小明？此时距离镇海书城还有多远？ 22. 如图1，在矩形中，对角线 与相交于点O，点E，F分别为，的中点，延长至G，使，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）如图2，若四边形是菱形，求的值． 23. 在直角坐标系中，设函数（a，b，c是常数，）． （1）当时， ①若该函数图象的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式； ②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：； （2）已知该函数的图象经过点，．若，，求a的取值范围． 24. 如图，的半径为1，直径，的夹角，点 是上一点，连接，分别交，于点，. （1）若，求证：； （2）当点 在上运动时. ①猜想：线段与有怎样的数量关系，并给出证明； ②求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年浙江杭州拱墅文晖实验中学初三一模数学试卷 一．选择题（共10小题） 1. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 从地面向上抛的硬币会落下 B. 射击运动员射击一次，命中环 C. 太阳从东边升起 D. 有一匹马奔跑的速度是米秒 【答案】B 【解析】 【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，一定会发生的是必然事件，一定不会发生的是不可能事件.结合概念判断各选项即可. 【详解】解：A 、从地面向上抛的硬币会落下，是一定会发生的事件，属于必然事件，不符合题意； B 、射击运动员射击一次，可能命中环，也可能不命中环，是否发生无法预先确定，属于随机事件，符合题意； C 、太阳从东边升起，是一定会发生的事件，属于必然事件，不符合题意； D 、马奔跑的速度不可能达到米/秒，是一定不会发生的事件，属于不可能事件，不符合题意； 故选：B. 2. 杭州亚运会主会场莲花体育场有固定座位80800个，其中数字80800用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解： 故选：A． 3. 如图是生活中常用的“空心卷纸”，其主视图是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：观察图形可知，该几何体的主视图如下： ． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方运算，熟练掌握运算法则和公式是解答本题的关键．根据合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方逐项分析即可． 【详解】解：A．，原计算错误，故本选项不符合题意； B．，原计算错误，故本选项不符合题意； C．，原计算错误，故本选项不符合题意；； D．，故本选项符合题意；； 故选D． 5. 如图，已知， 平分．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由， 平分，可得，根据，即计算求解即可． 【详解】解：∵， 平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了角平分线，平行线的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 6. 某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（ ） A. 平均分不变，方差变大 B. 平均分不变，方差变小 C. 平均分和方差都不变 D. 平均分和方差都改变 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数，方差的定义计算即可． 【详解】解：∵小亮的成绩和其他39人的平均数相同，都是90分， ∴该班40人的测试成绩的平均分为90分，方差变小， 故选：B． 【点睛】本题考查方差，算术平均数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 7. 已知a，b，c是实数，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目条件中仅有，，但不确定a与c、b与c的大小关系，故A、B、D均无法确定；因为，所以，又因为，所以，C项正确． 【详解】解：A选项，无法确定a与c、b与c的大小关系，A错； B选项，因为，所以，又因为，无法确定正确，B错； C选项，因为，所以，又因为，所以，C项正确； D选项，由C选项可知，若，则，无法确定正确，D错． 故选：C． 【点睛】本题考查给定实数间的大小关系，判断各选项是否成立，解题的关键是实数加上一个小于0的数后小于原来的实数，以此确定绝对正确的选项． 8. 在课外活动跳绳时，相同时间内小季跳100下，小范比小季多跳20下．已知小范每分钟比小季多跳30下，设小季每分钟跳x下，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果设小季每分钟跳x下，那么小范每分钟跳（x+30）下．题中有等量关系：小季跳100下所用的时间=小范跳120下所用的时间，据此可列出方程． 【详解】解：由于小季每分钟跳x下，所以小群每分钟跳（x+20）下． 根据题意，得 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程在实际生活中的应用．注意认真审题是前提，找出等量关系是关键． 9. 设函数，，直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】将代入两个函数得到和的表达式，再结合各选项中，的大小关系，比较和的大小即可得到答案． 【详解】解：依题意，，， ∴ 若， ∵，∴， ∵，，∴，即， ∴，即，C正确，D错误． 若，，，，得，，A错误． 若，，无法确定的正负，无法得到，B错误． 10. 如图，在正方形中，点E，点F分别在边上（点E不与点B，C重合），且．连接交于点G，连接交于点H．若，则＝（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设 ，则 ，证明 和 ， 推出 ，作 ， 证明 ，得到 ，设 ， 则 ， 推出 ， 在 中， 利用勾股定理求得 ， 代入 计算即可求解 【详解】解： 设 ， 则 ， ∵正方形 中， ， ∵对角线 与 交于点 ， 作 设 则， 在 中， 即 整理得：， 故选： A 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及正方形的性质，解题的关键是学会利用参数构建等量关系是解决的问题 二．填空题（共6小题） 11. 因式分解：x2﹣x=______． 【答案】x（x﹣1） 【解析】 【详解】分析：提取公因式x即可． 详解：x2−x＝x（x−1）． 故答案为x（x−1）． 点解：本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键． 12. 一个不透明袋子里只装有4个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球，3个白球．从中任意摸出一个球，这个球是红球的概率为___． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，正确理解概率的意义，找出所有等可能的结果总数与所求事件包含的结果数是解题关键，根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵袋子中共有4个除颜色外完全相同的小球，其中红球有1个， ∴从中任意摸出一个球，摸出红球的概率为． 13. 一个圆锥高为4，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理计算出这个圆锥的底面圆的半径，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：这个圆锥的底面圆的半径==3， 所以这个圆锥的侧面积=×2π×3×5=15π． 故答案为：15π． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 14. 如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动砝码上升（假设绳索足够长且粗细不计，与滑轮之间无滑动），若滑轮旋转了，则砝码上升了_________cm．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长的计算方法计算半径为，圆心角为的弧长即可． 【详解】解：由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确解答的前提． 15. 已知关于x的二次函数，在的取值范围内最大值为7，则该二次函数的最小值为______． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据题意先将二次函数写成顶点式，得出对称轴及开口方向，根据抛物线开口向上时离对称轴越远函数值越大，可知当x=-1时，y=7，从而可解得m的值；再根据抛物线的顶点式可得其最小值． 【详解】解：∵y=x2-4x+m=（x-2）2+m-4， ∴对称轴为直线x=2，抛物线开口向上， ∵二次函数在-1≤x≤3的取值范围内最大值7， 当x=-1时，y=7， ∴7=（-1）2-4×（-1）+m， 解得：m=2， ∴当x=2时，该二次函数有最小值，最小值为0+2-4=-2． 故答案为：-2． 【点睛】本题考查二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 16. 如图，在锐角三角形中，是 边上的高线，是边上的中线．若，，，则________（用含a的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据直角三角形斜边中线的性质可得出，再根据题意结合三角形外角的性质易证，即得出，说明为等腰直角三角形，得出．设，则，，根据勾股定理可求出．最后在中，利用勾股定理列出关于x的方程，解出x的值即可求解． 【详解】如图，连接． ∵是 边上的高线， ∴． ∵是边上的中线， ∴点E为中点， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 设，则，， ∴． ∵，即， 解得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识．正确作出辅助线是解题关键． 三．解答题（共8小题） 17. 计算： （1）； （2）sin． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数幂及特殊三角函数值，正确化简各数是解题关键． （1）利用算术平方根的定义，绝对值的性质，零指数幂计算后再算加减即可； （2）利用负整数指数幂，特殊锐角三角函数值，立方根的定义计算后再算乘除即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 为了解学生对篮球、排球、足球这三大球类的喜爱情况，某校从九年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，通过分析整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的相关信息解答下列问题． （1）求参与调查的学生中喜爱篮球的人数； （2）该校九年级共有500名学生，请你估计该校九年级学生中喜爱足球的有多少人？ 【答案】（1）21人 （2）200人 【解析】 【分析】（1）根据排球的人数和所占的百分比求出调查的总人数，再用总人数乘以喜爱篮球的人数所占的百分比即可； （2）用总人数乘以喜爱足球的人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：调查的总人数有（人）， 所以（人）， 答：参与调查的学生中喜爱篮球的人数为21人； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校九年级学生中喜爱足球的有200人． 19. 已知函数 和函数（k为常数且）的图象交于点． （1）求和的函数关系式； （2）将向下平移个单位，平移后的图象与交于点B，若A，B两点关于原点中心对称，求t的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将点分别代入函数解析式建立方程求解即可； （2）先确定平移后的解析式为：，再由（1）得出，确定点，代入解析式求解即可． 【小问1详解】 解：将点分别代入函数解析式得：， 解得：， ∴，； 【小问2详解】 向下平移个单位，平移后的解析式为：， 由（1）得在上， ∴， ∴ ∵平移后的图象与交于点B，A，B两点关于原点中心对称， ∴点， 将点代入得：， 解得：． 【点睛】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，一次函数的平移及交点，理解题意，熟练掌握运用一次函数及反比例函数的性质是解题关键． 20. 如图，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A． （1）求证：BC是半圆O的切线； （2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长． 【答案】（1）证明：∵AB是半圆O的直径， ∴BD⊥AD， ∴∠DBA+∠A=90°， ∵∠DBC=∠A， ∴∠DBA+∠DBC=90°即AB⊥BC， ∴BC是半圆O的切线； （2）AD=4.5. 【解析】 【分析】（1）若证明BC是半圆O的切线，利用切线的判定定理：即证明AB⊥BC即可； （2）因为OC∥AD，可得∠BEC=∠D=90°，再有其他条件可判定△BCE∽△BAD，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出AD的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵OC∥AD， ∴∠BEC=∠D=90°， ∵BD⊥AD，BD=6， ∴BE=DE=3， ∵∠DBC=∠A， ∴△BCE∽△BAD， ，即； ∴AD=4.5 【点睛】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形的判定和性质． 21. 星期日上午，小明从家里出发步行前往离家的镇海书城参加读书会活动，他以的速度步行了后发现忘带入场券，于是他停下来．打电话给家里的爸爸寻求帮助，爸爸骑着自行车从家里出发，沿着同一路线以的速度行进，同一时刻小明继续按原速步行赶往目的地．爸爸追上小明后载上他以相同的车速前往书城（停车载人时间忽略不计），到达书城后爸爸原速返回家．爸爸和小明离家的路程与小明所用时间的函数关系如图所示． （1）求爸爸在到达镇海书城前，他离开家的路程s关于t的函数表达式及a的值． （2）爸爸出发后多长时间追上小明？此时距离镇海书城还有多远？ 【答案】（1）， （2）爸爸出发3分钟后追上小明，此时距离镇海书城1275米 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用以及路程、速度、时间之间关系的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式． （1）根据爸爸行驶的路程和爸爸的速度，求出爸爸到达书城所用时间，再根据待定系数法求函数解析式，再求出的值； （2）设爸爸出发后分钟追上小明，根据两人路程相等列出方程，解方程求出，并求出距离书城的距离． 【小问1详解】 解：爸爸到达达镇海书城所用时间为， 设爸爸在到达镇海书城前，他离开家的路程关于的函数表达式为， 把，代入， 得：， 解得， 爸爸在到达镇海书城前，他离开家的路程关于的函数表达式为； 爸爸的速度不变， 他返回家的时间和到达书城的时间均为， ； 【小问2详解】 设爸爸出发后分钟追上小明， 则， 解得， 此时，， 答：爸爸出发后3分钟追上小明，此时距离镇海书城还有1275米． 22. 如图1，在矩形中，对角线与相交于点O，点E，F分别为 ， 的中点，延长至G，使，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）如图2，若四边形是菱形，求的值． 【答案】（1） 证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∵点E，F分别为 ， 的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）证明，得出，，根据平行线的判定得出，证明，即可得出结论； （2）过点C作于点H，证明，根据等腰三角形性质得出，设，则，，证明，得出，即，求出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点C作于点H，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，，，， ∵四边形为菱形， ∴， ∵点E，F分别为 ， 的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：，（负值舍去）， 根据勾股定理得： ， ∴，， ∴， 即的值为． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 23. 在直角坐标系中，设函数（a，b，c是常数，）． （1）当时， ①若该函数图象的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式； ②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：； （2）已知该函数的图象经过点，．若，，求a的取值范围． 【答案】（1）①； ②∵该函数解析式为，且其图象与x轴有且只有一个交点， ∴方程有且只有一个实数解， ∴，整理，得：，即， ∴． ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据二次函数的对称轴公式即可求出b的值，再将代入该二次函数的解析式即可求出c的值，即得出该函数的表达式；②根据该函数的图象与x轴有且只有一个交点，即说明其相关一元二次方程有且只有一个实数解，再利用其根的判别式即得出，整理为，进而可求出，再配方，结合二次函数的性质即可求解； （2）将，代入该二次函数解析式，得，，两式相减并整理得．结合题意可求出，根据，说明，即．最后利用，求出a的取值范围即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴该函数解析式为． ∵该函数图象的对称轴为直线， ∴， 解得：． ∵该函数图象过点， ∴， 解得：， ∴该函数解析式为； ②略 【小问2详解】 解：∵该函数的图象经过点，， ∴，， ∴， 整理，得：， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴，即． ∵， ∴， 解得：． 24. 如图， 的半径为1，直径，的夹角，点是上一点，连接，分别交，于点，. （1）若，求证：； （2）当点在上运动时. ①猜想：线段与有怎样的数量关系，并给出证明； ②求证：. 【答案】（1）证明：∵，， ∴. ∴. ∴. ∴. （2）①猜想：. 如图，连结. ∵，， ∴是等边三角形. ∴，. ∵，， ∴，. 又∵， ∴. ∴. ②∵ 的半径为1， ∴. ∵， ∴. 又∵， ∴. ∴，即. ∵，， ∴. ∴，即. ∵， ∴，. ∴. 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理可得出即可得出结论； （2）①根据已知条件可得出是等边三角形；再证明即可；②根据已知条件可得出，再推出，在等量代换即可得出结论； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $