第十章：探索规律（综合复习讲义）-2026年小升初数学复习讲练测

2026年小升初数学复习讲练测 第十章：探索规律 （6大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练） （一）知识点梳理 知识点01 算式的规律 1 知识点02 数字排列的规律 2 知识点03 图形的变化规律 2 知识点04 数表中的规律 2 知识点05 简单间隔规律 3 知识点06 周期规律 3 （二）重难点题型讲解 考点01 算式的规律 3 考点02 数字排列的规律 6 考点03 图形的变化规律 9 考点04 数表中的规律 11 考点05 简单间隔规律 14 考点0 周期规律 16 （三）真题演练 真题演练 19 知识点01：算式的规律 1．常见类型​ （1）运算符号规律：如算式中加号、减号交替出现，或乘除运算按特定顺序排列。 （2）数字变化规律：​加数或因数变化：一个加数或因数按一定规律递增或递减。 （3）结果规律：算式结果呈现周期性或等差、等比变化。 2．解题方法​ （1）观察分析：仔细观察算式中数字、运算符号的变化特点。​ （2）尝试推理：根据观察到的特点，尝试推测下一个算式的形式。​ （3）验证规律：用推测出的规律去验证后续算式是否符合。 知识点02：数字排列的规律 1．常见类型​​ （1）等差数列：相邻两项的差值相等，这个差值称为公差。 （2）等比数列：相邻两项的比值相等，该比值称为公比。 （3）平方数列：数列中的数是连续自然数的平方。 （4）立方数列：数列为连续自然数的立方。 （5）斐波那契数列：从第三项起，每一项都等于前两项之和。 2．解题技巧​ （1）计算差值或比值：判断数列是等差还是等比数列。​ （2）分解数字：对于复杂数列，将数字分解因数或拆分成几个部分，寻找规律。​ （3）特殊数列记忆：牢记常见特殊数列的规律，便于快速识别。 知识点03：图形的变化规律​ 1. 常见类型​ （1）数量变化：图形的个数、边数等数量按规律增减。​ （5）形状变化：图形的形状、大小、颜色等发生规律性改变。​ （3）位置变化：图形进行平移、旋转、对称等变换。​ （4）组合变化：多个图形按一定规律组合或拆分。​ 2．解题步骤​ （1）全面观察：从数量、形状、位置等多个角度观察图形。​ （2）标注记录：对于数量变化的图形，标注每个图形的相关数量。​ （3）模拟操作：通过在纸上画出图形的变化过程，直观感受规律。​ 知识点04：数表中的规律​ 1．常见类型​​ （1）横行规律：同一行数字的大小变化、运算关系等规律。​ （2）纵列规律：同一列数字的变化特点。​ （3）斜向规律：数表中斜着方向上数字的规律。​ （4）整体规律：数表整体呈现的规律。​ 2．解题方法​ （1）行列对比：分别对横行和纵列数字进行分析，寻找规律。​ （2）特殊位置观察：关注数表的角落、对角线等特殊位置的数字。​ （3）规律验证：根据发现的规律，计算数表中其他位置的数字，看是否符合。​ 知识点05：简单间隔​规律 1. 植树问题：​ 两端都植树：棵数=间隔数+1。 两端都不植树：棵数=间隔数-1。​ 一端植树一端不植树：棵数=间隔数。​ 2．锯木问题：锯的次数=段数-1。 知识点06：周期规律​ 1．周期概念：事物按一定顺序循环出现，循环一次的数量就是周期。 2．解题方法：用总数除以周期数，根据余数判断结果。若余数为 0，则是周期的最后一个；若余数不为 0，则是周期内的第几个。 考点01：算式的规律 【典型例题】（1）先观察，再通过计算比较大小。                     （2）根据上面算式中蕴含的规律再写一道这样的算式： 。 （3）根据上面的规律计算：－＋－＋－。 【变式训练1】根据规律填空。 （1）观察如图宝塔算式的特点，65×65＝4225＝（ ）×（ ）×（ ）＋（ ）。 15×15＝225＝1×2×100＋25 25×25＝625＝2×3×100＋25 35×35＝1225＝3×4×100＋25 （2）7080，7060，7040，（ ），（ ），6980，（ ）。 【变式训练2】如图想一想，可以把1＋3＋5＋7＋…＋39这个算式转化成（ ）的算式计算，计算结果是（ ）。 考点02：数字排列的规律 【典型例题】“倍尔数”是以数学家倍尔的名字命名的一个数列。它的形状像一个三角形，人们又称它为“倍尔三角形”。 …… （1）请写出两条“倍尔三角形”中每行数形成的规律。 （2）请你试着写出第7行“倍尔数”吧。 【变式训练1】有6个数，从第3个数起每个数都是前面两个数的和，如果用纸片盖住了其中4个数，请你在纸片上写出盖住的数。 【变式训练2】瑞士数学教师巴尔末成功地从光谱数据中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，按这个规律写出的第6个数是（ ）。 考点03：图形的变化规律 【典型例题】探索发现。 观察：如图，两个同样的铁环连在一起长16厘米，每个铁环长10厘米。 （1）操作：画一画，算一算，3个铁环像这样连在一起长（ ）厘米。 （2）解答：小丽要将6个铁环像这样连在一起，长是（ ）厘米。 【变式训练1】如图是一组有规律的图案，第1个图案中有8个小正方形，第2个图案中有12个小正方形，第3个图案中有16个小正方形……依此规律，第4个图案中有（ ）个小正方形，第n个图案中有（ ）个小正方形。 【变式训练2】按下面规律铺黑白砖，第49幅图形中有______块黑瓷砖。 考点04：数表中的规律 【典型例题】洛书的构成像一只乌龟，有一句口诀是：“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中。”把圆点转化为数字，就变成九宫格。这个九宫格，非常奇妙，横、纵、斜3个数字相加，结果都是15。这其中的奇妙，就是易经衍化万物的规律。 根据所给数字，完成九宫格（图3）。请你在空白方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个数之和为36。 【变式训练1】将奇数1，3，5，…如图排列，各项分别用A，B，C，D，E表示，则2025所在的行、列分别为第（ ）行、第（ ）列。 【变式训练2】根据图形选择合适的选项。 （1）在如图的百数表中，用三连方（如图1）盖住了三个数，这三个数之和可能是（     ）。 A．95 B．237 C．115 D．130 （2）在百数表中，用二连方（如图2）去盖。盖住的任意两个数之和一定是（     ）数。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 考点05：简单间隔规律 【典型例题】在图中，物体从点A出发，按照A→B→C→D→A→E→F→G→A→B…的顺序循环运动，则第2025步到达点（ ）处。如果图中小圆的半径是2cm，那么物体按上面的顺序从点A出发，第一次到点F时运动了（ ）cm。 【变式训练1】六（1）班分为6个小组打扫教室卫生，第1周一小组打扫，第2周二小组打扫，第3周三小组打扫……以此类推。不算放长假，一学期有19周，最后一周打扫卫生的是______小组，整个学期二小组打扫了______周。 【变式训练2】电梯按钮显示板上常用正、负数来表示地上楼层数和地下楼层数。如图是一幢楼中电梯的按钮显示板。根据按钮显示板上的数字键填空。这幢楼，地下一层是超市仓库，地下二层一半是1～6楼住户的小汽车车库，余下住户的小汽车停放在地下三层。 （1）这幢楼共有（ ）层，地上（ ）层，地下（ ）层。 （2）小扬家住在8楼，小扬的爸爸出门去取车从8楼进电梯应该按哪个数字键？若平均2秒下降一个楼层，则一共用了多少秒？ 考点06：周期规律 【典型例题】阅读下面的材料，回答问题。 生活中很多现象有周期规律，例如图形的循环排列、循环小数的数字重复。解决周期规律问题，关键是找到循环周期，再用“总数÷周期长度”计算余数，余数对应周期内的位置。 例如：图形按“〇△□〇△□……”排列，循环周期是3（〇、△、□）。要找第10个图形，计算10÷3＝3……1，余数是1，对应周期内第1个图形，即〇。 再如：循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。例如：1.66…、0.378378…和1.13636…的循环节分别是“6”、“378”和“36”。为了书写方便，这几个循环小数分别可以写作、和。 根据材料回答问题： （1）循环小数的循环节是什么？循环周期是几？ （2）这个循环小数的小数点后第50位上的数字是多少？写出计算过程。 【变式训练1】小明不小心把一张日历撕破了，只看到某月（大月）的13日是星期四，那么这个月的30日是星期（     ）。 A．五 B．六 C．日 D．一 【变式训练2】先写出一个两位数35，接着在35右端写这两个数字的和8，得到358，再写末两位数字5和8的和13，得到35813，用上述方法得到一个有2025位的整数。则这个整数的数字之和是（     ）。 A．7070 B．7090 C．7089 D．