已知线线角、线面角、二面角、空间距离求其他量专项训练——2026届高三数学一轮复习

已知线线角、线面角、二面角、空间距离求其他量专项训练 已知线线角、线面角、二面角、空间距离求其他量专项训练 考点目录 已知线线角求其他量 己知线面角求其他量 己知二面角求其他量 己知空间距离求其他量 考点一 已知线线角求其他量 例1.(25-26高二上·北京·月考)正方形ABCD与梯形AMPD所在的平面互相垂直， ADL PD.MA//PD,MA=AD=PD=1. 2 (1)求证：MB/1平面PDC; (2)求二面角M-PC-D的余弦值； (3)已知E为线段PC上一点，若直线DE与直线PM所成的角为60，求PE的长. D B 【答案】(1)证明见解析； Q 6: ③)3 3 【详解】(1)因为四边形ABCD是正方形，所以AB/CD, 因为ABIICD,CDc平面PDC,ABt面PDC,所以AB∥平面PDC, 因为MAI/PD,PDc平面PDC,MA丈平面PDC,所以MAI∥平面PDC, 因为AB∩MA=A,且ABC平面ABM,MAC平面ABM, 所以平面PDC/I平面ABM, 又MBc平面ABM,所以MB/I平面PDC; (2) 已知线线角、线面角、二面角、空间距离求其他量专项训练 ZA P M D B 因为平面ABCD⊥平面AMPD,平面ABCD∩平面AMPD=AD, 又PDc面AMPD,PD⊥AD,所以PD⊥平面ABCD, 又DCc平面ABCD,所以PD⊥DC, 如图，建立空间直角坐标系D-xyz, 又MA=AD=PD=1, 2 则M(1,0,1),P(0,0,2),C(0,1,0), 则MP=(-1,0,1),MC=(-1,L,-1), MP.=0 设平面PCM的一个法向量方=(x,y,),则 MC.=0 免 -x+z=0 -+y-20取元=02,10， 易知平面PCD的法向量m=(1,0,0), 方m。1V6 所以cos,刷马m石6，又三面角M-PC-D为锐角 所以二面角M-PC-D的余弦值为6： (3)由(2)知，PC=(0,1,-2),DP=(0,0,2), 设PE=1PC=(0,2,-2)且0≤1≤1， 则DE=DP+PE=(0,1,2-22), 又PM=1,0,-1),直线DE与直线PM所成的角为60， DE.PM 2-2λ DEIPMI2xVe+2-2示i, 则 2 已知线线角、线面角、二面角、空间距离求其他量专项训练 所以81-元)2=12+(2-22)2， 整理得322-82+4=(31-2元-2)=0，可得元=-号或1=2（舍）， 所以所=0子争.则E0+5-25 993 例2.(25-26高三上山东济南开学考试)如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形， ∠ABc-PA=Pc=5 (I)证明：AC⊥PD; 2若直线PB与直线PD所成角的余弦值为5，且PB<PD,求直线CD与平面PBC所成角的余弦值 3 【答案】(1)证明见解析 四号 【详解】(1)连接BD交AC于O,因为ABCD为菱形，故AC⊥BD; 又因为PA=PC,O为AC的中点，故P0⊥AC, POBD=O,PO,BDC平面PBD,故AC⊥平面PBD, 而PDc平面PBD,故AC⊥PD. (2)以O为坐标原点，以OB,OC为x,y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， D B C 则40，-1,0)，B5,0,0,C(01,0,D-5,0,0, 结合(1)可设P(x,0,z,因为PA=√2，所以x2+1+z2=2,即x2+z2=1, 而Bp=x-5,0,z,DP=x+5,0,z,故cos(Bp,DP= BP.DP x2-3+z2 1-g BP DP V4-23xV4+23xV4-3x2=3 =，因为8<P0,则=：=当成P 则c-5oa--5 已知线线角、线面角、二面角、空间距离求其他量专项训练 nBC=0 设平面PBC的法向量为i=(x,,)，则 nCP=0 -√3x+y=0 =0令=1，则新=6=5.则=。 (3y+6 则3。 又DC=5,l,0,则cos(DC,= DC.i232 DC26 2 即直线CD与平面PBC所成角的余弦值为， 例3.(24-25高二下·江苏南京·期中)如图1，ABC是底边为2的等腰三角形，且BA=BC=√5，△DAC为等腰 直角三角形，∠CDA=90°，将△DAC沿AC翻折到△PAC的位置，且点P不在平面ABC内（如图2），点F为线段 PB的中点. (1)证明：AC⊥PB; (2)当平面PAC⊥平面ACB时，求直线PB与平面ACF所成角的余弦值； ③)若直线PC与AB所成角的余弦值为5时，设平面PAC与平面ABC的夹角为a,求cosa的值. 4 D (图1) (图2) 【答案】(1)证明见解析： 四号 3 4 【详解】(1)取AC中点为E,连接PE,BE, PA=PC,AB=BC, :PE⊥AC,BE⊥AC, 又PEOBE=E,PE、BEC平面PBE, :AC⊥平面PBE,又PBC平面PBE, ·AC⊥PB. 已知线线角、线面角、二面角、空间距离求其他量专项训练 (2):平面PAC⊥平面ACB,平面PAC∩平面ACB=AC,PE⊥AC,PEc平面PAC, :PE⊥平面ACB,易知EA,EP,EB两两互相垂直， 以E为原点，以EA,EB,EP为基底，建立空间直角坐标系， A00.0,B02.0,C0.0,P0.0D,R023》 、。 B 30,2,-),CA=2,0.0,CF=2 CA.m=2x=0 设平面ACF的法向量为m=(x,,),则 C,m=5+2 2y+2=0 取y=-1,得m=(0,-1,√2)， :cos(PB,m）= PBm5-2.22 PBm3x3 3 设直线B8与平面4CF所城角为0.则5n0=2,又0e0 3 :直线PB与平面ACF所成角的余弦值为3 (3)以E为原点，以EA为x轴，EB为y轴，垂直于平面ABC所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， :△DAC为等腰三角形，DA=DC=√2， B方 :EP=1,则AL,0,0),B(0,V2,0),C(-1,0,0), 设∠BEP=0,则P(0,cos0,sin0),则PC=(-l,-cos0,-sin0),AB=(-L,√2,0)， 故cos(PC,AB》 PC.AB1-V2cos0√6 PC AB V2×54 cos6=-5或cos0=5Y5(舍，又ue0,1. 4 4 6 已知线线角、线面角、二面角、空间距离求其他量专项训练 cots ko 变式1.(24-25高三上·天津月考)如图几何体中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD,AQ11DP, AD=2,DP=2,A0=1 (1)证明：QB11平面PDC; (2)求平面CPB与平面PBQ所成角的大小： ③)己知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为7N5,求线段DH的长 15 D D A 夕 【答案】(1)证明见解析 (2 6 3)2 【详解】(1)由题意以D为原点，DA,DC,DP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图， 则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),Q(2,0,1), QB=(0,2,-1),由图知平面PDC的一个法向量是a=(1,0,0), 因为QB·a=0,所以QB⊥a,又QBt平面PDC, ∴QBI/平面PDC; Z D A (2)由(1)知PB=(2,2,-2),PC=(0,2,-2),P0=(2,0,-1), 设平面PBC的一个法向量是m=(x,,), 则 m·PB=2x+2y-2z1=0 ，取y=1，得m=(0,1), m-PC=2y-2z1=0 设平面PB2的一个法向量是n=(x2,y2,2), 6 已知线线角、线面角、二面角、空间距离求其他量专项训练 i.PB=2x2+2y2-2z2=0 则 ,取x2=1,得n=1,1,2), n.P0=2x2-2=0 cosm,= 网而V2x62，又，ie0,刘，m,i=产 m.i0+1+2V3 6 平面CPB与平面PBQ所成角的大小为管： (3)H在PD上，设H(0,0,z),0≤z≤2，则AH=(-2,0,z), A五.PB cos AH,PB= -4-2z7N3 AH PB 2。万15’4府2二2（之三84 舍去)， 3 所以DH=立： 变式2.(24-25高二上·天津北辰·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形， 关中4DC,4B1AD,B=AD=号BC=2,P4-4,E为陵8C上的点，且BE=BC. 2 (I)求证：DE⊥平面PAC: (2)求点E到平面PCD的距离； 5版0为校CP上的点（不与CP重合.且直线QE与平面以C所成角的F被值为怎，求号的直。 5 D B 【答案】(1)证明见解析 (2)2 6)C9、2 CP3 【详解】(I)因为PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,ADC平面ABCD 所以PA⊥AB,PA⊥AD.因为AB⊥AD则以A为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系. 由已知可得A0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,2,0),P0,0,4,E(2,1,0) 所以DE=(2,-1,0),AC=(2,4,0),AP=(0,0,4). 因为DE.AC=2×2-1×4+0=0,所以DE1AC.DE·AP=0,所以DE⊥AP. 又AP AC=A,APc平面PAC,ACc平面PAC.所以DE⊥平面PAC; 已知线线角、线面角、二面角、空间距离求其他量专项训练 (2)由(1)可知，EP=(-2,-1,4) 设平面PCD的法向量n=(x,y,z因为PD=(0,2,4),PC=(2,4,4). i.PD=02y-4z=0 所以 :PC-0即2x+4-42=0不纺设z=1,得i=(-22, 点E到平面PCD的距离d=EPn。6 =2 1nl√4+4+1 所以点E到平面PCD的距离为2.· (3》设C9=10<元<1)，即C0=1Cp=(-2元，-4,42). CP 则A0=AC+C0=(2-22,4-42,42),即Q(2-22,4-42,42) 则QE=(22,42-3,-42).由(1)可取DE=(2,-1,0)为平面PAC法向量 因E与平面PAC夹角O正弦值为5 则sn8-kosO,E- QE.DE 2×21-(42-3)+0 5 D园2+-12×22+(4-3y+-4n5 即36x-24以+9=3解得入=号即器号 CP 3 B 变式3.(24-25高二上·湖南益阳月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面 ABCD,PA=PD,AD=2CD=2BC=2,CD⊥BC,BCIIAD,E,F分别为AD,PC的中点. (I)证明：BC⊥平面PBE; (2)若BF与CD所成的角为60°，求平面BEF和平面ABE夹角的余弦值. F 已知线线角、线面角、二面角、空间距离求其他量专项训练 【答案】()证明见解析： 唱 【分析】(I)由题设易得四边形BCDE为正方形，即BE⊥BC,由等腰三角形性质得PE⊥AD,再由面面、线面垂 直的性质得PE⊥BC,最后应用线面垂直的判定证结论； (2)构建空间直角坐标系，根据线线角并应用向量法求F坐标，再由面面角余弦值的向量求法求平面BEF和平面 ABE夹角的余弦值. 【详解】(I)由BC1IAD,E为AD的中点，则ED=AD=BC,ED11BC, 又CD⊥BC,CD=BC,易知：四边形BCDE为正方形，即BE⊥BC, 由PA=PD,则PE⊥AD，,又面PAD⊥面ABCD,PEC面PAD,面PAD⊥面ABCD=AD 所以PE⊥面ABCD,BCc面ABCD,则PE⊥BC, 又PEOBE=E,PE,BEC面PBE,则BC⊥平面PBE; (2)由(1)易知：PE,BE,EA两两垂直，可建如下空间直角坐标系E-3z, AZ 1 所以B(0,1,0),C(-1,1,0),D(-1,0,0),设P(0,0,m)且m>0, 则P-号号，枚F=(分受00=0-10，又与C0所成的角为60， 1 BF.CD 所以 BFCD 115 m2,则m=5,即BF=(2之 V444 EB=(0,l0),若m=(x,y,z)为面BEF的一个法向量， 则 22=0 令x=√2，故m=(W2,0,1), m.EB=y=0 己知线线角、线面角、二面角、空间距离求其他量专项训练 又n=(0,0,)是面ABE的一个法向量，则cos(m,)= mi3 3’ 所以平面BEF和平面ABE夹角的余弦值为y5 10已知线线角、线面角、二面角、空间距离求其他量专项训练 已知线线角、线面角、二面角、空间距离求其他量专项训练 考点目录 已知线线角求其他量 已知线面角求其他量 已知二面角求其他量 已知空间距离求其他量 考点一 已知线线角求其他量 例1．（25-26高二上·北京·月考）正方形与梯形所在的平面互相垂直，． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)已知为线段上一点，若直线与直线所成的角为，求的长． 例2．（25-26高三上·山东济南·开学考试）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，. (1)证明：； (2)若直线与直线所成角的余弦值为，且，求直线与平面所成角的余弦值. 例3．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图1，是底边为2的等腰三角形，且，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段的中点． (1)证明：； (2)当平面平面时，求直线与平面所成角的余弦值； (3)若直线与所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值． 变式1．（24-25高三上·天津·月考）如图几何体中，四边形为正方形，平面，，，，. (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的大小； (3)已知点H在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长. 变式2．（24-25高二上·天津北辰·期中）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中∥，，，，为棱BC上的点，且． (1)求证：平面PAC； (2)求点到平面PCD的距离； (3)设为棱CP上的点（不与C，P重合），且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为，求的值． 变式3．（24-25高二上·湖南益阳·月考）如图，在四棱锥中，平面平面，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)若与所成的角为，求平面和平面夹角的余弦值． 考点二 已知线面角求其他量 例1．（25-26高二上·海南海口·期中）如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABC和底面BCD均为正三角形，且，. (1)求证:； (2)已知. （i）若 求二面角的大小： （ii）若直线与平面所成角的正弦值为 求实数的值. 例2．（25-26高三上·吉林长春·期中）如图，在四棱锥中，平面，，E为棱的中点，平面与棱相交于点F，且，. (1)求证：； (2)已知点M在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 例3．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知底面ABCD是正方形，平面，点E、F分别为线段PB、CQ的中点. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若点是线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时，求的值. 变式1．（2025·辽宁沈阳·三模）如图，在四棱锥中，为的中点，，点在线段上 (1)证明：平面； (2)已知四点均在球的球面上．若直线与平面所成角的正弦值为，求． 变式2．（25-26高二上·北京·期中）如图，在三棱锥中，，，是线段上的点. (1)求证：平面平面； (2)若为中点，求三棱锥的体积； (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 变式3．（25-26高二上·山东烟台·期中）如图，在三棱台中，平面，为中点，，. (1)求证：平面； (2)为棱上一点，且与平面所成角的正弦值为， （i）求的值； （ii）为平面上一点，且满足平面，求最小值. 考点三 已知二面角求其他量 例1．（25-26高二上·北京·期中）如图，在多面体中，四边形和都是直角梯形，，，，，，点为棱CF上一点，平面与棱BC交于点. (1)求证：； (2)求证：； (3)若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值. 例2．（25-26高二上·安徽芜湖·期中）如图，直四棱柱的底面为直角梯形，，，，点为棱上一动点. (1)当点为棱的中点时，证明：平面平面； (2)若二面角的余弦值为，求的值. 例3．（25-26高三上·广东东莞·月考）已知多面体的底面是正方形，底面，，． (1)证明：平面平面； (2)设，若二面角的大小为，求的值． 变式1．（25-26高二上·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，E是的中点. (1)求证：平面平面； (2)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 变式2．（25-26高二上·广东深圳·期中）如图1，在矩形中，，点为的中点，将沿折起到的位置（如图2），使得． (1)求证：平面； (2)设，若二面角的正弦值为，求实数的值． 变式3．（25-26高二上·山东淄博·期中）如图， ⊥平面，，. (1)求证: 平面； (2)求直线与平面 所成角的正弦值； (3)若二面角的余弦值为求线段的长. 考点四 已知空间距离求其他量 例1．（25-26高二上·浙江绍兴·期中）如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 例2．（25-26高二上·上海·期中）如图，已知正方体的棱长为1，点、分别是和的中点． (1)求证：； (2)求直线和所成角的大小； (3)棱上是否存在一点，使得到平面的距离为？若存在，请求出线段的长度，若不存在，请说明理由． 例3．（25-26高二上·贵州·期中）如图，棱长为2的正方体中，、分别为、的中点，点是平面上的点． (1)若点是的中点，证明：与、共面； (2)求平面与平面所成的夹角的余弦值； (3)若点满足，且点到平面的距离为，试确定点的位置，使得与平面所成的角取得最大值． 变式1．（25-26高二上·湖南·期中）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，平面平面，且与都是正三角形． (1)求证：． (2)若，点在棱上，且点到平面的距离为． （i）求； （ii）求平面与平面夹角的余弦值． 变式2．（24-25高二下·江苏南京·月考）如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点. (1)求证：平面； (2)若， ①求平面与平面所成角的余弦值； ②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 变式3．（25-26高二上·湖北十堰·期中）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知点为中点，点在线段上，且满足，平面交于点. (1)求证平面； (2)求的值； (3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $