空间角与距离专项训练-2026届高三数学二轮复习

专题三 立体几何 第2讲 空间角与距离 一、考点透析 考点1 平行与垂直的判定与证明 1.（多选题）(2025·河南省·模拟)如图，圆锥的底面直径和母线长均为，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则(    ) A. 存在，使得 B. 当时，存在，使得平面 C. 当，时，四面体的体积为 D. 当时， 考点2 空间角 1.(2025·吉林省长春市·模拟)在正四面体中，，分别是棱，的中点，则直线与所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 2.(2025·安徽省蚌埠市·模拟)已知三棱锥的体积为，是边长为的正三角形，且，则直线与平面所成角的正弦值为(    ) A. B. C. D. 3.(2025·湖南省岳阳市·模拟)如图，在正方体中，，，，分别是所在棱的中点． 证明：平面； 求直线与平面所成角的正弦值． 4.(2025·广东省惠州市·模拟)在四棱锥中，，，，，． 证明：二面角为 求平面与平面所成的二面角的余弦值． 考点3 空间距离 1.（多选题）(2025·江西省·模拟)素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，其水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型如图，这是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品，该“十字贯穿体”是由一个圆锥和一个圆柱“垂直贯穿”构成的多面体，圆锥的两条母线与圆柱相切，其中一个切点为，圆柱侧面的母线平行于圆锥的底面，为圆锥的顶点，圆锥的一条母线与圆柱的侧面交于，两点，且为圆柱侧面上到圆锥底面距离最大的点，圆锥的母线长为，其底面圆的半径为，圆柱的半径为，下列结论正确的是 A. B. C. 点到圆锥底面的距离为 D. 点到圆锥底面的距离为 2.(2025·湖南省·模拟)如图，四棱柱的底面是正方形，，平面D. 求点到平面的距离； 若是线段上一点，平面与平面夹角的余弦值为时，求的值． 3.(2025·河南省开封市·模拟)如图所示，在三棱柱中，，，，平面平面，点是线段的中点． 求证：平面； 求直线与平面所成角的正弦值． 若点在线段上，且平面，求点到平面的距离．  二、跟踪练习 1.（多选题）(2025·河南省焦作市·模拟题)在三棱锥中，已知，，为的中点，则下列说法正确的是(    ) A. 长度的取值范围是 B. 直线与平面所成的角为 C. 若，则，所成的角为 D. 若，则三棱锥外接球的表面积为 2.（多选题）(2025·江苏省·月考)正四棱锥中，各棱长均为，过点，，的平面交于点，且，则(    ) A. B. 点到平面的距离为 C. 平面与平面夹角的余弦值为 D. 两个四棱锥与体积之比为 3.（多选题）(2025·云南省玉溪市·期末)如图，边长为的正方形中，，分别是，的中点，交于，现沿，及把这个正方形折成一个四面体，如图，使，，三点重合，重合后的点记为，则有(    ) A. 平面平面 B. 四面体 的体积为 C. 点到平面的距离为 D. 四面体的外接球的体积为 4.（多选题）(2025·江苏省·月考)正四棱锥中，各棱长均为，过点，，的平面交于点，且，则(    ) A. B. 点到平面的距离为 C. 平面与平面夹角的余弦值为 D. 两个四棱锥与体积之比为 5.（多选题）(2025·陕西省·模拟题)在边长为的正方体中，动点在棱上，动点在棱上，满足以下对运动过程的描述，正确的是(    ) A. 存在，满足 B. 存在，使与所成角的余弦值为 C. 点到平面的距离为定值 D. 四面体的体积为定值 6.(2025·安徽省安庆市·模拟)如图，四棱锥中，平面平面，为棱上一点．    证明：； 若平面，求直线与平面所成角的正弦值．  7.(2025·四川省成都市·模拟)在三棱锥中，，．为的中点，为的中点，平面．    求证：平面平面； 若与底面所成角的正切值是，求二面角的余弦值．   学科网（北京）股份有限公司 $ 专题三 立体几何 第2讲 空间角与距离 一、考点透析 考点1 平行与垂直的判定与证明 1.（多选题）(2025·河南省·模拟)如图，圆锥的底面直径和母线长均为，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则(    ) A. 存在，使得 B. 当时，存在，使得平面 C. 当，时，四面体的体积为 D. 当时， 【答案】BCD  【解析】解：对于选项A，，那么与不可能垂直， 如果，那么面，那么，那么面矛盾，所以选项A错误； 对于选项B，取中点，那么，过作交于点， 此时为中点，那么面平面，所以平面，所以选项B对； 对于选项C，时，，时， 到平面的距离是到平面距离的，， 其中表示到平面的距离，是到平面距离， ， 所以选项C正确； 对于选项D，如图建系， ，，，，，，，， 所以，所以，所以选项D正确． 故选：． 考点2 空间角 1.(2025·吉林省长春市·模拟)在正四面体中，，分别是棱，的中点，则直线与所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：根据题意．将正四面体中置于正方体中， 如图所示： 在正四面体中，由于，分别是棱，的中点， 则正方体中，、是上下底面对角线的中点， 易得且， 所以四边形为平行四边形，则， 则异面直线与所成角即为直线与所成角， 即为直线与所成角或补角， 设正方体的棱长为，则，， 在中，， 因此直线与所成角的余弦值为． 故选：． 2.(2025·安徽省蚌埠市·模拟)已知三棱锥的体积为，是边长为的正三角形，且，则直线与平面所成角的正弦值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：因为是边长为的正三角形， 可得． 设点到平面的距离为， 由三棱锥体积公式，解方程． 设直线与平面所成角为，则． 故选：． 3.(2025·湖南省岳阳市·模拟)如图，在正方体中，，，，分别是所在棱的中点． 证明：平面； 求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】解：证明：在正方体中，平面， 又平面， 则， 在侧面中，均为锐角， 所以，所以， 则，又，，平面， 故A平面； 连接，交于点，交于点，连接， 由，则，，，四点共面， 设，正方体棱长为， 由可知，平面， 所以为在平面内的射影， 则为与平面所成的角， 因为，平面，平面， 所以平面，又平面平面， 所以，则， 在中，，， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为．  4.(2025·广东省惠州市·模拟)在四棱锥中，，，，，． 证明：二面角为 求平面与平面所成的二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】解：证明：在梯形中，取中点，连接， ，， ，又， 四边形为平行四边形， ，， 为直角三角形，， 又，，，平面， 平面， 因为平面，， 又，且必与相交，，平面， 平面， 因为平面，平面平面， 二面角为； 过作，由知，平面， 所以平面，则，，两两垂直， 从而建立以为坐标原点，，，所在直线为，，轴的空间直角坐标系，如图， 由题意，，，，， 则，， ，， 设是平面的一个法向量，且在平面上， 则 取，得，， 故平面的一个法向量为， 设是平面的一个法向量，且在平面上， 则 取，得，， 故平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 平面与平面所成的二面角的余弦值为．  考点3 空间距离 1.（多选题）(2025·江西省·模拟)素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，其水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型如图，这是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品，该“十字贯穿体”是由一个圆锥和一个圆柱“垂直贯穿”构成的多面体，圆锥的两条母线与圆柱相切，其中一个切点为，圆柱侧面的母线平行于圆锥的底面，为圆锥的顶点，圆锥的一条母线与圆柱的侧面交于，两点，且为圆柱侧面上到圆锥底面距离最大的点，圆锥的母线长为，其底面圆的半径为，圆柱的半径为，下列结论正确的是 A. B. C. 点到圆锥底面的距离为 D. 点到圆锥底面的距离为 【答案】ACD  【解析】解：对于选项A，过点，作轴截面，为圆锥的母线与圆柱的切点， 为圆锥的高，，为与圆柱的交点，如图． 由题意可得，， ，． 因为∽，所以， 故， ，，A正确； 对于选项B，过点，，作截面，如图， 易得，故，B错误． 对于选项C，点到圆锥底面的距离即点到圆锥底面的距离， 也即的长度，，C正确； 对于选项D，点到圆锥底面的距离即点到圆锥底面的距离， 也即的长度，，D正确； 故选：． 2.(2025·湖南省·模拟)如图，四棱柱的底面是正方形，，平面D. 求点到平面的距离； 若是线段上一点，平面与平面夹角的余弦值为时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】解：连接交于点． 因为平面，平面，所以， 又，，C、平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面． 因为平面，平面，所以， 又，所以， 在中，，，所以． 又为的中点，所以且， 又平面平面，平面平面，且平面， 所以平面． 故点到平面的距离为． 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 由，可得， ，， 由知，平面的一个法向量， 设， 所以，，， 设为平面的一个法向量， 由得 取， 设平面与平面的夹角为， 则有， 解得舍负， 即．  3.(2025·河南省开封市·模拟)如图所示，在三棱柱中，，，，平面平面，点是线段的中点． 求证：平面； 求直线与平面所成角的正弦值． 若点在线段上，且平面，求点到平面的距离． 【答案】（1）见解析 （2）  （3）  【解析】证明：取线段  的中点  ，连结  ， 所以因为平面  平面  ，  平面  平面   ，平面 ， 所以  平面  ，所以  平面  ，因为  ，  ， 所以  是正三角形，又点  是线段 的中点，所以  可以建立以  为原点，分别以  ，  ，  的方向为  轴，  轴，  轴正方向的空间直角坐标系如图， 可  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ， 则  ，  ，设  为平面  的法向量， 则  ，即  ， 不妨令  ，可得  ， 又  ，故  ， 因此  平面  ． 解：依题意，  ，由知  为平面  的一个法向量． 因此  ， 所以直线  与平面  所成角的正弦值为  ． 解：依题意，设   ，  ， 所以  ，因此   ， 设  为平面  的法向量， 则  ，即  ， 不妨令  ，可得  ，  ，因为  平面  ，所以  ，解得  ， 所以  ， 设点  到平面  的距离为  ，  ， 则  ， 所以点  到平面  的距离为  ．  二、跟踪练习 1.（多选题）(2025·河南省焦作市·模拟题)在三棱锥中，已知，，为的中点，则下列说法正确的是(    ) A. 长度的取值范围是 B. 直线与平面所成的角为 C. 若，则，所成的角为 D. 若，则三棱锥外接球的表面积为 【答案】BD  【解析】解：对于，因为，，所以， 所以，所以，故A错误 对于，由已知得，，又，，平面，所以平面， 所以与平面所成的角为，故B正确 对于，因为，所以，所以，， 因为，，，平面，所以平面， 又平面，所以， 即，所成的角为，故C错误 对于，如图，取的中点为，连接，则， 由图形的对称性得，三棱锥外接球的球心必在的延长线上，设， 由得，，所以， 所以外接球的半径为， 所以外接球的表面积为，故D正确． 故选：． 2.（多选题）(2025·江苏省·月考)正四棱锥中，各棱长均为，过点，，的平面交于点，且，则(    ) A. B. 点到平面的距离为 C. 平面与平面夹角的余弦值为 D. 两个四棱锥与体积之比为 【答案】BCD  【解析】解：对于选项A：设底面的中心为， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则 ， 可得 ， 又因为， 则 ， 设平面的法向量， 则 令，则，可得， 因为 ， 因为四点共面，则， 可得， 解得，故 A错误； 对于选项B：可得， 且平面的法向量， 所以点到平面的距离为，故 B正确； 对于选项C：显然平面的法向量为， 且， 所以平面与平面夹角的余弦值为，故 C正确； 对于选项D： 设点、到平面的距离分别为、， 则， 因为 ， 所以两个四棱锥与体积之比为，故 D正确． 故选：． 3.（多选题）(2025·云南省玉溪市·期末)如图，边长为的正方形中，，分别是，的中点，交于，现沿，及把这个正方形折成一个四面体，如图，使，，三点重合，重合后的点记为，则有(    ) A. 平面平面 B. 四面体 的体积为 C. 点到平面的距离为 D. 四面体的外接球的体积为 【答案】ABD  【解析】解：对于，由已知可得，平面， 则平面，又平面，故平面平面，故 A正确； 对于，因为两两垂直，则，故 B正确； 对于，设到平面的距离为，， ，解得．点到平面的距离为，故 C错误； 对于，因两两垂直，故三棱锥的外接球即是以为棱长的长方体的外接球， 故球的半径为，则球的体积为，故 D正确， 故选：． 4.（多选题）(2025·江苏省·月考)正四棱锥中，各棱长均为，过点，，的平面交于点，且，则(    ) A. B. 点到平面的距离为 C. 平面与平面夹角的余弦值为 D. 两个四棱锥与体积之比为 【答案】BCD  【解析】解：对于选项A：设底面的中心为， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则 ， 可得 ， 又因为， 则 ， 设平面的法向量， 则 令，则，可得， 因为 ， 因为四点共面，则， 可得， 解得，故 A错误； 对于选项B：可得， 且平面的法向量， 所以点到平面的距离为，故 B正确； 对于选项C：显然平面的法向量为， 且， 所以平面与平面夹角的余弦值为，故 C正确； 对于选项D： 设点、到平面的距离分别为、， 则， 因为 ， 所以两个四棱锥与体积之比为，故 D正确． 故选：． 5.（多选题）(2025·陕西省·模拟题)在边长为的正方体中，动点在棱上，动点在棱上，满足以下对运动过程的描述，正确的是(    ) A. 存在，满足 B. 存在，使与所成角的余弦值为 C. 点到平面的距离为定值 D. 四面体的体积为定值 【答案】ABD  【解析】解：以点为原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 因为点在上，故可设点的坐标为， 点在上，设点的坐标为，， 所以，， 因为，所以，得， 因此，点坐标为，其中， 若，则，故， 又，， 所以， 所以，即存在，满足，A正确； 因为，， 所以， 若与所成角的余弦值为，则， 化简可得，所以， 所以存在，使与所成角的余弦值为，B正确； 设平面的法向量为， 则，又，， 所以，设，则，， 所以为平面的一个法向量， 又， 所以点到平面的距离为， 当或时，， 当时，，故不为定值，C错误； 四面体，即三棱锥的底面的面积为定值， 又平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 故三棱锥的体积恒为定值，D正确． 故选：． 6.(2025·安徽省安庆市·模拟)如图，四棱锥中，平面平面，为棱上一点．    证明：； 若平面，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】证明：取中点，连接， ， 平面平面，平面平面平面， 平面， 平面    ， ， ，即， 又平面平面， 平面； 解：连接，设，连接， 平面平面，平面平面， ，易知， 取中点，连接，则两两互相垂直， 分别以直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，    则， ， ， ， 设平面的法向量， 则即，令，则， 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为．  7.(2025·四川省成都市·模拟)在三棱锥中，，．为的中点，为的中点，平面．    求证：平面平面； 若与底面所成角的正切值是，求二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】解：证明：如图，延长与相交于，连接， 根据，为的中点，则，，则， 在中，，为的中点，则， 在中，， 则， 同理在中，， 在中， ， 由于，则，即， 已知平面，平面，则， 平面，且， 则平面，平面，则平面平面 由于平面，，则可以为轴，为轴， 过作，可作为轴，建立空间直角坐标系， 由于平面，则与底面所成角为， 根据题意，，则． 得到相关点坐标：， 可得， 设平面的法向量为，则且， ，， 令，则，，所以 设平面的法向量为，同理且， ，， 令，则，，所以； 设二面角为， 所以， 通过观察图像可知二面角是锐二面角， 所以二面角的余弦值为．      学科网（北京）股份有限公司 $