专题8 立体几何 剩余考点专项训练-2026届高三数学二轮复习

2026年高考数学二模新题分类速递 专题8 立体几何 剩余考点 专题8 立体几何 剩余考点 1 一、空间距离的向量法与几何法计算 2 （一）常规点面距的向量法求解 2 （二）特殊约束条件下的点面距 3 （三）动点到平面距离的最值 3 （四）平行平面间的距离 3 （五）两点间距离（向量坐标法） 4 （六）空间多点间距离的最值与展开问题 4 （七）到两平面距离相等的探索性问题 4 二、立体几何中的折叠与翻折问题 5 （一）折叠背景下的垂直关系证明与几何量求解 5 （二）翻折综合问题与多角度分析 5 （三）折叠与三面角余弦定理的应用 6 三、立体几何中的截面问题 6 （一）截面图形的作图与周长计算 6 （二）给定条件的截面面积最值 7 四、旋转体与轴截面的几何问题 7 （一）旋转体轴截面的曲线性质 7 （二）圆柱被平面截得的截面曲线 8 （三）旋转体内动球的轨迹问题 8 （四）旋转体与球的相切及体积计算 8 五、立体几何中的空间距离与角度综合 9 （一）正四面体中的线面角、二面角与点面距 9 （二）空间垂直关系的证明 9 六、折叠与空间距离的解析几何综合 9 参考答案 11 第一部分：答案速查表 11 第二部分：逐题答案与详解 11 第三部分：试题来源表 24 一、空间距离的向量法与几何法计算 （一）常规点面距的向量法求解 1.（2026·广东湛江·二模） 如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，，且 ，三角形ADE是正三角形，平面ADE⊥平面ABCD．点 在平面ABCD上的投影为 与 的交点 ，且 ． （3）求点 到平面BEF的距离． 2.（2026·四川德阳·二诊）（变式1：需先利用角度条件确定几何参量再求点面距） 如图，在平行六面体 中， 在线段 上，且 ， ， 分别为线段 ， 的中点，且底面 为正方形． （2）若 与底面 不垂直，直线 与平面 所成角为 ，且 ，求点 到平面 的距离． 3.（2026·八省八校T8·联考） 如图，在底面是菱形的直四棱柱 中， ，， 为线段 上靠近 的三等分点， 为线段 的中点． （2）求点 到平面 的距离． （二）特殊约束条件下的点面距 4.（2026·九师联盟·联考） 在正四棱柱 中， ，以 为球心，表面积为 的球与平面 只有1个公共点，若 为棱 的中点，则点 到平面 的距离为（ 　　） A. B. C. D. （三）动点到平面距离的最值 5.（2026·广东湛江·二模） 已知长方体 中， ，， 是 的中点，点 在线段 上运动（含端点），则点 到平面 的距离的最大值为（ 　　） A. B. C. D. （四）平行平面间的距离 6.（2026·山东济南·二模） 已知正四面体 的棱长为 ，点 平面 ，且 ，点 在 之间或在 内．记 为 与 平行时两平面间的距离，则（ 　　） A. 该四面体外接球的表面积为 B. 的最小值为 C. 若 ，且 ，，则直线 与 所成的角为 D. 若 依次排列且两两平行，满足 ，则 （五）两点间距离（向量坐标法） 7.（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模） 如图，在三棱锥 中， 平面 ，，，，，，过点 的平面与 交于点 ，，则 __________． （六）空间多点间距离的最值与展开问题 8.（2026·山东聊城·二模） 已知棱长为2的正四面体ABCD，P为△BCD的中心，M为平面ABC内的动点，N为棱AD上一动点，则下列说法正确的是（ 　　） A. 若MN//平面BCD，且 ，则AM的最小值为 B. 若MN⊥AD，且 ，则MN的最小值为 C. 若AM⊥PC，则DM的最小值为 D. 的最小值为 （七）到两平面距离相等的探索性问题 9.（2026·重庆·康德调研四） 如图所示，在长方体ABCD-EFGH中， ， ， ，点 在棱 上，点 在棱 上，且 ． （3）在棱 上是否存在点 ，使得 到平面BMP的距离与 到平面BFM的距离相等？若存在，求出 的长；若不存在，说明理由． 二、立体几何中的折叠与翻折问题 （一）折叠背景下的垂直关系证明与几何量求解 10.（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模） 如图所示，已知等腰梯形ABCE中，AB//EC，D是EC的中点，将△AED沿AD对折至△APD，使得与边长为2的菱形ABCD成 的二面角，折叠后发现PB⊥AD． （1）求点 到平面ABCD的距离； 11.（2026·山东潍坊·二模）（变式1：面面垂直证明） 如图1，在平面四边形ABCD中， ，，将△ACD沿AC翻折，得到如图2所示的三棱锥 ，且 在平面ABC上的射影恰为△ABC的外接圆的圆心． （1）证明：平面ABC⊥平面ACD； （二）翻折综合问题与多角度分析 12.（2026·四川资阳·高考适应性考试） 如图（1），菱形ABCD的边长为 ， ，现将 沿 翻折至 ，连接 ，得到如图（2）所示的三棱锥 ，在该三棱锥中，下列说法正确的有（ 　　） A. B. 若 ，则 C. 当三棱锥 体积最大时， 与平面 所成角为 D. 若 在平面 内的射影为 的垂心，且 ，则过点 的平面截三棱锥 的外接球所得截面面积的最小值为 （三）折叠与三面角余弦定理的应用 13.（2026·江苏南京鼓楼区·二模） 类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如下图，由不共面的三条射线 构成的图形称为三面角 ，记 ， ， ，二面角 的大小为 ，则 ．在矩形 中， ，， 为线段 上动点， 绕 翻折至 ，记二面角 的平面角为 ，则下列说法正确的是（ 　　） A. 当 时， B. 当 时，且 为 中点，则 C. 不存在 与 ，使得 D. 当 时，则 最小值为 三、立体几何中的截面问题 （一）截面图形的作图与周长计算 14.（2026·广东汕头·二模） 如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，其中 ， ， ， ， ，点 分别为棱 的中点． （2）请作出四棱锥 过 三点的截面，并求出截面图形周长； （二）给定条件的截面面积最值 15.（2026·山西·小高考五） 在四棱锥 中，底面 是面积为4的正方形， ， 分别是棱 的中点，设四棱锥 被过 且平行于 的平面截得的截面面积为 ，则 的最大值为（ 　　） A. B. 2 C. D. 1 四、旋转体与轴截面的几何问题 （一）旋转体轴截面的曲线性质 16.（2026·广东揭阳·二模） 如图，已知正方体 ，点 ， 分别为上、下底面的中心．正四面体 以 为轴旋转一圈，形成一个空间几何体，该几何体的轴截面的截口曲线（截面与几何体侧面的交线）为双曲线的局部，则（ 　　） A. 直线 与直线 所成的角为 B. 直线 与平面 所成的角为 C. 若正方体的棱长为2，则点 到平面 的距离为 D. 此双曲线的离心率为 （二）圆柱被平面截得的截面曲线 17.（2026·山东泰安·二模） 如图，已知圆柱 的轴截面是边长为2的正方形ABCD， 的中点为 ，平面 过直线 ，且垂直于平面ABCD， 与圆柱侧面的交线为曲线 ，则下列选项正确的是（ 　　） A. 圆柱在 下方部分的体积为 B. 圆柱在 下方的部分内放入一个球，则球的半径的最大值为 C. 曲线 是椭圆且其离心率为 D. 为下底面圆周上一动点， ，，PQ垂直于底面， 与曲线 交于 ，若 的长为 ，则 （三）旋转体内动球的轨迹问题 18.（2026·广东揭阳·二模） 已知圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，圆锥内部有一个半径1的球，该球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则该球与圆锥的接触点的轨迹长度为（ 　　） A. B. C. D. （四）旋转体与球的相切及体积计算 19.（2026·陕西宝鸡·二模） 如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为3和6的两个铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为 ____． 五、立体几何中的空间距离与角度综合 （一）正四面体中的线面角、二面角与点面距 20.（2026·浙江台州·二模） 已知正四面体 的棱长为4，顶点 在平面 的同侧，点 ，顶点 到平面 的距离分别为1,2,？，直线 与平面 交于点 ，则（ 　　） A. 直线 与平面 所成角为 B. 平面 与平面 所成角为 C. D. 点 到平面 的距离为 （二）空间垂直关系的证明 21.（2026·新疆·4月适应性检测） 如图，ABCD是边长为2的正方形，以 为圆心的半圆面MAB垂直于平面ABCD，E是半圆弧AB上的动点． （1）证明：平面ADE⊥平面BCE； 六、折叠与空间距离的解析几何综合 22.（i））（2026·陕西宝鸡·二模） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，经过 且倾斜角为 的直线 与椭圆交于 两点（其中点 在 轴上方）． （2）如图，将平面 沿 轴折叠，使 轴正半轴和 轴所确定的半平面（平面 ）与 轴负半轴和 轴所确定的半平面（平面 ）互相垂直． ①若 ，求折叠后 的值； 23.（ii））（2026·陕西宝鸡·二模）（变式1：存在性探索求参数） ②是否存在 ，使得折叠后 与 距离与折叠前 与 距离之比为 ？若存在，求 的值，若不存在，请说明理由． 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 第一部分：答案速查表 序号 1 2 3 4 5 6 答案 D A ACD 序号 7 8 9 10 11 12 答案 ABD 存在， 见详解 ABD 序号 13 14 15 16 17 18 答案 ABD 12 C ACD ACD B 序号 19 20 21 22 23 答案 ACD 见详解 存在， 第二部分：逐题答案与详解 1. 答案： 详解： 解法一： （3）解：设平面 的法向量为 由 得 令 ，得 ，故 ， 又 所以点 到平面 的距离 解法二： （3）解：因为 ，所以 四点共面， 所以点 到平面 的距离即为点 到平面 的距离. 如图，取 的中点 ，连接 ，因为 ，所以 ，同理 又 ，所以 平面 又 平面 ，所以平面 平面 作 于 ，平面 平面 ， 平面 所以 平面 ，所以 即为所求距离. 在 中， 设 边上的高为 ，则 解得 2. 答案： 详解： （2）以 为坐标原点，过 作与平面 垂直的直线为 轴，以 的方向为 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系， 则 ，设 则 ，， 设平面 的法向量为 则 令 ，则 所以 ，又 ，所以 ，设直线 与平面 所成角为 ，则 ，解得 或 （舍），，所以点 到平面 的距离为 ，则点 到平面 的距离为 ． 3. 答案： 详解： （2）解：如图，连接 交线段 于点 ，连接 ． 因为 ，所以 ． 又 ，所以 ． 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ． 如图，连接 ，因为四边形 为菱形，，所以 ，，则 为等边三角形． 又 为 中点，所以 ， 又 ，所以 易知 平面 ，所以以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 易知 ，因为 为 上靠近 的三等分点，所以 ． 所以 设平面 的法向量为 ， 则 令 ，则 ，所以 点 到平面 的距离 4. 答案：D 详解： 设 ，则三棱锥 的体积为 ，由球的表面积为 ，得球的半径 ，又球与平面 只有 1 个公共点，则球与平面 相切，所以点 到平面 的距离为 1，在 中，，所以 的面积为 ，所以 ，解得 ，即 ．以点 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，所以 ，设平面 的一个法向量为 ，则 即 取 ，则 ，所以 到平面 的距离为 ．故选 D． 5. 答案：A 详解： 取 的中点 （图略），过点 作 的垂线，垂足为 ，则 ，又 平面 ， 平面 ，故 ，又 ，故 平面 ，所以点 到平面 的距离即为点 到直线 的距离，故当点 与 重合时，所求距离有最大值，此时距离为 故选A. 6. 答案：ACD 详解： 对于A项，正四面体 棱长为 ，其外接球半径 ，外接球表面积为 ，故A正确； 对于B项， 的最小值即正四面体的高，为 ，且由条件点 在 之间或在 内，知 的最小值可以比高更小，故B错误； 对于C项，若 ，且 ，，则通过几何关系可求得直线 与 所成的角为 ，故C正确； 对于D项，若 依次排列且两两平行，满足 ，设 ，则 ，，则 ，又由几何条件可解得 ，故 ，故D正确. 故选：ACD. 7. 答案： 详解： 法一（坐标法）：如图建立空间直角坐标系 ，，由 ， 得 ，由 得 即 ，得 ，则 ，则 法二（几何法）：由 平面ABC， 平面ABC知 ，由 ，， 平面 ， 平面 得 平面 ，由 平面 得 ，取 上一点 使得 ，由余弦定理得 ，，，可得 ，由平行线分线段成比例知 ，故 ，故 8. 答案：ABD 详解： 对于A，若MN//平面BCD，且 ，M在过N且平行于平面BCD的平面与平面ABC的交线上，可求得AM的最小值为 ，故A正确； 对于B，若MN⊥AD，且 ，则N为AD中点，MN为AD的垂线，可求得MN的最小值为 ，故B正确； 对于C，若AM⊥PC，则点M的轨迹是过A且垂直于PC的平面与平面ABC的交线，此时DM的最小值大于 ，故C错误； 对于D，将三棱锥展开到同一平面，可求得 的最小值为 ，故D正确. 故选：ABD. 9. 答案：存在， 详解： （3）假设存在点 满足条件，记 到平面BMP的距离 = 到平面BFM的距离 = ， 则 ，由（1）（2）知 ，，故 ；则 ， 另一方面 ，故 ，，综上所述，存在符合题意的 点，． 10. 答案： 详解： （1）由题设，可知 取 中点 ，连接 ，故 又 ，，PB， 平面 ，所以 平面 又 平面 ，故 ．故 为平面ABCD与平面PAD所成二面角的平面角， 所以 因为 平面ABCD，故平面ABCD⊥平面 ，平面ABCD∩平面 过 作 交 于 故 平面ABCD. 因为 ，所以 ， 因此点 到平面ABCD的距离为 ． 11. 答案：见详解 详解： （1）证明：取 的中点 ，连接 ． 由题意知点 为△ABC的外心， 因为点 在平面ABC上的射影为△ABC的外心， 所以 平面ABC， 因为 平面ACD， 所以平面ABC⊥平面AC D. 12. 答案：ABD 详解： 对于A，在菱形ABCD中，，翻折后由于 保持不变，仍有 ，故A正确； 对于B，若 ，因为 ，，由对称性及三垂线定理可证 ，故B正确； 对于C，当三棱锥 体积最大时，平面 平面ABC，此时 与平面 所成角为 ，故C正确； 对于D，若 在平面 内的射影为 的垂心，且 ，则过点 的平面截三棱锥 的外接球所得截面面积的最小值为 ，故D正确. 故选：ABD. 13. 答案：ABD 详解： A：当 时，由已知公式，得 ， 所以 ，所以本选项说法正确； B：当 为 中点，取 的中点 ，连接 因为在矩形ABCD中， 所以 由勾股定理可得 且 所以 所以 ，于是 因为 ，所以平面 平面 又因为平面 平面 ，，且 平面 所以 平面 ， 平面 所以 ，于是有 ，因为 ，所以 ，所以本选项说法正确； C：假设存在 与 ，使得 ，因为在矩形ABCD中，，所以 ，由已知公式 ，显然 ，所以假设成立，因此本选项说法不正确； D：在矩形ABCD中，设 所以 因为 所以由 由余弦定理可得： 因为 所以 当且仅当 时取等号， 所以有 ，当且仅当 时取等号， 所以由 ，所以本选项说法正确. 故选：ABD. 14. 答案：12 详解： （2）连接 交 于点 ，连接 ，取 中点 ，连接 因为 四边形 为平行四边形 点 为 中点， 所以 所以 ，四边形 为平行四边形，则 点 平面 ，故四边形 即为所求截面， 因为 平面 所以 为直角三角形，，故四边形 为平行四边形， 所以，四边形 周长为：． 15. 答案：C 详解： 如图，取 的中点 ，连接 ，并延长，交于点 ，连接 ，由 ，可得平面 平面 ，四边形 即为所求的截面．由题意得 ，，所以 ，由 ，可得 ，当且仅当 时等号成立，即 的最大值为 ．故选C． 16. 答案：ACD 详解： 对于A，直线 ⊥平面 ，所以直线 ⊥ ，故A正确. 对于B，因为 ⊥平面 ，所以 为直线 与平面 所成的角，，所以 ，故B错误. 对于C，点 到平面 的距离为正四面体 的高的一半，正四面体 的高为 ，所以点 到平面 的距离为 ，故C正确. 对于D，不妨设正方体的棱长为2．问题等价于线段 绕 旋转一圈形成一个空间几何体，该几何体的轴截面的截口曲线为双曲线的局部．以 为 轴，过正方体的中心且垂直于 的直线为 轴，建立平面直角坐标系．设双曲线方程 ，则异面直线 和 的距离为 ，点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为1，则点 在双曲线上，所以 ，解得 ，该双曲线为等轴双曲线，离心率为 ，故D正确. 17. 答案：ACD 详解： 对于A，圆柱在 下方部分的体积为 ，故A正确； 对于B，圆柱在 下方的部分内放入一个球，由几何关系可求得球的半径的最大值为 ，故B正确； 对于C，曲线 是圆柱被平面所截的截口曲线，其为椭圆，且由几何关系可求得离心率为 ，故C正确； 对于D， 为下底面圆周上一动点，，PQ垂直于底面，与曲线 交于 ，若 的长为 ，则由几何关系可得 ，故D正确. 故选：ACD. 18. 答案：B 详解： 取圆锥的轴截面，因为圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则轴截面为等边三角形，半径为1的圆与等边三角形的一条腰和底边相切，切点分别为 和 ，，所以 ，，．利用相似比，可得 即 ，解得 ．球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则接触点的轨迹为两个圆，如图，与圆锥侧面的接触点轨迹为圆 ，半径为 ，与圆锥底面的接触点轨迹为圆 ，半径为 ，所以接触点的轨迹长度为 ，选B. 19. 答案： 详解： 作几何体的轴截面图如图，， 分别是大球和小球的球心， 是圆台的轴截面等腰梯形ABCD两腰 和 的延长线的交点，则 ，，，，且 ，，，过 点作 交 于 ，显然 ，四边形 为矩形，且 ，，在Rt△MNK中，，，，由 ，得 ，则 ，．在Rt△NHQ中，，，在Rt△DFQ中，，在Rt△EQA中，，，因此圆台的上底面半径 ，下底面半径 ，高 ，圆台的体积 ，而球 的体积 ，球 的体积 ，所以容器中水的体积 ．故答案为：． 20. 答案：ACD 详解： 对于A，设 在平面 内的射影为 ， 在平面 内的射影为 ，连接 ，则 ，因为 ，，所以 ，而 为直线 与平面 所成的角，故 ，故A错误； 对于B，因为 ，故 ，故四边形 为直角梯形，同理 ，而 ，，在 中，，故 ，而 ，设平面 与平面 所成角为 ，则 ，所以 ，故B正确； 对于C，由题设 平面 ，， 平面 ，故 三点共线，且 ，故 为 的中点，连接 ，则 ，又 ，，故 ，而 ， 平面 ，故 平面 ，又 平面 ，故 ，故C正确； 对于D，由C的分析可得 ，故 ，连接 ，则 ，，由A可得 为 的中点，故 ，设 ，则 ，故 ，消元可得 ，解得 （负值舍去），故点 到平面 的距离为 ，故D正确. 故选：ACD. 21. 答案：见详解 详解： （1）证明：由已知得平面 平面 ，交线为 因为ABCD是正方形，所以 ，所以 平面 ，所以 又因为 是圆 的直径，所以 ，所以 平面 因为 平面 ，所以平面 平面 ． 22. 答案： 详解： （2）① 时在折叠前图中，直线 方程为 ， 由（1）可知此时 ， 此时 ， 由题意，折叠后 以 为坐标原点，折叠后以原 轴负半轴，原 轴，原 轴正半轴所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， 所以 ，则 所以 23. 答案：存在， 详解： ②折叠前设 ，直线 由 得 ，所以 而 ，即 ，且 ，折叠后按①中的方式建立空间直角坐标系，折叠后 ， 在新图形中对应点记 ，，则 ，由 ，知 ，整理得 ，解得 或 （舍去），因为 ，所以 ，所以 ，故存在. 第三部分：试题来源表 序号 来源 题号 1 2026·广东湛江·二模 第16（3）题 2 2026·四川德阳·二诊 第16（2）题 3 2026·八省八校T8·联考 第16（2）题 4 2026·九师联盟·联考 第8题 5 2026·广东湛江·二模 第7题 6 2026·山东济南·二模 第11题 7 2026·黑龙江齐齐哈尔·二模 第14题 8 2026·山东聊城·二模 第11题 9 2026·重庆·康德调研四 第18（3）题 10 2026·黑龙江齐齐哈尔·二模 第16（1）题 11 2026·山东潍坊·二模 第17（1）题 12 2026·四川资阳·高考适应性考试 第11题 13 2026·江苏南京鼓楼区·二模 第11题 14 2026·广东汕头·二模 第17（2）题 15 2026·山西·小高考五 第7题 16 2026·广东揭阳·二模 第11题 17 2026·山东泰安·二模 第11题 18 2026·广东揭阳·二模 第8题 19 2026·陕西宝鸡·二模 第14题 20 2026·浙江台州·二模 第11题 21 2026·新疆·4月适应性检测 第17（1）题 22 2026·陕西宝鸡·二模 第19（2）（i）题 23 2026·陕西宝鸡·二模 第19（2）（ii）题 $