专题09 几何压轴（3大题型，60题）（浙江专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题09 几何压轴（3大题型，60题） 一、单选题 1．（2026·浙江宁波·一模）如图，是正方形的对角线，E为边上的动点（不与端点重合），点F在的延长线上，且，过点F作于点G，连结，．则下列比值为定值的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江舟山·一模）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江·一模）如图，平行四边形，为线段中点，为延长线上一点，连接分别交、于点、点，已知，的面积分别为和，则的面积为（    ）． A．1 B． C． D．2 4．（2026·浙江台州·一模）如图，在中，．将向右平移得到，点B，，C，在同一直线上，边与边交于点G．若，，则的长为（   ） A． B． C． D．5 5．（2026·浙江温州·一模）如图,在中，，，，为边上的高，以点B为圆心，长为半径画圆弧分别交边，于点E，F，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·浙江舟山·一模）如图，在中，，观察如图所示的尺规作图痕迹（图中所有画弧的半径均相等）若，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（2026·浙江绍兴·一模）如图，在平行四边形中，，，，点E在边上，D是线段的中点，若，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．（2026·浙江丽水·一模）如图，正方形的边长为4，将其无重叠、无空隙地剪拼成菱形，其中，分别为，的中点，则菱形的边长为（   ） A．5 B．6 C． D． 9．（2026·浙江衢州·一模）小温将含角的直角三角板与一直尺按如图所示放置，若测得，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·浙江杭州·一模）将一副三角板按如图所示的方法摆放，点在上，．若斜边，则的度数是（   ） A． B． C． D． 11．（2026·浙江绍兴·一模）如图，已知斜面与水平面的夹角，一个木块静止在斜面上，其所受重力G方向竖直向下，支持力F方向垂直于斜面向上．若表示G与F两个方向之间的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．（2026·浙江丽水·一模）将，，三根直木条按如图所示的位置摆放，且，，固定木条和，木条绕点顺时针旋转，则下列描述正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（2026·浙江温州·一模）如图①，高铁顶上“受电弓”保证了高铁高速顺畅的运行，其示意图如图②，已知，在某一时刻，，那么等于（    ） A． B． C． D． 14．（2026·浙江台州·一模）将一块含角的直角三角板和一把直尺按如图所示的方式摆放，若，则等于（   ） A． B． C． D． 15．（2026·浙江衢州·一模）如图，在矩形中，四边形和四边形都是正方形，对角线交，于点，，连接交于点，连接交于点，连接，，可形成“回力镖镖翼”状的阴影几何纹样．若要确定图中“回力镖镖翼”状的阴影几何纹样的面积，只需知道（   ） A．四边形的面积 B．四边形的面积 C．四边形的面积 D．四边形的面积 16．（2026·浙江舟山·一模）如图，矩形中，，点在边上且，点为直线上一动点，连接，将沿着折痕折叠，得到，动点在边上，连接，则最小值是（   ） A． B． C． D． 17．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，．点从出发，沿向终点运动，过作于点，连接．设点的运动路径长为的面积为，的面积为关于的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（   ） A． B．点在函数图象上 C．的最大值为4 D．当时， 18．（2026·浙江宁波·一模）如图，在边长为2的菱形中，对角线交于点，于点，为上一点，，延长交于点，记，，当的大小发生变化时，则下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 19．（2026·浙江湖州·一模）如图，矩形中，对角线，交于点，点是点关于直线的对称点．连接交，于点，连接．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 20．（2026·浙江丽水·一模）如图1，正方形的四个顶点在正八边形的四条边上，A为边上一点（不与M，N重合），八边形对角线交正方形一组对边于点E，F，设，四边形的面积为y，y关于x的函数图像如图2所示，最低点为，则下列关于a，b的关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 21．（2026·浙江舟山·一模）如图，在平行四边形中，，，将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，当经过点C时，点到的距离为_________． 22．（2026·浙江宁波·一模）如图，点E在菱形的边上，将沿折叠，使点D的对应点F恰好落在边上．若，则的值是________． 23．（2026·浙江台州·一模）如图，在平行四边形中，过点作于点，连接．若，，则的值为______． 24．（2026·浙江湖州·一模）如图，在菱形中，，连接，点分别是上的点，且垂直平分，若，则菱形的面积等于__________． 25．（2026·浙江舟山·一模）如图，在正方形的对角线上取一点E，使得，连接并延长交于点F，则____，____． 26．（2026·浙江衢州·一模）如图，矩形是一张长宽比为的标准纸，将矩形纸片沿折叠，使得点C落在点处，且A，，E三点在同一直线上，则______． 27．（2026·浙江衢州·一模）如图，的切线交直径的延长线于点P，C是切点．若，则的大小为______． 28．（2026·浙江·一模）如图，是圆O的直径，点C是圆上的一点，，且，连接交圆O于点E，连接，若，则______． 29．（2026·浙江·一模）2026年春晚《武BOT》节目中，机器人进行腾空弹射表演．如图，某台机器人从水平地面的B点弹射起跳，沿直线上升至最高点A后下落，再沿直线精准落在地面C点，且．测得最高点A距地面高度为2.4米，起跳点B与落地点C相距3.2米，机器人起跳路线与地面的夹角为．则______，机器人起跳路线的长度为______米． 30．（2026·浙江温州·一模）如图，两条直线分别经过正六边形的顶点，且．当时，则___________． 31．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，，，点E是边上的中点，将沿翻折得，连接，点B，F，E恰好在同一直线上，延长交于点G．则与四边形的面积比为________ ． 32．（2026·浙江金华·一模）如图，在菱形中，点E在上，连结，作点A关于直线的对称点，连结交于点F，若点恰为的中点，则与的面积比为_____________． 33．（2026·浙江温州·一模）如图，在平行四边形中，点分别是边上的点．若，，，，则的长为___________． 34．（2026·浙江丽水·一模）如图，在中，点在上，点关于直线的对称点落在内，延长交于点，交射线于点，延长交于点．当时，设，，则_________（用含的代数式表示）． 35．（2026·浙江舟山·一模）如图，平行四边形中，点E是的中点，连接，将沿折叠使点B落在点F处，连接和，延长交于点G，和相交于点H，若，，，则的长为_________． 36．（2026·浙江衢州·一模）如图，边长为4的正方形中，为边的中点，点在边上，连接，若的外接圆恰好与相切于点，则的半径为__________． 37．（2026·浙江杭州·一模）如图，是中边上的一点，将沿着对折，点的对应点恰好落在上，连接，若，，则的长为_________． 38．（2026·浙江杭州·一模）在中，，，，点N，M分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ______． 39．（2026·浙江宁波·一模）如图，在矩形纸片中，点，分别在边，上，将该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，的延长线过点．若，，，则的长为________． 40．（2026·浙江衢州·一模）如图1，在四边形中，，平分，，（a为常数），记长为x，长为y，y关于x的函数图象如图2所示，最高点E的纵坐标为16，当时，四边形的面积为______． 41．（2026·浙江嘉兴·一模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形和正方形．延长交以为直径的半圆于点，连接．若，则的值为______． 42．（2026·浙江绍兴·一模）如图，正方形ABCD边长为2，动直线l经过正方形中心O，线段与线段AB关于直线l对称，则点B到直线的距离最大值为___． 43．（2026·浙江杭州·一模）某中学数学社团开展折纸活动，如图，在一张宽为，长度足够的矩形纸条中剪取矩形纸片（）．先将纸片折出折痕，再在边上取点P，将沿折叠得．记与的交点为Q，在折纸过程中，当点Q平分线段时，恰好平分，则长度应取________． 三、解答题 44．（2026·浙江绍兴·一模）对于题目“如图1，已知相交于，证明：．” 小明的解答过程如图2．请指出小明证明过程中错误步骤的序号，并写出正确证明过程． 45．（2026·浙江杭州·一模）如图，在矩形中，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，． (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，，作直线交于点，交于点，连接．求证：． 46．（2026·浙江丽水·一模）如图，在中，，点D在边上，以为直径的与相切于点E． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 47．（2026·浙江·一模）如图，在正方形中，点为的中点，以为圆心，为半径作圆，交对角线于点，交边于点，连结． (1)求证：为等腰直角三角形； (2)若，求的值． 48．（2026·浙江宁波·一模）在的方格纸中，点，，都在格点上，请按下列要求作图． (1)在图1中画出格点，使为等腰三角形（画一个点即可）． (2)在图2中画出格点，使． 49．（2026·浙江绍兴·一模）对于题目“如图1，已知相交于，，，证明：．”小明的解答过程如图2．请指出小明证明过程中错误步骤的序号，并写出正确证明过程． 50．（2026·浙江台州·一模）如图，在中，点，分别是，中点，连接，的平分线交于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 51．（2026·浙江湖州·一模）如图，正方形，直线绕点顺时针旋转至，作关于直线的对称点交于点，连接交于点，连接交于点．小明在探究与的大小关系时，发现其对应如下： ①_____ ②_____ (1)请填表，并证明结论②； (2)求证：； (3)在直线旋转过程中，试探究线段与线段的比（用含的式子表示） 52．（2026·浙江衢州·一模）如图，在中，平分，交边于点，是边上的高，垂足为，交于点．已知． (1)求的度数． (2)若，，求的长度． 53．（2026·浙江温州·一模）如图，是等腰直角三角形，是斜边上的中线，过点A作射线． (1)尺规作图：在射线上找一点F，连结，使得（不写作法，保留作图痕迹）． (2)根据（1）的作法，若，求的长． 54．（2026·浙江舟山·一模）在边长为的正方形中，是边的中点，点是边上的一个动点，连接并延长交射线于点． (1)如图，连接，当时，求证：； (2)过点作的垂线交射线于点，连接，． （）如图，求证：； （）如图，当时，求的值． 55．（2026·浙江台州·一模）如图，在正方形中，点E，F分别是边上的动点（不包含端点），于点G，于点M，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，过点E作分别交于点H，N． ①求证：四边形为正方形； ②求证：； ③若，请直接写出的取值范围． 56．（2026·浙江·一模）在等边中，，是边上的中点，，分别是线段，上任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，的延长线交射线于点． (1)如图1，当点与点重合，若为的平分线，交于点，求的长； (2)如图2，若为线段上一点，且，，求证：； (3)如图3，设，求证：． 57．（2026·浙江绍兴·一模）如图，四边形内接于圆O，为直径，，交于点G，，垂足为E，交于点F． (1)如图1，证明：． (2)如图2，连结，若，求的度数． (3)如图3，连结，若，，求四边形的面积． 58．（2026·浙江宁波·一模）如图1，在中，为锐角，，．点在边上，，的垂直平分线与交于点，连接． (1)当时，求的长． (2)①当长度发生变化时，的周长是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出的周长． ②当时，求的长． (3)如图2，与交于点，与交于点，当时，求的值． 59．（2026·浙江温州·一模）如图，在四边形中, ,过点A,B,C作交边于点E,连接,且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若,,． ①求四边形的面积． ②延长至点G,连结,使,在线段上取点F,过点F作交于点H,求的最大值． 60．（2026·浙江丽水·一模）如图，在中，，，分别为，的中点，连接，为的中点，过点作，垂足为点，交的延长线于点，连接，． (1)若，求的长； (2)证明：； (3)当时，求的值． 2 / 82 1 / 82 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 几何压轴（3大题型，60题） 一、单选题 1．（2026·浙江宁波·一模）如图，是正方形的对角线，E为边上的动点（不与端点重合），点F在的延长线上，且，过点F作于点G，连结，．则下列比值为定值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质，由正方形的性质可得，，，证明为等腰直角三角形，得出，设，，表示出、、、、的长，逐项分析即可得解． 【详解】解：∵四边形为正方形，是对角线， ∴，，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，，则， ∴，， ∴，， ∴； 如图，作于， 则由等腰直角三角形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴，是定值，故A符合题意； ，不是定值，故B不符合题意； ，不是定值，故C不符合题意； ，不是定值，故D不符合题意； 故选：A． 2．（2026·浙江舟山·一模）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键；结果矩形的性质的可得，，则，进而根据折叠的性质得出，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵折叠 ∴ ∴ ∵，即 ∴，故A不正确 ∵ ∴，故B不正确 ∵折叠， ∴ ∵，故C不正确，D选项正确 故选：D． 3．（2026·浙江·一模）如图，平行四边形，为线段中点，为延长线上一点，连接分别交、于点、点，已知，的面积分别为和，则的面积为（    ）． A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意可得，由平行四边形的性质容易证明，则，，因此，．结合为线段中点可得，由平行可判定，则，最后计算出的面积即可． 【详解】解：∵，的面积分别为和， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵为线段中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·浙江台州·一模）如图，在中，．将向右平移得到，点B，，C，在同一直线上，边与边交于点G．若，，则的长为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据平移的性质求得四边形是矩形，，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由平移的性质得，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴． 5．（2026·浙江温州·一模）如图,在中，，，，为边上的高，以点B为圆心，长为半径画圆弧分别交边，于点E，F，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质求出，再利用等面积法求出，利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：，，， ， ， ， 为边上的高线， ， 即， ， ． 6．（2026·浙江舟山·一模）如图，在中，，观察如图所示的尺规作图痕迹（图中所有画弧的半径均相等）若，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】观察作图过程得出是线段的垂直平分线，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可作答． 【详解】解：观察作图过程，得出是线段的垂直平分线， ∴为的中点， ∵， ∴． 7．（2026·浙江绍兴·一模）如图，在平行四边形中，，，，点E在边上，D是线段的中点，若，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】延长交于点H，过点A作于点M，过点E作于点N，根据平行四边形的性质可得，再证明，可得，，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点H，过点A作于点M，过点E作于点N， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵D是线段的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， 即． 8．（2026·浙江丽水·一模）如图，正方形的边长为4，将其无重叠、无空隙地剪拼成菱形，其中，分别为，的中点，则菱形的边长为（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】作出如图的辅助线，得到，利用勾股定理求得，据此求解即可． 【详解】解：如图， 根据题意知， ， ， ， ∴，即菱形的边长为． 9．（2026·浙江衢州·一模）小温将含角的直角三角板与一直尺按如图所示放置，若测得，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得，根据三角形外角性质可得的度数． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， 又，， ∴． 10．（2026·浙江杭州·一模）将一副三角板按如图所示的方法摆放，点在上，．若斜边，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行线的性质求得，再求得，根据三角形内角和即可解答． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ． 11．（2026·浙江绍兴·一模）如图，已知斜面与水平面的夹角，一个木块静止在斜面上，其所受重力G方向竖直向下，支持力F方向垂直于斜面向上．若表示G与F两个方向之间的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得：，根据直角三角形的性质可得，再由平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（2026·浙江丽水·一模）将，，三根直木条按如图所示的位置摆放，且，，固定木条和，木条绕点顺时针旋转，则下列描述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转方向和旋转角可知旋转后，根据同位角相等，两直线平行，可得． 【详解】解：，木条绕点顺时针旋转， 可得旋转后， ， ， ． 13．（2026·浙江温州·一模）如图①，高铁顶上“受电弓”保证了高铁高速顺畅的运行，其示意图如图②，已知，在某一时刻，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作，根据得到，即可得到，，即可得到答案 【详解】解：过作， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 14．（2026·浙江台州·一模）将一块含角的直角三角板和一把直尺按如图所示的方式摆放，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，由题意得，， ∴， ∵， ∴． 15．（2026·浙江衢州·一模）如图，在矩形中，四边形和四边形都是正方形，对角线交，于点，，连接交于点，连接交于点，连接，，可形成“回力镖镖翼”状的阴影几何纹样．若要确定图中“回力镖镖翼”状的阴影几何纹样的面积，只需知道（   ） A．四边形的面积 B．四边形的面积 C．四边形的面积 D．四边形的面积 【答案】D 【分析】设，根据正方形和矩形的性质可得，可证明，，则，再由可得答案． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴若要确定图中“回力镖镖翼”状的阴影几何纹样的面积，只需知道四边形的面积． 16．（2026·浙江舟山·一模）如图，矩形中，，点在边上且，点为直线上一动点，连接，将沿着折痕折叠，得到，动点在边上，连接，则最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称最短线段问题，点和圆的位置关系，勾股定理，由题意可得点在以点为圆心、为半径的圆上，作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点，则，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长，再利用勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点在以点为圆心、为半径的圆上， 如图，作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点， 则， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即最小值是， 故选：． 17．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，．点从出发，沿向终点运动，过作于点，连接．设点的运动路径长为的面积为，的面积为关于的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（   ） A． B．点在函数图象上 C．的最大值为4 D．当时， 【答案】B 【分析】根据图2可得的长度为，可得；画出时的图形，计算的面积即可；根据题意可得当时，的面积最大；画出时的图形，计算和的面积即可． 【详解】解：根据函数图象可得的长度为， ， ，故A正确； 当时，如图，则， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 即时，， ∴点不在函数图象上，故B错误； 可得当时，的面积最大， 此时， ，故C正确； 当时，如图，则，， ， ， 即当时，，故D正确． 18．（2026·浙江宁波·一模）如图，在边长为2的菱形中，对角线交于点，于点，为上一点，，延长交于点，记，，当的大小发生变化时，则下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于，过作于，先由四边形是矩形，得到，，再证明，得到，证明，得到，证明，得到，根据，，得到，，，再根据，得到． 【详解】解：过作于，过作于， ∵边长为2的菱形， ∴，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， 整理得， 即当的大小发生变化时，代数式的值不变的是． 19．（2026·浙江湖州·一模）如图，矩形中，对角线，交于点，点是点关于直线的对称点．连接交，于点，连接．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质和平行线的性质得到，再由轴对称的性质可得，则可证明得到，据此可证明；求出，；证明，得到，设，则，由勾股定理得；证明，得到，即，则． 【详解】解：∵在矩形中，对角线，交于点， ∴； ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得； ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 20．（2026·浙江丽水·一模）如图1，正方形的四个顶点在正八边形的四条边上，A为边上一点（不与M，N重合），八边形对角线交正方形一组对边于点E，F，设，四边形的面积为y，y关于x的函数图像如图2所示，最低点为，则下列关于a，b的关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、函数图像等知识点，从函数图像上获取所需信息是解题的关键． 如图：取的中点O，连接，过点O作交于点H，，即．再分点A与点H重合、点A与点M重合分别得到、，最后在中运用勾股定理求解即可 【详解】解：如图：取的中点O，连接，过点O作交于点H，，即． 当点A与点H重合时，取到最小值1，即，此时， 当点A与点M重合时，取到最大值b，即， 在中，，即． 故选A． 二、填空题 21．（2026·浙江舟山·一模）如图，在平行四边形中，，，将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，当经过点C时，点到的距离为_________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及含角直角三角形的性质．过点作于点E， 由四边形为平行四边形和平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，得出，可得，由含角直角边等于斜边一半来求解点到的距离． 【详解】解：如解图，过点作于点E， ∵四边形为平行四边形， ． 平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形， ，，，． ， ． ． ． ，， ． 22．（2026·浙江宁波·一模）如图，点E在菱形的边上，将沿折叠，使点D的对应点F恰好落在边上．若，则的值是________． 【答案】 【分析】由菱形的性质可得，，， 由折叠的性质可得，，，从而得出，结合等边对等角得出，作，交的延长线于，在的延长线上取一点，使得，连接，则垂直平分，即可得出，证明，得出，由题意可得，设，则，，求出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴如图，作，交的延长线于，在的延长线上取一点，使得，连接， ， 则垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 23．（2026·浙江台州·一模）如图，在平行四边形中，过点作于点，连接．若，，则的值为______． 【答案】 【分析】过作于点，则，由四边形是平行四边形，得，，证明，所以，，然后代入即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．（2026·浙江湖州·一模）如图，在菱形中，，连接，点分别是上的点，且垂直平分，若，则菱形的面积等于__________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，30°角的直角三角形的性质，勾股定理；连接交于点O，根据菱形的性质即可得到是等边三角形，再根据垂直平分线的性质得到，进而根据的直角三角形的性质和勾股定理求出和的长，利用解答即可． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴，，，，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 25．（2026·浙江舟山·一模）如图，在正方形的对角线上取一点E，使得，连接并延长交于点F，则____，____． 【答案】 /度 / 【分析】利用三角形的外角性质可求得；延长到，使，连接，作于点，设正方形的边长为1，推出是等腰直角三角形，在中，解直角三角形求得，，，推出是等边三角形，求得，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵是正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， 延长到，使，连接，作于点， 设正方形的边长为1， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∵正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、解直角三角形，掌握其基础知识，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键． 26．（2026·浙江衢州·一模）如图，矩形是一张长宽比为的标准纸，将矩形纸片沿折叠，使得点C落在点处，且A，，E三点在同一直线上，则______． 【答案】/ 【分析】设矩形的长为，宽为，根据矩形的性质得，，，根据折叠的性质得，，，则，利用勾股定理求出，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，即可解答． 【详解】解：设矩形的长为，宽为， 则，，， 由折叠的性质得，，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 27．（2026·浙江衢州·一模）如图，的切线交直径的延长线于点P，C是切点．若，则的大小为______． 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质得到，可得，再根据圆周角定理可得结果． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴． 28．（2026·浙江·一模）如图，是圆O的直径，点C是圆上的一点，，且，连接交圆O于点E，连接，若，则______． 【答案】/50度 【分析】连接，由等边对等角结合圆周角定理求出，再根据等腰三角形和三角形内角和定理求出，由题意可得切圆O于点A，进而求出，最后利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：连接，如下图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵切圆O于点A， ∴， ∴， ∴． 29．（2026·浙江·一模）2026年春晚《武BOT》节目中，机器人进行腾空弹射表演．如图，某台机器人从水平地面的B点弹射起跳，沿直线上升至最高点A后下落，再沿直线精准落在地面C点，且．测得最高点A距地面高度为2.4米，起跳点B与落地点C相距3.2米，机器人起跳路线与地面的夹角为．则______，机器人起跳路线的长度为______米． 【答案】 【分析】由题意易得米，米，，，然后根据三角函数及勾股定理可进行求解． 【详解】解：由题意得：米，米，，， ∵， ∴米， ∴，米． 30．（2026·浙江温州·一模）如图，两条直线分别经过正六边形的顶点，且．当时，则___________． 【答案】/度 【分析】先根据正六边形内角和公式求出单个内角的度数，再根据平行线的性质求解． 【详解】解：如图， 正六边形内角和为：， ， ，， ， ， 31．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，，，点E是边上的中点，将沿翻折得，连接，点B，F，E恰好在同一直线上，延长交于点G．则与四边形的面积比为________ ． 【答案】 【分析】延长，与的延长线交于点，证明，可推出，，证明，可得，，进而可得，，，证明，得， 设的边上的高为，则的边上的高为，的底边上的高为，则与四边形的面积比可求． 【详解】解：延长，与的延长线交于点， 在中，，， ，， ，， ，，，， 将沿翻折得，点B，F，E恰好在同一直线上， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点是边上的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设边的上的高为，则的边上的高为，的底边上的高为， 则与四边形的面积比为． 32．（2026·浙江金华·一模）如图，在菱形中，点E在上，连结，作点A关于直线的对称点，连结交于点F，若点恰为的中点，则与的面积比为_____________． 【答案】/0.4 【分析】延长交延长线于点，取中点，连接，连接，先证明，则，，然后证明，则，求出，可得为中位线，则可证明，则，再将共高三角形面积比化为底之比求解即可． 【详解】解：延长交延长线于点，取中点，连接，连接， 设菱形的边长为，， 则由菱形可得，， ∴，，， ∵点为的中点， ∴， ∴ ∴，， ∵对称， ∴，， ∴， ∴ ∴ 解得 ∵点为的中点，点为中点， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 33．（2026·浙江温州·一模）如图，在平行四边形中，点分别是边上的点．若，，，，则的长为___________． 【答案】 【分析】题目主要考查平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟练掌握运用相似三角形的判定和性质是解题关键． 延长、交于点，根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，通过角度之间的等量代换，证出，，，设，， 利用上述三组相似三角形可得出线段之间的比例关系，建立方程进行求解即可． 【详解】解：延长、交于点，如下图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 设，， ∵， ∴， 即， ∴，， 又∵， ∴， 即， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， 即， ∴，解得或（舍去）或（舍去）， 则， 故答案为：． 34．（2026·浙江丽水·一模）如图，在中，点在上，点关于直线的对称点落在内，延长交于点，交射线于点，延长交于点．当时，设，，则_________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】延长交于点，设，，证明得出，证明得出，证明得出，进而求得． 【详解】解：如图，延长交于点， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴ ∵，即 ∴ ∴即 ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ 又∵折叠， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： 35．（2026·浙江舟山·一模）如图，平行四边形中，点E是的中点，连接，将沿折叠使点B落在点F处，连接和，延长交于点G，和相交于点H，若，，，则的长为_________． 【答案】 【分析】由翻折得点与点关于直线对称，，则垂直平分，而点是的中点，则，，，证明，再证得，所以，则，得，由勾股定理得，求得，再证明，则，可求，最后根据求出结果． 【详解】解：将沿折叠使点落在点处， 点与点关于直线对称，， 垂直平分， ，， 点是的中点，， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， 解得， ，， ，， ，， ， ，即， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、轴对称的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大． 36．（2026·浙江衢州·一模）如图，边长为4的正方形中，为边的中点，点在边上，连接，若的外接圆恰好与相切于点，则的半径为__________． 【答案】 【分析】连接，延长交于点，证明四边形是矩形，得，，求出，设，则，由勾股定理列方程可求出． 【详解】解：连接，延长交于点，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是的切线，点F是切点， ∴，即, ∴四边形是矩形， ∴，，即, ∴, ∵点是的中点， ∴， ∴， 设，则， 在中，, ∴, 解得：． 37．（2026·浙江杭州·一模）如图，是中边上的一点，将沿着对折，点的对应点恰好落在上，连接，若，，则的长为_________． 【答案】 【分析】根据三角形面积公式并结合求出，进而求出的长，最后利用勾股定理求出的长即可得到的长． 【详解】解：设与交于点， ∵将沿着对折，点的对应点恰好落在上，，， ∴， ∴， ∴点，在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，， ∴是中边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，且与等高， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即的长为． 38．（2026·浙江杭州·一模）在中，，，，点N，M分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ______． 【答案】 【分析】过点C作，使，连接、，根据勾股定理求出，，利用“”，可证明，得，根据三角形三边关系可得，，当点G、M、B三点共线时，的值最小，最小值为的值，进而可以求解． 【详解】解：如图，过点C作，使，连接、， ，，， ， ， ， ，即， ， ， ， ，， （）， ， ， 当点G、M、B三点共线时，的值最小，最小值为的值， 的最小值为． 39．（2026·浙江宁波·一模）如图，在矩形纸片中，点，分别在边，上，将该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，的延长线过点．若，，，则的长为________． 【答案】2 【分析】根据矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，得，求解即可； 【详解】解：∵矩形，，， ∴，， 该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，且， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 40．（2026·浙江衢州·一模）如图1，在四边形中，，平分，，（a为常数），记长为x，长为y，y关于x的函数图象如图2所示，最高点E的纵坐标为16，当时，四边形的面积为______． 【答案】或 【分析】先证明，得到，进而可得，结合图2知，，求出（负值舍去），当时，求出或，过点作于点，分和两种情况讨论即可，利用等腰三角形三线合一及勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵（a为常数），长为x，长为y， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 由图2知，， ∴（负值舍去）， ∴， 当时，则，即， 解得或， 过点作于点， 当时，则， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴四边形的面积为； 当时，则， ∴， 同理，得， ∴四边形的面积为； 综上，四边形的面积为或． 41．（2026·浙江嘉兴·一模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形和正方形．延长交以为直径的半圆于点，连接．若，则的值为______． 【答案】 【分析】设直角三角形的长直角边为，短直角边为，得到，连接，根据圆周角定理结合等弧对等弦得到，，进而推出四点共圆，得到，求出，将绕点旋转，得到，推出三点共线，得到，三线合一，得到，进而得到，得到，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为， 由题意，， 连接， ∵为半圆的直径，， ∴，， ∴，， ∴四点共圆， ∴，， ∴， 将绕点旋转，得到，则，，， ∴， ∴三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 42．（2026·浙江绍兴·一模）如图，正方形ABCD边长为2，动直线l经过正方形中心O，线段与线段AB关于直线l对称，则点B到直线的距离最大值为___． 【答案】 【分析】先求出的长度，由于对称可得，，过点作垂直于于点，再求出到的距离，则只有当三点共线时有到的距离最大值． 【详解】解：， 则， 过点作垂直于于点， 为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， ， ， ， ∵ ∴当B、O、Q三点共线时距离最大， 则最大距离． 43．（2026·浙江杭州·一模）某中学数学社团开展折纸活动，如图，在一张宽为，长度足够的矩形纸条中剪取矩形纸片（）．先将纸片折出折痕，再在边上取点P，将沿折叠得．记与的交点为Q，在折纸过程中，当点Q平分线段时，恰好平分，则长度应取________． 【答案】7 【分析】延长交于点，过点作于点，通过翻折的性质和角平分线的性质得出相等的边和角，证明，得出相等的边，结合矩形的性质证明，得出相似比，设，表示出相关线段的长度，然后利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，延长交BC于点E，过点P作于点F， ， 四边形为矩形， ，， 四边形为矩形， ， 根据折叠可得，，， 平分， ， 又， ， ， 点Q平分线段， ， ， ， ， ， 设， 则，， 由勾股定理得， ， 由勾股定理得， 即， 解得（负值已舍）， ． 三、解答题 44．（2026·浙江绍兴·一模）对于题目“如图1，已知相交于，证明：．” 小明的解答过程如图2．请指出小明证明过程中错误步骤的序号，并写出正确证明过程． 【答案】②，证明见解析 【分析】利用“边边边”证明即可． 【详解】解：错误步骤的序号为②． 正确证明如下： 由正确步骤①知， 所以， 因为，． 所以， 在和中， 因为， 所以． 45．（2026·浙江杭州·一模）如图，在矩形中，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，． (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，，作直线交于点，交于点，连接．求证：． 【答案】(1)5 (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质设，则，由作弧可得，在中，根据勾股定理列方程求解即可； （2）由作图可知是线段的垂直平分线，则，进而得到，根据矩形的性质得到，结合等腰三角形的性质得到，设，则，，进而求出，根据三角形外角和定理得到，从而得出结论． 【详解】（1）解：四边形是矩形， 、、， 设，则， 以为圆心，长为半径作弧，交于点， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 的长为5； （2）证明：由作图可知：是线段的垂直平分线， ， ， 四边形是矩形， ， 、， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 是的外角， ， 即． 【点睛】本题考查矩形的性质、垂直平分线的尺规作图和性质、等腰三角形的性质、三角形内角和、外角和定理、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 46．（2026·浙江丽水·一模）如图，在中，，点D在边上，以为直径的与相切于点E． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用切线性质证明，再结合角平分线性质和等腰三角形性质分析证明，即可解题； （2）作，证明四边形为矩形，进而求出，再利用勾股定理求解，即可解题． 【详解】（1）证明：如图，，与相切，连接， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图，，作， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 47．（2026·浙江·一模）如图，在正方形中，点为的中点，以为圆心，为半径作圆，交对角线于点，交边于点，连结． (1)求证：为等腰直角三角形； (2)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正方形的性质结合可证明，则，进而可得，因此为等腰直角三角形； （2）使用勾股定理计算出和。由计算出，最后计算． 【详解】（1）证明：如图，连接， 根据题意可知，， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 48．（2026·浙江宁波·一模）在的方格纸中，点，，都在格点上，请按下列要求作图． (1)在图1中画出格点，使为等腰三角形（画一个点即可）． (2)在图2中画出格点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的判定和性质，求解即可． （2）构造平行四边形求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，画图如下： 则点D即为所求； （2）解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，画图如下： 则点E即为所求； 49．（2026·浙江绍兴·一模）对于题目“如图1，已知相交于，，，证明：．”小明的解答过程如图2．请指出小明证明过程中错误步骤的序号，并写出正确证明过程． 【答案】②，证明见解析 【分析】利用“边边边”证明，即可． 【详解】解：错误步骤的序号为②． 正确证明如下： 由正确步骤①知， 所以， 因为，． 所以， 在和中， 因为， 所以． 50．（2026·浙江台州·一模）如图，在中，点，分别是，中点，连接，的平分线交于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由角平分线得，再用三角形中位线定理证，得，通过等量代换即可得证； （2）先用中位线定理求出的长，由算出，再结合第一问的等角对等边得出即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵点，分别是，中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点，分别是，中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 51．（2026·浙江湖州·一模）如图，正方形，直线绕点顺时针旋转至，作关于直线的对称点交于点，连接交于点，连接交于点．小明在探究与的大小关系时，发现其对应如下： ①_____ ②_____ (1)请填表，并证明结论②； (2)求证：； (3)在直线旋转过程中，试探究线段与线段的比（用含的式子表示） 【答案】(1)①；②；证明见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，由轴对称性质得，，再根据等腰三角形的性质求得，，然后利用三角形的外角性质可证得结论； （2）过C作交延长线于P，证明得到，则，利用平行线的判定可得结论； （3）设与交于点K，先利用三角形的内角和定理推导出，则，再证明，则有． 【详解】（1）解：填表：①；②； 证明②：连接， 由题意，，，， 由轴对称性质得，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：过C作交延长线于P，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设与交于点K，如图， 由（2）知，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴． 52．（2026·浙江衢州·一模）如图，在中，平分，交边于点，是边上的高，垂足为，交于点．已知． (1)求的度数． (2)若，，求的长度． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用角平分线的定义，直角三角形的性质结合对顶角相等即可求解； （2）利用直角三角形的性质求得，再利用平行四边形的性质推出，求得，，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 53．（2026·浙江温州·一模）如图，是等腰直角三角形，是斜边上的中线，过点A作射线． (1)尺规作图：在射线上找一点F，连结，使得（不写作法，保留作图痕迹）． (2)根据（1）的作法，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）以点C为原点，为半径画弧交与点F，连接即可． （2）作于点H．由等腰三角形和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出， ，．再证明是等腰直角三角形，则，再由勾股定理求出，最后根据线段的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：下图即为所作图形： （2）解：如图，作于点H． ∵是等腰直角三角形，是中线， ， ∴， ，． ∵， ∴．， ∴． ∵， 在中，， ∴． 54．（2026·浙江舟山·一模）在边长为的正方形中，是边的中点，点是边上的一个动点，连接并延长交射线于点． (1)如图，连接，当时，求证：； (2)过点作的垂线交射线于点，连接，． （）如图，求证：； （）如图，当时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)（）证明见解析； （）． 【分析】（1）利用正方形性质证明得，，连接，再结合勾股定理证明，最后利用垂直平分线的判定定理即可证明； （2）（）过点作，交的延长线于点，结合正方形性质证明四边形是矩形，得，再证明，由相似三角形性质得出，即可证明； （）由可得，，由垂直平分线性质得，结合相似三角形性质得，，设，则，建立一元一次方程，解出后可得，根据即可得解． 【详解】（1）证：连接， 是边的中点， ， 四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ，， 为的中点，，， 中，， ， 点一定在线段的垂直平分线上， 故； （2）（）证明：如图，过点作，交的延长线于点， 四边形为正方形，是边的中点， ，，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 即； （）解：由（1）可知， ，， 又， ， ， ， ，， 设，则， ， 又， 则有， 解得， 即， ． 【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂直平分线的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一元一次方程的应用、求角的正切值，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 55．（2026·浙江台州·一模）如图，在正方形中，点E，F分别是边上的动点（不包含端点），于点G，于点M，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，过点E作分别交于点H，N． ①求证：四边形为正方形； ②求证：； ③若，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析；③ 【分析】（1）根据正方形的性质及垂直的性质得到，根据等角的补角相等得到，根据即可证明； （2）①根据，得到，根据正方形的性质得到，根据得到，进而得到，即可证明四边形为正方形； ②延长交于点K，根据正方形的性质得到，，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，进而得到，证明，得到，即可证明； ③取中点O，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，延长交于P，则四边形是矩形，得到，，根据正方形的性质得到，进而得到，证明，得到，可知，根据得到，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴； （2）①证明：∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵四边形为正方形， ∴ ∵， ∴， ∴． ∴四边形为正方形； ②证明：延长交于点K， ∵四边形为正方形， ∴． 又∵四边形为正方形， ∴． ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ③解：取中点O，连接， ∵ ∴ 延长交于P， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴ ∴ ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 56．（2026·浙江·一模）在等边中，，是边上的中点，，分别是线段，上任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，的延长线交射线于点． (1)如图1，当点与点重合，若为的平分线，交于点，求的长； (2)如图2，若为线段上一点，且，，求证：； (3)如图3，设，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，则，．由旋转的性质可得，则，从而证明，则，因此； （2）在射线上取点，使得，作于点，根据题意可得，则，，因此．利用三角函数可计算得，结合等腰三角形的性质可得．由等量代换可得，从而证明，则，，进一步可证明，则，因此； （3）过点分别作、的垂线，垂足为、，由三角形的内角和定理可得，由角平分线的性质可得，使用三角函数计算出，，因此，变形得． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是边上的中点， ∴，， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， 又∵点与点重合， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，在射线上取点，使得，作于点， ∵是等边三角形，D是边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， 在中， ， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）证明：如图，过点分别作、的垂线，垂足为、， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴平分， ∵，， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， ∴． 57．（2026·浙江绍兴·一模）如图，四边形内接于圆O，为直径，，交于点G，，垂足为E，交于点F． (1)如图1，证明：． (2)如图2，连结，若，求的度数． (3)如图3，连结，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据圆中直径对应的圆周角为和证明即可． （2）根据已知关系证明，得到F是中点，从而是中位线，故，再根据弧长相等则对应的角相等求得 ，最后求出． （3）连结，过O作，垂足为H，证明，得出相应边的比例关系，三角形的面积关系，用勾股定理表示出相应边和面积，最后求解． 【详解】（1）证明：为直径，所以，． 又． ． ． ， ． ， ． （2）解：由（1）已知，，， ， ． ， ，即F是中点， O是的中点， 所以． ，， ， ． ， ， ． （3）解：连结，过O作，垂足为H，所以， 由圆的性质和已知条件得， 由 ， ，， 是中点，， ，设， ， ，所以． ， ，， ， ， ， ． F为BG的中点， ， ， ． 58．（2026·浙江宁波·一模）如图1，在中，为锐角，，．点在边上，，的垂直平分线与交于点，连接． (1)当时，求的长． (2)①当长度发生变化时，的周长是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出的周长． ②当时，求的长． (3)如图2，与交于点，与交于点，当时，求的值． 【答案】(1) (2)①的周长为20；② (3) 【分析】（1）在的条件下，由，结合得；再通过勾股定理即可求解． （2）①由直线垂直平分，得；再由，根据等角对等边得．将的周长转化为，而，故周长恒为20，不随变化；②作，由得，则，，故．设，，则；结合周长为20列方程，解得，故． （3）延长交于，作．由垂直平分线性质得、，证得，结合得．再证，结合与勾股定理，求得． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ； （2）解：①的周长不发生变化．理由如下： 垂直平分， ， ， ， ， 的周长为20； ②如图，作， ， ， ，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ． 设，， ， ， 的周长为20， ， 解得：， ； （3）解：如图，延长与交于点，作， 垂直平分， ，， ，， ． ，， ， ， ， 设， ，， ， ， ， ． ， ，． ， ． 【点睛】本题以垂直平分线的轴对称性为核心，结合等腰三角形的边相等性质进行线段转化，通过构造辅助线，利用全等、相似及三角函数，将动态问题转化为固定关系求解． 59．（2026·浙江温州·一模）如图，在四边形中, ,过点A,B,C作交边于点E,连接,且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若,,． ①求四边形的面积． ②延长至点G,连结,使,在线段上取点F,过点F作交于点H,求的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)①72；②． 【分析】（1）通过证明，结合即可证明； （2）①连结并延长交于点I，利用垂径定理结合勾股定理得到，再根据平行四边形的面积公式求解； ②方法1：分别过点A,D,H作的垂线于点I,M,N, 则四边形为矩形，解三角形得到，再证，得到，令，进而得到，再利用根的判别式得到即可求解；方法2：同方法1得，再利用配方法得，再解不等式即可；方法3：同方法1得，再换元令，结合配方法求最值即可． 【详解】（1）解：如图, ∵, ∴． ∵, ∴, ∴． ∵,, ∴, ∴, ∴, ∴四边形是平行四边形． （2）①如图,连结并延长交于点I． ∵四边形是平行四边形, , ∴． ∵, ∴． ∵, ∴, ∴四边形的面积． ②方法1： 如图,分别过点A,D,H作的垂线于点I,M,N,则四边形为矩形, ∴． ∴, ∴, ∴． 设,则,． ∵, ∴, ∴, 令,则, ∴, ∴, ∴． ∵,即, ∴由二次函数的图象得（舍去）, ∴当时,GH的最大值为,此时符合题意． 方法2： 同上可得, 要使最大,只需最大,只需最小． ∵, ∴当取最大值时,,即, 解得, ∴的最大值为． 方法3： 由比例式可得, ∴, 令,则． ∵, ∴, ∴当时, 的最大值为． 60．（2026·浙江丽水·一模）如图，在中，，，分别为，的中点，连接，为的中点，过点作，垂足为点，交的延长线于点，连接，． (1)若，求的长； (2)证明：； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意可得是的中位线，推出，结合，即可求解； （2）连接，根据题意可得是的中位线，，推出，进而得到，结合推出，由是的中位线，推出，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （3）根据为的中点，得到，再根据为的中点，得到，即可求解． 【详解】（1）解：为的中点，为的中点，为的中点， 是的中位线，， ， ， ； （2）证明：连接， 为的中点，为的中点， 是的中位线，， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：为的中点， ， 为的中点， ， ． 2 / 82 1 / 82 学科网（北京）股份有限公司 $