考点8.2 空间几何体的表面积与体积专项训练-2026届高三数学二轮复习

2026年高考数学二模新题分类速递 考点8.2 空间几何体的表面积与体积 考点8.2 空间几何体的表面积与体积 1 一、旋转体的表面积与体积 1 （一）圆柱的表面积与侧面积 1 （二）圆锥的侧面积、底面积与体积 2 （三）圆台的侧面积与体积 3 二、多面体的体积计算 4 （一）棱柱的体积 4 （二）棱锥的体积（基础求解） 5 （三）棱台的体积 6 （四）体积与空间变换 6 （五）组合体的体积 7 三、截面与体积的分配 8 （一）正方体中的截面与体积 8 （二）一般棱柱中的截面与体积 9 四、与球相关的切、接及截面问题 9 （一）多面体的外接球 9 （二）几何体的内切球 10 （三）球的截面问题 11 参考答案 12 第一部分：答案速查表 12 第二部分：逐题答案与详解 12 第三部分：试题来源表 19 一、旋转体的表面积与体积 （一）圆柱的表面积与侧面积 1.（2026·河南·二模） 已知球 的半径为1，圆柱 的上、下底面圆周都在球 的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为 A. B. C. D. 2.（2026·宁夏·二模） 一个竖直放置的底面半径为 ，高为 的透明圆柱形无盖水杯（水杯壁厚度忽略不计），杯中盛有水，水面高为 ，则 A. 若 ，将水杯倾斜，水未溢出，则水面的形状是椭圆 B. 若另有一圆柱的侧面积与水杯的侧面积相等，则该圆柱的体积与水杯的容积相等 C. 往水杯内放置一个半径为 的球，水未溢出且球与水面和杯底均相切，则 D. 将水杯倾斜放置使水面的形状呈椭圆，若椭圆中心位于水杯上下底面中心连线 的 处，则竖直放置时水面的形状的中心也在水杯上下底面中心连线的 处 （二）圆锥的侧面积、底面积与体积 3.（2026·惠州·二模）（母题-已知高和半径求侧面积） 已知圆锥的高为4，底面半径为3，则其侧面积为 A. B. C. D. 4.（2026·山西部分学校·联考）（变式1-轴截面形状求侧底比值） 已知一个圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则其侧面积与底面积的比值为 ____. 5.（2026·南昌·二模）（变式2-侧面展开求截面最值） 若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为 的扇形，则过圆锥顶点的截面中，截面面积的最大值为 A. B. C. D. 6.（2026·台州·二模）（变式3-综合判断体积与表面积） 已知一个圆锥的底面半径为 ，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是 A. 体积为 B. 表面积为 C. 两条母线的夹角的最大值为 D. 过顶点的截面面积的最大值为2 7.（2026·济南·二模）（变式4-组合体中等积求侧面积比） 已知圆锥与圆柱的底面积相等，体积也相等，若过圆柱的轴的截面为正方形，则圆锥和圆柱侧面积的比值为 ____. （三）圆台的侧面积与体积 8.（2026·孝感·二模） 设一个圆台的侧面积、体积分别为 ，将它的高扩大到原来的2倍（上、下底面圆的半径均不变），得到的圆台的侧面积、体积分别为 ，则 A. B. C. D. 9.（2026·云南昆明·二模） 降雨量是在一定时间内降落在水平地面上某一单位面积上的水层深度（未经蒸发、渗漏、流失），以 mm 计算.24h 降雨量的等级划分如下： 降雨量 0.1~9.9 10~24.9 25~49.9 50~99.9 100~249.9 ≥250 等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 大暴雨 特大暴雨 某数学小组为了测量当地某日的降雨量，用一个开口半径为 50mm，底面半径为 100mm，高为 50mm 的圆台型铁桶（如图所示）收集雨水.