椭圆中的向量问题、参数范围与最值问题专项训练-2026届高三数学二轮复习

椭圆中的向量问题、椭圆中的参数范围与最值问题专项训练 椭圆中的向量问题、椭圆中的参数范围与最值问题专项训练 考点目录 椭圆中的向量问题 椭圆中的参数范围与最值问题 考点一 椭圆中的向量问题 例1．（2026·陕西咸阳·二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的离心率为，左、右焦点分别为，，上顶点为，点在轴上，满足，且. (1)求的标准方程； (2)过点的直线交于，两点，若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点，求出的坐标，根据可得，再由得，再结合、求出可得答案； （2）设直线的方程为，，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入解得，求出点到直线的距离、弦长，由的面积可得答案.. 【详解】（1）由已知得，设点， 则， 因为，所以， 可得，由得， 即，， 再由可得，， 则的标准方程为； （2）由（1）知的方程为，且， 设直线的方程为，， 由得， 所以， ， 因为，所以， 即，代入韦达定理得 ，化简得，解得， 此时，符合题意， 点到直线的距离， 弦长 ， 所以的面积 ，将代入得 , 所以的面积为. 例2．（25-26高三下·河北沧州·月考）已知离心率为的椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程． (2)过点引出两条相交直线和，分别交椭圆于四点，若两条直线斜率互为相反数，判断是否为定值？如果是定值，求出其定值． 【答案】(1) (2)是定值，定值为0． 【分析】 （1）由题意列出关于的方程，求解可得椭圆的标准方程； （2）设，设直线的方程为，直线的方程为，联立椭圆的方程，可用表示，即可得，从而判断是否为定值. 【详解】（1） 设椭圆的焦距为. 因为椭圆的离心率为，且过点， 所以，解得， 则椭圆的标准方程为； （2） 易知直线的斜率均存在， 设直线的方程为， 所以直线的方程为． 设， 此时，， 联立，消去y并整理得， 此时，解得或， 由韦达定理得，， 所以 ， 联立，消去y并整理得， 此时，解得或， 由韦达定理得，， 所以 ． 综上所述，或. 所以是定值，定值为0． 例3．（2026·河南许昌·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点在椭圆上. (1)求的方程； (2)已知上一点，且不在轴上，直线，与的另一个交点分别为，. （ⅰ）若点的坐标为，求直线的方程； （ⅱ）若，，求的值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据条件，直接建立方程组，解出，即可求解； （2）（i）根据条件直接求出点坐标和直线的方程，联立椭圆方程，求出点坐标，即可求解；（ii）设，根据条件用和表示出点的坐标，再利用在椭圆上，可得，，即可求解. 【详解】（1）由题知，解得， 所以的方程为. （2）（i）因为，又 ，由对称性知， 又，所以， 由，消并整理得到，解得或， 当时，，所以， 则，所以直线的方程为，即. （ii）设，，则， 又，则，解得，， 因为在椭圆上，则，即， 又，则， 易知，化简得，则， 又因为， 又，则，解得，， 因为在椭圆上，则，即， 又，则， 易知，化简得，得到， 故. 变式1．（25-26高二下·河南驻马店·月考）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过点． (1)求的标准方程． (2)若直线与交于，两点． （ⅰ）当时，过点作直线的垂线，垂足为，证明：直线过定点； （ⅱ）当时，设为坐标原点，是上异于，的点，且，求的面积． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据条件先判断椭圆焦点位置，设出其方程，有条件求出的值，即得椭圆方程； （2）（ⅰ）设，，将直线方程与椭圆方程联立，求出，写出韦达定理，依题意设，写出直线的方程，令，利用韦达定理化简推出，即得定点；（ⅱ）设，由可得，根据点在椭圆上，点在直线上，可推出，再利用弦长公式，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式计算即得. 【详解】（1）由两点的位置可知，椭圆的长轴在轴上， 设的方程为． 由解得，， 故的标准方程为． （2）由整理得， 则， 设，，则，， （ⅰ）当时，， 由题意可知，，所以直线的方程为， 令，则 ， 故直线过定点． （ii）设，则，， 由，得，则， 将点代入得， 整理得， 又，在椭圆上，所以，，代入上式得， 又，均在直线上， 所以，，则， 整理得， 将，代入上式，得， 则， 所以 ， 又点到直线的距离为， 故的面积为． 变式2．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期中）给定椭圆：，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”．已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)若点，是椭圆的“准圆”与轴的两交点，是椭圆上的一个动点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，可得c和a值，根据的关系，可得b值，即可得答案. （2）由（1）可得椭圆C的“准圆”方程，即可得A、B点坐标，设，根据数量积公式，可得表达式，根据m的范围，即可得答案. 【详解】（1）由题意知，且，可得， 故椭圆的方程为． （2）由（1）得椭圆的“准圆”方程为，由题意不妨设，， 设，则有，，， 所以， 又，则， 所以的取值范围是． 变式3．（25-26高三下·北京·开学考试）已知椭圆的离心率为，焦距为2，点分别是椭圆的左右焦点，点是椭圆上两动点，不与轴垂直，连接 ，直线与的外角平分线所在直线交于点． (1)求椭圆的方程： (2)当分别为椭圆的上顶点和左顶点时，求点坐标： (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由椭圆的离心率、焦距及列方程组求解，进而得到椭圆方程； （2）先根据椭圆方程确定的坐标，再求出的外角平分线的斜率或方程，同时求出直线的方程，联立两个方程即可得到点的坐标； （3）设出点的坐标，利用角平分线的性质得到相关线段或斜率的关系，结合椭圆方程和直线的方程，通过向量数量积的坐标运算，推导的值. 【详解】（1）依题意， 解得 椭圆的方程为． （2）当分别为椭圆上顶点和左顶点时，． 因为， ． 所以 ． （3）首先证明在上． 设，直线与交于， 易知， ① 当时， 点到的距离 因为点在直线和椭圆上，所以且 同理点到的距离． 所以． ②当，或时不妨设此时必有， 由①知点到的距离． 与平行，所以． 因为直线过或，所以． 所以； 综合①②． 所以点在内角平分线或其外角平分线上，而内角分线与交点在椭圆内， 所以点在外角平分线上． 所以外角平分线交于一点，所以在上， ． 考点二 椭圆中的参数范围与最值问题 例1．（25-26高三下·江西赣州·期中）如图，设是椭圆上一点，左、右焦点分别是，，当的重心为时，的垂心为.从原点向圆作的两条切线分别与椭圆交于点，，直线，的斜率分别记为，. (1)求椭圆的方程； (2)是否存在使得为定值，若存在，求出和的值，并求出此时的最大值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，，，的最大值 【分析】（1）根据重心坐标公式可求出，再根据为垂心结合求出，将代入椭圆方程，结合，即可求出答案； （2）根据直线，与圆相切列式，进而得到为方程的两个解，根据韦达定理得到，根据椭圆方程可化为，列式即可求出，设，，根据求得，进而得到，从而证明，利用基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）设椭圆的两焦点坐标为，， 的重心为，即， 由题意知，解得，则， 又因为的垂心为，所以， ，， 所以，解得， 所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2）直线，的方程分别为，， 因为直线，与圆相切， 所以，， 即，， 所以为方程的两个解， 所以， 又，所以， 若为定值，则，解得，此时， 设，， 所以，即， 因为均在椭圆上，所以，， 所以， 化简得， 所以， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以此时的最大值. 例2．（25-26高二下·湖北·期中）已知椭圆经过点，且椭圆的两个焦点坐标分别为、． (1)求出椭圆的标准方程； (2)若、是椭圆上异于的点，直线、以及轴围成一个以为顶点的等腰三角形． ①求证：直线的斜率为定值； ②求弦长的取值范围． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由椭圆的定义可求得的值，结合的值可得出的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）①由题可得，设点、，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据结合韦达定理化简可得出的值； ②求出的取值范围，结合弦长公式可求得的取值范围. 【详解】（1）由椭圆定义可得 ， 因为，所以，则， 由题，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）①由题可得，从而直线的斜率必定存在， 设、，设直线的方程为， 联立，可得， ，可得， 由韦达定理可得，， 因为， 即， 即 ， 整理可得， 即， 又因为直线不过点，所以，所以，即； ②由①可知，，由得， 因为，所以，因此的取值范围是. 例3．（2026·湖南郴州·模拟预测）已知椭圆的离心率为分别是椭圆的左，右焦点，点为椭圆上任意一点，且面积的最大值为所在的直线经过椭圆的中心，现将坐标平面沿轴折成一个直二面角，如图1､2所示. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求翻折后异面直线与所成角的余弦值； (3)当不在轴上时，如图2，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）当在短轴端点时面积最大，再结合离心率为与，可求出椭圆方程； （2）折叠前直线与椭圆方程联立求出坐标；折叠后建立空间直角坐标系，再确定的空间坐标，向量法求异面直线所成角的余弦值； （3）直线与椭圆方程联立，利用韦达定理得到坐标的关系，翻折后，建立空间直角坐标系，写出的空间坐标，利用空间向量可算出到的距离，再根据三角形面积公式结合基本不等式可求出面积最大值. 【详解】（1）由题意知，解得 ∴椭圆C的标准方程为. （2）翻折前，所在直线方程为， 联立，消得，解得， 不妨设，翻折后，建立如图所示的空间直角坐标系. 则 于是. 设异面直线与所成角为， . 故异面直线与所成角的余弦值为. （3）设翻折前所在直线方程为， 联立，消得， 设（令）， 由韦达定理有. 翻折后，， 故， 则， 所以， 于是. 所以， 令，有，于是. 令，由对勾函数的性质， 在上单调递增. 所以当时取得最小值，为，此时取得最大值， 的最大值为.此时，解得. 所以当直线的斜率时，面积取得最大值，最大值为2. 变式1．（25-26高三下·山东菏泽·月考）设椭圆的离心率为，左顶点为，上顶点为，且的面积为（为坐标原点）． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知动点不在轴上，点在射线上，且满足． ①设，求点的坐标（用表示）； ②若点在椭圆上，直线的斜率等于直线的斜率，求的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据离心率建立与的关系，利用直角三角形面积公式建立与的关系，结合消元，求解得到的具体值； （2）①用表示出，结合向量数乘写出的含参坐标，利用，结合共线向量的模长关系，直接得到，回代的坐标，完成求解； ②利用，，代入①中的坐标化简，得到的轨迹方程，以为圆心、为半径的圆，利用圆的几何性质得到，将双动点的最大值，转化为“椭圆上的点到定点的距离最大值”，用椭圆的参数方程设，将的平方转化为关于的二次函数，结合的天然范围，求解二次函数的闭区间最值，最终得到的最大值. 【详解】（1）求椭圆的标准方程： 椭圆，离心率，即， 由，得． 左顶点，上顶点，的面积， 即， 代入，，得，即，， ∴，， 椭圆的标准方程为：． （2）（i）求点的坐标（用表示）： ∵点在射线上，∴设， ，，则，， ∴． 由，，得， ，∴， 代入得． （ii）设，在椭圆上，故1． 由题意，直线的斜率，，， 得，结合（i）的坐标化简得：， 此时，动点的轨迹为以点为圆心，2为半径的圆去掉两点， 所以， 当且仅当三点共线，且在和之间时，等号成立， 因此求的最大值，需要先求椭圆上的点到的最大距离，再加上半径， 令，（参数方程）， 则， ∵，∴当时，取得最大值，所以的最大值为． 变式2．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知曲线与曲线，椭圆的离心率为，且2是的等比中项． (1)求曲线的方程； (2)若点是曲线上的动点，，过点分别作轴的垂线，，射线分别交于点．坐标平面内动点满足，点的轨迹为曲线． （ⅰ）求证：曲线过定点； （ⅱ）当曲线所围成的平面区域面积最小时，过曲线上的动点作的两条切线、切点分别为，求面积的最大值． 【答案】(1)曲线的方程：，曲线的方程：; (2)（ⅰ）见解析过程，过定点； （ⅱ）面积的最大值为 【分析】小问1运用椭圆的几何性质即可求解； 小问2的第1问设好点，利用点M计算出轨迹方程，从而得到定点的坐标； 小问2第2问先运用圆的性质表示出面积，再利用椭圆的性质进行求解. 【详解】（1）解：因为2是的等比中项， 所以 解得， 所以曲线的方程：，曲线的方程：. （2）（ⅰ）设，则直线的方程为，所以， 直线的方程为，所以， 设，由， 即， 由，得 ， 那么， 化简得 ， 即曲线的方程，经过定点； （ⅱ）因为曲线的方程是圆心在，半径， 所以，，由于，故当时，取最小值， 此时，曲线的方程为即， 设圆心，那么 ， 设，则，那么， 即单调递增，当取最大值时，取最大值. 又，故取最大值时，t取最大值； ，又， 所以， ， 根据二次函数性质可知 ， 所以，， 所以，最大值为. 变式3．（2026·广西北海·一模）已知椭圆（）的离心率为，曲线（是正实数）与椭圆交于M，N两个不同的点，点是线段MN的中点，曲线与y轴交于点P，直线l为曲线在点P处的切线． (1)证明：直线l过定点； (2)若直线l过的定点是椭圆的一个焦点，直线l与交于两点A，B，当时，求面积的最小值； (3)若直线l过的定点是椭圆的一个焦点，记直线MN的斜率为k，证明：，且． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数求切点处的切线方程，进而证明； （2）求出椭圆方程，联立椭圆与直线方程，利用韦达定理和三角形面积公式列出表达式，再利用函数的性质求出最值； （3）表示出直线的斜率，根据指数函数的性质证明；利用点差法得到，再根据点在椭圆内部，通过放缩进行证明. 【详解】（1）设，则， 因为曲线与y轴交于点P，所以， 又， 所以直线l的方程为：，即， 所以直线l过定点； （2）由（1）及题意可得：， 又，所以，所以， 所以椭圆， 联立，消去并整理得：， 设，所以， 所以 ， 由（1）直线l过定点， 所以 设，则，因为，所以， 所以， 当时，，所以的最小值为， 所以当，即时，； （3）设，，， 直线的斜率为， 又点是线段MN的中点，所以， 由指数函数的性质： 理由如下： 不妨设，令， 则，要证：，即证：， 需证：，即证：， 令， 则， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 所以，即， 所以在上单调递增， 所以， 所以，得证（同理）； 所以，即， 又在椭圆上，所以， 两式相减得：， 又，所以， 所以， 因为在椭圆内部， 所以，即， 又且，所以，所以， 即，即，因为，所以， 所以， 综上所述，，且 2 学科网（北京）股份有限公司 $椭圆中的向量问题、椭圆中的参数范围与最值问题专项训练 椭圆中的向量问题、椭圆中的参数范围与最值问题专项训练 考点目录 椭圆中的向量问题 椭圆中的参数范围与最值问题 考点一 椭圆中的向量问题 例1．（2026·陕西咸阳·二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的离心率为，左、右焦点分别为，，上顶点为，点在轴上，满足，且. (1)求的标准方程； (2)过点的直线交于，两点，若，求的面积. 例2．（25-26高三下·河北沧州·月考）已知离心率为的椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程． (2)过点引出两条相交直线和，分别交椭圆于四点，若两条直线斜率互为相反数，判断是否为定值？如果是定值，求出其定值． 例3．（2026·河南许昌·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点在椭圆上. (1)求的方程； (2)已知上一点，且不在轴上，直线，与的另一个交点分别为，. （ⅰ）若点的坐标为，求直线的方程； （ⅱ）若，，求的值. 变式1．（25-26高二下·河南驻马店·月考）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过点． (1)求的标准方程． (2)若直线与交于，两点． （ⅰ）当时，过点作直线的垂线，垂足为，证明：直线过定点； （ⅱ）当时，设为坐标原点，是上异于，的点，且，求的面积． 变式2．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期中）给定椭圆：，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”．已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)若点，是椭圆的“准圆”与轴的两交点，是椭圆上的一个动点，求的取值范围． 变式3．（25-26高三下·北京·开学考试）已知椭圆的离心率为，焦距为2，点分别是椭圆的左右焦点，点是椭圆上两动点，不与轴垂直，连接 ，直线与的外角平分线所在直线交于点． (1)求椭圆的方程： (2)当分别为椭圆的上顶点和左顶点时，求点坐标： (3)求的值． 考点二 椭圆中的参数范围与最值问题 例1．（25-26高三下·江西赣州·期中）如图，设是椭圆上一点，左、右焦点分别是，，当的重心为时，的垂心为.从原点向圆作的两条切线分别与椭圆交于点，，直线，的斜率分别记为，. (1)求椭圆的方程； (2)是否存在使得为定值，若存在，求出和的值，并求出此时的最大值，若不存在，请说明理由. 例2．（25-26高二下·湖北·期中）已知椭圆经过点，且椭圆的两个焦点坐标分别为、． (1)求出椭圆的标准方程； (2)若、是椭圆上异于的点，直线、以及轴围成一个以为顶点的等腰三角形． ①求证：直线的斜率为定值； ②求弦长的取值范围． 例3．（2026·湖南郴州·模拟预测）已知椭圆的离心率为分别是椭圆的左，右焦点，点为椭圆上任意一点，且面积的最大值为所在的直线经过椭圆的中心，现将坐标平面沿轴折成一个直二面角，如图1､2所示. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求翻折后异面直线与所成角的余弦值； (3)当不在轴上时，如图2，求面积的最大值. 变式1．（25-26高三下·山东菏泽·月考）设椭圆的离心率为，左顶点为，上顶点为，且的面积为（为坐标原点）． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知动点不在轴上，点在射线上，且满足． ①设，求点的坐标（用表示）； ②若点在椭圆上，直线的斜率等于直线的斜率，求的最大值． 变式2．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知曲线与曲线，椭圆的离心率为，且2是的等比中项． (1)求曲线的方程； (2)若点是曲线上的动点，，过点分别作轴的垂线，，射线分别交于点．坐标平面内动点满足，点的轨迹为曲线． （ⅰ）求证：曲线过定点； （ⅱ）当曲线所围成的平面区域面积最小时，过曲线上的动点作的两条切线、切点分别为，求面积的最大值． 变式3．（2026·广西北海·一模）已知椭圆（）的离心率为，曲线（是正实数）与椭圆交于M，N两个不同的点，点是线段MN的中点，曲线与y轴交于点P，直线l为曲线在点P处的切线． (1)证明：直线l过定点； (2)若直线l过的定点是椭圆的一个焦点，直线l与交于两点A，B，当时，求面积的最小值； (3)若直线l过的定点是椭圆的一个焦点，记直线MN的斜率为k，证明：，且． 2 学科网（北京）股份有限公司 $