精品解析：河南南阳市镇平县第一高级中学2025-2026学年高二下学期5月期中测试数学试题

2025-2026学年高二下学期期中测试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 若数列的前项和，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图在直角梯形ABCD中，已知，，，，则（ ）． A. 22 B. 24 C. 20 D. 18 3. 复数（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 6. 若事件A，B满足，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数满足方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（ ） A. 课程“数”不排在第一天，“礼”不排在最后一天的不同排法共有504种 B. 课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种 C. 课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有24种 D. 课程“御”和“书”不相邻的不同排法共有480种 10. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 当时，中只有最大 D. 当时， 11. 已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，是椭圆上的动点，轴，垂足为，且点为的中点，轴，垂足为，且点为的中点，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 面积的最大值为 D. 面积的最大值为 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为______. 13. 有5道题，5名女生中有2人每题都不能答对，其余3人每题都能答对，3名男生每人对每题答对的概率均为.现从上述5名女生中选择2名女生和3名男生答题，每人答一题，答对得2分，答错得0分，记得分之和为，则的数学期望为__________. 14. 已知点是椭圆的下顶点，是的右焦点，延长交于点，若，则的离心率为__________. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求的取值范围. 16. 已知数列的前项和为，，且． （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，求． 17. 甲、乙两工厂试生产同一型号的零件，经检验，甲工厂试生产的零件的合格率为80%，乙工厂试生产的零件的合格率为90%，若将这些零件混合放在一起，则合格率为88%. （1）设甲工厂试生产的零件有m件，乙工厂试生产的零件有n件，求证：； （2）从混合放在一起的零件中随机抽取一个，若该零件是合格品，求该零件来自甲工厂的概率； （3）已知这批混合零件共10件，甲厂2件，乙8件，从中不放回随机抽取3件，记这3件来自甲厂的个数为，求的分布列及期望. 18. 如图，在直三棱柱中，，，，P为棱上的动点，点Q为的中点. （1）若， （i）证明：平面； （ii）求直线与直线的所成角的余弦值； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 19. 已知双曲线:的离心率为，点在双曲线上． （1）求的方程； （2）已知直线，交于，两点， ①是否存在直线满足，若存在求出直线的方程，若不存在请说明理由； ②若，求的面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期期中测试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 若数列的前项和，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用关系求通项公式. 【详解】当，则， 而，显然不满足上式，所以. 故选：D 2. 如图在直角梯形ABCD中，已知，，，，则（ ）． A. 22 B. 24 C. 20 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】以为一组基底，利用平面向量基本定理，将转化为基底，根据数量和垂直关系及向量的运算法则计算结果即可. 【详解】解：因为，， 所以 ， 因为，，所以， 因为直角梯形ABCD，所以，故， 所以原等式 . 故选：A 3. 复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合复数的运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】根据复数的运算法则，可得. 故选：B. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知，，所以． 5. 为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率求出单个学生了解deepseek的概率，进而确定服从二项分布，利用二项分布的性质，通过比较与1的大小关系来确定最值. 【详解】已知抽取男生、女生各50名，总样本100名，因此. 根据条件概率公式，代入得： ， 由，得：， 即随机抽取一名学生了解deepseek的概率. 由题意，（二项分布），则， 代入得：， 令，解得. 即当时，； 当时，， 因此最大时. 6. 若事件A，B满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用条件概率和并事件的概率公式求解. 【详解】，代入，得到， 又因为， 所以. 7. 若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意可将问题转化为方程有两个不同正实数根、，解出方程组即可得. 【详解】， 由函数有两个不同的极值点，故函数有两个变号零点， 即当时，有两个不同正实数根， 令方程有两个不同正实数根为、， 则有，，则，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：C. 8. 已知实数满足方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出的图像，设，问题转化为直线和曲线有共同点时，斜率取值范围的问题，数形结合计算即得. 【详解】可知， 两边平方整理可得，， 该方程表示的是圆心为，半径为的圆的右半部分曲线，如下图： 设，则是通过定点的直线， 显然该直线通过时，斜率最大，最大斜率， 当直线和圆相切于时，斜率最小。 由圆心到直线的距离是，解得，即， 于是，即. 故选：A 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（ ） A. 课程“数”不排在第一天，“礼”不排在最后一天的不同排法共有504种 B. 课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种 C. 课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有24种 D. 课程“御”和“书”不相邻的不同排法共有480种 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用间接法计算判断A项；考虑到“射”与“御”的相对位置只有2种，即可求出排法判断B；利用插空法计算判断C，D两项即可. 【详解】对于A，应用间接法，总排法， 减去“数”在第一天的排法种和“礼”在最后一天的排法种， 再加回重复减去的“数在第一天且礼在最后一天”的排法种， 即不同排法共有种，故A正确； 对于B，“射”与“御”的相对位置有2种（“射”前或“御”前），且两种情况排法数相等． 总排法数为，故B正确； 对于C，课程“御”、“书”、“数”互不相邻，则可先排“礼、乐、射”，有种排法， 产生4个空位，将“御、书、数”插入空位且互不相邻，需从4个空位选3个排列，即． 故排法数为，故C错误； 对于D，要使课程“御”和“书”不相邻， 只需将课程“御”和“书”在另外四门课留下的5个空中选2个安排，有种排法， 再将另外四门课进行全排有种排法，则不同排法共有种，故D正确. 10. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 当时，中只有最大 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式、前n项和公式、等差数列的性质对各个选项逐一分析即可求解. 【详解】对于A，等差数列中，，有，有，可得，故A正确； 对于B，由，故B正确； 对于C，由，有，所以和最大，故C错误； 对于D，由，，有，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，是椭圆上的动点，轴，垂足为，且点为的中点，轴，垂足为，且点为的中点，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 面积的最大值为 D. 面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入点A坐标，可得m值，根据椭圆的定义，即可判断A的正误；设点，可得点B坐标，代入椭圆方程，可得点P的轨迹，根据点与圆的位置关系，结合两点间距离公式，可判断B的正误；分析可得当时，的面积最大，代入数据，可判断C的正误；设点，可得面积的表达式，结合基本不等式，即可得答案. 【详解】对于A，点在椭圆上，，解得， ，故A正确. 对于B，设点，则.将点的坐标代入椭圆的方程， 得，即，点的轨迹方程为， 则的最小值为点到圆心的距离减去半径， 即，故B错误. 对于C，由B可知，，则当时，的面积最大， 为，故C正确. 对于D，由椭圆对称性，设点在第一象限，， . ，当且仅当时，等号成立， 面积的最大值为，故D正确. 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【详解】由题可知函数在上单调递增，则， 参变分离得到，令，. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 当时取最大值，所以. 即实数a的取值范围为. 13. 有5道题，5名女生中有2人每题都不能答对，其余3人每题都能答对，3名男生每人对每题答对的概率均为.现从上述5名女生中选择2名女生和3名男生答题，每人答一题，答对得2分，答错得0分，记得分之和为，则的数学期望为__________. 【答案】##5.4 【解析】 【分析】列出所有取值，根据古典概型求解选出女生的概率，根据二项分布求解男生答题情况对应的概率，进而根据独立事件乘法公式求解每种取值对应的概率，再结合期望公式求解即可. 【详解】的可能取值为， ， ， ， 所以的数学期望. 14. 已知点是椭圆的下顶点，是的右焦点，延长交于点，若，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的基本性质，和椭圆离心率的定义，利用向量共线，求出点的坐标，进而求出离心率. 【详解】设椭圆的焦距为，设，所以，因为，所以，即，即， 因为点在椭圆上，所以，所以，所以的离心率为. 故答案为：. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式求得切线方程； （2）将函数求导后，根据参数的取值情况，分类讨论函数的单调性即可； （3）根据（2）的结论，结合得，即，设，利用导数分类讨论即得的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 则，，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 ，， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）可知，当时，有极小值， 极小值为，此时极小值也是最小值， 由，可得，因，可得， 令，求导得，即在上单调递减， 又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以的取值范围为. 16. 已知数列的前项和为，，且． （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用来变形，可得数列是常数列，进而即可求得其通项； （2）结合（1），再利用错位相减即可求出． 【小问1详解】 因为，所以， 两式相减可得， 所以，所以数列是常数列， 又，所以， 所以，所以． 【小问2详解】 结合（1）得， 则， 两边乘以4可得：， 两式相减得：， ， 即． 17. 甲、乙两工厂试生产同一型号的零件，经检验，甲工厂试生产的零件的合格率为80%，乙工厂试生产的零件的合格率为90%，若将这些零件混合放在一起，则合格率为88%. （1）设甲工厂试生产的零件有m件，乙工厂试生产的零件有n件，求证：； （2）从混合放在一起的零件中随机抽取一个，若该零件是合格品，求该零件来自甲工厂的概率； （3）已知这批混合零件共10件，甲厂2件，乙8件，从中不放回随机抽取3件，记这3件来自甲厂的个数为，求的分布列及期望. 【答案】（1） 甲工厂试生产的件零件的合格率为80%，则合格零件为件； 乙工厂试生产的件零件的合格率为90%，则合格零件为件， 混合后，总零件为件，合格率为88%，则混合后合格零件为件， 依题意，，化简得，即. （2）； （3） 0 1 2 . 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用频数、频率、样本容量的关系列式推理得证. （2）由（1）的结论，利用条件概率公式计算即得. （3）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设甲工厂试生产的零件有件，乙工厂试生产的零件有件，由（1）知， 事件“任取一个混合放在一起的零件，零件来自甲工厂”， 事件“任取一个混合放在一起的零件，零件来自乙工厂”， 事件“任取一个混合放在一起的零件，零件是合格品”， 则，， 所以所求概率. 【小问3详解】 依题意，的所有可能值为， ， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望. 18. 如图，在直三棱柱中，，，，P为棱上的动点，点Q为的中点. （1）若， （i）证明：平面； （ii）求直线与直线的所成角的余弦值； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 【答案】（1）（i）因为，所以P为的中点， 连接，因为Q为的中点，所以，且Q为的中点， 所以为的中位线， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （ii） （2）2 【解析】 【分析】（1）（i）可利用中位线找平行关系，利用线面平行的判定定理证明即可；（ii）通过建立空间直角坐标系，再利用向量夹角公式计算即可； （2）设出P点坐标，分别求出两个平面的法向量，再利用法向量夹角公式建立方程求解即可. 【小问1详解】 （i）略 （ii）取的中点O，的中点E，连接，， 因为三棱柱为直棱柱，且的中点为，的中点E， 所以平面，又因为，且的中点为，所以， 所以，，两两垂直，以为原点，直线，，分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，， 所以，则，，，， 所以，， 所以， 故直线与直线的所成角的余弦值为. 【小问2详解】 在（ii）的坐标系下，设（）， 又，则， 设平面的一个法向量为， 则即 取，则，， 所以， 易知为平面的一个法向量， 所以， 整理得，解得或（舍）， 所以. 19. 已知双曲线:的离心率为，点在双曲线上． （1）求的方程； （2）已知直线，交于，两点， ①是否存在直线满足，若存在求出直线的方程，若不存在请说明理由； ②若，求的面积的最小值． 【答案】（1） （2）①不存在，理由： 由题可设，将代入双曲线中， 整理得，由根与系数关系得， ， . ①不存在符合的直线. 令， 由得，即， 将代入上式得， ， 展开并整理， 将根与系数关系代入， 化简整理得，解得. 因此直线方程为. 检验，此时直线与双曲线的两个交点为，与重合，不构成垂直关系， 因此不存在满足条件的直线. ② 【解析】 【分析】(1)利用双曲线离心率及之间的关系得到双曲线方程； (2)设出两个交点，将直线与双曲线方程联立得到两个根的关系式，①运用向量法将 转化为，整理出参数方程最终得到直线方程； ②为得到的面积，首先得到弦长，到直线的距离，再表示三角形面积，利用单调性求出面积最小值即可. 【小问1详解】 因为，故. 由，代入得，则. 又因为在双曲线上，代入，得，则， 故双曲线方程为. 【小问2详解】 略 ②弦长， 到直线的距离， ， 令，可知在单调递增， 故，所以的面积最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $