查漏补缺05 空间向量与立体几何（8大考点+查补知识点+31种题型突破，专项训练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 查漏补缺05 空间向量与立体几何 (8大考点+查补知识点+31种题型突破) 内容导航 ② 漏洞扫描 ()通法锤炼。 罗能力强化 考点查缺 漏洞扫描精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础 题型突破 考点精研通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁 融会贯通 实战淬炼能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合 1/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 枝柱 多面体的结构持征 棱维 棱台 圆柱 题型1：基本立体图开结构特征 因雅 题型 胶型2：立体图形的直观图 考点1：空间几何体的结构特征 定转体的结构特征 题型3：立体图形的展开图及最短路径问题 圆台 球 直现 展开图 颗型1：基本立体图平的表面积 立体几何的表面积 题型2：基本立体图形的体积 考点2：几何体的表面积、侧面积和体积 立体几何的佩侧面积 型 题型3：组合体的表面积 立体几何的体积 题型4：组合体的体积 4个基本事实 "三个推论 题型1：空位置关系的判断 空间中直线与直线的位置关系 题型2：异面直线所成的角 考点3：空间点、直线、平面之间的位置关系 空间中直线与平面.平面与平预的位置关系 题型3：空间几何体的切割（截面）问题 题型4：等角定理的应用 等角定理 异面直线所成角 直线与直线平行的判断与性质 题型1：直线与平面平行的判定与性质 直线、平面平行的判画与性质 直线与平面平行的判定与性质 题型2：平面与平面平行的学判定与性质 平面与平面平行的判定与性质 题型3：直线与平面垂直的判定与性质 考点4：平行、垂直关系的证明 题型 直线与直线重直的判定与性质 颗型4：平面与平面垂青的判定与性质 直线平面直的判断与性质 直线与平面垂直的判定与性插 题型5：平行于垂直关系的综合应用 题型6：探究性问题 平面与平面垂直的判定与性质 平面向量的概念 空间向量与 零向量 立体几何 单位向量 空问向量的相关概念 平行向量 相等向量 题型1：空间向量的基本概念及线性运算 相反向量 题型 题型2：空可向量基本定理及应用 向量的加法 题型3：空问向量的数量积及应用 考点5：空间向量的概念与运算 空间向量的线性运算 向量的减法 向量的数乘 向量的共线定理 空间向量的共线定理 三点共线超的如明 共线定理的推论 线与线的平行 向量法证明平行 线与面的平行 面与面的平行 题型1：向量法证明平行关系 考点6：空间向量的应用—垂直平行的证明 线与线的垂直 顺型)一超型2：向量法证明垂直关系 向量法证明锤 线与面的垂直 面与面的垂直 异面直线所成夹角 题型1：向量法决线线夹角问题 考点7：空间向量的应用一求空间夹角 直线与平面所成夹角 题型】 题型2：向量法解决线面夹角问题 平面与平面所成夹角 题型3：向量法解决面面夹角问题 点到点的距离 题型1：求点到点的距离 点到线的短璃 数型2：求点到直线的距离 线超到线的疤离 题型3：求点到平面的距离 考点8：空间向量的应用—求空间距离 型 点到面的距离 颜型4：求直线到平面的面离 线短到面的钜离 题型5：求平面到平面的距离 题型6：求异面直线间的柜离 面平面的的寓 2/160 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点01空间几何体的结构特征 考之童缺 精准补渴 知识点一：空间几何体的结构特征 1.多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 B 图形 C A B 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2.旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 o 互相平行且相 母线 相交于一点 延长线交于一点 等，垂直于底面 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 知识点二：直观图 1.画法：常用斜二测画法 2.规则： (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x'轴、y'轴的夹角为45°或135°，z轴与x'轴和y '轴所在平面垂直. (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中 保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度在直观图中变为原来的一半. (3)直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图=2)4S原图形，S原图形=22S直观图· 题型突破 3/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型一：基本立体图形结构特征 点方法 空间几何体结构特征的判断技巧： 说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可 1.(25-26高三上贵州遵义，月考)（多选）下列命题中为真命题的是() A.正四棱柱一定是长方体 B.斜四棱柱的侧面一定不是矩形 C.正四棱锥所有侧面都一定是正三角形D.正四棱台所有侧棱所在的直线一定相交于一点 【答案】AD 【分析】根据柱体、锥体、台体的定义和结构特征即可判断正误。 【详解】对于A:正四棱柱一定是长方体，A选项正确： 对于B:：若斜四棱柱底面是平行四边形，侧棱不垂直底面，侧棱与底面两条平行的两边垂直，此时有两个侧 面是矩形，所以斜四棱柱的侧面可以是矩形，B选项错误； 对于C:若正四棱锥的侧棱与底面边长不相等时，所有侧面都是等腰三角形不是正三角形，C选项错误； 对于D:正四棱台所有侧棱所在的直线一定相交于一点，D选项正确： 故选：AD 2.(25-26高三上青海西宁·期中)（多选）下列说法正确的是() A.平面的形状是正方形 B.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆 C.用一个平面去截球得到的图形是个圆D.一个平面的厚度可以是0.2mm 【答案】BC 【分析】利用平面的定义判断A,D,利用圆柱，圆台，圆锥的性质判断B,利用球的性质判断C即可. 【详解】由平面的定义得平面没有边界和厚度，故A,D错误， 易得圆柱，圆台，圆锥的底面都是圆，故B正确， 由球的性质得任意平面截球，截面均是圆，故C正确. 故选：BC 3.(2026湖北宜昌·模拟预测)（多选）在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶分别竖直、 水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水面可能呈现出的几何形状分别为() A.圆面 B.矩形面 C.椭圆面 D.三角形面 【答案】ABC 【分析】把问题转化成水平面截圆柱的截面问题，可得答案。 【详解】当圆柱桶竖直放置时，圆柱轴线垂直， 水平面与圆柱侧面平行于底面，交线为圆，水面呈圆面，A正确； 当圆柱桶水平放置时，圆柱轴线水平，水平面平行于轴线， 4/160 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 与侧面和底面相交形成矩形，水面呈矩形面，B正确： 当圆柱桶倾斜放置时，圆柱轴线倾斜， 水平面与圆柱侧面相交形成椭圆，水面呈椭圆面，C正确； 三角形面不可能出现，因为圆柱与平面的截面不可能为三角形面 故选：ABC 题型二：立体图形的直观图 点方法 在斜二测画法中，平行于x轴的线段平行性不变，长度不变：平行于y轴的线段平行性不变，长度减半 1.(25-26高三上河北邢台·月考)（多选）下列命题不正确的有() A.斜二测画法不会改变边长比例 B.一条直线和一个点确定一个平面 C.过圆锥项点的所有截面中，轴截面的面积最大 D.用任意一个平面截球所得截面一定是一个圆面 【答案】ABC 【分析】根据斜二测画法的规则可判断选项A;根据基本事实的推论即可判断选项B;设圆锥的母线长为1， 轴截面的两条母线形成的角为α(0<<π)，由截面面积公式分析即可判断选项C;由截球所得截面一定是 一个圆面即可判断选项D. 【详解】选项A,在y轴上的线段或与y轴平行的线段长度变为原来的一半，所以斜二测画法可能会改变边 长比例，A选项错误； 选项B,当点在直线外时，直线与该点可确定一个平面， 当点在直线上时，直线与该点不能唯一确定一个平面，故选项B错误； 选项C,设圆锥的母线长为1，设圆锥的顶点为O,轴截面为等腰三角形OAB, 截面面积S=产sm∠4O8, 所以当∠A0B≤时，轴截面面积最大，当∠408>？时，轴截面面积不是最大，故c错误 选项D,用任意一个平面截球所得截面一定是一个圆面，故D正确： 故选：ABC 2.（25-26高三上陕西西安期末)如图，正方形0'A'B'C'的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平 放置的平面图形OABC的直观图，则它的原图形OABC的周长是() 5/160 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 Q KO' A'" A.4 B.6 C.2+2W2 D.8 【答案】D 【分析】将直观图还原为平面图形是平行四边形，然后计算. 【详解】将直观图还原为平面图形，如图所示 0B=20'B′=22,0A=0'A'=1,所以AB=V12+(2√2)2=3， 所以原图形的周长为8cm, 故选：D. 3.(25-26高三上·青海西宁·月考)己知ABC的直观图△A'B'C'是直角三角形，如图所示，其中O'B' =A'B'=B'C'=2,则AC的长度为() O'B A.8 B.45 C.4√2 D.4 【答案】B 【分析】根据平面图形直观图的画法，将直观图还原可得 【详解】因为△A'B'C'是直角三角形，O'B'=A'B'=B'C'=2,所以OA=2√2，画出ABC如图所示， 0C=4,0A=4V2，所以AC=V0A2+0C2=4V5. 故选：B 6/160 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 4.(2025高三上·广东深圳.专题练习)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个 正方形，则原来的图形是() y米22 A √2 D √2 【答案】A 【分析】根据直观图的画法，还原实际图形 【详解】由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为√2，所以原图形为平行四边形，位于y 轴上的对角线长为2√2 故选：A 5.(2026山东.一模)水平放置的ABC,用斜二测画法得到直观图aA'B'C',如图所示，若A'B'=A'C'=2 ,则ABC的面积等于一 7/160 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 O'(A) B' 【答案】4 【分析】由直观图，还原出原图，即可求得答案 【详解】将直观图还原出原图，可得AB=2,AC=4,∠BAC=90°， 所以A8C的面积等于2×2x4=4. O(4) B 故答案为：4 题型三：立体图形的展开图及最短路径问题 点方法 多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先 观察立体图形的每一个面的形状. 在解决空间折线（段）最短问题时一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化 1.(2026河北沧州.一模)我国古代数学名著《九章算术》中，把底面为直角三角形且侧棱垂直宇底面的苣 棱柱称为堑堵.如图，现有堑堵木块ABC-A,B,C,AC=BC=2√2，AA=4,一只蚂蚁从点A出发，经 过棱CC、棱BC上某点，再爬到棱BB,的中点P,则这只蚂蚁爬行的最短路线的长度为() B B C A.√17 B.4 c.217 D.10 【答案】C 【分析】通过几何体的侧面展开，将空间折线转化为平面线段，结合勾股定理求最短路径。 8/160 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】由堑堵的定义可知4C1B,C,所以AB=√4C2+B,C=22'+(22=4,如图， CD B C B 将面ACC,A,与面BCC,B展开在一个平面内，延长B'B至点Q,使得BQ=BP, 连接AQ,分别交CC,BC于点E,D,由对称性可知，DQ=DP, 所以所求最短距离为AE+ED+DP=AE+ED+DQ=AQ=VA,B,+BQ 42'+6=27. 故选：C. 2.(25-26高三上安微月考)在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，点P为线段B,C上的一个动点，则 PA+PC,的最小值为 【答案】√2+√6 【分析】根据展开图结合图形特征计算求解. 【详解】因为APc平面AB,C,则展开△B,C,C使其与△AB,C在同一平面，如图， 则PA+PC的最小值为AC, 因为△AB,C是边长为2√2等边三角形，△B,C,C是腰长为2的等腰三角形， 则P为B,C的中点，AC=√6+√2，所以PA+PC,的最小值为√2+√6. B 故答案为：√2+√6 3.(25-26高三上安徽期中)如图，在正四棱锥S-ABCD中，SA=√13，AB=4,M是棱BC上一动点， N是棱AD上一点，且AN=3DN,则两线段SM,MN的长度的和的最小值为() 9/160 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.3V5 B.5√2 c.5V5 D.5+5 【答案】B 【分析】把△SBC沿BC展开后，S,M,N三点共线时，SM+MN最小，计算即可得. 【详解】如图，把△SBC沿BC展开，使A,B,S,C,D五点共面 0 夕 当S,M,N三点共线时，SM+MN的值最小， 由正四棱锥性质可得SB=SA=√3， 则展开图中s到D1的距离SP=4+3-22=4+3=7, 又AW=3DN,则NP=4-2-1=1, 此时SM+MW=SN=V1+72=5V2· 故选：B 4.(2025高三上广东深圳.专题练习)圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，母线长为16.已知P为该 圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后 A.16 B.16√2 C.8π D.16π 【答案】B 【分析】将圆台沿着母线剪开后展开得到平面图形，根据题意即可求出两个扇形的半径以及圆心角，最后 根据最短路径的意义求出即可. 【详解】将圆台沿着母线剪开后展开得到平面图形如图， 分别设小扇形和大扇形的半径为r,R,圆心角为， 则由题意可知，弧长AC为2π×2=4π，弧长BD为2π×6=12π，R-r=16, 则ar=4,aR=12π，得R=3r,则R=24,r=8,a= 因P为该圆台某条母线的中点，则OP=16+ 2 r=16, 10/160 查漏补缺05 空间向量与立体几何 （8大考点+查补知识点+31种题型突破） 内容导航 漏洞扫描 通法锤炼 能力强化 考点查缺 漏洞扫描 精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础 题型突破 考点精研 通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁 融会贯通 实战淬炼 能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合 考点01 空间几何体的结构特征 知识点一：空间几何体的结构特征 1．多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2．旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 知识点二：直观图 1.画法：常用斜二测画法． 2.规则： （1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． （2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度在直观图中变为原来的一半． （3）直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图． 题型一：基本立体图形结构特征 空间几何体结构特征的判断技巧： 说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可． 1．（25-26高三上·贵州遵义·月考）（多选）下列命题中为真命题的是（   ） A．正四棱柱一定是长方体 B．斜四棱柱的侧面一定不是矩形 C．正四棱锥所有侧面都一定是正三角形 D．正四棱台所有侧棱所在的直线一定相交于一点 2．（25-26高三上·青海西宁·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．平面的形状是正方形 B．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆 C．用一个平面去截球得到的图形是个圆 D．一个平面的厚度可以是 3．（2026·湖北宜昌·模拟预测）（多选）在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水面可能呈现出的几何形状分别为（    ） A．圆面 B．矩形面 C．椭圆面 D．三角形面 题型二：立体图形的直观图 在斜二测画法中，平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半． 1．（25-26高三上·河北邢台·月考）（多选）下列命题不正确的有（　　） A．斜二测画法不会改变边长比例 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．过圆锥顶点的所有截面中，轴截面的面积最大 D．用任意一个平面截球所得截面一定是一个圆面 2．（25-26高三上·陕西西安·期末）如图，正方形的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形的周长是（    ） A．4 B．6 C． D．8 3．（25-26高三上·青海西宁·月考）已知的直观图是直角三角形，如图所示，其中，则的长度为（　　）    A．8 B．4 C．4 D．4 4．（2025高三上·广东深圳·专题练习）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（　　） A． B． C． D． 5．（2026·山东·一模）水平放置的，用斜二测画法得到直观图，如图所示，若，则的面积等于 ． 题型三：立体图形的展开图及最短路径问题 多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状． 在解决空间折线(段)最短问题时一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化． 1．（2026·河北沧州·一模）我国古代数学名著《九章算术》中，把底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．如图，现有堑堵木块，，，一只蚂蚁从点出发，经过棱、棱上某点，再爬到棱的中点，则这只蚂蚁爬行的最短路线的长度为（    ） A． B．4 C． D．10 2．（25-26高三上·安徽·月考）在棱长为2的正方体中，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ． 3．（25-26高三上·安徽·期中）如图，在正四棱锥中，，，是棱上一动点，是棱上一点，且，则两线段，的长度的和的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三上·广东深圳·专题练习）圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，母线长为16．已知为该圆台某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后    A．16 B． C． D． 5．（25-26高三上·上海·期末）在棱长为2的正方体中，分别是上的动点，的最小值为 ． 6．（25-26高三上·河北邢台·月考）如图为无盖正四棱台容器，其中.现有一只蚂蚁位于正四棱台容器外壁顶点A处，蚂蚁要沿最短路线先从外壁翻越上口沿再从内壁爬到棱的中点P处，则它在正四棱台内壁爬行路程为 .（容器壁厚度不计） 考点02 几何体的表面积、侧面积和体积 知识点一：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 知识点二：柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 几何体　　 表面积 体积 柱体 S表＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体 S表＝S侧＋S底 V＝Sh 台体 S表＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S表＝4πR2 V＝πR3 常用结论 与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理)． 题型一：基本立体图形的表面积 （1）多面体的表面积是各个面的面积之和． （2）旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和． 1．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知某圆台的上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为3和5，则该圆台的侧面积为 . 2．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是直角三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·福建泉州·二模）已知正三棱台的高为，则该棱台的侧面积为（   ） A． B． C．18 D． 4．（25-26高三上·河南商丘·期末）某圆锥的侧面积与底面积之比为2，则该圆锥外接球的表面积与圆锥的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 题型二：基本立体图形的体积 规则几何体的体积，直接利用公式即可求解. 1．（2026·山东泰安·一模）已知某圆锥的母线长为4，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·陕西安康·期末）把一个圆心角为，半径为的扇形卷成一个圆锥，此圆锥的体积为 . 3.（2026·重庆·模拟预测）若圆锥的母线长为3，则该圆锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·山东东营·期末）已知圆柱和圆锥的底面半径均为3，侧面积相等，若圆柱的高为，则圆锥内切球的体积为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·浙江湖州·期末）已知圆台有半径为1的内切球，设上、下底面的面积分别是，，则取到最小值时，圆台的体积是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）若一个圆台的高为，母线与底面所成角为，侧面积为，则该圆台的体积为 . 题型三：组合体的表面积 组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理． 1．（2026高三·全国·专题练习）如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30 cm的正方形，那么这个八面体的表面积是（　　） A．225 cm2 B．1000 cm2 C．1800 cm2 D．900＋2000 cm2 2．（25-26高三上·北京海淀·月考）下图是正三棱柱和正四棱台的组合体.已知正四棱台的侧棱、下底的长度分别为4、6，侧面与底面所成二面角的正切值均为，则该组合体的表面积为 . 3．（2026·云南红河·模拟预测）（多选）如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则（    ） A．圆锥的母线长为 B．圆锥与圆柱的体积比为1：3 C．该几何体的表面积为 D．圆锥侧面展开图的圆心角为 4．（25-26高三上·江西·月考）中国古代的建筑形式多样，如赫赫有名的苏州园林（如图1），其几何模型可以简化为如图2所示的几何体，其中是长方体，且，，是棱台，侧面的梯形均为等腰梯形，，棱台的高为2，则该几何体的表面积为（   ）    A． B． C． D． 题型四：组合体的体积 组合体的体积的常用方法 割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体 等体积法 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积 1．（25-26高三上·陕西西安·期末）如图所示的八面体由两个完全相同的正四棱锥拼接而成，若该八面体的六个顶点都在球的球面上，且球的表面积为，则该八面体的体积为（    ） A．12 B．8 C． D． 2．（2026·湖南常德·一模）如图，圆柱的轴截面为正方形，、分别是圆柱上、下底面圆的直径，且四面体的体积的最大值为36，则该圆柱的侧面积为 .    3．（25-26高三上·北京顺义·期末）由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体（如图），  ，分别在上，满足，则几何体的体积为 ； . 4．（2026·云南大理·二模）庑殿顶是中国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊，《九章算术》中将类似庑殿顶的几何体称为“刍甍”（图1）．据记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广（袤：南北方向长度；广：东西方向长度）”，其体积公式为：（上袤下袤）广高．如图2所示，刍甍是底面为矩形的五面体，顶部是一条与底面平行的正脊，四条斜脊长度相等，若下袤为，广为，上袤是下袤的，和与底面所成角均为，则该刍甍的体积为 ． 考点03 空间点、直线、平面之间的位置关系 知识点一：四个基本事实 基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面． 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行． 知识点二：“三个”推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 知识点三：空间中直线与直线的位置关系 知识点四：空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线与平面 相交 a∩α＝A 1个 平行 a∥α 0个 在平面内 a⊂α 无数个 平面与平面 平行 α∥β 0个 相交 α∩β＝l 无数个 知识点五：等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 知识点六：异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)范围：. 常用结论 1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线． 2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面． 题型一：空间位置关系的判断 共面、共线、共点问题的证明 (1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内． (2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上． (3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点. 1．（25-26高三上·河北·月考）（多选）下列命题不正确的是（    ） A．如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面 B．没有公共点的两条直线是异面直线 C．过平面外一点有无数个平面与这个平面垂直 D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 2．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知，是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（   ） ①存在平面，使得，； ②存在平面，使得，； ③存在直线，使得，； ④存在直线，使得，. A．①④ B．②③ C．①② D．③④ 3．（2026高三上·陕西咸阳·专题练习）已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．（25-26高三上·天津·月考）设是两条不同的直线， 是三个不同的平面，下列说法中错误的为（    ） A．若 ，则 B．若，则 C．若，则 D．若 ，则 5．（25-26高三上·河南南阳·期末）已知m、n是两条不同直线，，，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 题型二：异面直线所成的角 求异面直线所成角的方法 方法 解读 平移法 将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线， 形成三角形求解 补形法 在该几何体的某侧补接上同样一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解 1．（2025·甘肃·模拟预测）如图，在底面为等腰直角三角形的直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为 . 2．（2026高三上·全国·专题练习）设已知定直线为 l ，两条动直线 a 、b 与 l 的夹角分别为，则a 、b最小夹角为 ，最大夹角为 . 3．（2025·广西南宁·二模）已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，与分别为该圆柱的上、下底面的一条直径，若从点出发绕圆柱的侧面到点的最小距离为，则直线与直线所成的角为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽芜湖·一模）正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上,则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A．或 B．或 C． D． 5．（25-26高三上·广东汕尾·期末）在棱长为2的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·辽宁辽阳·一模）在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型三：空间几何体的切割（截面）问题 空间几何体的切割(截面)问题 (1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线． (2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线； ②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线． 1．（25-26高三上·河南焦作·月考）已知平面与单位正方体相交得到一个六边形，若该六边形有3个内角是，则它的周长为（    ） A．3 B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）在正方体中，M，N分别为AD，的中点，过M，N，三点的平面截正方体所得的截面形状为（   ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 3．（25-26高三上·河南·月考）在正四棱锥中，，过A，C，D三点的球的体积最小时，球被平面所截截面的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·重庆九龙坡·一模）已知正方体棱长为1，过点的平面截正方体所得截面为菱形时，该截面的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南永州·模拟预测）在长方体中，分别是棱的中点，点满足，若过点的平面截长方体所得的截面为五边形，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：等角定理的应用 等角定理的应用： 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 1．（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是（ ） A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面 B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交 C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等 D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c 2．（25-26高三上·上海杨浦·月考）已知异面直线、所成角为，过空间内一点P作直线，使l与、所成角为，则直线可能有条，则 . 考点04 平行、垂直关系的证明 知识点一：线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 ⇒a∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 ⇒a∥b 知识点二：面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 ⇒β∥α 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 ⇒a∥b 常用结论 1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. 2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b. 4．若α∥β，a⊂α，则a∥β. 知识点三：直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 知识点四：直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°. (2)范围：. 知识点五：二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角． (3)二面角的范围：[0，π]． 知识点六：平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 常用结论 1．三垂线定理 平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． 2．三垂线定理的逆定理 平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 题型一：直线与平面平行的判定与性质 直线与平面平行的判定与性质 (1)判断或证明线面平行的常用方法 ①利用线面平行的定义(无公共点)． ②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)． ③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)． ④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)． (2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线． 1．（25-26高三上·广东深圳·期末）如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是的中点，则下列结论正确的是（    ）    A．直线MN与直线所成角为 B． C．直线平面 D．三棱锥的体积为 2．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）如图，在正方体中，点、、分别为、和边的中点 (1)画出过、、三点的截面（保留作图痕迹）； (2)若正方体的棱长为2，求截面的面积； (3)证明：直线平面 3．（25-26高三上·山西晋中·期末）如图，在四棱锥中，平面，为正三角形，，，为棱的中点. (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 4．（25-26高三上·湖北·期末）如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，高为分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)若为直线上的动点，当二面角的正弦值最大时，求的长. 5．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期末）如图所示，在多面体中，四边形均为正方形，点在线段上，且，过的平面交线段于点. (1)证明：； (2)当时，求平面与平面所成角的余弦值. 6．（25-26高三上·山东临沂·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，等腰直角三角形，，，，，.点在棱上. (1)若平面，求证：为的中点； (2)在线段上是否存在点使直线与平面所成的角为，若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由. 题型二：平面与平面平行的判定与性质 平面与平面平行的判定与性质 (1)证明面面平行的常用方法 ①利用面面平行的判定定理． ②利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)． ③利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)． (2)当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，必须是与第三个平面的交线． 1．（25-26高三上·黑龙江·月考）（多选）已知两条不同的直线，，两个不同的平面，，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 2．（25-26高三上·海南·期末）如图，四棱柱的底面为正方形，且平面平面，，，分别为棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 3．（25-26高三上·天津河西·期末）已知正方体的棱长为4，M，N，E，F分别为，，，的中点．    (1)求证：面面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求四棱锥的体积． 4．（2026·河北·模拟预测）如图，该几何体是由半圆锥 PO 和三棱锥P-ABC组合而成的，H为半圆弧AB 的中点，A，B，C，H 四点共面，△PAB 是边长为10的正三角形，BC=8，AC=6，在半圆弧AB上取一点F，使得AF∥BC，连接PF，D，E 分别为线段PA，PF 的中点． (1)证明：平面ODE∥平面 PBC． (2)求异面直线 BH 与OE 所成角的余弦值． 5．（2026·河南开封·一模）如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面直径，是母线的中点，点，在底面圆周上，且，点在线段上，且直线平面．    (1)证明：； (2)若是正三角形，求直线与平面所成角的正弦值． 6．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在三棱柱 中， ， 分别为 ， 的中点. (1)若点 在线段 上，且 ，求证：平面 ； (2)若 ，，，求平面 与平面 的夹角. 题型三：直线与平面垂直的判定与性质 证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质． (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质． 1．（25-26高三上·河南驻马店·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，平面平面，． (1)证明：平面； (2)当三棱锥的外接球的表面积为时，求平面与平面的夹角的余弦值． 2．（25-26高三上·四川成都·期末）如图，矩形中，为的中点，将沿翻折至，平面平面. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 3．（25-26高三上·陕西西安·期末）如图，在四棱锥中，，为的中点，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 4．（25-26高三上·江西南昌·期末）如图，在五面体中，是等边三角形，，，平面平面，，是棱的中点． (1)证明：平面． (2)证明：平面． (3)求平面与平面夹角的余弦值． 5．（25-26高三上·内蒙古锡林郭勒·期末）如图，在三棱柱中，平面. (1)求证：； (2)若点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值. 6．（25-26高三上·广东梅州·期末）如图，在三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，为的中点，，，且平面. (1)求证：底面； (2)求平面与底面所成夹角的余弦值. 题型四：平面与平面垂直的判定与性质 (1)判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定义．②面面垂直的判定定理． (2)面面垂直性质的应用 ①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面． 1．（25-26高三上·河北邢台·月考）在Rt中，，，，为空间中的一个点，，，则三棱锥体积的最大值为 ． 2．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）如图，在三棱锥中，为边长为2的正三角形，，. (1)证明：平面平面. (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 3．（25-26高三上·山东日照·期末）如图，在直三棱柱中，，，，．若分别为棱上的动点，且，点在平面上的射影为点． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 4．（25-26高三上·云南昭通·期末）如图，四边形是等腰梯形，，，，是的中点，是与的交点，将沿折到的位置. (1)证明：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的余弦值. 5．（2026·河南南阳·模拟预测）如图，在四棱柱中，底面ABCD是正方形，AC，BD交于点O，P为的中点，.    (1)证明：平面平面； (2)若为等边三角形，求平面PCD与平面夹角的余弦值. 6．（25-26高三上·广东深圳·月考）如图，在三棱锥中，平面PAB，平面平面ABC，点D，E分别为棱AB，AC的中点，. (1)证明：平面ABC； (2)点关于平面PDE的对称点为，求直线MB与平面PCD所成角的正弦值. 题型五：平行于垂直关系的综合应用 1.证明平行关系的常用方法 熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法． 2.垂直关系的综合应用 (1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化． (2)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证． 1．（2026·陕西西安·一模）设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（     ） A．若，∥，∥，则 B．若⊂，⊂，∥，则∥ C．若，∥，∥，则∥ D．若，，∥，则 2．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知为两个平面，是两条直线，，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2026·新疆·一模）（多选）设为两个平面，为两条直线，且，则下列说法正确的是（   ） A．若或，则 B．若，则或 C．若或，则 D．若，则或 4．（2026·四川绵阳·二模）（多选）已知是两条不同直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的有（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 5．（2026·河北沧州·一模）（多选）在直四棱柱中，若，分别为的中点，则（   ） A． B．平面 C．平面平面 D．    题型六：探究性问题 解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法． 1．（25-26高三上·安徽宣城·期末）如图，在三棱锥中，平面为的中点，为上靠近点的三等分点，. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由. 2．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，，，为棱的中点，是与的交点. (1)求证：平面平面； (2)若， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 3．（2026·河北邢台·一模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，. (1)证明：平面平面. (2)求平面与平面 所成锐二面角的余弦值. (3)在棱上(不含端点)是否存在点，使得平面?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 4．（25-26高三上·湖北黄石·期末）已知三棱锥中，平面分别是的中点. (1)判断命题“若平面平面，则平面”的真假，并说明理由； (2)若平面平面，求平面与平面所成的角的正弦值. 5．（25-26高三上·江西宜春·期末）如图，四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，为的中点，平面平面.    (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)在平面内是否存在一点，使得直线平面，若不存在，请说明理由；若存在，说明点的轨迹，并求出轨迹和点所确定的平面与平面夹角的余弦值. 考点05 空间向量的概念与运算 知识点一：空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 长度相等而方向相反的向量 共线向量(或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 知识点二：空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底． 知识点三：空间向量的数量积及运算律 (1)数量积 非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夹角余弦值 cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 常用结论 1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点． 2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点． 题型一：空间向量的基本概念及线性运算 用已知向量表示某一向量的三个关键点 (1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义． (3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立． 1．（25-26高三上·天津·月考）如图，在长方体中，，，，与相交于点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则向量的坐标为 .    2．（2026·四川绵阳·二模）已知，，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知，空间向量，，若，则 . 4．（25-26高三上·安徽·期末）如图，在四面体中，点为的重心，设，，，则（   ）    A． B． C． D．   5．（25-26高三上·贵州六盘水·月考）在三棱锥中，，点在线段上，且，点为中点，则（   ） A． B． C． D． 题型二：空间向量基本定理及应用 应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较 三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面 ＝λ ＝x＋y 对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y 对空间任一点O，＝x＋(1－x) 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y) 1．（25-26高三上·吉林·期末）已知空间向量与共线，则（    ） A．0 B．6 C．-4 D．4 2．（2026·湖北宜昌·模拟预测）如图，在三棱锥中，为的中点，为的中点，过点作平面，与射线、、的交点分别为，，．若，，，则的最小值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．9 3．（25-26高三上·山东济宁·期末）在正方体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·江苏盐城·月考）向量、不平行，则存在两个非零常数、，使是、、共面的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 题型三：空间向量的数量积及应用 空间向量数量积及其应用 空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算． 1．（25-26高三上·天津·月考）已知，，则在上的投影向量的坐标关于xOz平面对称的向量坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁大连·模拟预测）在棱长为3的正四面体中，点是三角形的重心，若空间内一点满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西咸阳·一模）（多选）已知空间向量，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 4．（25-26高三上·上海·月考）空间向量在上的投影向量为 ． 考点06 空间向量的应用——垂直平行的证明 知识点一：空间位置关系的向量表示 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量． (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量． (3)空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R) l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄α l∥α n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔n＝λm(λ∈R) 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm(λ∈R) α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 题型一：向量法证明平行关系 (1)利用向量法证明平行关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)． (2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理． 1．（25-26高三上·湖北黄冈·期末）（多选）直三棱柱中，，点分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C．平面 D． 2．（25-26高三上·北京·月考）正四棱柱中，底面的边长为2，，P为上一点． (1)若P为中点，求证：平面． (2)若，求证：． 3．（25-26高三上·四川巴中·月考）已知在长方体中，，点为的中点，点为的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 4．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，，AD＝2，，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且.证明：平面.    题型二：向量法证明垂直关系 (1)利用向量法证明垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)． (2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理． 1．（2026·江西九江·一模）（多选）如图，正方体中，点分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 2．（2026·重庆·一模）已知正四棱柱中，，则（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面平面 3．（2026·山东·一模）如图所示，已知三棱锥的各棱长均相等，分别是所在棱，，的中点，有下列说法： ①；②平面； ③平面；④平面平面． 其中，说法正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026·山东威海·一模）（多选）在正方体中，P，Q，R分别是的中点，则（   ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面 考点07 空间向量的应用——求空间夹角 知识点一：异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝. 知识点二：直线与平面所成的角 直线与平面所成的角 如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝. 知识点三：平面与平面的夹角 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝. 题型一：向量法解决线线夹角问题 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)用坐标表示两异面直线的方向向量． (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值． (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值． 1．（2026·四川巴中·一模）已知正四面体，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·重庆·月考）如图，已知正四棱锥的所有棱长均相等，为棱中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 3．（2025·江苏·一模）（多选）已知正方体的棱长为1，点满足，其中，则（    ） A．当时，平面 B．当时，异面直线与所成的角为 C．当时， D．当时，线段的长度最小值为 4．（2026·吉林·模拟预测）（多选）在正四棱锥中，则（    ） A． B．平面 C．平面平面 D．直线与所成的角不可能为 5．（2026·山东·一模）已知正方体，E，F分别是，的中点，如图所示．    (1)求与所成角的大小； (2)求证：平面． 题型二：向量法解决线面夹角问题 利用空间向量求线面角的解题步骤 1．（2026·重庆·模拟预测）已知正方体，过点且与垂直的平面为，则与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D．     2．（25-26高三上·江苏苏州·期末）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 3．（2026·湖南永州·一模）如图，四边形为直角梯形，且．点满足平面．    (1)若为上靠近点的三等分点，请判断直线与平面的位置关系并说明理由； (2)若，点满足，求直线与平面所成角的余弦值． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）在矩形中，，，为的中点，将沿翻折至，使得平面平面，得到如图所示的四棱锥． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 5．（2026·江苏镇江·模拟预测）在三棱锥中，底面，，，.点满足.    (1)求点到平面的距离； (2)点在线段上，若与平面所成角为，求的最大值. 题型三：向量法解决面面夹角问题 利用空间向量计算平面与平面夹角大小的常用方法 (1)找法向量：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到平面与平面夹角的大小． (2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，然后通过这两个向量的夹角可得到平面与平面夹角的大小． 1．（25-26高三上·北京昌平·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，E、F分别是线段BC、AP的中点，，，. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求平面与平面所成角的余弦值. 2．（25-26高三上·广西河池·期末）如图，等腰梯形中，，，，，，现将沿折起得四棱锥，在四棱锥中，点，分别在，上，且. (1)求证：平面； (2)若二面角为，求直线与平面所成角的余弦值. 3．（25-26高三上·广东梅州·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，，，点E是棱的中点．    (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 4．（2026·江苏·一模）如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，为的中点，，，. (1)证明：； (2)若点在棱上，二面角的正切值为，求点到平面的距离. 5．（2026·吉林长春·一模）如图，底面为锐角三角形的直棱柱中，，，点在线段上，且满足，点为的中点. (1)当时，证明：平面； (2)若平面与平面所成角的余弦值为. （ⅰ）求异面直线与所成角的大小； （ⅱ）已知直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 考点08 空间向量的应用——求空间距离 知识点一：点到点的距离 已知，，则. 知识点二：点到直线的距离 如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝. 知识点三：两条平行线间的距离 两平行直线之间的距离可以看成直线上一点到直线的距离，则，其中，，是直线的方向向量. 知识点三：点到平面的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此PQ＝＝＝. 知识点四：直线到平面的距离 直线到平面的距离可转化为直线上一点到平面的距离，即直线到平面的距离为. 知识点五：两平行平面的距离 与平面平行的平面到平面的距离等价于平面上一点到平面的距离，即. 知识点六：异面直线间的距离 设，，直线的公共法向量为（公共法向量的求法与平面的法向量求法相同），则异面直线之间的距离为向量在方向上投影向量的模长，即，其中，，，. 题型一：求点到点的距离 已知，，则. 1．（2025·云南·模拟预测）在空间直角坐标系中，，则的面积为（    ） A． B． C． D．3 2．（25-26高三上·云南曲靖·月考）如图，在长方体中，，，P为侧面内一点.若点P到平面的距离与到直线的距离相等，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D．2 3．（25-26高三上·山西·月考）已知四面体的顶点坐标为，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型二：求点到直线的距离 点到直线的距离： ①设过点P的直线l的单位方向向量为n，A为直线l外一点，点A到直线l的距离d＝； ②若能求出点在直线上的射影坐标，可以直接利用两点间距离公式求距离． 1．（2026·江西萍乡·一模）在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·山东临沂·月考）已知，，，则M到直线的距离为 . 3.（2026·山东枣庄·模拟预测）在空间直角坐标系中，若直线l经过点，且以为方向向量，是直线l上的任意一点，则；已知空间中一条直线l方程为，则点到直线l的距离为 ． 4．（2026·湖南长沙·三模）如图，在三棱锥中，平面平面是边长为2的等边三角形，． (1)证明：； (2)若线段上的点满足直线与直线所成角的余弦值为，求点到直线的距离． 题型三：求点到平面的距离 求点面距一般有以下三种方法． ①作点到面的垂线，求点到垂足的距离； ②等体积法； ③向量法. 1．（2026·广东湛江·一模）如图，正方体的棱长为4，其中，点F为的中点，则点C到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·宁夏·月考）（多选）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（ ） A． B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D．点到平面的距离为 3．（25-26高三上·湖南娄底·期末）如图所示，点是半圆柱底面的圆心，和是圆柱的母线，点D为母线的中点，若，和的弧长为.则点E到平面的距离为 . 4．（25-26高三上·北京昌平·期末）在如图所示的多面体中，平面平面，，，，直线AE，BF与平面ABCD所成的角均为，，，，，则点F到平面ABCD的距离为 ；该多面体的体积为 .      题型四：求直线到平面的距离 要求直线到平面的距离，则直线与平面一定是平行关系，所以可以转换为点到平面的距离问题，即直线上取一点，求其到平面的距离，即为直线到平面的距离. 1．（25-26高三上·上海·月考）如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面的距离． 2．（2026高三·全国·专题练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．则(1)点到直线的距离为 ； (2)直线到直线的距离为 ； (3)点到平面的距离为 ； (4)直线到平面的距离为 ． 3．（25-26高三上·广东惠州·期末）如图，在四棱柱中，平面，，，，，，分别为，的中点.    (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 4．（25-26高三上·福建厦门·期中）如图，且，，且，且，平面，，点为的中点，点在线段上且满足.    (1)求证：平面； (2)①若，求直线到平面的距离. ②若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 5．（25-26高三上·天津·月考）如图，且，，且，且，平面，.    (1)若为的中点，为的中点，求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求直线到平面的距离. 题型五：求平面到平面的距离 要求平面到平面的距离，则平面与平面一定是平行关系，所以可以转换为点到平面的距离问题，即平面上取一点，求其到另一平面的距离，即为平面到平面的距离. 1．（2026高三·全国·专题练习）已知平面均以为法向量，平面经过坐标原点，平面经过点，则平面α与β的距离为（　　） A．2 B．2 C．3 D．2 2.（2026高三·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面与平面的距离为 ．    3．（2025高三·全国·专题练习）直四棱柱中，底面ABCD为正方形，边长为2，侧棱，M、N分别为、的中点，E、F分别是，的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离. 4．（25-26高三上·河南新乡·月考）（多选）已知正方体的棱长为2，点，分别是的中点，点在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．与所成角的正弦值是 B．点到平面的距离是 C．平面与平面间的距离为 D．点到直线的距离为 题型六：求异面直线间的距离 异面直线间的距离 直线到平面的距离 点到平面的距离. 1．（2025高三·全国·专题练习）如图，在棱长为1正方体中，为的中点，为与的交点，为与的交点，则下列说法不正确的是（ ） A．与垂直 B．是异面直线与的公垂线段， C．异面直线与所成的角为 D．异面直线与间的距离为 2．（25-26高三上·河南新乡·月考）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）（多选）在棱长为1的正方体中，O为上底面的中心，则（   ） A．平面 B． C．直线与的距离为 D．直线与平面所成角的正弦值为 4．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面ABC，，M，N分别为PC，AB的中点． (1)求异面直线PC与AB间的距离； (2)求二面角的余弦值． 5．（25-26高三上·辽宁沈阳·月考）如图，在三棱锥中，分别为的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求异面直线的距离. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $