专题突破练11 立体几何中的证明问题（Word练习）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（基础版）

专题突破练11　立体几何中的证明问题 一、选择题:本题共1小题,每小题5分,共5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2025湖南岳阳高三二模)已知直线m,n,l,平面α,β,若平面α⊥平面β,且α∩β=l,则下列说法正确的是(　　) A.若m∥α,则m⊥β B.若m⊂α,n⊂β,则m⊥n C.若m⊂α,则m⊥β D.若m⊂α,则直线m必垂直于平面β内的无数条直线 二、选择题:本题共1小题,每小题6分,共6分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 2.(2025浙江温州高三二模)在四棱锥P-ABCD中,E,F分别是AP,BC上的点,,则下列条件可以确定EF∥平面PCD的是(　　) A.AD∥BC B.AB∥CD C.BC∥平面PAD D.CD∥平面PAB 三、解答题:本题共2小题,共27分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 3.(15分)(2025四川成都模拟)如图,棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1上靠近C1的三等分点. (1)求证:直线A1C与平面BDE不垂直; (2)在线段BE上是否存在一点F使得平面B1D1F⊥平面BDE?若存在,请计算的值;若不存在,请说明理由. 4.(12分)(2023全国乙,文19)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=2, PB=PC=,BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,点F在AC上,BF⊥AO. (1)求证:EF∥平面ADO; (2)若∠POF=120°,求三棱锥P-ABC的体积. 核心素养创新练 5.(15分)(2025江苏淮安高三模拟)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=3,点Q为BC的中点,点P为CC1上一点. (1)若平面BA1C1∩平面QAC1=l,求证:A1B∥l; (2)当平面APQ⊥平面APB1时,求CP的长度. 答案： 1.D　解析 若m∥α,则m与β也可能平行或者m⊂β,故A错误;若m⊂α,n⊂β,当m,n至少有一条直线与l垂直时才有m⊥n,否则可能存在平行或异面及相交但不垂直的情况,故B错误;若m⊂α,且m⊥l,才会有m⊥β,否则还有可能存在平行或相交但不垂直的情况,故C错误;对于D,当直线a⊂β,且a⊥l,此时a⊥m,故满足条件的直线a有无数条,故D正确.故选D. 2.BD　解析 如图,过点E作EG∥PD交AD于点G,连接GF,易知EG∥平面PCD. 由于△AEG∽△APD,所以若AB∥CD,则GF∥CD.又GF⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,所以GF∥平面PCD.由EG∩GF=G,EG,GF⊂平面EGF,得平面EGF∥平面PCD.又EF⊂平面EGF,所以EF∥平面PCD,故B正确.若CD∥平面PAB,因为平面ABCD∩平面PAB=AB,所以CD∥AB,由B可知D正确.假设EF∥平面PCD,设平面EFP与直线CD交于点H,则EF∥PH,若BC∥平面PAD,平面ABCD∩平面PAD=AD,所以BC∥AD.反之若BC∥AD,当且仅当BC∥平面PAD,即选项A,C同时正确或错误;若BC∥AD,可能AB∥CD,也可能AB与CD相交.若AB与CD相交,由知延长FG与AB,CD交于同一点O,由几何关系知EF与PH不平行,故A,C错误.故选BD. 3.(1)证明 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则B(3,3,0),D(0,0,0),E(0,3,2),B1(3,3,3),D1(0,0,3),A1(3,0,3),C(0,3,0)=(0,3,2),=(-3,3,-3),=(3,0,-2).因为=(-3,3,-3)·(0,3,2)=3≠0,=(-3,3,-3)·(3,0,-2)=-3≠0, 所以直线A1C与平面BDE不垂直. (2)解 存在点F,且由(1)知,=(-3,0,2),=(3,3,0),=(0,3,2),设=,λ∈[0,1],则F(3-3λ,3,2λ).设平面BDE的法向量为n1=(x1,y1,z1), 则令y1=-2,则x1=2,z1=3,得n1=(2,-2,3).因为=(-3,-3,0),=(-3λ,0,2λ-3),设平面B1D1F的法向量为n2=(x2,y2,z2), 则 令z2=3λ,则x2=2λ-3,y2=-2λ+3,得n2=(2λ-3,-2λ+3,3λ).若平面B1D1F⊥平面BDE,则n1·n2=0,即4λ-6+4λ-6+9λ=0,解得λ=故在线段BE上存在一点F使得平面B1D1F与平面BDE垂直,且 4.(1)证明 设=(0<λ<1),则=λ(), 所以=(1-λ)+因为O为BC的中点,则,所以(关键:选好合适的基底,利用基底表示相关向量,这为计算的基础) 因为AB⊥BC,则=0,因为AB=2,BC=2,BF⊥AO,则=[(1-λ)+]·()=-(1-λ)=4λ-4(1-λ)=8λ-4=0,解得λ=, 故F为AC的中点.又因为E为PA的中点,则EF∥PC,又D,O分别为PB,BC的中点,所以DO∥PC,则EF∥DO,因为EF⊄平面ADO,DO⊂平面ADO,所以EF∥平面ADO. (提示:点F的位置不好确定时,可通过向量法将线线关系转化为向量关系来处理) (2)解 连接OF,PF.∵O,F分别为BC,AC中点,且AB⊥BC, ∴OF⊥BC.又PB=PC,O为BC中点,∴BC⊥OP.∵OF∩OP=O,OF,OP⊂平面POF, ∴BC⊥平面POF. 又BC⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面POF,且交线为OF.过点P作PM⊥FO交FO延长线于点M,则PM⊥平面ABC,即PM为三棱锥P-ABC的高. ∵∠POF=120°,∴∠POM=60°.在Rt△PBO中,PO==2, ∴PM=POsin∠POM=2, ∴V三棱锥P-ABC=S△ABC·PM=2×2 5.(1)证明 连接A1C交AC1于点O,连接OQ.因为O,Q分别为A1C,BC中点,则A1B∥OQ.又A1B⊄平面QAC1,OQ⊂平面QAC1,可得A1B∥平面QAC1.因为A1B⊂平面BA1C1,平面BA1C1∩平面QAC1=l,所以A1B∥l. (2)解 取B1C1中点Q1,连接QQ1,易知QC,QA,QQ1两两垂直.以Q为原点,QC,QA,QQ1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则Q(0,0,0),A(0,,0),B1(-1,0,3),设CP=h,则P(1,0,h),可得=(0,,0),=(1,0,h),=(2,0,h-3),=(1,,-3).设平面APQ的法向量为m=(x1,y1,z1),则令z1=-1,则x1=h,y1=0,可得m=(h,0,-1).设平面APB1的法向量为n=(x2,y2,z2),则令x2=3-h,则y2=,z2=2,可得n=(3-h,,2).因为平面APQ⊥平面APB1,则m⊥n,可得m·n=h(3-h)-2=0,解得h=1或2, 所以CP的长度为1或2. 4 学科网（北京）股份有限公司 $