若在一次降水过程中用此桶水平放置接了 24h 的雨水后，桶内水深为 20mm，则当日降雨量的等级是 A. 暴雨 B. 大雨 C. 中雨 D. 小雨 10.（2026·呼和浩特·二模） 圆台的高为3，体积为 ，两底面圆的半径比为 ，则母线和轴的夹角的正切值为 ____. 二、多面体的体积计算 （一）棱柱的体积 11.（2026·衡阳·二模） 已知一个三棱柱高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形（如图所示），则此三棱柱的体积为 A. B. C. D. 12.（2026·四川资阳·二模） 如图，正三棱柱 的所有棱长都为2，点 分别在棱 上，其中 ，则几何体 的体积为 A. B. C. D. 13.（2026·济南·二模） 已知三棱柱 的棱长均为2，，平面 平面 . 求该棱柱的体积. （二）棱锥的体积（基础求解） 14.（2026·山西太原·二模）（母题-直接给出几何条件求体积） 如图，三棱锥 中，，，，. 若 ，，求三棱锥 的体积. 15.（2026·呼和浩特·二模）（变式1-给定侧棱和底边求体积） 如图，在四棱锥 中，四边形 是边长为1的菱形， 是正四面体. 已知 是 的中点， 是 上的动点，判断 的体积是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由. 16.（i））（2026·山西部分学校·联考）（变式2-正方体切割求棱锥体积） 如图，四棱锥 的底面为矩形，，平面 平面 . 若 ，求四棱锥 的体积. （三）棱台的体积 17.（2026·许昌·二模） 在正四棱台 中，，若侧面与底面的夹角为 ，则该四棱台的体积为 A. B. C. D. 18.（2026·安徽皖南八校·联考） 已知正四棱台 上底面的边长为 ，下底面边长为 ，且 ，则下列说法正确的有 A. 该四棱台的体积为14 B. 侧棱 与底面夹角的正切值为 C. 若 为 的中点，则 平面 D. 该四棱台的外接球表面积为 （四）体积与空间变换 19.（2026·广州·二模）（母题-翻折后求体积） 如图1，在矩形 中，， 于 ， 于 .将 沿 翻折，得到如图2所示的三棱锥 ，其中 . 求三棱锥 的体积. 20.（I））（2026·聊城·二模）（变式1-梯形翻折求多面体体积） 在梯形 中，， 分别是 的中点，.沿 将梯形 折起，得到一个多面体 . 若二面角 的大小为 ，求多面体 的体积. 21.（i））（2026·新八校·二模）（变式2-已知体积逆求线面角） 菱形 的边长为2，.现将 沿 折起，得到四面体 ，设二面角 等于 . 若三棱锥 的体积为 ，求直线 与平面 所成的角. 22.（2026·许昌·二模）（变式3-等体积法证明定值） 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，平面 平面 ， 是边长为2的等边三角形， 为侧棱 的中点， 为线段 上一点. 设点 为三棱锥 的外接球的球心，试判断三棱锥 的体积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. （五）组合体的体积 23.（2026·河南许昌·二模） 空间向量四点共面定理：已知 为空间中的一组基底，空间中任一向量 （），若 四点共面，则 .如图所示，正方体 的棱长为2，点 分别为 的中点，则三棱锥 的体积为 ____. 三、截面与体积的分配 （一）正方体中的截面与体积 24.（2026·安徽池州·二模） 如图，在棱长为1的正方体 中，，过点 的平面截该正方体所得的截面记为 ，若三棱锥 的外接球球心 ，则 A. B. 为五边形 C. 的面积为 D. 分正方体所得两部分中，较小部分与较大部分的体积比为 25.（2026·河南·二模） 正方体 棱长为4，，下列说法中正确的有 A. 若点 在底面 （含边界）内，且 ，则 的轨迹的长度为 B. 空间中，点 满足 ，则 的轨迹与正方体表面的交线长度为 C. 平面 截正方体所得截面多边形是直角梯形 D. 平面 将正方体分成两个几何体的体积分别为 ，且 ，则 （二）一般棱柱中的截面与体积 26.（2026·九江·二模） 如图，在长方体 中，，点 是棱 上的动点（不含端点），过点 作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为 ，则 A. 截面是平行四边形 B. 若 ，则 C. 存在点 ，使得截面为长方形 D. 截面的面积存在最小值 27.（2026·山东·二模） 如图，在四棱柱 中，底面 为平行四边形， 与 交于点 ， 在底面 的投影为 ， 为 中点，其中 . 求多面体 的体积. 四、与球相关的切、接及截面问题 （一）多面体的外接球 28.（2026·安徽铜陵·二模） 如图，正方体 的棱长为2，点 为棱 的中点，点 在正方体表面及其内部运动，则 A. 存在点 ，使得 面 B. 当 时，直线 与直线 所成角的余弦值为 C. 当 时，三棱锥 的体积最小值为 D. 当点 与点 重合时，三棱锥 的外接球表面积为 29.（2026·沈阳·二模） 若正四面体的表面积为 ，则 A. 该正四面体的棱长为1 B. 该正四面体的高为 C. 该正四面体的体积为 D. 该正四面体的外接球表面积为 （二）几何体的内切球 30.（2026·深圳·二模） 已知正三棱柱 的高为2，且有内切球 （球 位于三棱柱的内部且与各个面有且只有一个公共点），若过 三点的平面截该三棱柱所得的截面为 ，则 A. B. 平面 平面 C. 截面 的面积为 D. 该三棱柱被截面 分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为 31.（2026·陕西宝鸡·二模） 如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为3和6的两个铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为 ____. （三）球的截面问题 32.（2026·重庆·康德调研四） 直径为2的球 与一个正方体的各个面相切，过正方体的一条棱作一平面，该平面被正方体截得的长方形面积为 ，则球 被截面截得的圆的面积为 ____. 参考答案 第一部分：答案速查表 序号 1 2 3 4 5 6 答案 C ACD D D D 序号 7 8 9 10 11 12 答案 C A D C 序号 13 14 15 16 17 18 答案 3 是， D ACD 序号 19 20 21 22 23 24 答案 或 是， AC 序号 25 26 27 28 29 30 答案 ABD AD BCD ACD BCD 序号 31 32 答案 第二部分：逐题答案与详解 1. 答案：C 详解：设圆柱底面半径为 ，高为 ，则球心到圆柱底面圆心的距离为 ，由勾股定理得 ，即 .圆柱侧面积 ，当且仅当 时取等号，故选C. 2. 答案：ACD 详解：A中水面为椭圆；B中侧面积相等时体积不一定相等，故B错误；C中由体积关系得 ；D中水面中心位置不变. 3. 答案：D 详解：母线长为 ，侧面积为 ，故选D. 4. 答案： 详解：设圆锥底面半径为 ，轴截面为等腰直角三角形，则母线长 .底面积为 ，侧面积为 ，故侧面积与底面积的比值为 . 5. 答案：D 详解：由侧面展开图知母线 ，底面周长 ，得 ，则高 .设两母线夹角为 ，过顶点的截面面积 .轴截面顶角 满足 ，可得 且 ，故 可以取到 ，所以截面面积的最大值为 ，选D. 6. 答案：D 详解：对于A，体积为 ，A错误；对于B，母线长为 ，表面积为 ，B错误；对于C，轴截面顶角 满足 ，，，故两条母线的夹角的最大值为 ，C错误；对于D，过顶点的截面面积 ，当 时取最大值2，D正确. 7. 答案： 详解：设圆柱底面半径为 ，高为 ，由过轴的截面为正方形知 ，体积 .设圆锥底面半径为 ，高为 ，据题意底面积相等得 ，体积相等得 ，解得 .圆柱侧面积 ，圆锥母线 ，侧面积 ，故比值 . 8. 答案：C 详解：设原圆台底面半径分别为 、，高为 ，母线长 ，则 .扩大后圆台高为 ，母线长 ，故 ；由台体体积公式 可知 ，故选C. 9. 答案：A 详解：设水面半径为 ，由三角形相似得 ，解得 .桶内水的体积 .接雨面积为桶的开口面积 ，由降雨量定义得 ，属于暴雨等级，故选A. 10. 答案： 详解：设上、下底面半径分别为 .圆台体积 ，得 .在轴截面等腰梯形中，上、下底差为 ，高为 ，母线与轴的夹角 满足 . 11. 答案：D 详解：由斜二测画法规则，原底面直角三角形两条直角边分别为 和 ，故底面面积 ，三棱柱体积 ，选D. 12. 答案：C 详解：正三棱柱底面边长为 ，底面积 ，高为 .由条件知点 到底面 的距离分别为 .几何体 的体积可视为同底面柱体体积用平均高度计算：，选C. 13. 答案：3 详解：取 中点 ，连接 .因为 ，所以 ，且 .因为平面 平面 ，交线为 ，，所以 平面 .又 平面 ，故 .由 ，得 .在 中，，所以 ，结合 得 平面 .棱柱体积 . 14. 答案： 详解：在 中，由余弦定理得 ，所以 .又 ，则 ，得 .同理，由 得 ，所以 平面 .在 中，由余弦定理 ，则 ，故 .三棱锥 的体积 . 15. 答案：是， 详解：因为 是正四面体，所以 和 都是边长为 的正三角形，得 ，所以 .连接 ，因为 是 的中点， 是 的中点，所以 ，从而 平面 .因此 到平面 的距离等于 到平面 的距离.因为 ，所以 平面 ，又 ，所以 到平面 的距离为 .于是 ，为定值. 16. 答案： 详解：作 于点 ，连接 .由平面 平面 ，交线为 ，得 平面 .矩形 中，，则 .可证 ，故 ，进而可得 .四棱锥 的底面面积 ，因此体积 . 17. 答案：D 详解：正四棱台上底面边长 ，下底面边长 ，侧面与底面夹角为 ，故高 .上、下底面积分别为 和 ，由台体体积公式得 ，选D. 18. 答案：ACD 详解：对于A，上、下底面对角线一半分别为 和 ，高 ，台体体积 ，A正确；对于B，侧棱 与底面夹角正切值为 ，B错误；对于C， 为 中点时， 为 中点，则 ，又 平面 ， 平面 ，故 平面 ，C正确；对于D，外接球球心在 上，设 ，由 可解得 ，外接球半径 ，表面积 ，D正确. 19. 答案： 详解：由已知，矩形 中 ，得 .由 ，利用面积关系可求得 ，.折叠后， 到平面 的高度 可通过 及几何关系求得 .底面 .所以三棱锥体积 . 20. 答案： 详解：由题意，，折叠后可证 平面 .取 中点 ，连接 ，由平面 平面 得 平面 .由二面角 可求得 ， 为等边三角形，高 .多面体 的体积 . 21. 答案： 或 详解：菱形 边长为 ，，则 为等边三角形，故 .又 与 为等边三角形，取 中点 ，则 ， 即为二面角的平面角.三棱锥 体积 ，解得 ，故 或 .由于 平面 ， 即为直线 与平面 所成的角，在等腰 中 ，所以线面角为 或 . 22. 答案：是， 详解：由已知可证 平面 ，则 ，故 为直角三角形；又 也为直角三角形，因此三棱锥 外接球的球心为线段 的中点 .又 ，即 ，而 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，故点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，也等于点 到平面 的距离的一半.于是 ，为定值. 23. 答案： 详解：连接 ，交平面 于点 .设 ，由四点共面得 .又 三点共线，设 ，则 .另一方面，，对比系数得 ，相加得 ，故 .从而 . 24. 答案：AC 详解：以 为原点， 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，可求得三棱锥 的外接球球心 .由球心 在截面 上，结合 坐标解得 ，A正确.此时 为 中点，截面为等腰梯形 ，B错误.该梯形面积 ，C正确.正方体体积为1，两部分体积分别为 和 ，较小部分与较大部分体积比为 ，D错误. 25. 答案：ABD 详解：建系后可验证A正确；点 的轨迹是阿波罗尼斯球面与正方体表面的交线，计算得长度为 ，B正确；平面 截正方体所得截面为五边形，C错误；分割后较小部分体积 ，D正确. 26. 答案：AD 详解：截面为平行四边形，A正确.若 ，易知两部分体积相等，故此时 ，B错误.设 ，若截面为长方形，需满足 ，解得 或 均不在可行区间内，故不存在这样的点 ，C错误.点 到 的距离 ，故截面面积 ，D正确. 27. 答案： 详解：多面体 可分割为三棱锥 和 .由已知可求得 ，，.点 到平面 的距离为 ，，.故总体积 . 28. 答案：BCD 详解：若存在 使 平面 ，由线面平行性质将推出矛盾，A错.取 中点 ，则 为 与 所成角，计算得余弦 ，B正确.当 时， 在以 为球心、 为半径的球面上，，C正确. 与 重合时，三棱锥 即 ，其外接球半径 ，表面积 ，D正确. 29. 答案：ACD 详解：设正四面体棱长为 ，表面积 ，得 ，A正确.高 ，B错误.体积 ，C正确.外接球半径 ，表面积 ，D正确. 30. 答案：BCD 详解：由内切球半径为1，底面内切圆半径也为1，可求得底面边长 ，A错.取 中点 ，可证得 ，故平面 平面 ，B正确.截面 为等腰梯形，计算得面积 ，C正确.两部分的体积比为 ，D正确. 31. 答案： 详解：作轴截面图，设圆台上、下底面圆心分别为 ，大球球心 ，小球球心 .由相切关系及几何条件求得圆台高 ，上底面半径 ，下底面半径 .圆台体积 .大球体积 ，小球体积 .容器内水的体积 . 32. 答案： 详解：球直径 ，内切于棱长为 的正方体.过棱的截面为长方形，一边长为 ，另一边长为 （由面积 可得）.截面圆的圆心 在长方形宽边的中点，球心 到该截面距离为 .结合几何关系可求得截面圆半径 ，故截面圆的面积 . 第三部分：试题来源表 序号 来源 题号 1 2026·河南·二模 第6题 2 2026·宁夏·二模 第10题 3 2026·惠州·二模 第3题 4 2026·山西部分学校·联考 第12题 5 2026·南昌·二模 第7题 6 2026·台州·二模 第5题 7 2026·济南·二模 第13题 8 2026·孝感·二模 第5题 9 2026·云南昆明·二模 第7题 10 2026·呼和浩特·二模 第13题 11 2026·衡阳·二模 第4题 12 2026·四川资阳·二模 第6题 13 2026·济南·二模 第16（1）题 14 2026·山西太原·二模 第17（1）题 15 2026·呼和浩特·二模 第17（2）题 16 2026·山西部分学校·联考 第18（1）（i）题 17 2026·许昌·二模 第4题 18 2026·安徽皖南八校·联考 第10题 19 2026·广州·二模 第17（1）题 20 2026·聊城·二模 第17（2）（I）题 21 2026·新八校·二模 第17（2）（i）题 22 2026·许昌·二模 第17（3）题 23 2026·河南许昌·二模 第14题 24 2026·安徽池州·二模 第10题 25 2026·河南·二模 第11题 26 2026·九江·二模 第10题 27 2026·山东·二模 第17（3）题 28 2026·安徽铜陵·二模 第10题 29 2026·沈阳·二模 第10题 30 2026·深圳·二模 第11题 31 2026·陕西宝鸡·二模 第14题 32 2026·重庆·康德调研四 第13题 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $