考点8.6 立体几何中的最值问题专项训练-2026届高三数学二轮复习

2026年高考数学二模新题分类速递 考点8.6 立体几何中的最值问题 考点8.6 立体几何中的最值问题 1 一、运用侧面展开图将空间路径化为平面线段和 1 （一）圆锥、正方体表面最短路径问题 1 二、建立长度、体积、面积关于单一变量的函数求最值 2 （一）利用函数与导数求体积、面积最值 2 （二）利用函数与不等式求线段长度之比的最值 3 （三）建立关于侧面积、截面面积的函数求最值 3 三、将最值问题转化为求动点到定点距离和的极值 4 （一）代数化后转化为动点到两定点距离和的最小值 4 四、通过坐标化将几何最值转化为代数式求最值 4 （一）将空间角、距离坐标化后利用不等式求最值 4 五、利用几何性质（对称性、截面、等体积法）分析最值 6 （一）利用体积不变性与几何临界点求极值 6 （二）分析球体满足的几何约束求半径最值 7 （三）分析正方体内几何体截面面积与表面积的最值 7 参考答案 9 第一部分：答案速查表 9 第二部分：逐题答案与详解 9 第三部分：试题来源表 15 一、运用侧面展开图将空间路径化为平面线段和 （一）圆锥、正方体表面最短路径问题 1.（2026·深圳·二模）（母题：圆锥侧面上绕轴一周的最短路径） 如图，已知圆锥 的底面直径 ，其中 为底面圆心，母线 ，动点 从 点出发，在圆锥的侧面上绕轴 一周后回到 点，其轨迹为 .求 长度的最小值； 2.（2026·呼和浩特·二模）（变式1：正方体表面上三角形周长的最小值） 如图所示，在棱长为 的正方体 中， 分别为线段 上的动点， 为 的中点，则 的周长的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 二、建立长度、体积、面积关于单一变量的函数求最值 （一）利用函数与导数求体积、面积最值 3.（2026·佛山·二模）（母题：建立体积关于角度的函数求最值） 已知圆锥的顶点为 ，底面圆心为 ，，， 分别为圆锥的母线，，，则三棱锥 体积的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 4.（2026·长望浏宁·二模）（变式1：建立体积关于高的函数求最值） 如图，一块边长为 的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则当正四棱锥容器的体积最大时，正四棱锥的高为（ 　　） A. B. C. D. 5.（2026·合肥·二模） 如图，在面积为 的梯形 中，，， 为 的中点.将 沿 翻折至 . 当 时，求四棱锥 体积的最大值. （二）利用函数与不等式求线段长度之比的最值 6.（2026·山西·二模） 如图，四棱锥 的底面为矩形，，，平面 平面 . 设点 在直线 上的射影为 ，点 到平面 的距离为 ，求 的最大值. （三）建立关于侧面积、截面面积的函数求最值 7.（2026·江淮十校·联考） 正三棱锥 中，点 分别是侧棱 的中点，，则下列结论中正确的有（ 　　） A. 平面 B. 过 的平面截该三棱锥所得截面三角形周长的最小值为 C. 棱长为 的正四面体可以在棱台 内随意转动 D. 在三棱台 中，若一质点从 出发，每次等可能地沿着三棱台的棱向相邻的另一个顶点运动，设在 次运动后质点仍停留在下底面 的概率为 ，则 三、将最值问题转化为求动点到定点距离和的极值 （一）代数化后转化为动点到两定点距离和的最小值 8.（2026·潍坊·二模） 已知正四棱柱 的底面边长为 ，侧棱长为 ， 为底面 上的动点（含边界），则（ 　　） A. 直线 与 所成角的大小为 B. 的最小值为 C. 满足 的点 的轨迹长度为 D. 满足三棱锥 外接球的体积取得最大值的点 共有 个 9.（2026·金华十校·联考） 在棱长为 的正方体 中，点 在棱 上且 ，点 在正方形 内运动（含边界），若 平面 ，则（ 　　） A. 点 的运动轨迹为线段 B. 的最小值为 C. 存在点 ，使得 D. 过 四点的球的表面积最小值为 四、通过坐标化将几何最值转化为代数式求最值 （一）将空间角、距离坐标化后利用不等式求最值 10.（2026·茂名·二模）（母题：坐标化后转化为关于三角函数或参数的表达式求极值） 如图，在矩形 中，，， 为 的中点，把 沿 翻折至 ， 为线段 上的动点. 在翻折过程中，若 在平面 内的投影 落在 边上，且三棱锥 的各个顶点均在球 的球面上.求平面 与平面 的夹角的最小值. 11.（2026·宁波·二模）（变式1：坐标化后转化为含参表达式并利用基本不等式求极值） 正四棱台 的高为 ，，，点 均在平面 内，且直线 与 夹角的正切值的最小值为 ，则（ 　　） A. 点 的轨迹的长度为 B. 直线 与 所成角的正切值的最小值为 C. 线段 的长度的最小值为 D. 点 到直线 的距离大于 12.（2026·福州·联考） 已知 平面 ，垂足为 ，直线 ， 是 内的动点，且 始终在 的两侧. （1）若 ，证明： 是锐角三角形； （2）若 ， 是线段 上靠近 的三等分点，. （i）证明：二面角 为锐角； （ii）直线 与 所成的角分别为 ，记 .若平面 ，且 不是任何一个长方体的截面，求 的最小值. 13.（2026·河南·仿真模拟） 如图，在三棱锥 中，等边三角形 的边长为 ，，，点 为 的中点，设二面角 ， 的平面角分别为 . 若 ，求 的最小值. 五、利用几何性质（对称性、截面、等体积法）分析最值 （一）利用体积不变性与几何临界点求极值 14.（2026·山东·核心素养评估）（母题：分析动点轨迹，利用等体积法或体积函数求极值） 在棱长为 的正方体 中，点 在正方体的棱上运动，则三棱锥 的体积的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 15.（2026·湖南·联考）（变式1：利用几何对称性与等体积法分析体积何时最大） 已知四棱锥 的体积为 ，底面 是平行四边形， 是 上靠近点 的一个三等分点，经过直线 的平面与侧棱 分别交于点 （均不与 重合），设 ，则下列说法正确的是（ 　　） A. 当 平面 时， B. 当 时， C. 四面体 的体积的最小值为 D. 四棱锥 的体积的最小值为 16.（2026·昆明·二模） 如图，直角 ，斜边 ，， 为 的中点，将 沿 翻折到 （），设二面角 的大小为 ，满足 . 当四面体 的体积最大时，求 . （二）分析球体满足的几何约束求半径最值 17.（2026·嘉兴·二模） 已知正方体 的棱长为 ，若球 同时满足条件：① 与平面 和平面 均相切，② 与棱 相切（即与棱仅有一个公共点），则球 的半径的最小值为 ____. （三）分析正方体内几何体截面面积与表面积的最值 18.（2026·眉山·二模） 如图，在正方体 中，点 在线段 上运动，则下列结论正确的是（ 　　） A. 平面 B. 不存在点 ，使得平面 平面 C. 直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 D. 若正方体棱长为 ，则以 为球心， 为半径的球体被平面 所截图形面积的最小值为 参考答案 第一部分：答案速查表 序号 1 2 3 4 5 6 答案 A B B 序号 7 8 9 10 11 12 答案 ABD ABD ABD ACD （1） 证明见详解；（2）（i） 证明见详解；（ii） 序号 13 14 15 16 17 18 答案 A ACD ACD 第二部分：逐题答案与详解 1. 答案： ； 详解： 如图，沿圆锥 的母线 ，将圆锥的侧面展开，得侧面展开图扇形 ，其中 为 的中点， 与 在圆锥中是同一点.因为轨迹 在圆锥的侧面上，所以，在侧面展开图中，轨迹 是扇形 上连接 与 两点的曲线.又 是最短路径，而平面上连接两点之中，线段最短，所以轨迹 是侧面展开图扇形 上连接 与 两点的线段，即线段 .由于 ，所以 的长度为 ，又 ，所以 .所以，在等腰三角形 中，，即 的长度为 . 2. 答案：A 详解：在棱长为 的正方体 中， 在线段 上， 在线段 上， 为 的中点.将正方体表面有关面展开到同一平面：将平面 与平面 沿棱 展开，再将与 相关的面进一步展开，可把 的三条边分别转化为展开图中的直线段.通过计算展开图中对应点之间的直线距离，可求得这三条线段长度之和的最小值为 ，对应选项 A. 3. 答案：B 详解：设圆锥底面圆半径为 ，高为 .由 知 ，，母线长 均为母线，故 .已知 ，以 为原点， 所在直线为 轴，底面为 平面， 为 轴建立空间直角坐标系，则 .设 ，，由 可得 ，即 为底面圆直径的两端点.不妨设 ，.设 ，则三棱锥 的体积为 当 时， 取得最大值 ，对应选项 B. 4. 答案：B 详解：形成的正四棱锥 如图所示，取 中点 ，连接 .由题易知 为等腰三角形 的高，所以 .设 ，在 中，.则 的体积 .令 ，由 得 ，令 得 .当 时 ，当 时 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，则 时体积最大，此时正四棱锥的高为 . 5. 答案： 详解： 过 作 ，垂足为 .因为 平面 ，所以 ，所以 平面 .设 ，，则 ，.根据 的面积为 ，得 ，即 .要使三棱锥 的体积最大，则 最大，因为 ，所以 ，其中 .令 ，记 ，，令 ，.当 时 ， 单调递增；当 时 ， 单调递减，所以 ，即 .所以三棱锥 的体积最大值为 .因此，四棱锥 体积的最大值为 . 6. 答案： 详解： 作 ，垂足为 ，与（1）同理，可得 平面 .设 ，，则 ，，.由 平面 ，可得 ，所以 .在 中，由余弦定理可得 .在 中，.因为 ，所以 .设 ，则 .设 ，，则 ，令 ，可得 .当 时，， 单调递增；当 时，， 单调递减，所以 ，故 的最大值为 . 7. 答案：ABD 详解：易知 为正四面体，， 均为等边三角形，又 均为中点 ，，且 ， 平面 ，故A对.由①知 ，故 是 到 最短距离，，故 也是 到 最短距离， 是所有截面中周长最短的且 ，故B对.对C：假设C成立，则该正四面体应有一个外接球能在三棱台内任意转动.那么该外接球直径 ，又而此三棱台内能放下的球直径不大于 ，显然 ，故放不下，故C错.对D：据题意 ，，即 ，所以 ，所以 ，故D对. 8. 答案：ABD 详解：以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系.对于A， 底面 ，又 在底面 内，其方向与底面平行，故 ，所成角为 ，A正确.对于B， 在底面 上， 在底面的投影分别为 ，则 ，当 在线段 上且满足光学反射定律时取等，B正确.对于C，设 ，由 得 ，轨迹为底面内半径为 的圆，长度为 ，C错误.对于D，三棱锥 外接球体积最大时， 位于底面 的四个顶点及中心时取得，共5个，D正确. 9. 答案：ABD 详解：以 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系.因为正方体 的棱长为 ，可得 .因为点 在棱 上且 ，可得 .可得 . 对于A，设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，可得 ，所以 .因为点 在平面 内，设 ，所以 .又因为 平面 ，可得 ，整理得 .因为点 在正方形 内，可得 .当 时，，对应的点 在棱 上；当 时，，对应的点 在棱 上.所以点 的运动轨迹为线段 ，所以A正确. 对于B，由点 且 ，可得 ，其中 ，所以当 时，，即 ，所以B正确. 对于C，由 ，点 且 ，可得 .若 ，则 ，得 .此时 ，但 ，点 不在正方形区域内，所以不存在满足条件的点 ，所以C错误. 对于D，由点 ，可得 都在 的平面内.设球心为 ，半径为 .因为 三点确定的圆是正方形 的外接圆，其圆心为 的中点 ，半径为 .由 .因为点 且 ，即 ，在球面上，所以 .整理得 .球的表面积为 ，要使得表面积最小，只需 最小.令 ，其图象开口向上，对称轴为 ，所以当 时， 取得最小值 ，即 .所以 ，所以D正确. 10. 答案： 详解： .设平面 的一个法向量为 ，则 ，可取 .因为 为线段 上的动点，可设 ，则 ，即 .设平面 的一个法向量为 ，则 ，可取 .设平面 与平面 的夹角为 ，则 .当 时，；当 时，，故 时， 取到最大值 ，即平面 与平面 的夹角的最小值为 . 11. 答案：ACD 详解：由直线 与 夹角的正切值的最小值为 ，可推得 的轨迹为平面 内的一个圆，其长度为 ，A正确.通过坐标计算可验证C，D正确，而B错误. 12. 答案：（1） 证明见详解；（2）（i） 证明见详解；（ii） 详解：（1） 因为 平面 ，，所以 .不妨设 ，且 .因为 ，所以 .在 中，由余弦定理得 ，所以 .同理可证 均为锐角，故 是锐角三角形. （2）（i） 以 为原点， 分别为 轴和 轴的正方向建立空间直角坐标系.设 ，由 得 .又 是线段 上靠近 的三等分点，故 ，即 .由 可得 且 ，同理 .故在坐标平面 中， 是双曲线 右支上的动点，且 在 轴的两侧.渐近线夹角为 ，所以 ，即二面角 为锐角. （ii） 由已知和（i）的结论，问题转化为在平面直角坐标系 中， 在双曲线 的右支上，直线 过点 ，且 ，求 的最小值.通过分析可得 ，进而 .当 即 时等号成立，故最小值为 . 13. 答案： 详解： 设 的中点为 ，连接 .因为 为等边三角形， 为 的中点，则 .又因为 ， 分别为 的中点，所以 ，所以 .又 ， 平面 ，则 平面 .由 平面 ，进而可得 平面 ， 平面 ，故 .过点 作 ，垂足为 ，则 .所以 .因为 ，即 ，所以 ，当且仅当 时等号成立.故最小值为 . 14. 答案：A 详解：在棱长为 的正方体中， 为边长 的等边三角形，面积 .点 在棱上运动时， 到平面 的距离 的变化范围为 ，所以三棱锥体积 .故选A. 15. 答案：ACD 详解：利用四棱锥的体积以及向量的共线关系，可逐步验证各选项.通过建立体积关于参数 的函数，可求得四面体 体积的最小值为 ，四棱锥 体积的最小值为 ，因此C、D正确；A、B可通过几何关系或向量法验证. 16. 答案： 详解： 由 与 面积相等，则当 到平面 的距离最大时，四面体体积最大.设平面 的法向量 ，可得 .点 到该平面的距离 满足 .令 ，则 ，当且仅当 即 时等号成立，解得 .故当 时，四面体体积最大. 17. 答案： 详解：球 与平面 和平面 均相切，故球心 在二面角 的角平分面上.取相关棱中点，可知角平分面即平面 ，且 平分 .要使半径最小，球心在 上.作 ，则 且 平面 .又球与棱 相切，故 .在 中，.因此 ，解得 . 18. 答案：ACD 详解：在正方体 中，可证 平面 ，A正确；通过计算可知存在点 使两平面垂直，B错误；用向量法求得直线 与平面 所成角的正弦的最大值为 ，C正确；当 为 中点时，以 为球心 为半径的球被平面 所截图形面积最小，最小值为 ，D正确. 第三部分：试题来源表 序号 来源 题号 1 2026·深圳·二模 第18题 2 2026·呼和浩特·二模 第8题 3 2026·佛山·二模 第8题 4 2026·长望浏宁·二模 第8题 5 2026·合肥·二模 第18题 6 2026·山西·二模 第18题 7 2026·江淮十校·联考 第11题 8 2026·潍坊·二模 第10题 9 2026·金华十校·联考 第10题 10 2026·茂名·二模 第18题 11 2026·宁波·二模 第11题 12 2026·福州·联考 第19题 13 2026·河南·仿真模拟 第18题 14 2026·山东·核心素养评估 第5题 15 2026·湖南·联考 第11题 16 2026·昆明·二模 第18题 17 2026·嘉兴·二模 第14题 18 2026·眉山·二模 第11题 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $