空间位置关系的判定与性质9种高频考法专项训练-2026届高三数学二轮复习

空间位置关系的判定与性质9种高频考法专项训练 空间位置关系的判定与性质9种高频考法专项训练 考点目录 线面平行的判定 面面平行的判定 线面平行的性质 面面平行的性质 线面垂直的判定 面面垂直的判定 线面垂直的性质 面面垂直的性质 空间位置关系的综合判定 考点一 线面平行的判定 例1.(2026陕西咸阳二模)如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中AB=2,AC=BC=√5，D,E,F分别是棱CC ,AB,B,C的中点. B A (1)求证：EF11平面ACC,A: ②)若平面DEF与平面ACC,4夹角的余弦值为N205 求AA的长 205 例2.(2026广东深圳一模)已知球0的半径为1，在球0的内接八面体PABCDO中，顶点P,Q分别在平面 ABCD两侧，且四棱锥P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥 0 图1 图2 (1)如图1，若点O在平面ABCD上，求证：PAI∥平面QBC: (2)如图2，若二面角P-AB-Q的正切值为-3，求该内接八面体的体积 空间位置关系的判定与性质9种高频考法专项训练 变式1.(25-26高二上·浙江杭州期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB IIDC, AD=DC=2,AP=3,AB=1,E为棱PC的中点. D (I)求证：BE平面PAD; (2)求直线AC与平面BDE所成角的正弦值； 变式2.(2026陕西榆林·一模)如图，直四棱柱ABCD-A,B,C,D,内接于圆柱OO,且底面为矩形，B是圆柱OO底 面圆O的圆周上一动点，AC是圆O的直径，且AC=A4,E是AB的中点，Q是BB,的中点. D B B (1)证明：OE/1平面ADDA; (2)设∠C0B=0,求平面AQC,与平面ABC的夹角的正弦值.（用O表示） 2 空间位置关系的判定与性质9种高频考法专项训练 考点二 面面平行的判定 例1.(2026·湖北孝感·二模)如图：正八面体E-ABCD-F可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在 一起的几何体 E F (1)证明：平面EAD11平面FCB; (2)若AB=2,点P为棱EB上的动点，则直线AP与平面FAD所成的角的正弦值的范围. 例2.(25-26高二上·浙江杭州期中)己知正方体ABCD-A,B,C,D,棱长为2，线段ADB,C、BD的中点分别为 点M、P、N. D B M ⊙ (I)求证：平面MNPI/平面CDD,C; (2)求异面直线MN与B,C所成角的大小. 3 空间位置关系的判定与性质9种高频考法专项训练 变式1.(2026·湖北襄阳一模)如图，正三角形ABC'和平行四边形ABDE在同一个平面内，其中AB=4, BD=AD=V3I,AB,DE的中点分别为F,G.将△ABC'沿直线AB翻折到ABC,使二面角C-AB-D为120°， 设CE的中点为H. G ==>E (I)求证：平面CDF∥平面AGH; (2)求平面CDE与平面DEF的夹角的余弦值. 变式2.(25-26高二上广东广州期末)如图，在长方体ABCD-A,B,CD1中，AB=AD=4,AA=2,点E,F,G 分别在棱AA,AB,AD上，点P,Q,R分别在棱CC,CD,CB上，A,E=A,F=A,G=CP=CQ=CR=1. D B B (I)求BD,和EF所成角的余弦值； (2)求证：平面EFG/1平面PQR. 空间位置关系的判定与性质9种高频考法专项训练 考点三 线面平行的性质 例1.(25-26高三下·北京开学考试)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA=AB=2, PB=BC=2√2，侧面PAB⊥底面ABCD,LBCD=135°，M为线段PB的中点，N为线段PD上的动点. B C (I)若MN/I平面ABCD,求证：点N为线段PD中点； (②)如果直线BN与平面PBC所成角的正弦值为5， -的值. 6 PD 例2.(2026-陕西西安模拟预测)如图，直角梯形ABCD中，AB1/CD,AB⊥BC,BC=CD=AB=2,E为AB的中 2 点，以DE为折痕把ADE折起，使点A到点P的位置，且PC=2√5. (1)设平面PBC与平面PDE的交线为I,证明：BC1I1; (2)证明：PE⊥平面BCDE; (3)求二面角B-PC-D的余弦值. 5 空间位置关系的判定与性质9种高频考法专项训练 变式1.(2026·新疆模拟预测)如图，在多面体ABCDMN中，四边形ABCD,ADMN均为矩形，AB=2AD=6, DM=5,点E为线段AB上一点，且DM⊥平面ABCD. M E (I)若BM/平面NDE,求证：点E是AB的中点； ②)若直线EM与平面ABCD所成角的大小为乙，求VE-AoMw:V:-CW 变式2.(2026贵州安顺一模)如图，己知四面体ABCD的所有棱长都等于2，E,F,G分别是棱AB,AD,DC 的中点.平面ABC∩平面EFG=1. D (1)证明：FG/1; (2)求平面ABC与平面EFG的夹角的正弦值. 6 空间位置关系的判定与性质9种高频考法专项训练 考点四 面面平行的性质 例1.(2526高三下·河南驻马店开学考试)如图，在圆台002中，下底面圆O的直径AB=22,点C在圆O上， 且AC=BC,上底面圆O的半径O,P=1,且平面ACP⊥平面ABC, D O A6--- (1)证明：PO∥BC. (2)若圆台O,O2的高为2，求平面APO,与平面PBC所成二面角的正弦值. 例2.(2026山东滨州一模)如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=4,点E,F分别是边AB,CD的中点，点M,N分 别在线段AF,CE上移动（不含端点），且FM=CN,将四边形AEFD沿EF翻折至四边形AEFD',使得二面角 A'-EF-B的大小为60. D M D E B (1)求证：MNI/平面ABE; (②)当FM=CN=√2时，求平面MNE与平面MWF夹角的余弦值. 空间位置关系的判定与性质9种高频考法专项训练 变式1.(25-26高二上·湖南常德期末)如图，是正四棱柱ABCD-A,B,CD被平面EFGH所截得的几何体， AB=2,BF DH=3,CG=4. G H O (1)证明：四边形EFGH是平行四边形； (2)求平面EFGH和平面ABCD的夹角的余弦值 变式2.(25-26高三上江苏无锡月考)己知多面体ABCDEF如图所示，其中四边形ABCD为矩形， ∠FCD=∠FCB=90°，AE⊥平面ABCD E A (I)求证：DE∥平面BCF; ②)若BC=CF,点A到平面BDF的距离为 BC,求 BC 的值. AB 空间位置关系的判定与性质9种高频考法专项训练 考点五 线面垂直的判定 例1.(25-26高二上·浙江杭州·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD, PA⊥PD,AB⊥AD,PA=PD,AB=L,AD=2,AC=CD=V5. (1)求证：PD⊥平面PAB (2)求二面角P-AB-C的大小； (3)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值. 例2.226商二下受州月考)如图，B=AD=14C=2,BC=5,cos∠DB-,平面A8D1平面ABCE为 BD的中点，F为CE的中点. D (I)证明：BD⊥平面ACE; (2)求平面AEF与平面ADF夹角的余弦值， 0 空间位置关系的判定与性质9种高频考法专项训练 变式1.(2026·江苏一模)把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中AB=AC=3,∠BAC=∠BCD=90°， ∠CBD=30°.将ABC沿BC翻折至△PBC,使得二面角P-BC-D为直二面角. D (I)证明：PB⊥平面PCD; (2)若P,B,C,D在同一个球面上，求该球的半径； (3)求平面PBD与平面BCD所成角的余弦值. 变式2.(2026重庆·一模)如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，ABC为等边三角形，四边形BCC,B,是边长为2的正 方形，D为AB中点，且A,D=√5. B (1)求证：CD⊥平面ABB,A; (2)已知P为线段B,C中点，求直线AP与平面A,CD所成角的正弦值， ⊙空间位置关系的判定与性质9种高频考法专项训练 空间位置关系的判定与性质9种高频考法专项训练 考点目录 线面平行的判定 面面平行的判定 线面平行的性质 面面平行的性质 线面垂直的判定 面面垂直的判定 线面垂直的性质 面面垂直的性质 空间位置关系的综合判定 考点一 线面平行的判定 例1.(2026陕西咸阳二模)如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中AB=2,AC=BC=√5，D,E,F分别是棱CC ,AB,B,C的中点 B A (1)求证：EF11平面ACC,A,; (②若平面DEF与平面ACC,4夹角的余弦值为120 ,求AA的长. 205 【答案】(1)证明见解析 (2)A4=2 【详解】(1)取AC中点M,连接MF,AM, 因为F是8C中点，所以MF1A县，MF4县， 又在直三棱柱ABC-A,BC,中，ABIIA,B,AB=AB,E是AB中点， 所以MF/IAE,MF=AE,所以四边形AEFM是平行四边形， 所以EF IIAM,因为EF文平面ACC,A,AMc平面ACCA,, 所以EF∥平面ACC,A,. 空间位置关系的判定与性质9种高频考法专项训练 (2)取AB中点0，连接OC,OE, 由E是AB中点，所以在直棱柱ABC-A,B,C中，OE⊥平面AB,C, 因为AB=2,AC=BC=V5,所以AB,=2,AC1=B,C1=V5, 所以OC,⊥AB,OC=2. 以0为坐标原点，以OB,OC,OE所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， ZA E B 设4=h,则4-100,8L0,01.c0,2.0,c40,2创.D0,2E00.rGl0, 所以DE= （0-290F-5-l）4c=l2.0.cc=0.0. 设平面DEF的一个法向量为i=(x,y,z), h 元-D正=-2y+22=0 所以 h ,令z=4,则i=6h,h,4), .DF-x-y-A:-0 2 2 设平面ACCA的一个法向量为m=(x',y,z）, 则 m·AC=x+2y=0 m.CC=hz'=0 ，令x'=2,则m=(2,-1,0) 因为平面DEF与平面ACC,4夹角的余弦值为20s 205, 所以cosi,m= i 11h 11V205 小网 V537h2+16 205， 解得h=2,所以A4=2. 例2.(2026广东深圳一模)已知球O的半径为1，在球O的内接八面体PABCDO中，顶点P,Q分别在平面 ABCD两侧，且四棱锥P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥 空间位置关系的判定与性质9种高频考法专项训练 p B 0 图1 图2 (1)如图1，若点O在平面ABCD上，求证：PA∥平面QBC; (2)如图2，若二面角P-AB-Q的正切值为-3，求该内接八面体的体积 【答案】(1)证明见解析 o器 【详解】(1)如图，连接AC,则AC必过点0， P B Q 在四边形PAQC中，由于对角线AC,PQ互相平分， 则四边形PAQC为平行四边形，故PA∥QC, 由于PA丈平面QBC且QCc平面QBC, 所以PA∥平面QBC; (2)解法1如图，记正方形ABCD的中心为N,取AB中点M,连接PM,QM,NA,NB,由于PA=PB,则 PM⊥AB,同理可证QM⊥AB,则∠PMQ为二面角P-AB-Q的平面角，又NA=NB,则NM⊥AB, 则∠PMN为二面角P-AB-N的平面角，∠QMW为二面角Q-AB-N的平面角， 不妨设点O在N的下方， 设ON=x(0<x<1) WNA-NB-,4B-V2-2 NM= -,PN=1-x,QN=1+x, √2 于是tam∠PMW=PN-V5-0-.V .1-x 。1+x MN1-x2 1+x m0w-N-50t9-i MN√1-x2 空间位置关系的判定与性质9种高频考法专项训练 于是tan∠PM0=tan(∠PMN+∠OMN=,ian∠PMN+ian∠OMW l-tan∠PMN.tan∠QMW' 1-x,1+x tan PMO=.1+xV1-x=-2 1-2 <1,则，-5，解得x= 由于0<+x V1+x2 3 则AB= 32 {,则DPQX×2义4卫，即内接人面体的体积7 3 327 Z 解法2如图，记正方形ABCD的中心为N,连接NA,NB, 则NA,NB,NP两两垂直，如图，以点N为坐标原点，以NA所在直线为x轴，NB所在直线为y轴，NP所在直 线为z轴，建立空间直角坐标系， 不妨设点O在N的下方， 则NA=NB=V-2,BC=√2-212，PN=1-1,QN=1+t, 于是点AN1-F0,0),B0,-F,0）,P0,0,1-0,Q0,0,-1+0), 设平面PAB的一个法向量为元=(x,片，2)，AP=（-1-F,0,1-,BP=(0,--,1-, m·AP=0 由 -子x+0-0g=0,令：下7，则写=%=， mBp=0’-1-2y+1-)z=0 于是平面PAB的一个法向量为元=(-t,V-t,V1+t), 设平面QAB的一个法向量为n2=(x2,2,2), A0=-1-,0,-1+),B0=0,-1-,-1+), 由 乃·A0=0 -+,=0,令，=，则=为-干， n,·B0=0-V1-Py2-1+0z2=0 于是平面QAB的一个法向量为n2=(-V1+t,-V1+1,V1-t), 空间位置关系的判定与性质9种高频考法专项训练 设二面角P-AB-0的平面角为0，由于升cos0上0 --。1 同同8679-而，则，B 则 3 则上=XP9×SD=,×2×=),即内接八面体的体积为32 1 3 (3 -27 27 解法3如图，过点B作BHIIPO,记正方形ABCD的中心为N,连接NA,NB, 由于BH⊥平面ABCD,BC,BAC平面ABCD,则BH⊥BC,BH⊥BA, 且BC⊥BA,则BC,BA,BH两两垂直，如图，以点B为坐标原点，以BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴， BH所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 由对称性，不妨设点O在N的下方，设ON=t(0<t<1) 则NA=NB=V1-t2,AB=√2-22，PN=1-t,QN=1+t, 于是点a@ao,45iFo小.rF-F1-小e9F9-F1-小 设T面P4的一个法的能为k动，野停、F盟F1-小》 BA=0,2v-,0, 元BP=0 -F5+5+0-5=0 由 2 m·BA=0 2 2-?y=0 令z,=V1+1,则x=-V2V1-1,为=0， 于是平面PAB的一个法向量为n,=(-√2V1-t,0,V1+t), 设平面QAB的一个法向量为n2=(x2,2,z2),， J 空间位置关系的判定与性质9种高频考法专项训练 80= 复F9下1-小，厨--7，小 n·B0=0 2.-F5+5-F为-0+0e,=0 由 2 2·BA=0 5-F为2=0 令2=-1，则x2=V21+1,为=0， 于是平面QAB的一个法向量为n,=(N2V1+t,0,V-t), 设二面角P-AB-2的平面角为0，由于cos80: nn-平-1 -9而，则：= 则一后 则r-}0一2得)-是年内接人面体约木积为号 1 Γ27 变式1.(25-26高二上·浙江杭州期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,ABIIDC, AD=DC=2,AP=3,AB=1,E为棱PC的中点. P D (I)求证：BEI平面PAD: (2)求直线AC与平面BDE所成角的正弦值； 【答案】()证明见解析 22 14 【详解】(1)取PD的中点M,连接ME,则ME ICD,且ME=.CD=1 因为AB IIDC,AB=1,所以，AB IME,且ME=AB. 所以四边形ABEM为平行四边形 所以BE I AM 因为BEI平面PAD,AMc平面PAD,所以BEI平面PAD 6 空间位置关系的判定与性质9种高频考法专项训练 D (2)因为PA⊥底面ABCD,AB,ADC底面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD 又AB⊥AD,所以以A为坐标原点，以AB,AD,AP所在直线为x,》,z轴建立空间直角坐标系， 则400，o,80,01,c2.20,D0,20.P0,3,所以 所以4c-220,8D=(-120.8E=0.l》 设平面BDE的法向量为i=(x,y,z), BD=-x+2y=0 则 3 BEǖ=y+。z=0 2 令x=6,则y=3,z=-2, 所以平面BDE的一个法向量为元=(6,3，-2). 设直线AC与平面BDE所成角为O, 则sin0=cos(AC,元〉 AC五 2×6+2×3+0×-2) .189√2 √4+4×V36+9+4 2√2×714 即直线4C与平面BDE所成角的正弦值为95 14 变式2.(2026陕西榆林一模)如图，直四棱柱ABCD-A,B,CD内接于圆柱OO,且底面为矩形，B是圆柱OO底 面圆O的圆周上一动点，AC是圆O的直径，且AC=AA,E是AB的中点，Q是BB,的中点. 空间位置关系的判定与性质9种高频考法专项训练 B (1)证明：O,E/1平面ADDA: (2)设∠COB=0,求平面AQC,与平面ABC的夹角的正弦值.（用O表示） 【答案】(1)证明见解析 1 (②\1+sim0 【详解】(1)如图，取AD的中点F,连接FO,AF, 则F0,11D,C,且F0=D,C. 2 因为底面为矩形，所以AE=B,AB1D,C,且AB=D,C, 所以FO/1AE,且FO,=AE, 则四边形AEOF为平行四边形，所以AF/1OE. 因为AFc平面ADD,A,O,E文平面ADD,A, 所以OE/1平面ADD,A,. 7 (2)以O为坐标原点，直线0C,OO分别为y,z轴，过点O且在底面内与AC垂直的直线为x轴建立空间直角坐 标系，如图所示。 设AC=2,则A(0-1,0),C0,1,2),Q(sin0,cos6,1, 所以AQ=(sin0,1+cos0,1,AC=(0,2,2). 空间位置关系的判定与性质9种高频考法专项训练 设平面AQC的法向量为n=x,y,z, 40.=xsin0+y(1+cos0)+z=0 则 AC·n=2y+2z=0 令z=sin0,得i=(cos0,-sin0,sin0). 易知平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1. 设平面AQC,与平面ABC的夹角为， 则cosa=lcos(m,= msine m园√1+sin0 所以sina=√1-cos2a= sin20 1 1+sin20 V1+sin20 即平面AQC,与平面ABC的夹角的正弦值为 1 V1+sin20 0 空间位置关系的判定与性质9种高频考法专项训练 考点二 面面平行的判定 例1.(2026·湖北孝感·二模)如图：正八面体E-ABCD-F可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在 一起的几何体。 E (I)证明：平面EAD1/平面FCB; (2)若AB=2,点P为棱EB上的动点，则直线AP与平面FAD所成的角的正弦值的范围. 【答案】(1)证明见解析 [62W2 【详解】(1)连接AC、BD、EF交于点O,则A、E、C、F四点共面，且O为AC、BD、EF的中点， 所以四边形AECF、BEDF都是平行四边形，所以AElIFC,DEIBF, 又AEc平面EAD,FCG平面EAD,所以FC∥平面EAD, DEC平面EAD,FBI平面EAD,所以FB∥平面EAD, FB∥平面EAD,FC∥平面EAD,又FB、FC在平面FCB内相交于点F, 所以平面EAD∥平面FCB (2)根据正八面体结构，以点0为原点，0A、0B、0E为八z轴，如图建立空间直角坐标系 2 则A√2,0,0，D(0,-2,0,F(0,0,-V2),E(0,0,2),B0,5,0, 所以DA=(2,2,0,FA=(2,0,2),AB=(-2,V2,0, o