考点8.3 球的表面积与体积专项训练-2026届高三数学二轮复习

2026年高考数学二模新题分类速递 考点8.3 球的表面积与体积 考点8.3 球的表面积与体积 1 一、补形法（墙角模型）求外接球 1 （一）补形为长方体求外接球 1 二、非规则多面体的外接球 2 （一）一般四面体（三棱锥）的外接球 2 三、正棱锥/正棱柱/正四面体的外接球与内切球 3 （一）正三棱锥的外接球 3 （二）正四面体的外接球与内切球（含自由运动小球） 3 四、翻折问题中的外接球 3 （一）矩形翻折后三棱锥的外接球 3 五、圆柱/圆台/正方体的外接球及其最值 3 （一）圆柱的外接球与侧面积最值 3 （二）圆台内接于球 4 （三）正方体的外接球 4 六、几何体的内切球与内放球问题 4 （一）正四棱台的内切球与外接球综合 4 （二）半正多面体的内切球 5 （三）圆锥内放多个等大相切球 5 （四）半球壳内放多个等大相切球 5 七、球缺与球体体积的实际应用 5 （一）正方体外接球被截面截得的球缺 5 （二）等体积法求实际场景中的球半径 6 参考答案 6 第一部分：答案速查表 6 第二部分：逐题答案与详解 7 第三部分：试题来源表 11 一、补形法（墙角模型）求外接球 （一）补形为长方体求外接球 1.（2026·福建福州·二模）（母题：PA⊥底面ABC，底面为直角三角形，补形为长方体） 已知三棱锥 的体积为 ，，，.若该三棱锥的四个顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为 A. B. C. D. 2.（2026·贵州毕节·二模）（变式：同侧棱垂直底面的三棱锥内切球，含两两相切球的半径串联） 已知在三棱锥 中， 底面 ，，，，.半径为 的球 与三棱锥的四个面都相切，则 ____；若半径为 的球 与面 ，面 ，面 及球 都相切，则 ____. 二、非规则多面体的外接球 （一）一般四面体（三棱锥）的外接球 3.（2026·安徽华师联盟·二模）（母题：已知棱长及面面垂直关系，找球心求外接球体积） 如图，点 均在球 的表面上，，，，平面 平面 ，则球 的体积为 ____. 4.（2026·山西卓越联盟·二模）（变式：已知外接球表面积及部分棱长关系，求四面体体积） 已知四面体 的顶点都在同一球面上，若该球的表面积为 ，， 是边长为 的正三角形，，则四面体 的体积为 ____. 三、正棱锥/正棱柱/正四面体的外接球与内切球 （一）正三棱锥的外接球 5.（2026·湖北新八校·二模） 三棱锥 中， 与底面 所成的线面角相等，二面角 ，， 的大小也相等，且 ，，则三棱锥 的外接球体积为 ____. （二）正四面体的外接球与内切球（含自由运动小球） 6.（2026·山东东营·二模） 已知一个棱长为 的正四面体容器（容器壁厚度忽略不计），则此容器外接球（正四面体容器各顶点都在球面上）的体积为 ____；如果一个半径为 的小球在该容器内可向各个方向自由运动，则小球永远不可能接触到的容器内壁面积为 ____. 四、翻折问题中的外接球 （一）矩形翻折后三棱锥的外接球 7.（2026·广东茂名·二模） 如图，在矩形 中，，， 为 的中点，把 沿 翻折至 ， 为线段 上的动点.若 在平面 内的投影 落在 边上，且三棱锥 的各个顶点均在球 的球面上，求球 的半径. 五、圆柱/圆台/正方体的外接球及其最值 （一）圆柱的外接球与侧面积最值 8.（2026·安徽合肥·二模） 已知圆柱的轴截面是周长为 的矩形，其上下底面的圆周都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为 A. B. C. D. （二）圆台内接于球 9.（2026·浙江温州·二模） 已知圆台的上下底面的半径分别为 和 ，圆台的侧面积为 ，若圆台内接于球 ，则球 的半径为 A. B. C. D. （三）正方体的外接球 10.（2026·湖南新高考联盟·二模） 如图，在平行四边形 中，已知 ，，，现将 沿 折起，得到三棱锥 ，且三棱锥 外接球的表面积为 ，则 ____. 六、几何体的内切球与内放球问题 （一）正四棱台的内切球与外接球综合 11.（2026·山西三重教育·二模） 已知正四棱台 上底面的边长为 ，下底面边长为 ，且高为 ，则下列说法正确的有 A. 该四棱台的体积为 B. 若 为 的中点，则 平面 C. 该四棱台的侧面积为 D. 该四棱台的外接球表面积为 （二）半正多面体的内切球 12.（2026·山东·二模） 半正多面体是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.如图所示，某半正多面体由 个正三角形和 个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，已知 ，若在该半正多面体内放一个球，则该球表面积的最大值为 A. B. C. D. （三）圆锥内放多个等大相切球 13.（2026·河南郑州·二模） 已知一个圆锥的底面半径为 ，表面积为 .若在该圆锥内放入三个半径均为 的球，其中每个球都与其它两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则 ____. （四）半球壳内放多个等大相切球 14.（2026·浙江湖州、衢州、丽水·二模） 如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为 ，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为 的球），三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切.若汤圆与碗口等高，则 ____. 七、球缺与球体体积的实际应用 （一）正方体外接球被截面截得的球缺 15.（2026·重庆·二模） 球体被平面截得的一部分几何体称为球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截得的线段长叫做球缺的高，若球缺的底面半径为 ，高为 ，则球缺的体积 .已知棱长为 的正方体 的各个顶点都在球 上，平面 将球 截成两部分，那么较小部分的体积为 A. B. C. D. （二）等体积法求实际场景中的球半径 16.（2026·江西宜春·二模） 一个长，宽，高分别为 的水槽中装有 的水，现放入一个半径为 的木球，若木球的三分之二在水中，三分之一在水面上时，水恰好不会从水槽中溢出（忽略木球吸水的影响），则木球的半径 等于 A. B. C. D. 参考答案 第一部分：答案速查表 序号 1 2 3 4 5 6 答案 B ； 或 ； 序号 7 8 9 10 11 12 答案 C C ABD C 序号 13 14 15 16 答案 A A 第二部分：逐题答案与详解 1. 答案：B 详解：已知 ，，所以 的面积 ，.直角三角形外接圆圆心为斜边 中点，设 中点为 ，则 .因为三棱锥体积 ，代入得 ，.又 ， 为 中点，由等腰三角形三线合一得 ，且 .因此 平面 ，即 在底面投影为 .设 ，球半径为 ，则 .由 ，，联立得 ，解得 ，因此 ，即球 的表面积 . 2. 答案：； 详解：因为 ，，，，所以 ，三棱锥 的体积 .又 底面 ，所以 ，，，，.在 中，由余弦定理得 ，所以 ，.三棱锥的表面积 .由等体积法 得 .建立空间直角坐标系，则 ，，所以 .因为两球相切，且 ，所以两球外切，即 .由题意球 比 靠近点 ，即 ，所以 ，解得 . 3. 答案： 详解：连接 ，取 中点 ，连接 .因为 ，所以 .又平面 平面 ，平面 平面 ，故 平面 .设 ，则 .在 中，.在底面 中， 为 中点，由中线公式得 .在 中，，由勾股定理得 ，即 ，解得 ，.进而 ，，，，故 ，， 为直角三角形，外心为斜边 的中点 ，且 . 以 为原点， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，.外心 坐标为 .设球心 ，由 得： 即 ，展开得 ，解得 .球心 ，半径 ，.外接球体积 . 4. 答案： 或 详解：取 中点 ，连接 ，则 平面 .设球心为 ，过 作 平面 垂足为 ，则 是 的外心，.取 中点 ，则 .由 得 .由 得 ，.当点 与 在 两侧时，，，点 到平面 的距离 ，四面体体积 ；当点 与 在 同侧时，，，点 到平面 的距离 ，体积 . 5. 答案： 详解：由题意可知，顶点 在底面 的射影既是 的外心，又是 的内心，从而 是等边三角形，该三棱锥是正三棱锥，其外接球球心落在过 的高线上，利用方程 可直接得解. 6. 答案：； 详解：正四面体棱长 .外接球半径公式 ，体积 .正四面体内切球半径 .小球半径 ，在容器内自由运动，其球心轨迹为到各面距离均不小于 的区域，即一个缩小的正四面体，其内切球半径为 .原正四面体全面积 .小球能接触到的各面区域为原面上去掉边界带状区域后的正三角形，其面积可由相似比求得：接触面正三角形与原面相似，对应高之差为小球半径与二面角的关系，最终计算得能接触总面积为 ，故不能接触的面积为 . 7. 答案： 详解：过 作 于 ，连接 。因为 在平面 内的投影 在 边上，所以 平面 ，又 平面 ，即 。又 ，故 平面 ，即 。已知 ，，，所以 ，。又 ，所以 ，则 。以 为坐标原点建立空间直角坐标系 ，则 ，，。 设三棱锥 外接球的球心为点 ，外接球半径为 。因为点 均在球 的球面上，所以 ，即 解得 故三棱锥 外接球的半径为 。 8. 答案：C 详解：设圆柱底面半径为 ，高为 ，则轴截面周长为 ，即 .侧面积 ，当 ，即 时等号成立，此时侧面积最大.外接球直径等于轴截面对角线长 ，所以球半径 ，体积 . 9. 答案：C 详解：设圆台母线长为 ，上、下底面半径分别为 和 ，侧面积 ，得 .高 .设球心为 ，半径为 ，圆台轴截面等腰梯形 .过 作 垂线，设 ，因球心在圆台内部，有方程组 和 ，解得 ，. 10. 答案： 详解：如图，过 作 ，且 ，过 作 ，且 ，连接各点构成直三棱柱 ，则三棱锥 的外接球即此直三棱柱的外接球.外接球表面积 ，得 .设三棱柱底面 的外接圆半径为 ，则 ，求得 .设 ，则 .在 中，，由余弦定理和正弦定理结合，代入 ，解得 ，即 . 11. 答案：ABD 详解：A选项，由台体体积公式得 ，正确；B选项， 为 中点时，，且 平面 ， 平面 ，故 平面 ，正确；C选项，侧面斜高为 ，侧面积 ，错误；D选项，设球心 在 上，由 ，列方程求半径得 ，表面积 ，正确. 12. 答案：C 详解：该半正多面体可嵌入正四面体中，球心为正四面体外接球球心.求得相关长度后，计算球心到正六边形所在平面的距离 ，此即最大内切球半径，表面积 . 13. 答案： 详解：设圆锥母线长为 ，由表面积 得 ，高 .建立坐标系，顶点为原点，轴线为 轴，底面在 ，锥面方程为 .三个小球半径均为 ，球心均在平面 上，且互距 ，构成等边三角形，其外接圆半径 .取一球心 ，到母线的距离应为 ，即 .由于球在锥内，有 ，故 .与 联立，得 . 14. 答案： 详解：设半球半径为 ，小球半径 .三小球球心位于同一水平面 ，距碗口等高，故球心到半球球心距离为 ，且球心所在圆周半径 .由勾股定理 ，代入得 ，故 . 15. 答案：A 详解：球 为棱长 的正方体外接球，半径 .平面 截球得截面圆半径 ，球心到截面距离为 ，故球缺高 .代入球缺体积公式 . 16. 答案：A 详解：水槽容积 ，原有水 ，最多还可容纳 的水而不溢出.木球放入后，排开水的体积等于浸没部分的体积，即 球体积.因此 ，所以 . 第三部分：试题来源表 序号 来源 题号 1 2026·福建福州·二模 第6题 2 2026·贵州毕节·二模 第14题 3 2026·安徽华师联盟·二模 第14题 4 2026·山西卓越联盟·二模 第14题 5 2026·湖北新八校·二模 第13题 6 2026·山东东营·二模 第14题 7 2026·广东茂名·二模 第18题 8 2026·安徽合肥·二模 第6题 9 2026·浙江温州·二模 第7题 10 2026·湖南新高考联盟·二模 第13题 11 2026·山西三重教育·二模 第11题 12 2026·山东·二模 第8题 13 2026·河南郑州·二模 第14题 14 2026·浙江湖州、衢州、丽水·二模 第14题 15 2026·重庆·二模 第8题 16 2026·江西宜春·二模 第5题 第 2 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $