考点8.5 空间二面角的求法专项训练-2026届高三数学二轮复习

2026年高考数学二模新题分类速递 考点8.5 空间二面角的求法 考点8.5 空间二面角的求法 1 一、几何法（定义/三垂线/等体积）求二面角 1 （一）三垂线法直接找平面角 1 （二）折叠问题中的找角与计算 3 （三）面积射影法求二面角 4 二、向量法与坐标法求二面角 5 （一）直接建系求解 5 （二）已知二面角求参数（逆向求解） 8 三、含动点的二面角最值/范围问题 9 （一）动点导致的二面角最值 9 （二）二面角范围的求解 10 四、与其他立体几何知识综合的二面角求解 11 （一）与线面角、点面距等综合 11 （二）与体积、外接球等综合 12 参考答案 13 第一部分：答案速查表 13 第二部分：逐题答案与详解 13 第三部分：试题来源表 25 一、几何法（定义/三垂线/等体积）求二面角 （一）三垂线法直接找平面角 1.（2026·安徽蚌埠·二模） 已知正方体 中， 是 的中点，则平面 与平面 的夹角余弦值是 A. B. C. D. 2.（2026·福建宁德·二模） 已知 平面 ，垂足为 ，直线 ， 是 内的动点，且 始终在 的两侧， 是线段 上靠近 的三等分点， 证明：二面角 为锐角. 3.（2026·东莞·二模） 如图，四棱锥 中， 底面 ，，， 求平面 与平面 所成角的余弦值. 4.（2026·江西·联考） 在三棱锥 中， 平面 ， 且 动点 在侧面 内（包括边界）运动，且满足点 到平面 的距离等于点 到点 的距离.设动点 的轨迹为曲线 ，则以下选项中正确的是 A. 三棱锥 的外接球的表面积为 B. 二面角 的正切值为 C. 三棱锥 的体积的最小值是 D. 过点 平行于平面 的平面截三棱锥 所得截面面积的最大值为 5.（2026·齐齐哈尔·二模） 如图所示，已知等腰梯形 中，， 是 的中点，将 沿 对折至 ，使得与边长为 的菱形 成 的二面角，折叠后发现 求二面角 的正弦值. 6.（2026·九江·二模） 如图，在圆台 中，上、下底面半径分别为 和 ，高为 ，轴截面为四边形 ， 在下底 上，， 为 中点. 求平面 与平面 夹角的余弦值. （二）折叠问题中的找角与计算 7.（2026·南京鼓楼区·二模） 类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：由不共面的三条射线 构成的图形称为三面角 ，记 ，，，二面角 的大小为 ，则 在矩形 中，，， 为线段 上动点， 绕 翻折至 ，记二面角 的平面角为 ，则下列说法正确的是 A. 当 时， B. 当 时，且 为 中点，则 C. 不存在 与 ，使得 D. 当 时，则 最小值为 8.（2026·安徽合肥·二模） 如图，在面积为 的梯形 中，，， 为 的中点.将 沿 翻折至 当 时，求平面 与平面 夹角的余弦值. （三）面积射影法求二面角 9.（2026·新八校·二模） 如图，菱形 的边长为 ，现将 沿 折起，得到四面体 ，设二面角 等于 （）.若三棱锥 的体积为 当 时，求二面角 的余弦值. 10.（2026·温州·二模） 如图所示，三棱锥 中，，，且 ，， 分别为 和 的中点. 当 时，求二面角 的正弦值. 二、向量法与坐标法求二面角 （一）直接建系求解 11.（2026·安徽华师联盟·联考） 如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 是正三角形，，， 为 的中点. 求二面角 的正弦值. 12.（2026·安徽池州·二模） 如图1所示，在平面四边形 中，已知 ，，将 沿直线 翻折至 （如图2），使得 点 在线段 上，且二面角 的大小为 若 ，求 的值. 13.（2026·安徽铜陵·二模） 如图，在四棱锥 中，底面 为菱形，且 ，若 ，，点 在线段 上，且 平面 求平面 与平面 夹角的余弦值. 14.（2026·长春·二模） 如图，三棱柱 的所有棱长均为 ，且 若三棱柱 的体积为 求平面 与平面 所成角的余弦值. 15.（2026·包头·二模） 如图，在平行六面体 中，底面 是边长为 的正方形，侧棱 ，且 求平面 与平面 夹角的余弦值. 16.（2026·山东潍坊·二模） 如图1，在平面四边形 中，，，将 沿 翻折，得到如图2所示的三棱锥 ，且 在平面 上的射影恰为 的外接圆的圆心.设点 满足 （）. 若平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求 的值. 17.（2026·四川资阳·二模） 如图，在四棱锥 中， 平面 ，，，若 ， 为 的中点， 为棱 上靠近点 的三等分点. 求平面 与平面 夹角的余弦值. 18.（2026·台州·二模） 如图，在四棱台 中，上、下底面均为正方形， 底面 ，，，， 为 的中点. 求平面 与平面 夹角的正弦值. （二）已知二面角求参数（逆向求解） 19.（2026·东莞·二模） 如图，四棱锥 中， 底面 ，，，已知 分别为线段 上的动点，是否存在这样的点 ，使得 四点共面，且该平面与平面 垂直？若存在，请确定点 的位置；若不存在，请说明理由. 20.（2026·湘豫联盟·联考） 如图，在圆锥 中， 为底面圆周上的四个点，且四边形 为正方形， 为母线 的中点，在线段 上取一点 ，过 和 作一平面与线段 交于点 设 ， 若平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求 的长. 21.（2026·新疆·二模） 如图， 是边长为 的正方形，以 为圆心的半圆面 垂直于平面 ， 是半圆弧 上的动点. 若平面 和平面 所成锐二面角的余弦值为 ，求四棱锥 的体积. 三、含动点的二面角最值/范围问题 （一）动点导致的二面角最值 22.（2026·河南许昌·二模） 如图，在三棱锥 中，等边三角形 的边长为 ，，，点 为 的中点，设二面角 ， 的平面角分别为 ，当 时. 求平面 与平面 夹角的余弦值. 23.（2026·长郡二十校联盟·联考） 如图， 和 都垂直于平面 ，且 ，， 是 的中点.若四棱锥 的体积为 求平面 与平面 夹角的余弦值的最大值. 24.（2026·浙江杭州·二模） 如图，正四棱锥 的所有棱长均为 ，点 是棱 的中点.设点 在棱 上. 求平面 与平面 所成角的余弦值的最大值. （二）二面角范围的求解 25.（2026·茂名·二模） 如图，在矩形 中，，， 为 的中点，把 沿 翻折至 ， 为线段 上的动点.在翻折过程中，若 在平面 内的投影 落在 边上，且三棱锥 的各个顶点均在球 的球面上. 求平面 与平面 的夹角的最小值. 26.（2026·深圳·二模） 如图，已知圆锥 的底面直径 ，其中 为底面圆心，母线 ，动点 从 点出发，在圆锥的侧面上绕轴 一周后回到 点，其轨迹为 若点 在圆 上，且 （ 是 所对的圆心角，），可知 是平面曲线，记 所在平面为 求平面 与 夹角余弦值的取值范围. 四、与其他立体几何知识综合的二面角求解 （一）与线面角、点面距等综合 27.（2026·宜春·二模） 如图，在四棱锥 中，，，，，，若 为线段 上一点（异于点 ，），平面 与平面 所成角的余弦值为 求直线 与平面 所成角的正弦值. 28.（2026·山西部分学校·联考） 如图，四棱锥 的底面为矩形，，，平面 平面 若 ， 求平面 与平面 的夹角的余弦值. （二）与体积、外接球等综合 29.（2026·江西“三新”·联考） 如图，在四棱锥 中，，，，，已知 ，平面 平面 求平面 与平面 夹角的余弦值. 30.（2026·四川眉山·二模） 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， 是以 为斜边的等腰直角三角形，，，，（）. 若三棱锥 的体积与四棱锥 的体积之比为 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值. 参考答案 第一部分：答案速查表 序号 1 2 3 4 5 6 答案 D 见详解 BCD 序号 7 8 9 10 11 12 答案 ABD 序号 13 14 15 16 17 18 答案 序号 19 20 21 22 23 24 答案 见详解 序号 25 26 27 28 29 30 答案 第二部分：逐题答案与详解 1. 答案：D 详解：以 为原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 则 ，，，平面 的法向量可取为 ，设平面 的法向量为 ，由 ，取 ，则 ，，得 所以平面 与平面 的夹角余弦值为 故选 D. 2. 答案：见详解 详解：因为 ， 在 上，且 ，由对称性知 在同一个轨迹上，且轨迹关于 对称.以 为原点， 分别为 轴和 轴的正方向建立空间直角坐标系.设 ，，因为 ，所以 ，因为 是线段 上靠近 的三等分点，所以 ，即 由 及 ，，得 ，化简得 ，且 ，即 ，又点 不在直线 上，故 同理 ，且 在坐标平面 中， 是双曲线 右支上的动点，且 在 轴的两侧.双曲线 的两条渐近线分别为 和 ，它们的夹角为 ，所以 因为平面 平面 ，，，所以 是二面角 的平面角，所以二面角 为锐角. 3. 答案： 详解：因为 ，，，所以 ，即 因为 平面 ， 平面 ，所以 又因为 ， 平面 ，所以 平面 因为 平面 ，所以 所以 为平面 与平面 所成的角.因为 ，所以 ，即平面 与平面 所成角的余弦值为 4. 答案：BCD 详解：三棱锥 的外接球半径为体对角线的一半，，表面积 ，故 A 错误.平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，设夹角为 ，则 ，故 ，因此 B 正确.以 为原点建立空间直角坐标系：，，，平面 的方程为 设 ，由条件 ，化简得 联立 得 ，，由轨迹方程可求得 三棱锥 的体积 ，所以 ，因此 C 正确.过 且平行于平面 的平面方程为 ，截面为直角三角形，面积 ，又 ，所以 ，故 D 正确.故选 BCD. 5. 答案： 详解：由题设可知 取 中点 ，连接 ，，故 又 ，， 平面 ，所以 平面 又 平面 ，故 故 为平面 与平面 所成二面角的平面角，所以 过 作 交 于 ，故 平面 ，，所以 ，因此点 到平面 的距离为 以 为坐标原点，直线 ， 为 轴， 轴，过 且垂直于平面 的直线为 轴，建立空间直角坐标系.可得 ，，，，，设平面 的法向量为 ，由 得 ，取 ，得 ，，所以 同理，设平面 的法向量为 ，由 可得 ，所以二面角 的正弦值为 6. 答案： 详解：因为 ，，， 平面 ，所以 平面 又 平面 ，所以 ，即 因为 ， 为 中点，所以 又 ， 平面 ，所以 平面 以 为原点，，， 所在直线分别为 ，， 轴，建立空间直角坐标系，，，，由（1）知平面 的法向量为 ，，设平面 的法向量为 ，由 得 ，令 ，得 ，，所以 ，即平面 与平面 夹角的余弦值为 7. 答案：ABD 详解：对于 A，当 时，由已知公式得 ，故 A 正确.对于 B，当 为 中点时，取 的中点 ，连接 由勾股定理可得 ，，所以 ，于是 因为 ，所以 平面 ，，因为 ，所以 ，故 B 正确.对于 C，假设存在 与 ，使得 因为在矩形 中，，所以 由已知公式 ，得 ，解得 显然 ，所以假设成立，因此 C 错误.对于 D，在矩形 中，设 ，，所以 于是 ，，，因为 ，由三面角余弦定理得 由余弦定理得 因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，所以 ，故 D 正确.故选 ABD. 8. 答案： 详解：连 ，则四边形 为菱形，设 ，则 当 时， 是以边长为 的等边三角形.又因为梯形 的面积为 ，所以 的面积为 ，所以 ，所以 以 为坐标原点，以 ， 分别为 ， 轴建立空间直角坐标系.则 ，，，所以 ，，设 为平面 的法向量，则 ，即 ，令 ，则 ，所以 同理可求平面 的一个法向量为 所以 因此，平面 与平面 夹角的余弦值为 9. 答案： 详解：由（1）可知 ，且 菱形 的边长为 ，所以 ，由 得 ，解得 ，所以 或 又 ，当 时，，舍去；当 时，，符合.故 以 为原点建系，，，，求平面 和平面 的法向量，计算得二面角 的余弦值为 10. 答案： 详解：以点 为原点， 为 轴， 为 轴，过点 且垂直于平面 的直线为 轴，建立空间直角坐标系.则 ，，设 ，由 得 ，即 由 ，，，得 ，代入 得 ，即 平面 中，，，设法向量为 ，由 得 ，令 ，则 平面 中，，，设法向量为 ，由 得 ，令 ，则 所以二面角 的正弦值为 11. 答案： 详解：记 ，连接 因为四边形 为菱形，所以 ，因为 是正三角形，所以 ，所以 因为 平面 ，，故 平面 又 平面 ，因此平面 平面 由已知得 ，，，且 ，解得 因此 ，即 且 ，，所以 平面 以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向建立空间直角坐标系.则 ，，，，所以 ，，设平面 的法向量 ，则 ，即 ，可取 设平面 的法向量 ，则 ，即 ，可取 所以 因此二面角 的正弦值为 12. 答案： 详解：取 的中点 ，由题意知 ，，且 ，又 ，故 ，所以 又 ，且 ， 平面 ，所以 平面 又 平面 ，所以平面 平面 以 为原点建系，则 ，，，由 得 设平面 的法向量为 ，由 得 ，取 ，得 ，所以 设平面 的法向量为 ，记二面角 的大小为 ，则 ，化简得 ，解得 或 （舍），所以 13. 答案： 详解：连接 ，交 于点 ，连接 因为底面 为菱形，所以 ，点 为 的中点.又 ，所以 又 ，所以 所以 平面 因为菱形 中 ，所以 为等边三角形，，由 ，以 为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系.则 ，，，由 平面 且 在线段 上，可得 ，由此求得 为 中点，即 求得平面 的法向量 ，平面 的法向量 即平面 与平面 夹角的余弦值为 14. 答案： 详解：取 中点 ，连接 ，因为 是等边三角形，所以 又因为 ，，所以 是等边三角形，所以 又因为 ， 平面 ，所以 平面 由三棱柱 的体积为 ，可知三棱锥 的体积为 即 ，解得 ，即 ，所以 以 为原点，以 方向为 轴，以 方向为 轴，以 方向为 轴，建立空间直角坐标系.则 ，，，所以 ，，设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，得 ，，所以平面 的一个法向量为 又 ，，设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，得 ，，所以 设平面 与平面 所成的角为 ， 15. 答案： 详解：以 为坐标原点， 方向为 轴， 轴正方向， 轴为经过点 且垂直于底面向上方向，建立空间直角坐标系.则 ，，由题意 ，，设 ，则 ，得 ；，得 又 ，可得 从而 ，所以 ，所以 由正方形 知 ，且 ，所以 平面 因此平面 的一个法向量为 又 ，设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，则 ，，从而 设平面 与平面 夹角为 ，则 16. 答案： 详解：取 的中点 ，连接 点 为 的外心，因为点 在平面 上的射影为 的外心，所以 平面 因为 平面 ，所以平面 平面 以 为原点， 的方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向，建立空间直角坐标系.由题意知 ，，所以 ，，，，所以 ，，因为 ，所以 ，所以 所以 设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，令 ，则 ，所以 设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，令 ，得 ，所以 所以 ，整理得 ，得 或 （舍去），所以 的值为 17. 答案： 详解：由已知， 平面 ，可得 ，又由（1）知 ，则 平面 ，从而 ，于是直线 两两垂直.以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系.不妨设 ，于是 ，，则 ，，，，，于是 ，所以 ，，设平面 的法向量为 ，由 得 ，令 ，得 ，，则 设平面 的法向量为 ，由 得 ，令 ，得 ，，则 设平面 与平面 夹角为 ，则 18. 答案： 详解：连接 交 于点 ，由 是正方形得 为 的中点.因为 为 的中点，所以 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 由已知， 底面 ，以 为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系.因为 ，，，所以 ，，，，因为点 为 的中点，所以 设平面 的一个法向量为 ，又 ，，则 ，即 ，令 ，则 ，，设平面 的一个法向量为 ，又 ，，则 ，即 ，令 ，得 ，，记平面 与平面 的夹角为 ，则 ，故 19. 答案：存在，点 位于线段 上的中点、点 位于线段 上靠近点 的三等分点. 详解：取线段 上的中点 ，因为 ，所以 由（1）可知 平面 ， 平面 ，所以 又因为 ， 平面 ，所以 平面 因为 平面 ，所以平面 平面 延长 、 交于点 ，连接 ，并延长 交线段 于点 ，则 四点共面.过点 作 交 延长线于点 因为 ，所以 因为 ，所以 联立可得 ，即 所以存在这样的点 满足题意，此时点 位于线段 上的中点、点 位于线段 上靠近点 的三等分点. 20. 答案： 详解：连接 ，因为四边形 为正方形， 为底面圆的圆心，所以 ，从而 是对角线 与 的交点.连接 ，则 是 的中位线，所以 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 又 平面 ，平面 平面 ，所以 以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系.则 ，，，，设 （），则 ，设平面 的法向量为 ，则 ，即 取 ，可得平面 的一个法向量为 设平面 的法向量为 ，则 ，即 取 ，可得平面 的一个法向量为 所以 结合 ，解得 ，即 21. 答案： 详解：以 为坐标原点，平行于 方向为 轴， 方向为 轴，垂直于平面 方向为 轴建立空间直角坐标系.设 ，则 ，，，，设平面 的法向量 ，则 令 ，可得 由（1）知平面 的一个法向量为 ，点 的坐标为 ，所以 设平面 和平面 所成锐二面角为 ，则 ，整理得 ，解得 ，所以 故 22. 答案： 详解：设 的中点为 ，连接 ，因为 为等边三角形， 为 的中点，则 又因为 ， 分别为 的中点，，所以 ， 平面 ，则 平面 过点 作平面 的垂线，建立空间直角坐标系.过点 作 ，垂足为 由（1）得 ，易得 ，则 ，，取平面 的法向量 设平面 的法向量 ，，由 即 ，解得 设平面 与平面 的夹角为 ，则 23. 答案： 详解：设 到平面 的距离为 ，则 ，故 由于 垂直于平面 ，建立空间直角坐标系 因为 ，，所以 ，，，设 ，则 ，设平面 的法向量为 ，则由 得 取 ，得 ，，因此平面 的一个法向量 由于 垂直于平面 ，因此 是平面 的一个法向量.设平面 与平面 的夹角为 ，则 所以平面 与平面 夹角的余弦值的最大值为 24. 答案： 详解：以 为坐标原点， 所在直线为 轴，以过点 且垂直于底面的直线为 轴，建立空间直角坐标系.则 ，，由（1）知 平面 ，故 为平面 的法向量.设 （），则 ，设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，解得 ，，即 记平面 与平面 所成角为 ，则 令 ，，当 时，，所以平面 与平面 所成角的余弦值的最大值为 25. 答案： 详解：过 作 于 ，连接 因为 在平面 内的投影 在 边上，所以 平面 又 平面 ，即 又 ，故 平面 ，即 由 ，，，得 ，又 ，所以 ，则 以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则 ，，设三棱锥 外接球的球心为点 ，外接球半径为 因为点 均在球 的球面上，所以 解得 可得 ，设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，可取 因为 ， 为线段 上的动点，可设 （），则 即 ，设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，可取 设平面 与平面 的夹角为 ，则 当 时，，当 时，，故 时， 取到最大值 所以平面 与平面 的夹角的最小值为 26. 答案： 详解：由（2）可知， 是平面 的一个法向量.设平面 的法向量为 ，，由 ，得 由第一式得 ，代入第二式得 ，于是平面 的一个法向量为 设平面 与平面 所成角为 ，则 即平面 与平面 所成角的余弦值的取值范围为 27. 答案： 详解：连接 ，因为 ，，，所以 而 ，，，所以 ，则 ，所以 在 中，，所以 又 ，所以 平面 又 平面 ，所以平面 平面 过点 作 于点 ，以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，，，，所以 设 （），则 ，，，设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 由 ，令 ，则 ，，所以 由 得 ，令 ，则 ，，所以 由 ，解得 所以 ，由（1）知，平面 的法向量为 设直线 与平面 所成角为 ，则 28. 答案： 详解：作 于点 ，连接 因为平面 平面 ，且平面 平面 ，所以 平面 ，即 为四棱锥 的高.因为四边形 为矩形，，，所以 ，因为 ，， 为公共边，所以 故 ，所以 故 以 为坐标原点建立空间直角坐标系.则 ，，，所以 ，，设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，可取 ，，，所以平面 的一个法向量为 同理，可得平面 的一个法向量为 设平面 与平面 的夹角为 ，则 29. 答案： 详解：取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，，易得 两两垂直.以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系.则 ，，，所以 ，设平面 的法向量为 ，则由 得 令 得 由图可知，平面 的一个法向量为 则平面 与平面 夹角的余弦值为 30. 答案： 详解：因为 ，三棱锥 与四棱锥 的高之比等于 ，所以三棱锥 与四棱锥 的体积之比等于 ，解得 取 中点 ，则在等腰直角三角形 中，又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 以点 为坐标原点，分别以 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系.则 ，，，因为 ，所以 易知平面 的一个法向量 设平面 的法向量为 ，因为 ，，由 得 ，令 ，则 ，，所以 所以 所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 第三部分：试题来源表 序号 来源 题号 1 2026·安徽蚌埠·二模 第8题 2 2026·福建宁德·二模 第19（2）（i）题 3 2026·东莞·二模 第16（1）题 4 2026·江西·联考 第11题 5 2026·齐齐哈尔·二模 第16（2）题 6 2026·九江·二模 第16（2）题 7 2026·南京鼓楼区·二模 第11题 8 2026·安徽合肥·二模 第18（2）题 9 2026·新八校·二模 第17（2）（ii）题 10 2026·温州·二模 第15（2）题 11 2026·安徽华师联盟·联考 第17（2）题 12 2026·安徽池州·二模 第17（2）（i）题 13 2026·安徽铜陵·二模 第16（2）题 14 2026·长春·二模 第17（2）题 15 2026·包头·二模 第17（2）题 16 2026·山东潍坊·二模 第17（2）题 17 2026·四川资阳·二模 第16（2）题 18 2026·台州·二模 第16（2）题 19 2026·东莞·二模 第16（2）题 20 2026·湘豫联盟·联考 第17（2）题 21 2026·新疆·二模 第17（2）题 22 2026·河南许昌·二模 第18（2）题 23 2026·长郡二十校联盟·联考 第17（2）题 24 2026·浙江杭州·二模 第16（2）题 25 2026·茂名·二模 第18（2）（ii）题 26 2026·深圳·二模 第18（3）题 27 2026·宜春·二模 第17（2）题 28 2026·山西部分学校·联考 第18（1）（ii）题 29 2026·江西“三新”·联考 第16（2）（ii）题 30 2026·四川眉山·二模 第16（2）题 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $