江苏省南京市鼓楼区2026年中考数学第二次模拟练习试卷

**基本信息** 2026年中考数学二模卷以地方经济数据、传统文化素材和真实生活情境为载体，通过基础巩固-能力提升-创新应用的梯度设计，全面考查代数、几何、统计核心知识，凸显数学眼光与思维的应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|科学记数法、整式运算、数轴|结合长沙GDP数据（题1），基础概念与几何直观结合| |填空题|10/20|分式方程、韦达定理、圆锥侧面展开|七巧板面积计算（题13），传统文化与空间观念融合| |解答题|11/88|统计分析、函数应用、几何综合证明|长江索道方位角问题（题25），真实情境中考查运算与推理能力；动态折叠探究（题27），分层设计培养创新意识|

2026年中考第二次模拟考试 数学 (考试时间：120分钟，分值：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 一、选择题本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.2026年1月30日，长沙市统计局公布了2025年长沙经济运行情况，经初步核算，2025年，长沙市实现地区 生产总值约为15738亿元，同比增4.0%.将15738用科学记数法表示为() A.1.5738×103 B.0.15738×105C.15.738×103D.1.5738×104 2.下列计算正确的是() A.a3+a2=a5 B.a2.a3=a6 c.a2÷a2- D.(a32=a8 3.有理数α，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是() 上1上101上16L1→ -4-3-2-101234 A.ab >0 B.lal>bl C.a>-2 D.a >b 4.如图，△ABC中，AC=BC=5,AB=8,AD为△ABC的角平分线，过点D作AB的垂线，垂足为点E, 则DE的长为() A.4 B.3 c浩 5 D.3 5.如图，PA,PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，C是优弧AB上一点，且∠P=100°，则∠C的度数为() A.20° B.30° C.40° D.80° 第1页，共8页 B 6.如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上且BE=BA,连接CE.点F为BC边上一点，过点F作GF⊥CE于点 H,交AD于点G,点K在AB边上，连接DH,KG,KH,若AB=DH,∠KGF=45°，则的值为(） B Di G A D 个 E H F 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.当分式-的值为0时，x=一 8.计算318-v32的结果是_一， )分式方程：江G”可的是一 11 10.已知a-b=4,a-6=1,求a2b-ab2=一· 11.己知关于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0的两实数根为x1,x2,若x1+x2=7,则m的值为一· 12.如图，阴影部分ACE是以正六边形纸片ABCDEF的顶点A为圆心，对角线AC为半径的扇形，已知边长 AB=6√3，若将图中阴影部分剪下围成圆锥的侧面，再从另一纸片上截取一个圆作为圆锥的底面，恰好能 围成一个圆锥，则所截圆的半径为· 第2页，共8页 B 13.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，一副七巧板是由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四 边形组成如图，整个七巧板拼图是个大正方形，若七巧板中平行四边形的面积为16，则图中小正方形的面 积为一· 14.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D为边BC上一点，连接AD,作AD的垂直平分线 与AD,AB分别交于点P,Q,CE平分LACB交AD于点E,若CE=1,BD=√2，则QB的长是· E C D 15.如图，反比例函数y=(x<O)的图象上到原点O的距离最小的点为A,连OA,将线段0A平移到线段 cD,点O的对应点C(L,2)且点D也在反比例函数y=(x<0)的图象上时，则k的值为一 0 第3页，共8页 16.已知：等腰RtAABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,O是AB上一点，以O为圆心的半圆与AC、BC均相 切，P为半圆上一动点，连PC、PB,如图，则PC+PB的最小值是一· 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题8分) 计算及解不等式 (1)计算：(2025-m0+2tam60°-(-32+hN3-3到： 5x-2<3(x+1)① (2)解不等式组： 3g2≤x+22@ 3x-2 18.(本小题7分) 先化简，再求值： +)+其中x= 第4页，共8页 19.(本小题7分) 己知△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°，一直线过顶点C,过A,B分别作其垂线，垂足分别为E,F,求证 △AEC≌△CFB A c 20.(本小题7分) 为引导学生阅读文学名著，某校在八、九年级开展了以“走进名著，诵读经典”为主题的知识竞赛活动现 从八、九年级中各抽取10人记录下他们的测试得分并进行整理和分析（得分用x表示，共分为四组A.90≤x≤ 100,B.80≤x<90,C.70≤x<80,D.x<70),下面给出了部分信息： 八年级10人的得分：55,63,65,71,83,83,85,90,91,94. 九年级10人的得分在B组中的分数为：83,84,84,87. 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 八 78 83 83 九 78 84 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：a=,b= (2)若八、九年级各有800名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中得分在A组的学生总人数， (3)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛活动中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条即可） 九年级得分等级扇形统计图 10%D 30% A b% 第5页，共8页 21.(本小题8分)今年春假期间，扬州市国有收费景区面向全国小学、初中学生实行日间免费入园政策小明 和小亮两位同学跟随家长来扬研学旅游，他们计划4月1日从以下3个扬州热门免费景区中各自随机选择1个 作为当天的出游目的地.三个景区分别为：A瘦西湖；B.个园；C.何园. (1)小亮同学4月1号当日恰好选择“A.瘦西湖”的概率为； (2)请用列表或画树状图的方法，求4月1日他们两人中至少有一人选择“B.个园”的概率. 22.(本小题8分)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,点E,F分别在DA,BC的延长线上，且BE⊥ ED,CF =AE. (1)求证：四边形EBFD是矩形： (2)若AB=5,cosL0BC=5,求BF的长. C 23.(本小题8分)甲、乙两地距离300km,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地如图，线段0A表示 货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的关系，折线BC一CD-DE表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x( h)之间的关系，根据图象，解答下列问题： (1)①线段CD表示轿车在途中停留了0.5h,此时距离乙地 km; ②轿车比货车提前 h到达乙地 (2)分别求出货车的速度和轿车在DE段的速度. y/km 300--- 80-2 C D B 22.5 4.55x/h 第6页，共8页 24.(本小题8分) 如图，己知二次函数y=x2+bx+c图象经过点A(1,-5)和B(0,-8). (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标： (2)当一2≤x<3时，求函数y的取值范围； (3)当y≥一8时，利用图象，直接写出x的取值范围. 25.(本小题8分) 重庆长江索道素有“万里长江第一条空中走廊”的美誉.重庆长江索道是一条连接渝中区和南岸区的过江索 道，它不仅是一座标志性景观，也是游览长江和重庆城市风光的重要交通工具.一天一群游客从酒店A处出发， 到达长江索道的入口C处，想乘坐长江索道去D处吃火锅.由于排队的乘客太多，这群游客便分成两组，甲组 选择乘坐索道从C→D(排队时间不计)，乙组选择乘坐观光车C→B→D(排队等车时间不计)，已知点C在点A的 南偏西45°方向上，点D在点C的正西方向，点B在点A的正西方向900米处，点D在点B的南偏西60°方向上， 且BD=600米.BE与CD交于点E,AF与直线CD交于点F.(参考数据：V2≈1.414，V3≈1.732，V5≈2.236) (1)求CD的长度（结果精确到1米）. (2)己知长江索道的速度是每分钟360米，观光车的速度是每分钟500米，请通过计算说明，哪组游客会先到 达D处？ 北 西 东 南 B 60 459 .... 第7页，共8页 26.(本小题8分) 如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作⊙O,分别交BC于点D,交CA的延长线于点E,连接DE交AB 于点F,过点D作⊙O的切线交AC于点G. (1)求证：DG⊥CE. ABC与△DcE的面积分别为S1,S2若S1-S2=4h2,tan2C6D=2,求 E G B D C 27.(本小题11分) 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD,垂足为E,F 为CD的中点，连接EF,BF,试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明. A D D N H M B A 图① 图② 图3 (1)独立思考：请解答老师提出的问题： (2)实践探究：梦之队小组受此问题的启发，将平行四边形ABCD沿着BF(F为CD的中点)所在直线折叠，如 图②，点C的对应点为C',连接DC并延长交AB于点G,请判断AG与BG的数量关系，并加以证明； (3)问题解决智慧小组突发奇想，将平行四边形ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点A',使A B1CD于点H,连接M,交GD于点N若此平行四边形ABCD的面积为20，AB=5,5C=8,求图中阴 影部分（四边形BHNM)的面积. 第8页，共8页 2026年中考第二次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.年月日，长沙市统计局公布了年长沙经济运行情况经初步核算，年，长沙市实现地区生产总值约为亿元，同比增将用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 2.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，中，，，为的角平分线，过点作的垂线，垂足为点，则的长为(    ) A. B. C. D. 5.如图，，是的两条切线，、是切点，是优弧上一点，且，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在正方形中，点在边上且，连接点为边上一点，过点作于点，交于点，点在边上，连接，，，若，，则的值为(    ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.当分式的值为时，        ． 8.计算的结果是        ． 9.分式方程的解是        ． 10.已知，，求        ． 11.已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为        ． 12.如图，阴影部分是以正六边形纸片的顶点为圆心，对角线为半径的扇形，已知边长，若将图中阴影部分剪下围成圆锥的侧面，再从另一纸片上截取一个圆作为圆锥的底面，恰好能围成一个圆锥，则所截圆的半径为        ． 13.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，一副七巧板是由个等腰直角三角形，个正方形和个平行四边形组成如图，整个七巧板拼图是个大正方形，若七巧板中平行四边形的面积为，则图中小正方形的面积为        ． 14.如图，在等腰中，，，点为边上一点，连接，作的垂直平分线与，分别交于点，，平分交于点，若，，则的长是        ． 15.如图，反比例函数的图象上到原点的距离最小的点为，连，将线段平移到线段，点的对应点且点也在反比例函数的图象上时，则的值为          ． 16.已知：等腰中，，，是上一点，以为圆心的半圆与、均相切，为半圆上一动点，连、，如图，则的最小值是          ． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 计算及解不等式 计算：； 解不等式组：． 18.本小题分 先化简，再求值： ，其中； 19.本小题分 已知中，，，一直线过顶点，过，分别作其垂线，垂足分别为，，求证：≌． 20.本小题分 为引导学生阅读文学名著，某校在八、九年级开展了以“走进名著，诵读经典”为主题的知识竞赛活动现从八、九年级中各抽取人记录下他们的测试得分并进行整理和分析得分用表示，共分为四组：，，，，下面给出了部分信息： 八年级人的得分：，，，，，，，，，． 九年级人的得分在组中的分数为：，，，． 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 八 九 根据以上信息，解答下列问题： 填空：______，______． 若八、九年级各有名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中得分在组的学生总人数． 根据以上数据，你认为在此次知识竞赛活动中，哪个年级的成绩更好？请说明理由一条即可． 21.本小题分今年春假期间，扬州市国有收费景区面向全国小学、初中学生实行日间免费入园政策小明和小亮两位同学跟随家长来扬研学旅游，他们计划月日从以下个扬州热门免费景区中各自随机选择个作为当天的出游目的地三个景区分别为：瘦西湖；个园；何园． 小亮同学月号当日恰好选择“瘦西湖”的概率为______； 请用列表或画树状图的方法，求月日他们两人中至少有一人选择“个园”的概率． 22.本小题分如图，菱形的对角线，交于点，点，分别在，的延长线上，且，． 求证：四边形是矩形； 若，，求的长． 23.本小题分甲、乙两地距离，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地如图，线段表示货车离甲地的距离与时间之间的关系，折线表示轿车离甲地的距离与时间之间的关系，根据图象，解答下列问题： 线段表示轿车在途中停留了，此时距离乙地______； 轿车比货车提前______到达乙地． 分别求出货车的速度和轿车在段的速度． 24.本小题分 如图，已知二次函数图象经过点和． 求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； 当时，求函数的取值范围； 当时，利用图象，直接写出的取值范围． 25.本小题分 重庆长江索道素有“万里长江第一条空中走廊”的美誉重庆长江索道是一条连接渝中区和南岸区的过江索道，它不仅是一座标志性景观，也是游览长江和重庆城市风光的重要交通工具一天一群游客从酒店处出发，到达长江索道的入口处，想乘坐长江索道去处吃火锅由于排队的乘客太多，这群游客便分成两组，甲组选择乘坐索道从排队时间不计，乙组选择乘坐观光车排队等车时间不计，已知点在点的南偏西方向上，点在点的正西方向，点在点的正西方向米处，点在点的南偏西方向上，且米与交于点，与直线交于点参考数据：，， 求的长度结果精确到米． 已知长江索道的速度是每分钟米，观光车的速度是每分钟米，请通过计算说明，哪组游客会先到达处？ 26.本小题分 如图，在中，，以为直径作，分别交于点，交的延长线于点，连接交于点，过点作的切线交于点． 求证：． 设与的面积分别为，若，，求的长． 27.本小题分 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在平行四边形中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明． 独立思考：请解答老师提出的问题； 实践探究：梦之队小组受此问题的启发，将平行四边形沿着为的中点所在直线折叠，如图，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明； 问题解决：智慧小组突发奇想，将平行四边形沿过点的直线折叠，如图，点的对应点，使于点，连接，交于点若此平行四边形的面积为，，，求图中阴影部分四边形的面积． 第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第二次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.年月日，长沙市统计局公布了年长沙经济运行情况经初步核算，年，长沙市实现地区生产总值约为亿元，同比增将用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：根据科学记数法规范可知： ． 故选：． 根据科学记数法规范解答即可． 本题考查了科学记数法，熟练掌握该知识点是关键． 2.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：、和不是同类项，不能合并，不符合题意； B、，选项计算错误，不符合题意； C、，选项计算正确，符合题意； D、，选项计算错误，不符合题意． 故选：． 根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法则，幂的乘方法则逐一判断选项． 本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是关键． 3.有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：根据题意可得，， 故；选项A不符合题意； 则，， 故；选项B不符合题意； 故；选项C符合题意； 则；选项D不符合题意； 故选：． 由数轴可知，，，得到，，，，即可得到答案． 本题考查了利用数轴比较数的大小，有理数绝对值的性质，有理数的乘法，根据数轴判定式子的符号．熟练掌握以上知识点是关键． 4.如图，中，，，为的角平分线，过点作的垂线，垂足为点，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：如图，过点作于点，过点作交的延长线于点， 平分，， ， ，， ， ， ， 的面积， 的面积的面积的面积， ， ， ． 故选：． 过点作于点，过点作交的延长线于点，根据角平分线的性质及等腰三角形的性质求出，利用勾股定理求出，通过三角形的面积公式即可解答． 本题考查勾股定理，角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，掌握以上知识点是解题的关键． 5.如图，，是的两条切线，、是切点，是优弧上一点，且，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由题意得， ， ． 故选：． 利用切线性质可得再根据在四边形中，内角和为，即可求出，，最后利用圆周角定理即可求出． 本题考查了切线的性质和圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 6.如图，在正方形中，点在边上且，连接点为边上一点，过点作于点，交于点，点在边上，连接，，，若，，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：设正方形的边长为， ， ， 在中，由勾股定理得：， 四边形是正方形， ，， 如图，过点作交于点， ，，， ，四边形是平行四边形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ∽∽， ， ， ，， ， ，， ， ， 过点作于点，过点作，连接交的延长线于点， ，，， 四边形是矩形， ， ，， 四边形是矩形， ，， ，， ，， ≌， ， ， ，， ， ， ， ， 故选：． 先设出正方形边长，过点作交于点，通过正方形中的内十字模型，平行四边形的性质得出，再用相似三角形的性质求出的长度，由等腰三角形的三线合一求出的长，进而求出、的长，从而得到点是三等分点；过点作于点，过点作，连接交的延长线于点，由一线三垂直得出，的长，再由勾股定理即可求出的长，从而得出比值； 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形与相似的性质． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.当分式的值为时，        ． 【答案】  【解析】解：由题可知， 且， 解得． 故答案为：． 根据分子为零且分母不为零的条件进行解题即可． 本题考查分式为零的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 8.计算的结果是        ． 【答案】  【解析】解：原式 ． 先化简二次根式，再合并同类二次根式． 本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质和二次根式的加减法法则是解决本题的关键． 9.分式方程的解是        ． 【答案】  【解析】解：把原方程变形为：， 方程两边同时乘，得， ， ， 检验：把代入，把代入， 是分式方程的解，是分式方程的增根． 故答案为：． 把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出的值，然后检验即可． 本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 10.已知，，求        ． 【答案】  【解析】解：由条件可知即， ， ， ， 故答案为：． 根据分式的化简后再代入求值即可． 本题考查了因式分解的应用，熟练掌握该知识点是关键． 11.已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为        ． 【答案】  【解析】解：由题意得，， ， 原方程转化为， ，符合题意． 故答案为：． 根据根与系数的关系得到，进行求解即可． 本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 12.如图，阴影部分是以正六边形纸片的顶点为圆心，对角线为半径的扇形，已知边长，若将图中阴影部分剪下围成圆锥的侧面，再从另一纸片上截取一个圆作为圆锥的底面，恰好能围成一个圆锥，则所截圆的半径为        ． 【答案】  【解析】解：如图，过点作于点，设所截圆的半径为． 在正六边形中，，， ， ，， ， ，， ， 则有， 解得． 故答案为：． 如图，过点作于点，设所截圆的半径为解直角三角形求出，再利用弧长公式构建方程解决问题． 本题考查正多边形与圆，圆锥的计算，展开图折叠成几何体，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 13.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，一副七巧板是由个等腰直角三角形，个正方形和个平行四边形组成如图，整个七巧板拼图是个大正方形，若七巧板中平行四边形的面积为，则图中小正方形的面积为        ． 【答案】  【解析】解：如图所示， 依题意得：的面积正方形的面积的面积▱的面积，的面积的面积， 正方形的面积▱的面积 故答案为：． 根据正方形的性质，以及七巧板的特点，得到正方形的面积▱的面积． 本题考查平行四边形的性质，七巧板，关键是由图形得到正方形的面积▱的面积． 14.如图，在等腰中，，，点为边上一点，连接，作的垂直平分线与，分别交于点，，平分交于点，若，，则的长是        ． 【答案】  【解析】解：过点作，于点， 由题意可得：， ， ． ， ， 解得， ，． ， ∽， ， 即， 解得， ， ， ， ， ． 由题意可得： ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 作，先根据直角三角形的性质求出，再说明∽，可得，进而得出，然后根据等腰三角形的性质求出，接下来根据线段垂直平分线的性质定理得出，可得，再说明是直角三角形，最后根据勾股定理得出答案． 本题考查勾股定理，正确进行计算是解题关键． 15.如图，反比例函数的图象上到原点的距离最小的点为，连，将线段平移到线段，点的对应点且点也在反比例函数的图象上时，则的值为          ． 【答案】  【解析】解：设点的坐标为：， ， 点在第二象限， ，， ， 当时，最小， 即当时，最小， 将线段平移到线段，点的对应点且点也在反比例函数 的图象上， 点的坐标为：， ， ， 即， ， 解得：，， 点的坐标为：， ， 故答案为：． 首先设点的坐标为：，可得，由反比例函数的图象上到原点的距离最小的点为，可得，又由将线段平移到线段，点的对应点且点也在反比例函数的图象上，可得点的坐标为：，推出，化简后得，进而求得点的坐标，即可求得答案． 此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征以及图形的平移，根据题意推出是解题的关键． 16.已知：等腰中，，，是上一点，以为圆心的半圆与、均相切，为半圆上一动点，连、，如图，则的最小值是          ． 【答案】  【解析】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质．设半圆与、的切点为、，取的中点，连接、，根据已知条件证明，得，当且仅当、、三点共线时，取得最小值，进而求解． 【详解】解：设半圆与、的切点为、， 连接、、、，则，，， 所以平分， ，， ， ， ， 取的中点，连接、， 则， ，， 在和中，，， ， ， ， ， 当且仅当、、三点共线时， 取得最小值，最小值为． 故答案为：． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 计算及解不等式 计算：； 解不等式组：． 【答案】   【解析】解：原式 ； 解不等式组：． 解不等式得：； 解不等式得：； 不等式组的解集为：． 依次计算零指数幂、特殊角的正切值、负整数指数幂及实数的绝对值，再相加减即可； 分别求出两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分即可． 本题考查一元一次不等式组，正确进行计算是解题关键． 18.本小题分 先化简，再求值： ，其中； 【答案】解：， ， ， 当时， 原式．  【解析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键． 先算括号里面的，再把除式的分母分解因式，并把除法转化为乘法，然后进行约分，最后把的值代入进行计算即可得解． 19.本小题分 已知中，，，一直线过顶点，过，分别作其垂线，垂足分别为，，求证：≌． 【答案】已知， ， 又，， 垂直的定义， ， 同角的余角相等， 在和中， ， ≌．  【解析】证明：已知， ， 又，， 垂直的定义， ， 同角的余角相等， 在和中， ， ≌． 根据垂直的定义和余角的性质得到，再根据证明≌． 本题考查了全等三角形的判定，关键是相关定理的熟练掌握． 20.本小题分 为引导学生阅读文学名著，某校在八、九年级开展了以“走进名著，诵读经典”为主题的知识竞赛活动现从八、九年级中各抽取人记录下他们的测试得分并进行整理和分析得分用表示，共分为四组：，，，，下面给出了部分信息： 八年级人的得分：，，，，，，，，，． 九年级人的得分在组中的分数为：，，，． 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 八 九 根据以上信息，解答下列问题： 填空：______，______． 若八、九年级各有名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中得分在组的学生总人数． 根据以上数据，你认为在此次知识竞赛活动中，哪个年级的成绩更好？请说明理由一条即可． 【答案】  人  九年级的成绩更好．理由：因为两个年级的平均数相同，而九年级的成绩的中位数大于八年级，所以九年级的成绩更好．因为两个年级的平均数相同，而九年级的成绩的众数大于八年级，所以九年级的成绩更好．理由任选一条即可  【解析】解：九年级组人数：人，组人数：人，组人数为人， 组人数为人， ， ， 九年级组和组共有 人， 得分从小到大排列的第和第位的是组中的和， 中位数． 故答案为：；； 根据八年级和九年级得分在组的学生占比可得： 人． 答：估计两个年级参赛学生中得分在组的学生总人数是人． 九年级的成绩更好． 理由：因为两个年级的平均数相同，而九年级的成绩的中位数大于八年级，所以九年级的成绩更好． 因为两个年级的平均数相同，而九年级的成绩的众数大于八年级，所以九年级的成绩更好． 先确定九年级组、组、组的人数，再计算出组的人数即可求得，再根据得分从小到大排列的第和第位计算出即可； 根据八年级和九年级得分在组的学生占比即可求解； 由平均数相同，从中位数或众数来比较两个年级的成绩即可． 本题考查了方差、用样本估计整体，熟练掌握以上知识点是关键． 21.本小题分 今年春假期间，扬州市国有收费景区面向全国小学、初中学生实行日间免费入园政策小明和小亮两位同学跟随家长来扬研学旅游，他们计划月日从以下个扬州热门免费景区中各自随机选择个作为当天的出游目的地三个景区分别为：瘦西湖；个园；何园． 小亮同学月号当日恰好选择“瘦西湖”的概率为______； 请用列表或画树状图的方法，求月日他们两人中至少有一人选择“个园”的概率． 【答案】   【解析】解：小亮同学月号当日恰好选择“瘦西湖”的概率为； 故答案为：； 根据题意，画出树状图，如下图： 由树状图可知，至少有一人选择“个园”的结果有种， 所以月日他们两人中至少有一人选择“个园”的概率为． 直接利用概率公式进行计算即可； 画树状图法，可得所有的结果，再利用概率公式进行计算即可． 本题考查了列表法或树状图法求概率，熟练掌握该知识点是关键． 22.本小题分 如图，菱形的对角线，交于点，点，分别在，的延长线上，且，． 求证：四边形是矩形； 若，，求的长． 【答案】证明：四边形是菱形， ，， ， ，即， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； 解：四边形是菱形， ，，， 在中，， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ．  【解析】先证，得出四边形是平行四边形，再由，即可得出结论； 由菱形的性质得，，，在中，由锐角三角函数定义求出，得出，再在中，由锐角三角函数定义求出即可． 本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识；熟练掌握菱形的性质和锐角三角函数的定义是解题的关键． 23.本小题分 甲、乙两地距离，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地如图，线段表示货车离甲地的距离与时间之间的关系，折线表示轿车离甲地的距离与时间之间的关系，根据图象，解答下列问题： 线段表示轿车在途中停留了，此时距离乙地______； 轿车比货车提前______到达乙地． 分别求出货车的速度和轿车在段的速度． 【答案】  货车的速度为；轿车在段的速度为  【解析】解：轿车在途中停留了小时，此时距离乙地； 故答案为：； 轿车比货车提前到达乙地； 故答案为：； 货车的速度为：； 轿车在段的速度为：． 根据图象解答即可；根据图象解答即可； 根据“路程、时间与速度”的关系列式计算即可． 此题为一次函数的应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义． 24.本小题分 如图，已知二次函数图象经过点和． 求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； 当时，求函数的取值范围； 当时，利用图象，直接写出的取值范围． 【答案】；顶点为    或  【解析】解：由题意，二次函数图象经过点和， ． ． ， 顶点为； 由，， 当时，取最小值为． 又当时，；当时，， 当时，； 由题意，， 对称轴是直线，抛物线开口向上， 又当时，， 根据对称性可得，当时，． 当时，或． 依据题意，由二次函数图象经过点和，可得，进而计算可以得解，从而可得顶点坐标； 依据题意，由，，则当时，取最小值为；当时，；当时，，从而可以得解； 依据题意，由，则对称轴是直线，抛物线开口向上，结合当时，，从而根据对称性可得，当时，，进而可以得解． 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 25.本小题分 重庆长江索道素有“万里长江第一条空中走廊”的美誉重庆长江索道是一条连接渝中区和南岸区的过江索道，它不仅是一座标志性景观，也是游览长江和重庆城市风光的重要交通工具一天一群游客从酒店处出发，到达长江索道的入口处，想乘坐长江索道去处吃火锅由于排队的乘客太多，这群游客便分成两组，甲组选择乘坐索道从排队时间不计，乙组选择乘坐观光车排队等车时间不计，已知点在点的南偏西方向上，点在点的正西方向，点在点的正西方向米处，点在点的南偏西方向上，且米与交于点，与直线交于点参考数据：，， 求的长度结果精确到米． 已知长江索道的速度是每分钟米，观光车的速度是每分钟米，请通过计算说明，哪组游客会先到达处？ 【答案】的长度约为米  乙组乘坐观光车先到达处  【解析】解：如图，，， 四边形为矩形， ，米， 在中，， 则米， 米， 由勾股定理得：米， 在中，， 则米， 米， 米， 答：的长度约为米； 在中，米，米， 由勾股定理得：米， 则米， 分， 分， ， 乙组乘坐观光车先到达处． 依据题意，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据等腰直角三角形的性质求出，进而求出，计算即可； 根据勾股定理求出，分别求出两种方式所需要的时间，比较大小得到答案． 本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理、直角三角形的性质是解题的关键． 26.本小题分 如图，在中，，以为直径作，分别交于点，交的延长线于点，连接交于点，过点作的切线交于点． 求证：． 设与的面积分别为，若，，求的长． 【答案】证明：连接，如图所示： 为直径，交于点， ， ， 在中，， ， ， ， 是切线，点为切点， ， ；   【解析】证明：连接，如图所示： 为直径，交于点， ， ， 在中，， ， ， ， 是切线，点为切点， ， ； 解：连接，如图所示： 为直径， ， ，和都是直角三角形， 在中，， ，， 由圆周角定理得：， ， ， 在中，， 设，，其中， ，， 由勾股定理得：， ， 由可知：， 由三角形面积公式得：， ， 在中，由勾股定理得：， ，， ， ， 是等腰三角形， 又， ， ， 的面积， 又的面积， ， ， 整理得：， 解得：，不合题意，舍去， ． 连接，则，由此得，由得，进而得，则，再由切线的性质得，据此可得出结论； 连接，根据得，，由圆周角定理得，在中，根据，设，，则，，由勾股定理得，由三角形面积公式得，进而得由勾股定理得，证明得进而得，，由此得，，然后根据得，由此解出即可得出的长． 此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，理解切线的性质，圆周角定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，灵活利用勾股定理和三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 27.本小题分 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在平行四边形中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明． 独立思考：请解答老师提出的问题； 实践探究：梦之队小组受此问题的启发，将平行四边形沿着为的中点所在直线折叠，如图，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明； 问题解决：智慧小组突发奇想，将平行四边形沿过点的直线折叠，如图，点的对应点，使于点，连接，交于点若此平行四边形的面积为，，，求图中阴影部分四边形的面积． 【答案】   证明：如图中，四边形是平行四边形，过点作交于，      ，   ，   ，   ，   ，，   ，      证明：如图中，连接，      是由翻折得到，   ，，   ，   ，   ，   ，   ，   ，   四边形是平行四边形，   ，   ，   ，     图中阴影部分的面积为．  【解析】解：  证明：如图中，四边形是平行四边形，过点作交于，    ，  ，  ，  ，  ，，  ，  ；    证明：如图中，连接，    是由翻折得到，  ，，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  四边形是平行四边形，  ，  ，  ，  ；  如图中，平行四边形的面积为，，过点作于，过点作于    ，即，  解得：，  四边形是平行四边形，  ，，  在直角三角形中，由勾股定理得：，  ，，  ，  四边形是矩形，  ，  ，  ，  设，则，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，    ． 如图中，作交于证明垂直平分线段即可；  如图中，证明四边形是平行四边形，可得结论；  如图中，过点作于，过点作于根据，求解即可． 本题属于四边形综合题，主要考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，翻折变换，平行线分线段成比例定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握折叠的性质． 第2页，共30页 学科网（北京）股份有限公司 $