7094 一、选择题 1．如图的点阵中，第①个图形3个点，第②个图形7个点，第⑤个图形有（     ）个点。 A．27 B．30 C．31 D．33 2．有这样一组数：8、12、16、20…第n个数是（     ）。 A．n B．n＋4 C．4n D．4n＋4 3．如图，摆一个三角形要用3根小棒，摆2个三角形要用5根小棒，那么摆a个三角形要用（     ）根小棒。 A．3a B． C． D． 4．如图，第1个图形是一个水平摆放的小正方体木块，第2个图形和第3个图形是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律继续叠放下去，第7个图中，从正面看，看不到的木块应有（     ）。 A．91块 B．112块 C．120块 D．140块 5．下列哪一幅图的规律和其他图形不一样？（     ） A． B． C． D． 6．填在如图各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律，的值是（     ）。 A．38 B．74 C．86 D．52 7．将9个数从左到右排成一行，从第3个数开始，每个数恰好等于它前两个数之和，如果第8个数和第9个数分别是76和123，那么第一个数是（     ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图是“杨辉三角”，根据各数之间的关系，第6行中所有数的和是（     ）。 A．32 B．22 C．20 D．18 9．用“十字框”在百数表（如图）中任意框出五个数，对于这五个数的和，下列说法不正确的是（     ）。 A．不可能小于60 B．不可能大于445 C．有可能是250 D．一定是5的倍数 10．认真观察下面这组图，第一幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，…… 按照上面的规律，第n幅图的点数为（     ）。 A．4n－3 B．4n＋3 C．6n－2 D．6n＋4 二、填空题 11．如图中每个黑色的圆片周围都有6个白色圆片。 照这样摆下去，6个黑色圆片周围一共有（ ）个白色圆片，如果黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，那么有（ ）个黑色圆片。 12．填上适当的数：，，，，，（ ），…。 13．请将填入图中的8个方格内，使得四个方格内的数，恰好等于它上方与之有公共边的两个方格内所填数的差。其中填7。 14．一组图形按下面规律排列：△□□〇〇〇△□□〇〇〇……第50个图形是（ ），前100个图形中〇有（ ）个，当□有20个时，这组图形至少有（ ）个。 15．如图，按照这种方式摆下去，第10个图形需要（ ）个，第个图形需要（ ）个。 16．按照下面图形的变化规律画下去，第20个图形一共有（ ）个直角三角形。 17．①1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝5×9     ②6＋7＋8＋9＋10＝8×5 ③472＋473＋474＋475＋476＋477＋478＝475×7 根据以上三个规律，请你回答下面问题： 101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＝105×（ ）。 你会写出有同样规律的加法算式吗？请你写出一个。（ ） 18．新型材料石墨烯的原子结构类似六边形，小刚用磁力球和磁力棒制作原子结构的模型，第n个图形需要（ ）个磁力球，（ ）根磁力棒。 19．用蓝、白两色的正六边形按下图的规律拼成若干个图案。拼第17个图案需要（ ）个白色的正六边形。 20．按如图所示的规律摆放三角形，第五堆三角形的个数为（ ）个；第（ ）堆三角形的个数为122个。 21．用五根小棒摆一个等腰梯形，按规律依次摆下去。摆第6个需要（ ）根小棒，摆第n个需要（ ）根小棒。 22．观察数列：，，，，，，，，……，，的规律，数列中第2008项是（ ）。 23．有一列由两个数组成的数组：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1）… （1）第70组的两个数之和是（ ）。 （2）在前55组中，“5”这个数出现了（ ）次。 24．今年教师节是星期二，再过60天是星期（ ），明年元旦是星期（ ）。 25．如图是数独游戏。要求：每一行、每一列都用到1~9，不能重复；每个的格子（实线内）也都用到1~9，不能重复。A应该是（ ），B应该是（ ）。 26．例如：a1表示12的个位数字，即：； a2表示22的个位数字，即：； a3表示32的个位数字，即a3＝9； a4表示42的个位数字，即：； 则（ ）。 27．如图，有一根弯曲的铁丝，准备用如图1所示的方式剪切，这样就把原来的铁丝分成了几段。 （1）探究：按如图2的方式剪切，在括号里填写适当的数。 （2）总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是（ ）。 （3）应用：像这样如果剪切20次，会分成（ ）段。 28．例如：a1表示12的个位数字，即a1＝1； a2表示22的个位数字，即a2＝4； a3表示32的个位数字，即a3＝9； a4表示42的个位数字，即a4＝6； 则a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2001＋a2012＋a2013＝（ ）。 29．如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，…。依此规律跳动下去，点P从0跳动6次到达的位置，点P从0跳动21次到达的位置，点、、…在一条直线上，则点P从0跳动（ ）次可到达的位置。 30．观察表一，寻找规律。表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，则表格中a＝（ ）；b＝（ ）；c＝（ ）。 31．用表示组成n的数字中不是零的几个数字乘积，例如：；；。则（ ）。 32．根据数字间的关系，找规律填空，“？”＝（ ）。 三、解答题 33．有一串数字：2、3、6、8、8、4…它的规律是：从第三个数开始，每一个数都是前面两个数字乘积的个位数字，那么这串数字的第2022个数字是多少？ 34．现将自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出9个数。 （1）图中的9个数的和是多少？ （2）能否使一个长方形框出的9个数的和为2007？若不可能，请说明理由；若可能，求出9个数中最大的数。 35．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换，那么按上述规则连续完成2024次变换后，骰子朝上一面的点数是几？ 36．现有365张大小相同的纸卡，上面分别印着整数1～365，如果按照数字从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列，从1开始排列至365为止（如图1）。图2是完成上述排列后，抽出365周围的部分。 （1）在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，在这些空格上打“×”。 （2）在其他位置填上与365相邻的数字。 37．我们把“个相同的数相乘”记为，例如。 （1）请计算：________，__________。 （2）观察下列等式： 由以上规律，我们可以猜： _______。 （3）计算：。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年小升初数学复习讲练测 第十章：探索规律 （6大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练） （一）知识点梳理 知识点01 算式的规律 1 知识点02 数字排列的规律 2 知识点03 图形的变化规律 2 知识点04 数表中的规律 2 知识点05 简单间隔规律 3 知识点06 周期规律 3 （二）重难点题型讲解 考点01 算式的规律 3 考点02 数字排列的规律 6 考点03 图形的变化规律 9 考点04 数表中的规律 11 考点05 简单间隔规律 14 考点0 周期规律 16 （三）真题演练 真题演练 19 知识点01：算式的规律 1．常见类型​ （1）运算符号规律：如算式中加号、减号交替出现，或乘除运算按特定顺序排列。 （2）数字变化规律：​加数或因数变化：一个加数或因数按一定规律递增或递减。 （3）结果规律：算式结果呈现周期性或等差、等比变化。 2．解题方法​ （1）观察分析：仔细观察算式中数字、运算符号的变化特点。​ （2）尝试推理：根据观察到的特点，尝试推测下一个算式的形式。​ （3）验证规律：用推测出的规律去验证后续算式是否符合。 知识点02：数字排列的规律 1．常见类型​​ （1）等差数列：相邻两项的差值相等，这个差值称为公差。 （2）等比数列：相邻两项的比值相等，该比值称为公比。 （3）平方数列：数列中的数是连续自然数的平方。 （4）立方数列：数列为连续自然数的立方。 （5）斐波那契数列：从第三项起，每一项都等于前两项之和。 2．解题技巧​ （1）计算差值或比值：判断数列是等差还是等比数列。​ （2）分解数字：对于复杂数列，将数字分解因数或拆分成几个部分，寻找规律。​ （3）特殊数列记忆：牢记常见特殊数列的规律，便于快速识别。 知识点03：图形的变化规律​ 1. 常见类型​ （1）数量变化：图形的个数、边数等数量按规律增减。​ （5）形状变化：图形的形状、大小、颜色等发生规律性改变。​ （3）位置变化：图形进行平移、旋转、对称等变换。​ （4）组合变化：多个图形按一定规律组合或拆分。​ 2．解题步骤​ （1）全面观察：从数量、形状、位置等多个角度观察图形。​ （2）标注记录：对于数量变化的图形，标注每个图形的相关数量。​ （3）模拟操作：通过在纸上画出图形的变化过程，直观感受规律。​ 知识点04：数表中的规律​ 1．常见类型​​ （1）横行规律：同一行数字的大小变化、运算关系等规律。​ （2）纵列规律：同一列数字的变化特点。​ （3）斜向规律：数表中斜着方向上数字的规律。​ （4）整体规律：数表整体呈现的规律。​ 2．解题方法​ （1）行列对比：分别对横行和纵列数字进行分析，寻找规律。​ （2）特殊位置观察：关注数表的角落、对角线等特殊位置的数字。​ （3）规律验证：根据发现的规律，计算数表中其他位置的数字，看是否符合。​ 知识点05：简单间隔​规律 1. 植树问题：​ 两端都植树：棵数=间隔数+1。 两端都不植树：棵数=间隔数-1。​ 一端植树一端不植树：棵数=间隔数。​ 2．锯木问题：锯的次数=段数-1。 知识点06：周期规律​ 1．周期概念：事物按一定顺序循环出现，循环一次的数量就是周期。 2．解题方法：用总数除以周期数，根据余数判断结果。若余数为 0，则是周期的最后一个；若余数不为 0，则是周期内的第几个。 考点01：算式的规律 【典型例题】（1）先观察，再通过计算比较大小。                     （2）根据上面算式中蕴含的规律再写一道这样的算式： 。 （3）根据上面的规律计算：－＋－＋－。 【答案】（1）＝；＝；＝；＝ （2）＝＋ （3） 【分析】（1）先计算两边算式的结果，再进行比较； （2）通过观察可知上面算式的特点：分数的分母是两个相差2的数的乘积，并且这两个数都是奇数；分子是这两个数相加的和；这样的分数值的大小等于分子是1，分母是这两个数的两个分数之和，据此写出一道算式（答案不唯一）。 （3）根据（1）中发现的规律，把算式中的每个分数看作两个分数的和，再通过去掉括号将一些分数互相抵消，从而使计算简便。 【详解】（1）和＋ ＝；＋＝＋＝ 因为＝，所以＝＋ 和＋ ＝；＋＝＋＝ 因为＝，所以＝＋ 和＋ ＝；＋＝＋＝ 因为＝，所以＝＋ 和＋ ＝；＋＝＋＝ 因为＝，所以＝＋ （2）如：＝＋（答案不唯一） （3）－＋－＋－ ＝（1＋）－（＋）＋（＋）－（＋）＋（＋）－（＋） ＝1＋－－＋＋－－＋＋－－ ＝－ ＝ 【变式训练1】根据规律填空。 （1）观察如图宝塔算式的特点，65×65＝4225＝（ ）×（ ）×（ ）＋（ ）。 15×15＝225＝1×2×100＋25 25×25＝625＝2×3×100＋25 35×35＝1225＝3×4×100＋25 （2）7080，7060，7040，（ ），（ ），6980，（ ）。 【答案】（1） 6 7 100 25 （2） 7020 7000 6960 【分析】（1）观察可发现规律：一个因数的十位数字乘比它大1的数，再乘100，最后加上25，就等于这个因数与自身的乘积。 （2）观察数列可以发现相邻两个数的差值是20，且后一个数比前一个数小20。 据此解答。 【详解】（1）因为65的十位数字是6，比6大1的数是7，所以65×65＝4225＝6×7×100＋25。 （2）根据规律得： 7040－20＝7020， 7020－20＝7000，6980－20＝6960。 因此，7080，7060，7040，7020，7000，6980，6960。 【变式训练2】如图想一想，可以把1＋3＋5＋7＋…＋39这个算式转化成（ ）的算式计算，计算结果是（ ）。 【答案】 202 400 【分析】通过观察前几组算式，发现“从1开始的连续奇数之和等于奇数个数的平方”。据此先计算出1＋3＋5＋7＋…＋39中有多少个奇数，再根据奇数个数的平方来求和。 【详解】观察第一幅图：只有1个奇数，和为1，可以写成12； 观察第二幅图：有2个连续奇数相加（1、3）， 和为4，可以写成22； 观察第三幅图：有3个连续奇数相加（1、3、5）， 和为9，可以写成32； 观察第四幅图：有4个连续奇数相加（1、3、5、7），和为16，可以写成42。 总结规律：从1开始的连续n个奇数相加，其和等于n的平方，即n2。 因为1~40，共有40个数，奇数和偶数的个数各一半，即40÷2＝20（个），所以1＋3＋5＋7＋…＋39中共有20个奇数。 因此1＋3＋5＋7＋…＋39可以转化成202。 202＝20×20＝400 1＋3＋5＋7＋…＋39＝400 考点02：数字排列的规律 【典型例题】“倍尔数”是以数学家倍尔的名字命名的一个数列。它的形状像一个三角形，人们又称它为“倍尔三角形”。 …… （1）请写出两条“倍尔三角形”中每行数形成的规律。 （2）请你试着写出第7行“倍尔数”吧。 【答案】（1）①每行开头的第一个数都是上一行最后一个数。 ②每行的第二个数都是前一个数与前一个数上方那个数的和。 （2）203，255，322，409，523，674，877 【分析】（1）观察给出的数字，可得：上一行的最后一个数是下一行的第一个数，这个数加上上一行的第一个数就是这行的第二个数，第二个数加上上一行的第二个数就是这一行的第三个数，以此类推； （2）根据（1）的结论写出第7行“倍尔数”。 【详解】（1）答：①每行开头的第一个数都是上一行最后一个数。 ②每行的第二个数都是前一个数与前一个数上方那个数的和。 （2） 答：第7行“倍尔数”是：203，255，322，409，523，674，877 【变式训练1】有6个数，从第3个数起每个数都是前面两个数的和，如果用纸片盖住了其中4个数，请你在纸片上写出盖住的数。 【答案】1；4；9；14（答案不唯一） 【分析】第一个数和第二个数的和是5，所以前两个数可以是1和4，4和1，2和3，3和2，当前两个数是1和4，第四个数是9，第五个数是23－9＝14； 当前两个数是4和1，第四个数是6，第五个数是23－6＝17； 当前两个数是2和3，第四个数是8，第五个数是23－8＝15； 当前两个数是3和2，第四个数是7，第五个数是23－7＝16； 【详解】当前两个数是1和4，第四个数是9，第五个数是23－9＝14 所以盖住的数是1，4，9，14； 当前两个数是4和1，第四个数是6，第五个数是23－6＝17 所以盖住的数是4，1，6，17； 当前两个数是2和3，第四个数是8，第五个数是23－8＝15 所以盖住的数字是2，3，8，15； 当前两个数是3和2，第四个数是7，第五个数是23－7＝16 所以盖住的数字是3，2，7，16。 【变式训练2】瑞士数学教师巴尔末成功地从光谱数据中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，按这个规律写出的第6个数是（ ）。 【答案】 【分析】根据题意可知，分子的规律依次是32、42、52、62……分母的规律是：1×5、2×6、3×7、4×8……；通过上述分子和分母的规律，可知，第几个数，分子就是这个数加2的平方，即（n＋2）2，分母可以写成两个数相乘，后面的数比前面的数多4，则第几个数，它的分母就是n（n＋4），由此即可解答。 【详解】当n＝6时 （6＋2）2＝82＝64 6×（6＋4）＝6×10＝60 按这个规律写出的第6个数是。 考点03：图形的变化规律 【典型例题】探索发现。 观察：如图，两个同样的铁环连在一起长16厘米，每个铁环长10厘米。 （1）操作：画一画，算一算，3个铁环像这样连在一起长（ ）厘米。 （2）解答：小丽要将6个铁环像这样连在一起，长是（ ）厘米。 【答案】（1）22 （2）40 【分析】（1）由图可知，2个铁环原本总长为厘米，实际连在一起长16厘米，说明重叠部分（扣合处）长度为厘米；每多连1个铁环，就会多1个重叠扣合处，总长度增加厘米；总结规律：n个铁环连在一起的总长度为厘米。因此，3个铁环连在一起的总长度为厘米。 （2）6个铁环连在一起的总长度为厘米。 【详解】（1）根据分析， （厘米） （2）根据分析， （厘米） 【变式训练1】如图是一组有规律的图案，第1个图案中有8个小正方形，第2个图案中有12个小正方形，第3个图案中有16个小正方形……依此规律，第4个图案中有（ ）个小正方形，第n个图案中有（ ）个小正方形。 【答案】 20 4n＋4 【分析】由题可知，每相邻两个图案的小正方形数量差为12－8＝4（个），即每次增加4个小正方形；第1个图案中小正方形的个数为4×1＋4，第2个图案中小正方形的个数为4×2＋4，第3个图案中小正方形的个数为4×3＋4，所以第n个图案中小正方形的个数为4×n＋4。 【详解】4×4＋4＝16＋4＝20（个） 因此，第4个图案中有20个小正方形，第n个图案中有（4n＋4）个小正方形。 【变式训练2】按下面规律铺黑白砖，第49幅图形中有______块黑瓷砖。 【答案】148 【分析】根据图形可知，第一个图形中，黑颜色的正方形瓷砖有4块，可以写成3×1＋1；第二个图形中，黑颜色的正方形瓷砖有7块，可以写成3×2＋1；第三个图形中，黑颜色的正方形瓷砖有10块，可以写成3×3＋1；……由此可以得出一般规律，第n幅图形黑颜色的正方形瓷砖有（3n＋1）块，由此进行解答。 【详解】第n幅图形中有（3n＋1）块黑瓷砖。 当n＝49时 49×3＋1 ＝147＋1 ＝148（块） 考点04：数表中的规律 【典型例题】洛书的构成像一只乌龟，有一句口诀是：“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中。”把圆点转化为数字，就变成九宫格。这个九宫格，非常奇妙，横、纵、斜3个数字相加，结果都是15。这其中的奇妙，就是易经衍化万物的规律。 根据所给数字，完成九宫格（图3）。请你在空白方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个数之和为36。 【答案】见详解 【分析】图2中，这个九宫格横、纵、斜3个数字相加，结果都是15，中心数为15÷3＝5，保持对称结构，每行或每列其它两个数的和为15－5＝10，以此类推，图3中，求出中心数应该是36÷3＝12，再根据横、纵、斜的已知数求出所填的数，据此解答。 【详解】36÷3＝12 36－12＝24 24－5＝19 24－4＝20 24－6＝18 36－（5＋18） ＝36－23 ＝13 36－（20＋5） ＝36－25 ＝11 【变式训练1】将奇数1，3，5，…如图排列，各项分别用A，B，C，D，E表示，则2025所在的行、列分别为第（ ）行、第（ ）列。 【答案】 254 D 【分析】先看奇数的排列规律，用2025加1再除以2，求出它是第几个奇数。再用这个序号除以4，根据商和余数确定它在第几行第几个。最后根据行数是奇数还是偶数，对照每行的排列顺序，判断出它在第几列。 【详解】求2025是第几个奇数：（2025＋1）÷2 ＝2026÷2 ＝1013（个） 求行数和余数：1013÷4＝253……1 确定行数：253＋1＝254（行） 第254行为偶数行，从D列开始排，即在D列。 所以2025所在的行、列分别为第254行、第D列。 【变式训练2】根据图形选择合适的选项。 （1）在如图的百数表中，用三连方（如图1）盖住了三个数，这三个数之和可能是（     ）。 A．95 B．237 C．115 D．130 （2）在百数表中，用二连方（如图2）去盖。盖住的任意两个数之和一定是（     ）数。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【答案】（1）B （2）A 【分析】（1）根据百数表中数的排列规律，结合3的倍数的特征及数的奇偶性、质数和合数的意义进行选择即可。 一个数各个数位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 （2）在百数表中，二连方的两个数，一个是奇数，另一个一定是偶数，一个是偶数，另一个一定是奇数，奇数＋偶数＝奇数。 【详解】（1）9＋5＝14，14不是3的倍数； 2＋3＋7＝12，12是3的倍数； 1＋1＋5＝7，7不是3的倍数； 1＋3＋0＝4，4不是3的倍数。 在如图的百数表中，用三连方（如图1）盖住了三个数，这三个数之和可能是 237。 故答案为：B （2）在百数表中，用二连方（如图2）去盖。两个相邻的数之差是1，一个奇数一个偶数，奇数＋偶数＝奇数，盖住的任意两个数之和一定是奇数。 故答案为：A 考点05：简单间隔规律 【典型例题】在图中，物体从点A出发，按照A→B→C→D→A→E→F→G→A→B…的顺序循环运动，则第2025步到达点（ ）处。如果图中小圆的半径是2cm，那么物体按上面的顺序从点A出发，第一次到点F时运动了（ ）cm。 【答案】 B 18.84 【分析】根据物体的运动轨迹：即A→B→C→D→A→E→F→G→A→B…的顺序循环运动，可知周期为8，用2025除以周期数8，即2025÷8＝253（个）……1（步），其中商253表示完整的周期数，余数1表示在新的周期里走的步数。因为余数是1，所以第2025步到达的点与第1个周期里第2步到达的点相同，即点B。 从点A出发第一次到点F，运动的轨迹是一个圆的周长加这个圆周长的一半，已知小圆半径为2cm，根据圆的周长公式C＝2πr（π取3.14，r为半径），即2×3.14×2＝12.56cm，那么圆周长的一半为12.56÷2＝6.28cm，然后用12.56加6.25即可解答。 【详解】即A→B→C→D→A→E→F→G→A→B…的顺序循环运动，周期为8。 2025÷8＝253（个）……1（步） 即第2025步到达第254个周期的第1个点，和第1个周期的第2步相同，即B处。 2×3.14×2＝12.56（cm） 12.56÷2＝6.28（cm） 12.56＋6.28＝18.84（cm） 照A→B→C→D→A→E→F→G→A→B…的顺序循环运动，则第2025步到达点B处。如果图中小圆的半径是2cm，那么物体按上面的顺序从点A出发，第一次到点F时运动了18.84cm。 【变式训练1】六（1）班分为6个小组打扫教室卫生，第1周一小组打扫，第2周二小组打扫，第3周三小组打扫……以此类推。不算放长假，一学期有19周，最后一周打扫卫生的是______小组，整个学期二小组打扫了______周。 【答案】 一 3 【分析】​​周期规律分析：6个小组按固定顺序循环值日，形成6周为一个完整周期。 每个周期内各小组值日1次，顺序为一、二、三、四、五、六小组。 ​​总周数分解：19周包含完整周期数和余数周：19÷6＝3个完整周期（18周），余1周。 余数1周表示第19周是第4个周期的第1周，对应一小组值日。 ​​二小组值日次数计算： 每个完整周期内二小组值日1次，3个周期共值日3次。 余数1周（第19周）由一小组值日，不影响二小组的总次数。 【详解】19÷6＝，余数是1，所以第19周是第一个小组打扫卫生。 （19－1）÷6 ＝18÷6 ＝3（周） 整个学期二小组打扫了3周。 最后一周打扫卫生的是一小组，整个学期二小组打扫了3周。 【变式训练2】电梯按钮显示板上常用正、负数来表示地上楼层数和地下楼层数。如图是一幢楼中电梯的按钮显示板。根据按钮显示板上的数字键填空。这幢楼，地下一层是超市仓库，地下二层一半是1～6楼住户的小汽车车库，余下住户的小汽车停放在地下三层。 （1）这幢楼共有（ ）层，地上（ ）层，地下（ ）层。 （2）小扬家住在8楼，小扬的爸爸出门去取车从8楼进电梯应该按哪个数字键？若平均2秒下降一个楼层，则一共用了多少秒？ 【答案】（1） 18 15 3 （2）﹣3键；20秒 【分析】（1）正数、负数表示两种相反意义的量。如果把地下的层数记作负数，那么地上的层数就记作正数。 从图中可知，地上有15层，地下有3层，所以该楼共有（15＋3）层。 （2）因为住户的小汽车停放在地下三层。小扬的爸爸出门去取车应该按地下三层的按钮。从地上8层到地下3层，一共有（8＋3）层。楼层数比间隔数多1，所以用（8＋3－1）算出从地上8层到地下3层一共要下降几个间隔。再乘每个间隔需要的秒数，就是一共需要多少秒。 【详解】（1）15＋3＝18，这幢楼共有18层，地上15层，地下3层。 （2）（8＋3－1）×2 ＝（11－1）×2 ＝10×2 ＝20（秒） 答：小扬的爸爸应该按﹣3键，一共用了20秒。 考点06：周期规律 【典型例题】阅读下面的材料，回答问题。 生活中很多现象有周期规律，例如图形的循环排列、循环小数的数字重复。解决周期规律问题，关键是找到循环周期，再用“总数÷周期长度”计算余数，余数对应周期内的位置。 例如：图形按“〇△□〇△□……”排列，循环周期是3（〇、△、□）。要找第10个图形，计算10÷3＝3……1，余数是1，对应周期内第1个图形，即〇。 再如：循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。例如：1.66…、0.378378…和1.13636…的循环节分别是“6”、“378”和“36”。为了书写方便，这几个循环小数分别可以写作、和。 根据材料回答问题： （1）循环小数的循环节是什么？循环周期是几？ （2）这个循环小数的小数点后第50位上的数字是多少？写出计算过程。 【答案】（1）428571；6 （2）2；过程见详解 【分析】（1）识别循环节与周期：根据材料中循环小数的记法，小数部分上方有点的数字表示循环节的开始和结束。 （2）利用周期规律解题：要求小数点后第 50 位上的数字，属于周期问题。根据材料提供的方法，用总位数除以循环周期长度。 确定对应数字：计算除法算式得到商和余数。商表示完整的循环组数，余数表示在下一组循环中的位置。若余数为 1，对应循环节第 1 个数字；若余数为 2，对应第 2 个数字，以此类推。若没有余数，则对应循环节最后一个数字。 【详解】（1）观察循环小数，循环节是从第一个加点的数字到最后一个加点的数字，即 428571。 数出循环节中数字的个数：4、2、8、5、7、1，共 6 个数字。 答：循环小数的循环节是 428571，循环周期是 6。 （2）要求小数点后第 50 位上的数字，用位数除以循环周期： 50÷6＝8……2 算式中商是 8，表示前面有 8 个完整的循环周期；余数是 2，表示第 50 位是第 9 个周期的第 2 个数字。 循环节 428571 中，第 1 个数字是 4，第 2 个数字是 2。 所以，第 50 位上的数字是 2。 答：这个循环小数的小数点后第 50 位上的数字是 2。 【变式训练1】小明不小心把一张日历撕破了，只看到某月（大月）的13日是星期四，那么这个月的30日是星期（     ）。 A．五 B．六 C．日 D．一 【答案】C 【分析】本题考查周期问题中的日期推算。已知某月13日是星期四，要求30日是星期几，需要先计算出两个日期之间相差的天数，再利用一周有7天的规律，用相差的天数除以7，根据余数向后推算星期几。 【详解】30－13＝17（天） 17÷7＝2（周）……3（天） 说明星期数要在星期四的基础上向后推3天：星期五→星期六→星期日，所以这个月的30日是星期日。 【变式训练2】先写出一个两位数35，接着在35右端写这两个数字的和8，得到358，再写末两位数字5和8的和13，得到35813，用上述方法得到一个有2025位的整数。则这个整数的数字之和是（     ）。 A．7070 B．7090 C．7089 D．7094 【答案】B 【分析】先根据题意多写几位这个整数，直至找出规律：这个整数是以“3581347112”每10个数字为一个循环；先用除法求出2025里有几个10，然后根据余数的情况，判断2025位的最后一个数字； 求这个整数的2025位的数字之和是多少，先求出一个循环周期各个数位上的数字之和，再乘循环的次数，最后加上余数中出现的几个数字即可求解。 【详解】接着往下写：35813471123581347112… 发现是以“3581347112”每10个数字为一个循环； 2025÷10＝202……5 余数是5表示是一个循环里的第5个数，即3； （3＋5＋8＋1＋3＋4＋7＋1＋1＋2）×202＋3＋5＋8＋1＋3 ＝35×202＋3＋5＋8＋1＋3 ＝7070＋3＋5＋8＋1＋3 ＝7090 则这个整数的数字之和是7090。 故答案为：B 一、选择题 1．如图的点阵中，第①个图形3个点，第②个图形7个点，第⑤个图形有（     ）个点。 A．27 B．30 C．31 D．33 【答案】C 【分析】根据已知信息和图形信息，可知： 第①个图形有3个点，可表示为1＋2＝3； 第②个图形有7个点，可表示为1＋2＋4＝7； 第③个图形有13个点，可表示为1＋2＋4＋6＝13； 可以发现其中1为固定数，第几个图形就再往后按顺序加几个偶数， 因此，第n个图形点的个数为：1＋2＋4＋6＋…＋2n。 【详解】根据规律式，可得 第⑤个图形的点数为： 1＋2＋4＋6＋8＋10 ＝（1＋2）＋（4＋6）＋（8＋10） ＝3＋10＋18 ＝13＋18 ＝31（个） 所以，第⑤个图形有31个点。 故答案为：C 2．有这样一组数：8、12、16、20…第n个数是（     ）。 A．n B．n＋4 C．4n D．4n＋4 【答案】D 【分析】第一个数是8，是4×1＋4，第二个数是12，即4×2＋4…，则观察选项，可得第n个数是多少。 【详解】第一个数：4×1＋4 第二个数：4×2＋4 第n个数：4×n＋4＝4n＋4 第n个数是（4n＋4）。 故答案为：D 3．如图，摆一个三角形要用3根小棒，摆2个三角形要用5根小棒，那么摆a个三角形要用（     ）根小棒。 A．3a B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图示，摆第1个三角形需3根小棒，此后每增加1个三角形，只新添2根小棒（因为会与前面图形共用一条边），所以当摆了a个三角形时所用小棒总数为[3＋2（a－1）]根， 【详解】3＋2（a－1） ＝3＋2a－2 ＝（1＋2a）根 即那么摆a个三角形要用（1＋2a）根小棒。 故答案为：D 4．如图，第1个图形是一个水平摆放的小正方体木块，第2个图形和第3个图形是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律继续叠放下去，第7个图中，从正面看，看不到的木块应有（     ）。 A．91块 B．112块 C．120块 D．140块 【答案】B 【分析】这道题的核心分析思路是找规律计算“总木块数”和“正面看得到的木块数”，再求差值（看不到的木块数）。找总木块数的规律：第1个图形小正方体的个数是1，第2个图形小正方体的个数是个，第3个图形小正方体的个数是个，依此类推；找正面可见木块数的规律：从正面看，每个层看得到的木块数是“层数”（第1层1块，第2层2块，…，第层块），第个图的正面可见木块数是；据此解答。 【详解】第7个图形中木块的总数是： （块） 第7个图形中看得到的块数是： （块） 第7个图形中看不到的块数是： （块） 故答案为：B 5．下列哪一幅图的规律和其他图形不一样？（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题中有三幅图中的规律都是：右面数是上面数和左面数的积的一半。有一选项不符合这一规律。通过计算进行比较选择。 【详解】A．3×6÷2＝9 B．3×6＝18 C．×÷2 ＝÷2 ＝× ＝ D．×2.8÷2 ＝1.6÷2 ＝0.8 通过四个选项的计算可知，选项B的规律和其它图形不一样； 故答案为：B 6．填在如图各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律，的值是（     ）。 A．38 B．74 C．86 D．52 【答案】C 【分析】观察左上角的数：依次是0，2，4，6，每次增加2。观察右上角的数：依次是4，6，8，每次增加2。观察左下角的数：依次是2，4，6，每次增加2。 右下角的数与其他三个数的关系，第一个正方形：0，4，2，8，4×2＋0＝8。第二个正方形：2，6，4，26，6×4＋2＝26。第三个正方形：4，8，6，52，8×6＋4＝52。右下角的数等于右上角的数乘左下角的数再加上左上角的数。据此计算第四个正方形的数字。 【详解】由分析可知，右上角的数每次增加2；左下角的数每次增加2；右下角的数等于右上角的数乘左下角的数再加上左上角的数。 8＋2＝10 6＋2＝8 10×8＋6 ＝80＋6 ＝86 所以的值是86。 故答案为：C 7．将9个数从左到右排成一行，从第3个数开始，每个数恰好等于它前两个数之和，如果第8个数和第9个数分别是76和123，那么第一个数是（     ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】每个数恰好等于它前两个数之和，根据第8个数和第9个数分别是76和123，可以倒推第7个、第6个……，直至推出第1个数。 【详解】第7个：123－76＝47 第6个：76－47＝29 第5个：47－29＝18 第4个：29－18＝11 第3个：18－11＝7 第2个：11－7＝4 第1个：7－4＝3 即这9个数为3、4、7、11、18、29、47、76、123。 故答案为：C 8．如图是“杨辉三角”，根据各数之间的关系，第6行中所有数的和是（     ）。 A．32 B．22 C．20 D．18 【答案】A 【分析】由题意可知，第几行有几个数，每行第一个数和最后一个数都是1，中间的数等于上面一行对应两个数的和，据此找出第6行的6个数，最后求出所有数的和。 【详解】第6行是：1、5、10、10、5、1。 1＋5＋10＋10＋5＋1＝32 第6行中所有数的和是32。 故答案为：A 9．用“十字框”在百数表（如图）中任意框出五个数，对于这五个数的和，下列说法不正确的是（     ）。 A．不可能小于60 B．不可能大于445 C．有可能是250 D．一定是5的倍数 【答案】C 【分析】观察可知，用a表示框中的中间一个数，那么上面可以用（a－10）表示，下面用（a＋10）表示，左边用（a－1）表示，右边用（a＋1）表示，所以5个数的和：a＋a－10＋a＋10＋a－1＋a＋1＝5a，又知a最小是12，最大是89，代入数据分析即可。 【详解】5个数的和：a＋a－10＋a＋10＋a－1＋a＋1＝5a a最小是12，最大是89 A．5a最小是：5×12＝60，所以该说法正确。 B．5a最大是：89×5＝445，所以该说法正确。 C．当5a＝250时，a＝50，观察可知，a＝50时无法框出“十字框”，所以该说法不正确。 D．因为这五个数的和是5a，所以该说法正确。 故答案为：C 10．认真观察下面这组图，第一幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，…… 按照上面的规律，第n幅图的点数为（     ）。 A．4n－3 B．4n＋3 C．6n－2 D．6n＋4 【答案】A 【分析】观察图形，第1幅图的点数为：1＋4×0＝1； 第2幅图的点数为：1＋4×1＝5； 第3幅图的点数为：1＋4×2＝9； 第4幅图的点数为：1＋4×3＝13； …… 照这个规律，第n幅图点数应为：1＋4（n－1）＝4n－3。 【详解】按照上面的规律，第n幅图的点数为（4n－3）。 故答案为：A 二、填空题 11．如图中每个黑色的圆片周围都有6个白色圆片。 照这样摆下去，6个黑色圆片周围一共有（ ）个白色圆片，如果黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，那么有（ ）个黑色圆片。 【答案】 26 10 【分析】1个黑圆时，白圆有6个； 2个黑圆时，白圆有6＋4＝6＋4×1＝6＋4×（2－1）＝10个； 3个黑圆时，白圆有6＋4＋4＝6＋4×2＝6＋4×（3－1）＝14个； …… n个黑圆时，白色圆片数为： 6＋4×（n－1） ＝6＋4n－4 ＝（4n＋2）个。 当白色圆片个数为42个时，即4n＋2＝42，解关于n的方程即可。 【详解】当有n个黑圆片时，白色圆片个数为（4n＋2）个 当n＝6时， 4n＋2 ＝4×6＋2 ＝24＋2 ＝26（个） 解：4n＋2＝42 4n＝42－2 4n＝40 n＝40÷4 n＝10 12．填上适当的数：，，，，，（ ），…。 【答案】 【分析】通过分解分母找到与序号的关系，从而确定括号内的数。数列中各数的分母依次为2，6，12，20，30。分解分母：2＝1×2，6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5，30＝5×6。可发现规律：第n个数的分母为n（n＋1）。 【详解】括号内是第6个数，此时n＝6，分母为6×7＝42，分子始终为1，故该数为。 13．请将填入图中的8个方格内，使得四个方格内的数，恰好等于它上方与之有公共边的两个方格内所填数的差。其中填7。 【答案】见详解 【分析】只能是由减去得到的，由于a也是两数相减得到的，所以a不能是，只能是，可以确定、、三个数的位置，其中c+d=，并且只能是、、、这四种情况，进行分类讨论，求出最后的结果。 【详解】 当c取时，被重复使用，故排除； 当c取时，减不等于，故排除； 当c取时，减不等于，故排除； 当c取时，符合要求，且和可以调换位置。 14．一组图形按下面规律排列：△□□〇〇〇△□□〇〇〇……第50个图形是（ ），前100个图形中〇有（ ）个，当□有20个时，这组图形至少有（ ）个。 【答案】 □ 49 57 【分析】依据“△□□〇〇〇”的周期规律（周期长度为6），运用“总数÷周期数＝商……余数”的除法求余逻辑解题：第50个图形经计算得8个完整周期余2（50÷6＝8……2），对应周期内第2个图形□；前100个图形包含16个完整周期余4（100÷6＝16……4），每个周期有3个○且余下图形有1个○，故○有49个；当□有20个时，因每个周期含2个□（20÷2＝10），最后一个□出现在第10个周期的第3个位置，图形总数至少为10×6－3＝57个。 【详解】（1）50÷6＝8……2 所以第50个图形是第9周期的第2个，是□。 （2）100÷6＝16……4 所以〇有：3×16＋1＝49（个）。 （3）20÷2＝10 10×6－3＝57（个） 所以至少有57个。 15．如图，按照这种方式摆下去，第10个图形需要（ ）个，第个图形需要（ ）个。 【答案】 40 4n 【分析】 观察图可知，第1个图形有4个，第2个图形有4×2＝8个，第3个图形有4×3＝12个，由此可得规律：第n个图形有4n个，据此规律解答。 【详解】10×4＝40（个） n×4＝4n（个） 即第10个图形需要10×4＝40个，第n个图形需要4n个。 16．按照下面图形的变化规律画下去，第20个图形一共有（ ）个直角三角形。 【答案】76 【分析】看图可知，第1个图形一共有0个直角三角形，0＝（1－1）×4；第2个图形一共有4个直角三角形，4＝（2－1）×4；第3个图形一共有8个直角三角形，8＝（3－1）×4……由此可知，直角三角形的个数＝（第几个图形就用几－1）×4，据此列式计算。 【详解】（20－1）×4 ＝19×4 ＝76（个） 第20个图形一共有76个直角三角形。 17．①1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝5×9    ②6＋7＋8＋9＋10＝8×5 ③472＋473＋474＋475＋476＋477＋478＝475×7 根据以上三个规律，请你回答下面问题： 101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＝105×（ ）。 你会写出有同样规律的加法算式吗？请你写出一个。（ ） 【答案】 9 11＋12＋13＋14＋15＝13×5 【分析】通过观察给定的三个例子，发现连续奇数个整数的和等于中间数乘整数的个数。据此数出算式中加数的个数即可解答第一空；第二空写出的是连续奇数个整数的和即可（答案不唯一）。 【详解】101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＝105×9 同样规律的加法算式：11＋12＋13＋14＋15＝13×5（答案不唯一） 18．新型材料石墨烯的原子结构类似六边形，小刚用磁力球和磁力棒制作原子结构的模型，第n个图形需要（ ）个磁力球，（ ）根磁力棒。 【答案】 4n＋2 5n＋1 【分析】如图所示，制作一个六边形需要6个磁力球和6根磁力棒，每多一个六边形，多4个磁力球和5根磁力棒，据此解答。 【详解】根据分析，可以把第1个六边形需要的磁力球个数记为：2＋4，需要磁力棒的个数记为：1＋5 所以六边形的个数与磁力球个数的关系是：磁力球个数＝2＋4×六边形的个数，即磁力球个数＝4n＋2； 六边形的个数与磁力棒个数的关系是：磁力棒个数＝1＋5×六边形的个数，即磁力棒个数＝5n＋1； 所以，第n个图形需要（4n＋2）个磁力球，（5n＋1）根磁力棒。 19．用蓝、白两色的正六边形按下图的规律拼成若干个图案。拼第17个图案需要（ ）个白色的正六边形。 【答案】86 【分析】先把每个图案最左边的这个正六边形看作一个特殊的正六边形，那么每增加一个蓝色的正六边形就增加5个白色的正六边形。如果暂时不算图案最左边的这个正六边形，白色的正六边形是蓝色正六边形的5倍，蓝色正六边形的数量与图案的序号相同。所以白色正六边形数量的规律是蓝色正六边形数量×5＋1。 【详解】17×5＋1 ＝85＋1 ＝86（个） 所以，拼第17个图案需要86个白色的正六边形。 20．按如图所示的规律摆放三角形，第五堆三角形的个数为（ ）个；第（ ）堆三角形的个数为122个。 【答案】 17 40 【分析】由题图可知第一个图有5个三角形，后面的每个图形均比前一个多3个三角形，则第n个图有[5＋3（n－1）]个三角形，代入5，可求得第五堆有几个三角形；令式子等于122，解得方程，即可确定第几堆三角形的个数为122个。 【详解】5＋3×（5－1） ＝5＋3×4 ＝5＋12 ＝17（个） 所以第五堆三角形的个数为17个。 5＋3（n－1）＝122 解：5＋3（n－1）－5＝122－5 3（n－1）＝117 3（n－1）÷3＝117÷3 n－1＝39 n－1＋1＝39＋1 n＝40 所以第40堆三角形的个数为122个。 21．用五根小棒摆一个等腰梯形，按规律依次摆下去。摆第6个需要（ ）根小棒，摆第n个需要（ ）根小棒。 【答案】 25 （4n＋1） 【分析】第一个图形需要（4＋1）根小棒，第二个图形需要（4×2＋1）根小棒，第三个图形需要（4×3＋1）根小棒，所以小棒总个数＝4×第几个图形＋1，据此解答。 【详解】4×6＋1 ＝24＋1 ＝25（根） 用五根小棒摆一个等腰梯形，按规律依次摆下去。摆第6个需要25根小棒，摆第n个需要（4n＋1）根小棒。 22．观察数列：，，，，，，，，……，，的规律，数列中第2008项是（ ）。 【答案】 【分析】首先根据题意，可得分母是2、4、6、8…的个数，分别是1、2、3、4…，若有m行，则共有个数。当时，一共有个数据；当时，一共有个数据。可得数列中第2008项的分母是63×2＝126，分子是，据此判断出数列中第2008项是多少。 【详解】数列改写如下： 第1行：， 第2行：，， 第3行：，，， 第4行：，，，， 故第行：，，，， 一共有个数据， 当时，一共有个数据， 当时，一共有个数据， 故分母，，分子为，故第2008项是。 23．有一列由两个数组成的数组：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1）… （1）第70组的两个数之和是（ ）。 （2）在前55组中，“5”这个数出现了（ ）次。 【答案】（1）16 （2）11 【分析】（1）观察数组的规律，第一个数是1的有1组，第一个数是2的有2组，第一个数是3的有3组，第一个数是4的有4组，……，因为1＋2＋3＋4＋…＋11＝66组，所以从第67组开始，每组的第一个数是12，第67组是（12，1），依此类推，第70组是（12，4），两个数的和是12＋4＝16； （2）因为1＋2＋3＋…＋10＝55组，所以第55组恰好是（10，10），第一个数是5的有5组，即（5，1）、（5，2）、（5、3）、（5，4）、（5，5）出现了6次。第二个数是5的只能是（6，5）、（7，5）、（8，5）、（9，5）、（10，5）出现了5次，所以“5”这个数出现了11次。据此解答。 【详解】（1）观察数组的规律，可知： 第一个数是1的有1组， 第一个数是2的有2组， 第一个数是3的有3组， 第一个数是4的有4组， ……， 又1＋2＋3＋4＋…＋11＝66组， 所以从第67组开始，每组的第一个数是12，第67组是（12，1），第68组是（12，2），…，第70组是（12，4），两个数的和：12＋4＝16； 第70组的两个数之和是16。 （2）因为1＋2＋3＋…＋10＝55组，所以第55组恰好是（10，10） 第一个数是5的有5组，即（5，1）、（5，2）、（5、3）、（5，4）、（5，5），出现了6次； 第二个数是5的只能是（（6，5）、（7，5）、（8，5）、（9，5）、（10，5）出现了5次； 所以“5”这个数出现：6＋5＝11（次） 在前55组中，“5”这个数出现了11次。 24．今年教师节是星期二，再过60天是星期（ ），明年元旦是星期（ ）。 【答案】 六 三 【分析】教师节是9月10日，一周有7天，把7天看作一个周期，用60天除以7，如果可以整除，那么60天后也是星期二，如果不能整除，余数是几，就从星期二往后推几天； 先根据1、3、5、7、8、10、12是大月有31天；4、6、9、11是小月有30天，计算9月10日到明年的1月1日有多少天，再根据上述方法列式计算即可。 【详解】60÷7＝8（个）……4（天） 2＋4＝6，所以星期二，再过60天是星期六； （30－10）＋31＋30＋31＋1 ＝20＋31＋30＋31＋1 ＝51＋30＋31＋1 ＝81＋31＋1 ＝112＋1 ＝113（天） 113÷7＝16（个）……1（天） 2＋1＝3，明年元旦是星期三。 所以今年教师节是星期二，再过60天是星期六，明年元旦是星期三。 25．如图是数独游戏。要求：每一行、每一列都用到1~9，不能重复；每个的格子（实线内）也都用到1~9，不能重复。A应该是（ ），B应该是（ ）。 【答案】 9 8 【分析】先锁定A所在的3×3宫格，找出该宫格已有的数字，确定剩余可填数；再结合A所在的列和行，排除已出现的数字，推出A＝9；接着用同样的方法分析B，先看B所在的行，确定剩余可填数，再结合其所在的宫格排除重复数字，最后验证列的规则，得出B＝8。 【详解】A所在的3×3宫格已有的数字1、2、7，A所在的列已有的数字1、3、5、7，A所在的行已有的数字2、4、6、8，排除已出现的数字，推出A＝9； B所在的3×3宫格已有的数字1、2、7、9，B所在的行已有的数字1、4、6，B所在的列已有的数字1、3、5、7、9，排除已出现的数字，得出B＝8。 26．例如：a1表示12的个位数字，即：； a2表示22的个位数字，即：； a3表示32的个位数字，即a3＝9； a4表示42的个位数字，即：； 则（ ）。 【答案】9059 【分析】12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，102＝100，112＝121，122＝144，132＝169、142＝196、152＝225、162＝256、172＝289、182＝324、192＝361、202＝400……中每10个数字为一组，每组数字的个位数字分别是1、4、9、6、5、6、9、4、1、0，每组个位数字的和是（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4＋1＋0＝45）。用2013除以10，算出商和余数，商是几，的和里就有几个45；再看余数，余数是几，就看这一组的前几个数的个位上数字是几，再相加即可。 【详解】1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4＋1＋0 ＝（1＋9）＋（2＋8）＋（3＋7）＋（4＋6）＋5＋0 ＝10＋10＋10＋10＋5＋0 ＝45 2013÷10＝201……3 45×201＋1＋4＋9 ＝9045＋1＋4＋9 ＝9046＋4＋9 ＝9050＋9 ＝9059 9059 27．如图，有一根弯曲的铁丝，准备用如图1所示的方式剪切，这样就把原来的铁丝分成了几段。 （1）探究：按如图2的方式剪切，在括号里填写适当的数。 （2）总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是（ ）。 （3）应用：像这样如果剪切20次，会分成（ ）段。 【答案】（1）7；10 （2）b＝3a＋1 （3）61 【分析】（1）剪1次分成4段，剪2次分成（4＋3＝4＋3×1）段，剪3次分成（4＋3＋3＝4＋3×2）段。 （2）总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是b＝4＋3×（a－1）。 （3）应用：像这样如果剪切20次，就是当a＝20时，代入a和b的关系式，求出b即可。 【详解】（1）剪2次： 4＋3×1 ＝4＋3 ＝7（段） 剪3次： 4＋3×2 ＝4＋6 ＝10（段） 填数如下： （2）4＋3×（a－1） ＝4＋3a－3 ＝（3a＋1）段 因此剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系为b＝3a＋1。 （3）当a＝20时，代入b＝3a＋1得： 3×20＋1 ＝60＋1 ＝61（段） 28．例如：a1表示12的个位数字，即a1＝1； a2表示22的个位数字，即a2＝4； a3表示32的个位数字，即a3＝9； a4表示42的个位数字，即a4＝6； 则a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2001＋a2012＋a2013＝（ ）。 【答案】9059 【分析】12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，102＝100，每10个数组成一个周期，周期内数的个位分别是1、4、9、6、5、6、9、4、1、0，每个周期内10个数的个位之和是1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4＋1＋0＝45。用2013除以10，所得的商表示有几个周期，余数是几，就数出周期中的前几个数字。用45乘周期的数量，再加上余数表示的几个数字，即可求出式子的和。 【详解】12＝1 22＝4 32＝9 42＝16 52＝25 62＝36 72＝49 82＝64 92＝81 102＝100 1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4＋1＋0＝45 2013÷10＝201……3 45×201＋1＋4＋9 ＝9045＋1＋4＋9 ＝9059 则a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2001＋a2012＋a2013＝9059。 29．如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，…。依此规律跳动下去，点P从0跳动6次到达的位置，点P从0跳动21次到达的位置，点、、…在一条直线上，则点P从0跳动（ ）次可到达的位置。 【答案】903 【分析】看图可知，点P从0跳动6次到达的位置，6＝1＋2＋3；点P从0跳动21次到达的位置，21＝1＋2＋3＋4＋5＋6；……由此可知，跳动次数为从1开始连续整数的和，是从1开始连续3个整数的和，是从1开始连续（2×3）个整数的和，是从1开始连续（3×3）个整数的和……是从1开始连续（4×3）个整数的和，由此可知，是从1开始连续（14×3）个整数的和，即跳动的次数。 【详解】14×3＝42 1＋2＋3＋…＋41＋42 ＝（1＋42）×42÷2 ＝43×42÷2 ＝43×21 ＝903（次） 30．观察表一，寻找规律。表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，则表格中a＝（ ）；b＝（ ）；c＝（ ）。 【答案】 18 30 15 【分析】1. 表一规律推导：观察表一，第1行是1，2，3，4...（第1行第n列数为n），第2行是2，4，6，8...（第2行第n列数为2n），第3行是3，6，9，12...（第3行第n列数为3n）……由此得出核心规律：表一中第m行第n列的数＝（行号与列号的乘积）同时，每一行的数公差为行号m，每一列的数公差为列号n。 2. 求a（表二）：表二数字排布为“12在上，15在中间，a在下”。12是第3行第4列或第4行第3列（3×4＝12），15是第3行第5列或第5行第3列（3×5＝15）（同一行，公差为3），15也属于第5列，a是第3行第6列（或第6行第3列），按“行号×列号”计算得出结果即可。 3. 求b（表三）：表三数字排布为“20和24同行，25和b同行，20和25同列”。20是第4行第5列（4×5＝20），24是第4行第6列（4×6＝24，该行公差为4）；25是第5行第5列（5×5＝25，该列公差为5），因此b是第5行第6列，按规律计算得出结果即可。 4. 求c（表四）：表四数字排布为“8和c差一行，c和20同列”。结合答案特征，8为第2行（或第4行），20为第4列（或第5列），故c为第3行第5列（或第5行第3列），按“行号×列号”计算得出结果即可。   【详解】1.计算a：第3行第6列：3×6＝18（或第6行第3列：6×3＝18）。故a＝18。 2.计算b：第5行第6列：5×6＝30。故b＝30。 3.计算c：第3行第5列：3×5＝15（或第5行第3列：5×3＝15）。故c＝15。    31．用表示组成n的数字中不是零的几个数字乘积，例如：；；。则（ ）。 【答案】2116 【分析】根据题意可以得到规律：个位数结果为个位数，十位数结果为十位数×个位数，百位数为百位数×个位数．据此规律解决此题即可，f（10）＝1，f（20）＝2，f（30）＝3，f（40）＝4，f（50）＝5，f（60）＝6，f（70）＝7，f（80）＝8，f（90）＝9，f（100）＝1。 【详解】f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（99）＋f（100） ＝（1＋2＋3…＋9）＋1×（1＋2＋3…＋9）＋2×（1＋2＋3…＋9）＋3×（1＋2＋3…＋9）＋…＋9×（1＋2＋3…＋9）＋（1＋2＋3…＋9＋1） ＝（1＋2＋3…＋9）×（1＋1＋2＋3…＋9）＋46 ＝45×46＋46 ＝2070＋46 ＝2116 f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（99）＋f（100）＝2116。 32．根据数字间的关系，找规律填空，“？”＝（ ）。 【答案】528 【分析】根据前三个图形中的数字关系可知： 图一：18×10＋17＝180＋17＝197； 图二：92×10＋33＝920＋33＝953； 图三：307×10＋45＝3070＋45＝3115； 所以数字规律为：右上角的数×10＋左上角的数＝下面的数； 据此可求出“？”所代表的数。 【详解】根据分析可知： 51×10＋18 ＝510＋18 ＝528 三、解答题 33．有一串数字：2、3、6、8、8、4…它的规律是：从第三个数开始，每一个数都是前面两个数字乘积的个位数字，那么这串数字的第2022个数字是多少？ 【答案】4 【分析】我们将这串数写下去：2、3、6、8、8、4、2、8、6、8、8、4、2、8、6……，不难发现：从第三个数字开始，6、8、8、4、2、8这六个数字循环出现，即以这六个数字为一个周期，那么第2022个数字：用算式（2022－2）÷6计算看余数，余数是几就是这个周期里的第几个数，没有余数就是这个周期里的最后一个数。据此解答即可。 【详解】（2022－2）÷6 ＝2020÷6 ＝336……4 答：这串数字的第2022个数字是4。 34．现将自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出9个数。 （1）图中的9个数的和是多少？ （2）能否使一个长方形框出的9个数的和为2007？若不可能，请说明理由；若可能，求出9个数中最大的数。 【答案】（1）216；（2）能；231 【分析】（1）设中间数为x，则 9 个数可表示为x－8、x－7、x－6、x－1、x、x＋1、x＋6、x＋7、x＋8，其和为9x。图中中间数是24，因此和为9×24＝216。 （2）依据是数阵的整除特性（9个数的和为9x，需为9的倍数）。 验证2007：2007÷9＝223，即中间数x＝223。 判断位置：223÷7＝31⋯⋯6，说明223在第32行第6列，符合数阵布局。 最大数：x＋8＝223＋8＝231。 【详解】（1）设中间的数为x，则另外8个数分别为x－8，x－7，x－6，x－1，x＋1，x＋6，x＋7，x＋8。 （x－8）＋（x－7）＋（x－6）＋（x－1）＋x＋（x＋1）＋（x＋6）＋（x＋7）＋（x＋8）＝24 9x＝24 x＝24 9×24＝216 答：图中的9个数的和是216。 （2）因为9个数的和需为9的倍数，2007÷9＝223，中间数223在第32行第6列，符合布局，最大数为223＋8＝231，故可能，最大数是231。 答：能使一个长方形框出的9个数的和为2007，9个数中最大的数是231。 35．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换，那么按上述规则连续完成2024次变换后，骰子朝上一面的点数是几？ 【答案】6 【分析】根据题意，第一次操作：将骰子向右翻滚90°，上、下、左、右、前、后分别是5、2、4、3、1、6；再逆时针方向旋转90°，上、下、左、右、前、后分别是5、2、6、1、4、3； 第二次操作：第一步向右翻滚90°，上、下、左、右、前、后分别是6、1、2、5、4、3；第二步逆时针方向旋转90°，上、下、左、右、前、后分别是6、1、3、4、2、5； 第三次操作：第一步向右翻滚90°，上、下、左、右、前、后分别是3、4、1、6、2、5，第二步逆时针方向旋转90°，上、下、左、右、前、后分别是3、4、5、2、1、6； 而最初的正方体骰子上，上、下、左、右、前、后分别是3、4、5、2、1、6，经过三次刚好转回去了，所以每操作一次，上面的点数按照5，6，3，5，6，3，5，6，3…的顺序排列。3个数字一循环；用2024÷3，余数是几，就是第几个数；没有余数，就是第三个数，据此解答。 【详解】根据分析可知，朝上的数字规律是5，6，3，5，6，3…，三个数字一循环。 2024÷3＝674……2 连续完成2024次变换后，骰子朝上一面的点数是6。 答：连续完成2024次变换后，骰子朝上一面的点数是6。 36．现有365张大小相同的纸卡，上面分别印着整数1～365，如果按照数字从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列，从1开始排列至365为止（如图1）。图2是完成上述排列后，抽出365周围的部分。 （1）在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，在这些空格上打“×”。 （2）在其他位置填上与365相邻的数字。 【答案】见解答 【分析】（1）（2）如下图所示，数从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列出的图形是一个正方形，以1为中心数，每个1×1，3×3，5×5的正方形的右下角的数（即标蓝色方格内的数）均是从1开始的连续奇数的平方（即（2n－1）²），因为19²＝361，即最接近365的奇数的平方，据此画出以数361为右下角的数的排列，再画出以数289为右下角的数的排列（如下图），据此解答。 【详解】由分析可知： （1）如下图所示： （2）如下图所示： 37．我们把“个相同的数相乘”记为，例如。 （1）请计算：________，__________。 （2）观察下列等式： 由以上规律，我们可以猜： _______。 （3）计算：。 【答案】（1）64；625 （2） （3） 【分析】（1）根据“个相同的数相乘”记为，将写成6个2相乘，写成4个5相乘，计算即可； （2）观察 …… 可知算式左边为乘到1的连续次方数减1的和，结果为（）； （3）利用（2）的规律，符合的形式，其中＝3，n＝2011，根据结论，可得（3－1）（）＝，根据等式的性质2，两边同时÷（3－1），计算即可。 【详解】（1）2×2×2×2×2×2＝64，5×5×5×5＝625。 （2） （3）根据分析，可得： （3－1）（）＝ 解：（3－1）（）÷（3－1）＝（）÷（3－1） ＝ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $