组合体的表面积与体积 专项训练-2026届高三数学二轮复习

组合多面体的表面积与体积、组合旋转体的表面积与体积专项训练 组合多面体的表面积与体积、组合旋转体的表面积与体积专项训练 考点目录 组合多面体的表面积与体积 组合旋转体的表面积与体积 考点一 组合多面体的表面积与体积 例1．（25-26高三上·陕西商洛·期末）从棱长为4的正方体中截去到正方体顶点B的距离小于或等于4的部分后，得到几何体，则的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意易得是由正方体，挖去个以4为半径的球所得， 所以的表面积为.    故选：D 例2．（25-26高三上·北京东城·期末）如图，已知正方体的棱长为1．平面，平面和平面将该正方体分割成若干个多面体，则其中顶点所在的多面体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接，易知三条体对角线交于一点，记为点. 则分割后顶点所在的多面体为六面体，其表面分别是. 根据正方体的性质，知， 所以. 中，边上的高为，所以的面积为； 的面积为. 所以顶点所在的多面体的表面积为. 故选：D. 例3．（25-26高二上·江西·月考）中国古代的建筑形式多样，如赫赫有名的苏州园林（如图1），其几何模型可以简化为如图2所示的几何体，其中是长方体，且，，是棱台，侧面的梯形均为等腰梯形，，棱台的高为2，则该几何体的表面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先求下半部分，表面积为. 再求上半部分， 由于，则， 所以上长方形的面积为. 由已知， 则， 由于棱台侧面为等腰梯形，故， 前后两部分的梯形的高为，， 则这两个梯形的面积之和为. 左右两部分的梯形的高为， 则这两个梯形的面积之和为， 因此总表面积为. 故选：C. 例4．（25-26高二上·河南南阳·期末·多选）半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体．如图1，这是某广场放置的石凳，它是由一个正方体截去八个一样的四面体得到的，其直观图如图2所示．若，则（   ）    A．该石凳的表面积是 B．异面直线AC与所成的角为 C．直线与平面ABC所成角的余弦值是 D．点到平面ABC的距离是 【答案】ACD 【详解】对于A，由题意可得该石凳是由6个边长为的正方形和8个边长为的等边三角形围成， 所以其表面积是，A正确． 对于B，将石凳的直观图补全成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则， 所以，． 因为0，所以， 所以异面直线AC与EF所成的角为，B错误． 对于C，设平面ABC的法向量为， 则令，得． 设直线EF与平面ABC所成的角为， 则， 故，C正确． 对于D，因为平面ABC的一个法向量为，且， 所以点到平面ABC的距离是，D正确． 故选：ACD.    例5．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直，则该包装盒的容积是________． 【答案】/ 【详解】如图，把几何体补全为长方体，则， ， 由对称性，可得该包装盒的容积为 . 例6．（25-26高二上·北京海淀·期末）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.将一个正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，于是得到一种八个面为正三角形、六个面为正方形的半正多面体，如图所示，已知，则此半正多面体的体积为_______. 【答案】/ 【详解】将该“阿基米德多面体”补成正方体，设该正方体的棱长为， 由题意可知，，解得， 所以该“阿基米德多面体”相当于在正方体中挖去八个全等的三棱锥， 且每个三棱锥的体积都等于， 故该“阿基米德多面体”的体积为. 故答案为：. 例7．（2026·云南大理·二模）庑殿顶是中国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊，《九章算术》中将类似庑殿顶的几何体称为“刍甍”（图1）．据记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广（袤：南北方向长度；广：东西方向长度）”，其体积公式为：（上袤下袤）广高．如图2所示，刍甍是底面为矩形的五面体，顶部是一条与底面平行的正脊，四条斜脊长度相等，若下袤为，广为，上袤是下袤的，和与底面所成角均为，则该刍甍的体积为________． 【答案】640 【详解】如图，已知，，， 过点F作平面ABCD，垂足为O，连接OB，OC，Q为BC的中点，连接FQ， 因为，所以，，所以为平面BCF与底面所成的角，则，所以，则， 则该刍甍的体积（）． 故答案为：640 变式1．（24-25高三上·安徽·开学考试）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺的圆柱的底面直径为6，圆柱和圆锥的高均为4，则该陀螺的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：该陀螺的表面有：底面圆面、圆柱的侧面和圆锥的侧面， 且圆锥的母线长为， 所以该陀螺的表面积为. 故选：C. 变式2．（2025·北京·模拟预测）攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.兰州市著名景点三台阁的屋顶部分也是典型的攒尖结构.如图所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是正三棱柱和不含下底面的正四棱台的组合体.已知正四棱台侧棱、下底的长度（单位：dm）分别为4，6，侧面与底面所成二面角的正切值为，正三棱柱各棱长均相等，则该结构表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过作平面于，过作于，连接， 因平面,则，又平面， 故平面，因平面，则，故为的平面角， 故，则. 令正四棱台上底边长为，则， ， 所以，即， 解得或（舍去），故. 所以该结构表面积为 . 故选：A. 变式3．（24-25高三上·北京昌平·期末）如图1所示，在正六棱柱中，底面边长为1，侧棱长为2，，，，.在正六棱柱中，截去三棱锥、、，再分别以为轴将分别向上翻转，记三点重合的点为，围成的曲顶多面体如图2所示. 记正六棱柱的表面积与体积分别为，当时，记所围成的曲顶多面体的表面积与体积分别为，则下述判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图2，由题意， 由旋转方法可知，四点共面，且四边形为菱形， 连接，交于，则为中点，且； 如图1，正六棱柱中，平面， 因为平面，所以， 在上底面正六边形中，设中心为. 连接，与的交点即为中点， 则四点共线，且为中点，为中点. 连接，四边形为菱形，则，且， 如图2，连接， 由，，平面，且， 故平面，又平面，所以. 结合图1与图2， 在与中，，，， 所以与全等，，则， 即，平面，且， 则平面，且， 同理，，， 又， 则， 设均为，， 故， 故曲顶多面体可看作由正六棱柱截去个小三棱锥（三棱锥，三棱锥，三棱锥）再补上个大三棱锥， 故曲顶多面体的体积； 因为， ， 所以由正六棱柱的性质结合上面的分析，可知曲顶多面体的表面积 ； 而正六棱柱的表面积 ； 所以，即. 综上所述，. 故选：C. 变式4．（25-26高三上·重庆·期中·多选）成语“五脊六兽”源于中国古建筑结构的一种形式，“五脊”指屋顶一根水平放置的正脊加上四条倾斜放置的垂脊，如左图所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如右图所示.在结构示意图中，已知四边形为矩形，，，与都是边长为2的等边三角形，则下列说法正确的有（    ）    A．几何体的表面积为 B．几何体的体积为 C．一只蚂蚁经几何体的表面（不含底面），从到的最短距离为 D．直线与面所成角的正弦值为 【答案】AC 【详解】如图1，过点分别作，，垂足分别为， 过点分别作，，垂足分别为，连接. 对于A，由，，四边形为矩形，与都是边长为2的等边三角形， 所以四边形和为全等的等腰梯形， 所以，则，同理， 所以几何体的表面积，故A正确； 对于B，如图1，过点作，垂足为， 因为，，平面，， 所以平面，又平面，所以， 平面，，所以平面， ， 由题几何体被分割成两个全等的四棱锥，和直三棱柱， 所以几何体的体积，故B错误；    对于C，如图2，由，，，得， 所以，又， 将侧面与沿展开铺平，则构成平行四边形， 此时线段长即从点到的最短距离，，故C正确；    对于D，如图1，由平面，连接，则即是直线与平面所成角， 所以，则，故D错误. 故选：AC. 变式5．（25-26高三上·北京顺义·期末）由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体（如图），  ，分别在上，满足，则几何体的体积为__________；___________. 【答案】 【详解】几何体看作以为公共底面的两个三棱锥和的组合， 又因为在正四棱台中，，， 所以，又因为，连接，则为等腰直角三角形， 其面积为：， 连接，交于点，连接，交于点，则垂直于面且为三棱锥的高，平移到，则，即四边形是平行四边形， 所以， 又因为四边形是正方形，所以，分别是，的中点， 且，为等腰直角三角形， 所以，， ， 在直角三角形中，由勾股定理可得， 所以几何体的体积, 连接，交于点，连接，， 由题意可得，几何体是由两个全等的正四棱台组合， 所以平行且，所以四边形是平行四边形， 所以，且平行， 又因为是两个全等的正四棱台组合的组合体的高， 所以，为直角三角形，由勾股定理可得： . 故答案为：，. 变式6．（25-26高二上·上海松江·期末）如图，在几何体中，侧棱，，均垂直于底面，已知，，，则该几何体的体积是________．    【答案】 【详解】分别在上取点，连接， 所以平面平面， 取的中点，连接，因为平面， 所以平面，平面，所以， 又因为，，平面， 平面， ，梯形， ∴所求几何体的体积为.    故答案为：. 变式7．（25-26高三上·北京丰台·期末）现有一块长为22cm，宽和高均为3cm的长方体木料，如图1所示.工人将其切掉一个四棱柱后，用余下的木料拼接成如图2所示的几何体.已知cm，，二面角的大小为，则图2所示的几何体的体积为______.      【答案】 【详解】连接，过作于，如图    由题意知，二面角的平面角为， 所以，又, 所以，则， 所以几何体可构成相当于长宽高分别为的长方体， 其体积为（）， 故答案为： 考点二 组合旋转体的表面积与体积 例1．（24-25高一下·广东广州·期末）在中，，，，现以所在直线为轴，其余两边旋转一周形成曲面围成的几何体，则这个几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设边上的高为，，，则， 则旋转形成的几何体为两个共同底面的圆锥，底面半径为，母线长分别为和， 则这个几何体的表面积. 故选：A. 例2．（25-26高三上·浙江温州·月考）如图，平行四边形，，，，以所在直线为轴，其它三边旋转一周所围成的几何体的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】作出旋转体如下图： 过点作所在直线的垂线，垂足为,，，，则， 即底面圆的半径为，则圆的周长为， 圆锥侧面展开图的半径为，上下两个圆锥的侧面积为， 几何体的侧面展开是一个矩形，， 所以几何体的表面积为. 故选：B. 例3．（2025·陕西安康·模拟预测）随着古代瓷器工艺的高速发展，在著名的宋代五大名窑之后，又增加了三种瓷器，与五大名窑并称为中国八大名瓷，其中最受欢迎的是景德镇窑．如图，景德镇产的青花玲珑瓷(无盖)的形状可视为一个球被两个平行平面所截后剩下的部分，其中球面被平面所截的部分均可视为球冠(截得的圆面是底，垂直于圆面的直径被截得的部分是高，其面积公式为，其中为球的半径，为球冠的高)．已知瓷器的高为，在高为处有最大直径(外径)为，则该瓷器的外表面积约为(取3.14) （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：球的半径为，上球冠的高，下球冠的高， 设下底面圆的半径为，则， 所以该瓷器的外表面积为. 故选：C. 例4．（25-26高三上·湖北武汉·月考·多选）如图，点分别是直角三角形ABC的边上的点，斜边AC与扇形的弧相切，已知，则关于阴影部分绕直线AB旋转一周所形成的几何体，下列说法正确的是（    ） A．该几何体是圆锥 B．该几何体的底面积为 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 【答案】BD 【详解】在中，，则， 由斜边与扇形的弧相切，扇形半径， 阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体是绕直线旋转一周所得圆锥， 挖去扇形弧绕直线旋转一周所得半球，A选项错误； 几何体底面积为，B选项正确； 几何体的表面积为，C选项错误； 所以所求体积为，D选项正确； 故选：BD. 例5．（25-26高二上·上海·期末）如图所示，为梯形，，，现在将这个图形绕着直线旋转一周，得到一个几何体，那么这个几何体的体积是________. 【答案】 【详解】由题意，所得几何体是一个底面半径为2，高为2的圆柱和一个底面半径为2，高为2的圆锥构成的组合体， 所以其体积为. 故答案为： 例6．（25-26高三上·上海嘉定·月考）在平面上，将双曲线的一支及直线和直线､围成的封闭图形记为，如图中阴影部分，记绕轴旋转一周所得的几何体为，过作的水平截面，计算截面积，利用祖暅原理和割补法得出体积为______. 【答案】 【详解】在平面上，将双曲线的一支及和直线，围成的封闭图形记为D， 双曲线的第一象限渐近线为， 如图中阴影部分． D分为双曲线的一支及和直线，围成的区域加上和直线，围成的区域， 直线与双曲线交于一点， 则直线与交于一点， 记双曲线的一支及和直线，围成的区域绕y轴旋转一周所得的几何体为． 过作的水平截面，则截面面积， 利用祖暅原理得的体积相当于底面面积为高为3的圆柱的体积， 则直线与直线交于一点， 直线和直线､围成区域绕轴旋转一周所得的几何体为圆锥， 利用祖暅原理得的体积相当于底面面积为高为3的圆柱的体积加上底面积为高为3的圆锥， ∴的体积， 故答案为： 例7．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，半径为3，圆心角为的扇形绕着旋转一周得到几何体，则的体积为___________．    【答案】 【详解】由半径为3，圆心角为的扇形绕着旋转一周得到几何体为一个半径为的半球， 所以几何体的体积为. 故答案为：.    变式1．（2025·广东佛山·模拟预测）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县新石器时代遗址中发现的.如图所示是一个陀螺立体结构图，已知底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积（单位：）是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得圆锥体的母线长为， 所以圆锥体的侧面积为， 圆柱体的侧面积为，圆柱的底面面积为， 所以此陀螺的表面积为（）， 故选：B 变式2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积约为（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径为， 而圆台一个底面的半径为，圆台的母线长为，则，， ，， 所以． 故选：A． 变式3．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则，， 圆锥的母线长为， 过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱， 则剩下的几何体的表面积为. 故选：B. 变式4．（25-26高三上·福建厦门·月考·多选）如图，梯形中，，且．现选择梯形的某一边为轴旋转一周得到一几何体，以下选项可能是该几何体的体积的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】以为旋转轴旋转，如下图： 几何体为上底半径为1，下底半径为2，高为1的圆台， 所以体积，故D正确； 以为旋转轴旋转，如下图： 几何体为一个底面半径为1，高为2的圆柱去掉一个底面半径为1，高为1的圆锥， 所以体积，故A正确； 以为旋转轴旋转，如下图： 几何体为一个底面半径、高为的大圆锥加上一个上下底半径分别为、， 高为的圆台再去掉一个底面半径、高为的小圆锥组成， 所以体积； 以为旋转轴旋转，如下图： 几何体为一个底面半径、高为1的圆柱和一个底面半径、高为1的圆锥组成， 所以体积，故B正确. 故选：ABD 变式5．（25-26高三上·上海浦东新·期末）如图，等腰直角的斜边长为，将绕斜边所在直线旋转一周形成的旋转体的体积为_____. 【答案】 【详解】由题意，将绕斜边所在直线旋转一周形成的旋转体是以为底面半径，为高的两个共底面圆锥， 所以旋转体的体积为. 故答案为： 变式6．（25-26高三上·黑龙江大庆·期中）一个高为6cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有三个半径都为2cm的铁球，这三个铁球两两相切，并且它们都与圆柱的侧面相切，其中两个铁球与圆柱形容器的下底面相切，第三个铁球与圆柱形容器的上底面相切，则圆柱形容器的容积为______. 【答案】 【详解】设与下底面相切的两个球的球心分别为、，与下底面的切点分别为、，球与球切点为； 与上底面相切的球的球心为，与上底面的切点为，在下底面的投影为，与球交于； 从方向看，如图1所示： 由于三个球半径都为2，即， 由于圆柱高为6，则，， 则与处于同一高度，即， 由于三个铁球两两相切，则, 则由勾股定理可得. 从圆柱正上方方向看，如图2所示，，, 设下底面为圆，半径为，球在下底面投影为圆，则圆与圆内切， 则，同理， 则，即为三角形外接圆圆心，     在三角形中，由余弦定理可得， 则， 设三角形外接圆半径为，由正弦定理可得， 则，， 则， 故答案为：. 变式7．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）祖暅是我国南北朝时期的数学家，著作《缀术》上论及多面体的体积：缘幂势既同，则积不容异——这就是祖暅原理.用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这个两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.在棱长为2的正方体中，是上一点，于点，，点绕旋转一周所得圆的面积为_________（用表示）；将空间四边形绕旋转一周所得几何体的体积为_________. 【答案】 【详解】     在正方体中，棱长为2， 是上一点，于点，， ， ， 即点绕旋转一周所得圆的半径为， 点绕旋转一周所得圆的面积为. 根据祖暅原理“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这个两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”， 将空间四边形绕旋转一周，可以转化为一个底面半径和高均为的圆柱体积加一个一个底面半径和高均为的圆锥的体积， 所以空间四边形绕旋转一周所得几何体的体积为： . 故答案为：；. 2 学科网（北京）股份有限公司 $组合多面体的表面积与体积、组合旋转体的表面积与体积专项训练 组合多面体的表面积与体积、组合旋转体的表面积与体积专项训练 考点目录 组合多面体的表面积与体积 组合旋转体的表面积与体积 考点一 组合多面体的表面积与体积 例1．（25-26高三上·陕西商洛·期末）从棱长为4的正方体中截去到正方体顶点B的距离小于或等于4的部分后，得到几何体，则的表面积为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·北京东城·期末）如图，已知正方体的棱长为1．平面，平面和平面将该正方体分割成若干个多面体，则其中顶点所在的多面体的表面积为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·江西·月考）中国古代的建筑形式多样，如赫赫有名的苏州园林（如图1），其几何模型可以简化为如图2所示的几何体，其中是长方体，且，，是棱台，侧面的梯形均为等腰梯形，，棱台的高为2，则该几何体的表面积为（   ）    A． B． C． D． 例4．（25-26高二上·河南南阳·期末·多选）半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体．如图1，这是某广场放置的石凳，它是由一个正方体截去八个一样的四面体得到的，其直观图如图2所示．若，则（   ）    A．该石凳的表面积是 B．异面直线AC与所成的角为 C．直线与平面ABC所成角的余弦值是 D．点到平面ABC的距离是 例5．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直，则该包装盒的容积是________． 例6．（25-26高二上·北京海淀·期末）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.将一个正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，于是得到一种八个面为正三角形、六个面为正方形的半正多面体，如图所示，已知，则此半正多面体的体积为_______. 例7．（2026·云南大理·二模）庑殿顶是中国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊，《九章算术》中将类似庑殿顶的几何体称为“刍甍”（图1）．据记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广（袤：南北方向长度；广：东西方向长度）”，其体积公式为：（上袤下袤）广高．如图2所示，刍甍是底面为矩形的五面体，顶部是一条与底面平行的正脊，四条斜脊长度相等，若下袤为，广为，上袤是下袤的，和与底面所成角均为，则该刍甍的体积为________． 变式1．（24-25高三上·安徽·开学考试）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺的圆柱的底面直径为6，圆柱和圆锥的高均为4，则该陀螺的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2025·北京·模拟预测）攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.兰州市著名景点三台阁的屋顶部分也是典型的攒尖结构.如图所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是正三棱柱和不含下底面的正四棱台的组合体.已知正四棱台侧棱、下底的长度（单位：dm）分别为4，6，侧面与底面所成二面角的正切值为，正三棱柱各棱长均相等，则该结构表面积为（   ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高三上·北京昌平·期末）如图1所示，在正六棱柱中，底面边长为1，侧棱长为2，，，，.在正六棱柱中，截去三棱锥、、，再分别以为轴将分别向上翻转，记三点重合的点为，围成的曲顶多面体如图2所示. 记正六棱柱的表面积与体积分别为，当时，记所围成的曲顶多面体的表面积与体积分别为，则下述判断正确的是（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高三上·重庆·期中·多选）成语“五脊六兽”源于中国古建筑结构的一种形式，“五脊”指屋顶一根水平放置的正脊加上四条倾斜放置的垂脊，如左图所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如右图所示.在结构示意图中，已知四边形为矩形，，，与都是边长为2的等边三角形，则下列说法正确的有（    ）    A．几何体的表面积为 B．几何体的体积为 C．一只蚂蚁经几何体的表面（不含底面），从到的最短距离为 D．直线与面所成角的正弦值为 变式5．（25-26高三上·北京顺义·期末）由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体（如图），  ，分别在上，满足，则几何体的体积为__________；___________. 变式6．（25-26高二上·上海松江·期末）如图，在几何体中，侧棱，，均垂直于底面，已知，，，则该几何体的体积是________．    变式7．（25-26高三上·北京丰台·期末）现有一块长为22cm，宽和高均为3cm的长方体木料，如图1所示.工人将其切掉一个四棱柱后，用余下的木料拼接成如图2所示的几何体.已知cm，，二面角的大小为，则图2所示的几何体的体积为______.      考点二 组合旋转体的表面积与体积 例1．（24-25高一下·广东广州·期末）在中，，，，现以所在直线为轴，其余两边旋转一周形成曲面围成的几何体，则这个几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·浙江温州·月考）如图，平行四边形，，，，以所在直线为轴，其它三边旋转一周所围成的几何体的表面积是（   ） A． B． C． D． 例3．（2025·陕西安康·模拟预测）随着古代瓷器工艺的高速发展，在著名的宋代五大名窑之后，又增加了三种瓷器，与五大名窑并称为中国八大名瓷，其中最受欢迎的是景德镇窑．如图，景德镇产的青花玲珑瓷(无盖)的形状可视为一个球被两个平行平面所截后剩下的部分，其中球面被平面所截的部分均可视为球冠(截得的圆面是底，垂直于圆面的直径被截得的部分是高，其面积公式为，其中为球的半径，为球冠的高)．已知瓷器的高为，在高为处有最大直径(外径)为，则该瓷器的外表面积约为(取3.14) （   ） A． B． C． D． 例4．（25-26高三上·湖北武汉·月考·多选）如图，点分别是直角三角形ABC的边上的点，斜边AC与扇形的弧相切，已知，则关于阴影部分绕直线AB旋转一周所形成的几何体，下列说法正确的是（    ） A．该几何体是圆锥 B．该几何体的底面积为 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 例5．（25-26高二上·上海·期末）如图所示，为梯形，，，现在将这个图形绕着直线旋转一周，得到一个几何体，那么这个几何体的体积是________. 例6．（25-26高三上·上海嘉定·月考）在平面上，将双曲线的一支及直线和直线､围成的封闭图形记为，如图中阴影部分，记绕轴旋转一周所得的几何体为，过作的水平截面，计算截面积，利用祖暅原理和割补法得出体积为______. 例7．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，半径为3，圆心角为的扇形绕着旋转一周得到几何体，则的体积为___________．    变式1．（2025·广东佛山·模拟预测）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县新石器时代遗址中发现的.如图所示是一个陀螺立体结构图，已知底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积（单位：）是（    ）    A． B． C． D． 变式2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积约为（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 变式3．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高三上·福建厦门·月考·多选）如图，梯形中，，且．现选择梯形的某一边为轴旋转一周得到一几何体，以下选项可能是该几何体的体积的是（　　） A． B． C． D． 变式5．（25-26高三上·上海浦东新·期末）如图，等腰直角的斜边长为，将绕斜边所在直线旋转一周形成的旋转体的体积为_____. 变式6．（25-26高三上·黑龙江大庆·期中）一个高为6cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有三个半径都为2cm的铁球，这三个铁球两两相切，并且它们都与圆柱的侧面相切，其中两个铁球与圆柱形容器的下底面相切，第三个铁球与圆柱形容器的上底面相切，则圆柱形容器的容积为______. 变式7．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）祖暅是我国南北朝时期的数学家，著作《缀术》上论及多面体的体积：缘幂势既同，则积不容异——这就是祖暅原理.用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这个两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.在棱长为2的正方体中，是上一点，于点，，点绕旋转一周所得圆的面积为_________（用表示）；将空间四边形绕旋转一周所得几何体的体积为_________. 2 学科网（北京）股份有限公司 $