考点8.4 空间线线角、线面角的求法专项训练-2026届高三数学二轮复习

2026年高考数学二模新题分类速递 考点8.4 空间线线角、线面角的求法 考点8.4 空间线线角、线面角的求法 1 一、几何法求角（定义法、三余弦定理或等体积法） 1 （一）几何法求异面直线夹角（平移法） 1 （二）几何法求线面角（定义法/等体积法） 2 二、向量法求异面直线夹角（坐标法或基底法） 3 （一）直接向量法求异面直线夹角 3 （二）补形后建系求异面直线夹角 3 三、向量法求线面角（核心是求平面法向量） 3 （一）常规建系求线面角 3 （二）已知线面角反求参数 7 四、线面角背景下的动态最值问题 9 （一）动点轨迹与线面角最值 9 （二）条件约束下的线面角最值 9 参考答案 11 第一部分：答案速查表 11 第二部分：逐题答案与详解 11 第三部分：试题来源表 20 一、几何法求角（定义法、三余弦定理或等体积法） （一）几何法求异面直线夹角（平移法） 1.（2026·东北三省·二模） 在三棱锥 中， ， ， 分别是 ， 上的点，且 ， ，则 与 所成角的余弦值为（ 　　） A. B. C. D. （二）几何法求线面角（定义法/等体积法） 2.（2026·台州·二模）（母题：正四棱锥外接几何体，等体积法求高） 已知正四面体 的棱长为 ，顶点 在平面 的同侧，点 在平面 的另一侧，顶点 到平面 的距离分别为 ，直线 与平面 交于点 ，则（ 　　） A. 直线 与平面 所成角为 B. 平面 与平面 所成角为 C. D. 点 到平面 的距离为 3.（2026·惠州·二模） 如图所示，正四棱锥 的底面边长为 ， ，延长 到点 ，使 ，连接 . 若 为等边三角形，点 是线段 上的动点，记 与平面 所成的角为 ，求 的最大值. 4.（2026·孝感·二模）（变式1：面面垂直背景下，定义法作图求线面角） 如图，正方形 所在的平面与平面 垂直，且 . 当 时，求直线 与平面 所成角的正弦值. 5.（2026·浙江·二模）（变式2：正三棱锥背景下，定义法作图求线面角） 在三棱锥 中，平面 平面 ， 和 都是边长为 的正三角形. 若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 二、向量法求异面直线夹角（坐标法或基底法） （一）直接向量法求异面直线夹角 6.（2026·安徽蚌埠·二模） 在五棱锥 中， ，底面五边形 中， ， ， ， . 若 ， ，求 与 所成角的余弦值. 7.（2026·东北三省·二模） 四棱柱 的底面 是菱形，且 ， ，侧面 是矩形，且 是 的中点. 若平面 与平面 所成二面角的平面角为 ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值. （二）补形后建系求异面直线夹角 8.（2026·湘豫联盟·联考）（母题：直四棱柱补成正六棱柱） 如图，在直四棱柱 中，底面 为等腰梯形， ， ， ，则直线 与 所成的角为（ 　　） A. B. C. D. 三、向量法求线面角（核心是求平面法向量） （一）常规建系求线面角 9.（2026·安徽A10联盟·联考） 已知等腰梯形 与等腰梯形 如图1所示，其中 ，过点 作 ，垂足为 . 现沿 进行翻折，使得点 在平面 内的投影为点 ，连接 ，得到的图形如图2所示. 在图1中，若 ， ，求图2中直线 与平面 所成角的正弦值. 10.（2026·安徽池州·二模） 如图1所示，在平面四边形 中，已知 ， ，将 沿直线 翻折至 （如图2），使得 . 点 在线段 上，且二面角 的大小为 . 求 与平面 所成角的正弦值. 11.（2026·安徽江淮十校·联考） 如图，在三棱柱 中，平面 平面 ，平面 平面 . 若 ， ， ， ， 是线段 上一点且 ，线段 与过 四点的球面是否有公共点 ？若有公共点 ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 12.（2026·湛江·二模） 如图，在几何体 中，四边形 是菱形， ，且 ，三角形 是正三角形，平面 平面 . 点 在平面 上的投影为 与 的交点 ，且 . 求直线 与平面 所成角的正弦值. 13.（2026·毕节·二模） 如图，平行六面体 的底面 是正方形， ，且 ， ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点. 求 与平面 所成角的余弦值. 14.（2026·许昌·二模） 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，平面 平面 ， 是边长为 的等边三角形， 为侧棱 的中点， 为线段 上一点. 若 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 15.（2026·衡阳·二模） 在正方体 中，如图， 、 分别是 , 的中点. 求直线 与平面 所成角的余弦值. 16.（2026·九师联盟·联考） 如图，在几何体 中， ， ，四边形 是边长为 的正方形， ，点 是棱 上与 、 不重合的点. 若 ，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 17.（2026·东营·二模） 已知全等的等腰直角三角形 和 ，其中 ， ，现将 沿 进行翻折，使二面角 的大小为 ，连接 得到四面体 . 求直线 与平面 所成角的正弦值. 18.（2026·云南昆明·二模） 如图，直角 ，斜边 ， ， 为 的中点，将 沿 翻折到 ，设二面角 的大小为 ，满足 . 求直线 与平面 所成角的大小. 19.（2026·浙江金华十校·联考） 三棱锥 中， ， ， ， 平面 ， ， . 求直线 和平面 所成角的正弦值. 20.（2026·重庆·康德调研四） 如图所示，在长方体 中， ， ， ，点 在棱 上，点 在棱 上，且 . 求直线 与平面 所成角的余弦值. （二）已知线面角反求参数 21.（2026·山东·二模）（母题：已知线面角正弦值反求动点位置或线段长） 如图所示，在所有棱长都为 的三棱柱 中，点 是棱 的中点， . 若 ，点 是线段 上的一个动点，若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长度. 22.（2026·德州·二模）（变式1：折叠问题中已知角反求参数） 如图，三棱锥 的体积为 ， 是边长为 的等边三角形， ， 是棱 的中点， ，其中 . 若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值. 23.（2026·浙江嘉兴·二模）（变式2：动点问题中已知角反求参数） 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 底面 ， ， 为线段 的中点， 为线段 上的动点. 若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 . 四、线面角背景下的动态最值问题 （一）动点轨迹与线面角最值 24.（2026·山东潍坊·二模）（母题：正方体动点问题，正切值求最值） 已知正四棱柱 的底面边长为 ，侧棱长为 ， 为底面 上的动点（含边界），则（ 　　） A. 直线 与 所成角的大小为 B. 的最小值为 C. 满足 的点 的轨迹长度为 D. 满足三棱锥 外接球的体积取得最大值的点 共有 个 （二）条件约束下的线面角最值 25.（2026·四川南充·二诊）（母题：长方体动点问题，二面角与线面角综合） 如图，在长方体 中， ， ，点 为四边形 内部（不含边界）的一个动点，平面 平面 ，则下列说法正确的是（ 　　） A. 异面直线 与 所成角的余弦值为 B. 当 时，二面角 的正切值为 C. 四面体 的外接球体积为 D. 若 （），则 的取值范围是 26.（2026·福建福州·二模）（变式：给定条件求线面角正切平方的最值） 已知 平面 ，垂足为 ，直线 ， ， 是 内的动点，且 ， 始终在 的两侧. ， 是线段 上靠近 的三等分点， . 直线 ， 与 所成的角分别为 ，记 . 若平面 ，且 不是任何一个长方体的截面，求 的最小值. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 第一部分：答案速查表 序号 1 2 3 4 5 6 答案 B ACD 序号 7 8 9 10 11 12 答案 C 或 序号 13 14 15 16 17 18 答案 序号 19 20 21 22 23 24 答案 ABD 序号 25 26 答案 ABD 第二部分：逐题答案与详解 1. 答案：B 详解：作 交 于 ，如图，连接 ，则 ，又 ，所以 ，所以 ，所以 是 与 所成的角或其补角.由 ，，所以 ，，，所以 .在 中，，所以 与 所成角的余弦值为 ，故选B. 2. 答案：ACD 详解：设 在平面 内的射影分别为 ，连接 （），（），（）.对于A，因为 ，所以 为直线 与平面 所成的角，而 ，，所以 ，而 为锐角，故 ，故A正确；对于B，因为 ，，故 ，且 ，故四边形 为梯形，而 ，，同理 ，，而 ，，，在 中，，，故 ，而 ，设平面 与平面 所成角为 ，则 ，故平面 与平面 所成角不为 ，故B错误；对于C，由题设， 平面 ，，故 ，而 ，，故 为 的中点，故 ，又 ，连接 ，则 ，又 ，，所以 ，而 ，故 平面 ， 平面 ，所以 ，故C正确；对于D，由C的分析可得 ，故 为 的外心，连接 ，由 ，得 ，由A可得 为 的中点，设 ，过 作平面 的垂线，则 ，故 ，消元可得 ，解出点 到平面 的距离为 或 （舍），故实际上点 到平面 的距离为 ，故D正确. 3. 答案： 详解：以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系.由题意知，，所以 ，.所以 ，所以 .设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ，平面 的一个法向量为 .设 ，则 .记 与平面 所成的角为 ，则 .由 ，得 ，所以 ，所以 的最大值为 ，此时 ，点 与 的中点重合. 4. 答案： 详解：以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 .因为 ，设 ，由题设得 ，所以 .设 是平面 的法向量，则 ，即 ，令 ，可得 .设直线 与平面 所成角为 ，则 . 5. 答案： 详解：以 为原点，射线 ，， 分别为 ，， 轴的正方向建立空间直角坐标系.则 ，，，，，则 ，.设平面 的法向量为 ，由 得 ，解得 ，即 .由 得 ，所以 ，设 与平面 所成角为 ，则 .因此直线 与平面 所成角的正弦值是 . 6. 答案： 详解：连接 ，设 相交于点 ，连 ，则 为 中点，由 ，知 ，同理 ， 底面 ，因此 底面 .取 中点为 ，以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系.易知 ，，则 ，.设直线 与直线 所成角为 ，则 . 7. 答案： 详解：取 的中点 ，连接 ，因为 分别为 的中点，，且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 .因为侧面 是矩形，所以 ，则平面 与平面 所成二面角的平面角为 .过点 作 ，因为平面 平面 ，平面 平面 ，由 ，所以 平面 .因为 ，则 ，.以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴，过 作 的平行线为 轴建立空间直角坐标系.所以 ，，，，.所以 ，，.设平面 的一个法向量为 ，则 ，取 ，则 .设 与平面 所成角为 ，则 . 8. 答案：C 详解：如图，将直四棱柱 补成正六棱柱 ，连接 ，，显然 ，则 即为直线 与 所成的角或其补角.设 ，则 ，又 ，解得 ，则 为正三角形，从而 ，则直线 与 所成的角为 ，故选C. 9. 答案： 详解：分别以 ，， 所在的直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，则 ，则 ，，.设平面 的法向量为 ，由 得 ，取 ，则平面 的一个法向量为 .设直线 与平面 所成角为 ，则 ，即直线 与平面 所成角的正弦值为 . 10. 答案： 详解：由前面步骤已求得平面 的法向量为 ，取平面 的法向量为 .又 ，记 与平面 所成角为 ，则 . 11. 答案： 或 详解：以 为原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，则 .由 可求出 .设球心 ，其中 ，由 得 ，球心 ，半径 .设 ，则 .由 在球面上得 ，解得 或 .当 时，，，平面 的法向量 ，则 ；当 时，点 即点 ，由（1）知 平面 ，故 .综合可知，直线 与平面 所成角的正弦值为 或者 . 12. 答案： 详解：以 为原点， 所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系.则 ，所以 .设平面 的法向量为 ，由 ，令 ，得 ，故 .设直线 与平面 所成的角为 ，则 . 13. 答案： 详解：以 为原点建立空间直角坐标系，不妨设 ，由条件可得 ，.取平面 中向量：，.设平面 的法向量 ，则 ，令 ，则 ，即 .设直线 与平面 所成角为 ，则 ，因为 为锐角，所以 ，即 与平面 所成角的余弦值为 . 14. 答案： 详解：由 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，则 ，故 为 的中点.取 的中点 ，连接 ，，则 平面 ，因 平面 ，则 ，又 ，所以 平面 .以 为坐标原点，， 所在直线为 轴，过 作 的平行线为 轴，建立空间直角坐标系 .由题意 ，，，，则 ，，.设平面 的法向量为 ，则 ，取 .设 与平面 所成角为 ，则 . 15. 答案： 详解：建立空间直角坐标系，假设正方体的棱长为 ，则 ，由（1）知平面 的法向量可以取 ，又 ，所以 ，即直线 与平面 所成角的正弦值为 ，所以余弦值为 . 16. 答案： 详解：以点 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，则 ，所以 .设 ，则 ，所以 ，解得 ，即 .设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，取 ，得 .设直线 与平面 所成角为 ，则 . 17. 答案： 详解：以 为原点， 的正方向分别为 轴、 轴正方向，建立空间直角坐标系.因为 ，所以 是二面角 的平面角，故 .因为 ，，所以 .设平面 的法向量为 ，由 ，令 ，得 ，故 ，可简化为 .设直线 与平面 所成的角为 ，则 . 18. 答案： 详解：以点 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系.由二面角的定义可得 ，则 .由于 ，则 ，故 ，.设平面 的法向量 ，设 与平面 所成角为 ，则 ，故 与平面 所成角为 . 19. 答案： 详解：如图，以 点为原点，以 为 轴， 为 轴，过 点且与 同向的方向为 轴建立空间直角坐标系.则 ，由 ，得 ，所以 .平面 的一个法向量为 ，设直线 和平面 所成角为 ，则 . 20. 答案： 详解：如图所示，连接 ，由（1）知， 平面 ，又由 平面 知，平面 平面 ，交线为 ，故点 在平面 的投影必在直线 上，故直线 与平面 所成角即为 .在 中，，，，故由余弦定理：，即直线 与平面 所成角的余弦值为 . 21. 答案： 详解：连接 ，因为 ，，所以 是等边三角形，所以 ，又平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ，得 ，，又 .如图，以 为原点，以 ，， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系..设 ，则 ，，易知平面 的一个法向量 .设直线 与平面 所成角为 ，则 .令 ，解得 ，此时 ，所以线段 . 22. 答案： 详解：以 为坐标原点， 分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，则 ，所以 .设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，取 ，则 ，所以 .因为 ，.设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，解得 ，故 的值为 . 23. 答案： 详解：由（1）可知：，平面 的法向量 ，设直线 与平面 所成角为 ，则 ，整理可得 ，解得 或 ，所以 . 24. 答案：ABD 详解：对于A，直线 与 所成角的大小为 （因为 底面 ， 底面 ，故 ），A正确.对于B，将正四棱柱侧面展开，由几何关系可得 的最小值为 ，B正确.对于C，满足 的点 的轨迹长度为 ，不是 ，C错误.对于D，当点 位于正方形 中心或位于 时，三棱锥 外接球的体积取得最大值，共有5个点，D正确. 25. 答案：ABD 详解：对于A，异面直线 与 所成角的余弦值为 ，A正确.对于B，当 时，二面角 的正切值为 ，B正确.对于C，四面体 的外接球半径为 ，体积为 而不是 ，C错误.对于D，若 ，由点 的内部约束知 的取值范围是 ，D正确. 26. 答案： 详解：由题意将问题等价转化为：在平面直角坐标系 中， 在双曲线 的右支上，直线 过点 ，，且 ，求 的最小值.由 及约束条件，解得 .所以 ，当 即 时等号成立.故 的最小值为 . 第三部分：试题来源表 序号 来源 题号 1 2026·东北三省·二模 第4题 2 2026·台州·二模 第11题 3 2026·惠州·二模 第17（2）题 4 2026·孝感·二模 第15（2）题 5 2026·浙江·二模 第15（2）题 6 2026·安徽蚌埠·二模 第16（2）题 7 2026·东北三省·二模 第16（2）题 8 2026·湘豫联盟·联考 第7题 9 2026·安徽A10联盟·联考 第15（2）题 10 2026·安徽池州·二模 第17（2）（ii）题 11 2026·安徽江淮十校·联考 第17（2）题 12 2026·湛江·二模 第16（2）题 13 2026·毕节·二模 第17（2）题 14 2026·许昌·二模 第17（2）题 15 2026·衡阳·二模 第16（2）题 16 2026·九师联盟·联考 第17（2）题 17 2026·东营·二模 第16（2）题 18 2026·云南昆明·二模 第18（2）题 19 2026·浙江金华十校·联考 第16（2）题 20 2026·重庆·康德调研四 第18（2）题 21 2026·山东·二模 第16（2）题 22 2026·德州·二模 第16（2）题 23 2026·浙江嘉兴·二模 第16（2）题 24 2026·山东潍坊·二模 第10题 25 2026·四川南充·二诊 第10题 26 2026·福建福州·二模 第19（2）（ii）题 $