第七章：立体图形（综合复习讲义）-2026年小升初数学复习讲练测

2026年小升初数学复习讲练测 第七章：立体图形 （17大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练） （一）知识点梳理 知识点01 长方体 2 知识点02 正方体 2 知识点03 圆柱 3 知识点04 圆锥 4 知识点05 立体图形表面积和体积公式汇总 4 知识点06 组合体、不规则物体的表面积和体积 5 （二）重难点题型讲解 考点01 长方体、正方体有关棱长的应用 6 考点02 长方体的表面积 7 考点03 正方体的表面积 9 考点04 长方体的体积 10 考点05 正方体的体积 12 考点06 长方体、正方体的容积 14 考点07 圆柱的侧面积 16 考点08 圆柱的表面积 18 考点09 圆柱的体积 20 考点10 圆柱的容积 22 考点11 圆锥的体积（容积） 25 考点12 圆柱与圆锥体积的关系 27 考点13 立体图形的切拼（圆柱与圆锥） 29 考点14 组合体的表面积 31 考点15 组合体的体积 34 考点16 不规则物体的体积（长方体、正方体） 37 考点17 不规则物体的体积（圆柱、圆锥） 39 （三）真题演练 真题演练 41 知识点01：长方体 1.长方体的认识 （1）面：长方体有6个面，每个面一般是长方形，特殊情况有两个相对的面是正方形。相对的面完全相同。 （2）棱：两个面相交的边叫做棱，长方体有12条棱，相对的棱长度相等。 （3）顶点：三条棱相交的点叫做顶点，长方体有8个顶点。 2.长方体表面积 （1）长方体6个面的总面积叫做它的表面积。 （2）计算公式为S＝（ab＋ah＋bh）×2，其中a为长，b为宽，h为高。 3.长方体的体积 （1）体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。 （2）长方体体积公式：V＝abh，其中a为长，b为宽，h为高。 【易错点拨】 （1）无盖长方体（如鱼缸、抽屉）：表面积=长×宽+2×（长×高+宽×高）（少1个底面）。 （2）通风管/烟囱（无上下底面）：表面积=2×（长×高+宽×高）（少2个相对面）。 （2）占地面积：只求底面积（长×宽），不是表面积。 （3）切割长方体：每切一刀增加2个面，拼接则减少2个面。 知识点02：正方体 1.正方体的认识 正方体是特殊的长方体，它的6个面都是正方形，6个面完全相同，12 条棱的长度都相等。 2.正方体的表面积 （1）正方体 6 个面的总面积叫做它的表面积。 （2）计算公式为S＝6a2，其中a为正方体的棱长。 3.长方体和正方体的体积 （1）正方体体积公式：V＝a3，其中a为正方体的棱长。 （2）统一公式：长方体和正方体的体积都可以用底面积乘高来计算，即V＝Sh，其中S为底面积，h为高。 【易错点拨】 （1）无盖正方体：表面积= 5a2。 （2）正方体涂色问题： 3面涂色：8个顶点； 2面涂色：棱中间部分； 1面涂色：面中间部分； 0面涂色：内部。 （3）切割小正方体：大正方体体积÷小正方体体积=个数 知识点03：圆柱 1.圆柱的认识 （1）底面：圆柱有两个底面，是完全相同的两个圆。 （2）侧面：圆柱的侧面是一个曲面，展开后是一个长方形或正方形。当圆柱底面周长和高相等时，侧面展开是正方形。 （3）高：两个底面之间的距离叫做圆柱的高，圆柱有无数条高。 2.圆柱的表面积 （1）圆柱的表面积等于两个底面积加上侧面积。 （2）计算公式为S＝2πr2 +2πrh，其中r为底面半径，h为高。 3.圆柱的体积 圆柱的体积计算公式为V＝πr2h，其中r为底面半径，h为高。 【易错点拨】 （1）无盖圆柱（如水桶）的表面积=S侧+S底。 （2）烟囱、通风管、压路机滚筒：只有侧面积，无底面。通风管、烟囱等的表面积=S侧。 （3）半径与直径混淆：看清给的是r还是d。 （4）圆柱横切：增加2个圆形底面；竖切增加2个长方形。 （5）切拼圆柱后体积变化判断错误：认为切拼成长方体后体积变大，实际体积不变，表面积变大。 知识点04：圆锥 1.圆锥的认识 （1）底面：圆锥的底面是一个圆。 （2）侧面：圆锥的侧面是一个曲面，展开后是一个扇形。 （3）高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高，圆锥只有一条高。 2.圆锥的体积 （1）圆锥体积公式的推导：通过实验发现，等底等高的圆柱和圆锥，圆锥体积是圆柱体积的。 （2）圆锥的体积公式：V圆锥＝V圆柱＝πr2h （3）圆柱与圆锥的关系 ①等底等高：V锥=V柱，V柱=3V锥； ②体积相等、底面积相等：h锥=3h柱； ③体积相等、高相等：S锥底=3S柱底。 【易错点拨】 （1）圆锥高的概念误解：认为圆锥的高是从顶点到底面边缘的距离，实际是到圆心的垂直距离。 （2）等底等高关系混淆：在体积相等的情况下，V锥=V柱，V柱=3V锥。 知识点05：立体图形表面积和体积公式汇总 立体图形 表面积 体积 长方体 S=2 ：长 b:宽 h：高 S：表面积 正方体 S= ：棱长 S：表面积 圆柱 圆锥 是母线，即从顶点到底面圆上的线段长 知识点06：组合体、不规则物体的表面积和体积 1.组合体的表面积 （1）概念：组合体的表面积是指组合体各个面的面积之和。在计算时，需要注意有些面可能会重合，重合的面在计算总面积时只能计算一次。 （2）计算方法：通常采用“分面计算，然后求和”的方法。先将组合体分解成几个基本的立体图形，分别计算出每个基本立体图形的表面积，然后减去重合部分的面积。 （3）拼接：两个立体拼在一起，重合面会消失，每重合1处，减少2个重合面面积。 （4）挖去：在立体上挖去小正方体。 ①角上挖：表面积不变。 ②棱上挖：表面积增加2个面。 ③面上挖：表面积增加4个面。 2.组合体的体积 （1）概念：组合体的体积是指组合体所占空间的大小。 （2）计算方法： ①“分割法”：将组合体分割成几个规则的、易求体积的基本立体图形，分别计算它们的体积，然后将这些体积相加。 ②“添补法”：对于一些不规则的组合体，可以通过添加一部分使其成为一个规则的立体图形，然后用这个规则立体图形的体积减去添加部分的体积，得到组合体的体积。 3.不规则物体的表面积 计算方法：一般采用 “近似转化” 的方法。可以将不规则物体的表面近似看作由若干个规则的平面图形组成，然后分别计算这些平面图形的面积，再求和。 4.不规则物体的体积 计算方法： （1）“排水法”：将不规则物体放入一个装满水的容器中，溢出的水的体积就是该不规则物体的体积。具体操作时，先测量出容器的容积以及放入物体后剩余水的体积，用容器的容积减去剩余水的体积，就得到了不规则物体的体积。 （2）割补法：对于一些形状比较特殊的不规则物体，也可以通过将其分割或拼接成规则物体来计算体积。 （3）“转化法” ①根据正放的瓶子得：液体的体积＝瓶子的底面积×液体的高度 ②根据倒放的瓶子得：空余部分的的体积＝瓶子的底面积×空余部分的高度 ③瓶子的容积＝液体的体积＋空余部分的体积 【易错点拨】 （1）拼接：重合面要减去。 （2）挖去：看位置判断表面积增减，空心、挖孔图形别把内部面积漏掉。 （3）组合体表面积：不要直接相加，一定要减重合面。 （4）排水法：容器底面积不变，只看高度变化。单位必须统一，高度差是关键。 考点01：长方体、正方体有关棱长的应用 【典型例题】贝贝给妈妈准备了一个生日礼物，为了更加美观，她用丝带捆扎这个礼品盒（如图），已知打结部分用了30厘米，贝贝捆扎这个礼品盒一共用去多少米的丝带？ 【答案】2.2米 【分析】观察丝带的捆扎方式，丝带包含2条长、2条宽、4条高，再加上打结部分的长度，就是总长度，最后要换算成米。 【详解】30×2＋25×2＋20×4＋30 ＝60＋50＋80＋30 ＝110＋110 ＝220（厘米） 220厘米＝2.2米 答：贝贝捆扎这个礼品盒一共用去2.2米的丝带。 【变式训练1】超市有三种规格的长方体礼品盒，现在要给礼品盒的所有棱都贴一圈彩带，选用（     ）礼品盒用的彩带最少。 A．长15cm、宽12cm、高10cm B．长20cm、宽15cm、高8cm C．长25cm、宽10cm、高5cm 【答案】A 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，分别求出三种规格礼品盒的棱长总和，再比较大小，棱长总和最小的礼品盒用的彩带最少。 【详解】A．（15＋12＋10）×4＝37×4＝148（cm） B．（20＋15＋8）×4＝43×4＝172（cm） C．（25＋10＋5）×4＝40×4＝160（cm） 148＜160＜172 因此选长15cm、宽12cm、高10cm礼品盒用的彩带最少。 【变式训练2】用铁丝焊接一个长6cm、宽5cm、高4cm的长方体框架，至少需要铁丝（ ）cm。如果用同样长的铁丝焊接一个正方体框架，它的棱长是（ ）cm。 【答案】 60 5 【分析】求需要多少铁丝，就是求棱长总和，长方体的长、宽、高各有4条，棱长总和＝（长＋宽＋高）×4；正方体有12条棱，用棱长总和除以12，可以求出正方体的棱长。 【详解】铁丝长度：（6＋5＋4）×4 ＝（11＋4）×4 ＝15×4 ＝60（cm） 棱长：60÷12＝5（cm） 考点02：长方体的表面积 【典型例题】一块某品牌香皂长8厘米、宽5厘米、高4厘米，商场进行促销活动，把2块同样的香皂装在一起销售。请你算一算至少需要多少平方厘米包装纸？ 【答案】288平方厘米 【分析】要使包装纸最省，即求拼组后的长方体表面积最小。将两个长方体拼在一起时，重合的面积越大，表面积减少得越多，总表面积就越小。因此，应将两块香皂最大的面（长×宽的面）重合在一起。据此用两块香皂独立的总表面积减去重合部分的面积即可。 【详解】（8×5＋8×4＋5×4）×2×2－8×5×2 ＝（40＋32＋20）×2×2－8×5×2 ＝92×2×2－8×5×2 ＝92×4－40×2 ＝368－80 ＝288（平方厘米） 答：至少需要288平方厘米包装纸。 【变式训练1】一个长方体长15厘米，宽8厘米，高12厘米，若高减少5厘米，则表面积减少（ ）平方厘米。 【答案】230 【分析】表面积减少的是前后左右4个面，减少的表面积＝长×减少的高×2＋宽×减少的高×2。 【详解】15×5×2＋8×5×2 ＝150＋80 ＝230（平方厘米） 【变式训练2】下图是一个长方体的展开图，请计算它的表面积。（单位：cm） 【答案】88cm2 【分析】根据一个长方体的展开图，相邻的边分别对应长、宽、高。从图中可识别出：图中的2个2，相邻，相当于长方体的高，由此可知长方体的长宽高分别是多少；长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 【详解】长方体的长是6cm。宽是4cm，高是2cm，表面积： （6×4＋6×2＋4×2）×2 ＝（24＋12＋8）×2 ＝（36＋8）×2 ＝44×2 ＝88（cm2） 考点03：正方体的表面积 【典型例题】用铁丝做一个棱长为8分米的正方体框架，至少要用（ ）分米的铁丝，如果在这个框架外糊一层广告纸，至少需要（ ）平方分米的纸。（接头处忽略不计） 【答案】 96 384 【分析】正方体有12条长度相等的棱，所需铁丝长度就是这12条棱的总长度，根据正方体的棱长总和公式：总和＝棱长×12，求出至少要用铁丝的长度；糊满整个框架外表面，就是求正方体的表面积，即6个完全相同的正方形面的面积之和，根据正方体的表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，求出至少需要多少平方分米的纸。 【详解】8×12＝96（分米） 8×8×6 ＝64×6 ＝384（平方分米） 至少要用96分米的铁丝，至少需要384平方分米的纸。 【变式训练1】一个正方体的棱长总和是36厘米，表面积是（ ）平方厘米。 【答案】54 【分析】正方体棱长＝棱长总和÷12，正方体表面积＝棱长×棱长×6。 【详解】棱长：36÷12＝3（厘米） 表面积：3×3×6＝54（平方厘米） 【变式训练2】一个正方体的棱长从3cm增加到5cm，它的表面积增加了（     ）cm2。 A．16 B．96 C．150 D．216 【答案】B 【分析】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，增加部分的表面积＝大正方体的表面积－小正方体的表面积，据此解答。 【详解】5×5×6－3×3×6 ＝25×6－9×6 ＝150－54 ＝96（cm2） 所以它的表面积增加了96cm2。 考点04：长方体的体积 【典型例题】一个长方体，如果高增加3厘米，就变成一个正方体，这时表面积比原来增加了72平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】108立方厘米 【分析】如果长方体的高增加3厘米，则长方体的侧面积增加，根据侧面积＝底面周长×高，据此可知侧面增加的面积除以增加的高度，即可求出长方体的底面周长，因为高增加3厘米，就成为一个正方体，说明长方体的底面是一个正方形，根据正方形的周长公式，用底面周长除以4即可求出底面的长和宽，再减去3即可求出长方体原来的高，最后根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据即可求出原来长方体的体积。 【详解】底面周长：72÷3＝24（厘米） 底面边长（长和宽）：24÷4＝6（厘米） 原来长方体的高：6－3＝3（厘米） 原来长方体的体积：6×6×3＝108（立方厘米） 答：原来长方体的体积是108立方厘米。 【变式训练1】一根长方体木料，长8m，把它截成4段，表面积增加了，这根木料的体积是（ ）。 【答案】7.2 【分析】每锯1次，增加2个截面的面积。先根据次数＝段数－1，求出锯的次数，再求出共增加的截面的数量，用增加的表面积除以增加的截面数，求出一个截面的面积，最后根据“体积＝一个截面的面积×长度”求出木料的体积。注意单位的统一，1米＝10分米。 【详解】8米＝80分米 增加的截面数： （4－1）×2 ＝3×2 ＝6（个） 一个截面的面积：0.54÷6＝0.09（平方分米） 木料体积：0.09×80＝7.2（立方分米） 【变式训练2】一个长方体容器里装满水，沿着容器边缘从左侧将水倒出一些（如图所示，单位：厘米），倒出了（ ）立方厘米的水，还剩（ ）立方厘米的水。（容器的厚度忽略不计） 【答案】 100 380 【分析】通过观察图形可知，倒出水的体积相当于一个长8厘米、宽5厘米，高5厘米的长方体的体积的一半；根据长方体体积=长×宽×高，代入数据，求出倒出水的体积；剩下水的体积等于这个长方体容器的体积减去倒出水的体积，据此解答。 【详解】8×5×5÷2 ＝40×5÷2 ＝200÷2 ＝100（立方厘米） 8×5×12－100 ＝40×12－100 ＝480－100 ＝380（立方厘米） 考点05：正方体的体积 【典型例题】把一个棱长为6分米的正方体钢锭铸造成长9分米，高3分米的长方体钢锭，这个长方体的宽是多少分米？ 【答案】8分米 【分析】铸造前后体积不变，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体钢锭的体积，即为长方体钢锭的体积；长方体的体积＝长×宽×高，用长方体的体积依次除以长和高即可求出这个长方体的宽。 【详解】6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方分米） 216÷9÷3 ＝24÷3 ＝8（分米） 答：这个长方体的宽是8分米。 【变式训练1】把一块长14米，宽12米，高8米的长方体木块截成一个最大的正方体，这个正方体木块的体积是（ ）立方米。 【答案】512 【分析】长方体内最大的正方体的棱长等于长方体的最短边，是8米，再利用“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”，即可解答. 【详解】8×8×8＝512（立方米） 【变式训练2】如图，长方体玻璃缸中水深4.8分米，将棱长是5分米的正方体铁块投入水中，缸里的水会溢出多少立方分米？ 【答案】57.8立方分米 【分析】铁块放入后，水和铁块的总体积超过玻璃缸容量的部分，就是溢出的水。 【详解】玻璃缸体积：8×7×6＝336（立方分米） 玻璃缸内水的体积：8×7×4.8＝268.8（立方分米） 正方体铁块体积：5×5×5＝125（立方分米） 溢出的水的体积：268.8＋125－336＝57.8（立方分米） 答：缸里的水会溢出57.8立方分米。 考点06：长方体、正方体的容积 【典型例题】《天工开物》中记载了竹子造纸的具体流程（如下图）。 在“入帘”环节，需要将竹木浆放到一个无盖纸槽里。从里面量，纸槽长12分米，宽8分米，高5分米。 （1）如果需要在纸槽内部涂一层蜡，需要涂蜡的面积是多少平方分米？ （2）这个纸槽最多能容纳多少升竹木浆？ 【答案】（1）296平方分米 （2）480升 【分析】（1）由题可知，纸槽是一个无盖长方体，在内部涂一层蜡，即在长方体的侧面和底面涂，求出长方体侧面积和底面积之和，可得涂蜡的面积。 （2）求纸槽容纳多少升竹木浆，实际求长方体的体积，由公式长方体的体积＝长×宽×高，可得出结果。 【详解】（1）12×8＋12×5×2＋8×5×2 ＝96＋120＋80 ＝296（平方分米） 答：需要涂蜡的面积是296平方分米。 （2）12×8×5＝480 （立方分米） 480立方分米＝480升 答：这个纸槽最多能容纳480升竹木浆。 【变式训练1】一个棱长是10dm的正方体水池，蓄水后水面低于池口2dm，此时有（ ）L水。 【答案】800 【分析】要求水的体积，也就是求出底面积为（10×10）dm2，高为（10－2）dm的长方体的容积，根据长方体容积＝底面积×高，即可解答，最后根据1dm3＝1L换算单位。 【详解】10×10×（10－2） ＝10×10×8 ＝800（dm3） 800dm3＝800L 【变式训练2】某汽车油箱的长为50厘米，宽为40厘米，高为30厘米，如果每升油可行驶12千米，这箱油最多可以供这辆汽车行驶多少千米？ 【答案】720千米 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出汽车油箱的体积，根据1升＝1000毫升，1毫升＝1立方厘米进行单位换算，然后再乘12； 【详解】50×40×30 ＝2000×30 ＝60000（立方厘米） 60000立方厘米＝60升 12×60＝720（千米） 答：这箱油最多可以供这辆汽车行驶720千米。 考点07：圆柱的侧面积 【典型例题】一台压路机的前轮是圆柱形的，轮宽2米，直径1米。如果这台压路机在工作时前轮每分钟转10圈，那么它每分钟可压路面多少平方米？ 【答案】62.8平方米 【分析】先算出压路机前轮转1圈压过的路面面积（即圆柱的侧面积），根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，再乘每分钟转的圈数，就能得到每分钟压路的总面积。 【详解】3.14×1×2 ＝3.14×2 ＝6.28（平方米） 6.28×10＝62.8（平方米） 答：它每分钟可压路面62.8平方米。 【变式训练1】如下图，把一个圆柱的侧面展开得到一个平行四边形，这个圆柱的底面积是（ ），侧面积是（ ）。 【答案】 12.56 62.8 【分析】圆柱侧面展开后得到的平行四边形的底，就是圆柱的底面周长，高就是圆柱的高。先根据底面周长C＝2πr（π取3.14）求出底面半径，再根据圆的面积公式S＝πr2求出底面积；再根据平行四边形的底和高，用“底×高”求出侧面积。 【详解】半径：12.56÷（2×3.14） ＝12.56÷6.28 ＝2（cm） 底面积：3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 侧面积：12.56×5＝62.8（cm2） 【变式训练2】张师傅用白铁皮做10节圆柱形通风管，每节通风管的直径是0.2米，长是1米。至少要用（ ）平方米的白铁皮。（接头处损耗忽略不计） 【答案】6.28 【分析】因为通风管没有上下两个底面，所以求做一节通风管需要白铁皮的面积就是求圆柱的侧面积，利用“”求出做一节通风管需要白铁皮的面积，再乘10求出需要白铁皮的总面积。 【详解】3.14×0.2×1×10 ＝0.628×10 ＝6.28（平方米） 考点08：圆柱的表面积 【典型例题】一个圆柱形无盖铁皮水桶，底面半径是3分米，高是5分米。做20个水桶至少需要多少平方分米的铁皮？ 【答案】2449.2平方分米 【分析】根据题意，水桶是无盖的圆柱形，因此制作一个水桶所需的铁皮面积等于圆柱的侧面积加上一个底面的面积。圆柱的侧面积＝2πrh，圆柱的底面积＝πr2。求和得到一个水桶需要的铁皮面积，最后乘水桶的数量20即可求出总面积。 【详解】 （平方分米） （平方分米） （平方分米） （平方分米） 答：做20个水桶至少需要2449.2平方分米的铁皮。 【变式训练1】请你从下面各图中，选出图（     ）中的两个圆和一个长方形刚好可以围成一个圆柱，并计算出它的表面积和体积。（接头处忽略不计）（单位：厘米） 【答案】A；表面积7.85平方厘米；体积1.57立方厘米 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。根据圆的周长公式：C＝πd（π取3.14），把数据分别代入公式求出各圆柱的底面周长，然后进行比较即可。 先用直径除以2求出半径，再根据圆柱的表面积公式S＝2πr2＋Ch，圆柱体积公式V＝πr2h，代入数值即可解答。 【详解】A．底面周长为3.14×（2÷2）＝3.14÷1＝3.14（厘米），因为长＝3.14厘米，所以可以围成圆柱，符合题意； B．底面周长为3.14×（2÷2）＝3.14÷1＝3.14（厘米），因为长＝0.785厘米，所以不可以围成圆柱，不符合题意； C．底面周长为3.14×（2÷2）＝3.14÷1＝3.14（厘米），因为长＝6.28厘米，所以不可以围成圆柱，不符合题意； D．底面周长为3.14×（2÷2）＝3.14÷1＝3.14（厘米），因为长＝2厘米，所以不可以围成圆柱，不符合题意。 所以图中的两个圆和一个长方形刚好可以围成一个圆柱。 半径：2÷2÷2＝0.5（厘米） 表面积：2×3.14×0.52＋3.14×2 ＝2×3.14×0.25＋3.14×2 ＝1.57＋6.28 ＝7.85（平方厘米） 体积：3.14×0.52×2 ＝3.14×0.25×2 ＝1.57（立方厘米） 答：它的表面积是7.85平方厘米，体积是1.57立方厘米。 【变式训练2】如图，将一个高是10厘米，底面直径是8厘米的圆柱切成大小相等的2份，表面积最多可增加（     ）平方厘米。（不可斜切） A．80 B．100.48 C．160 【答案】C 【分析】一种切法是沿着底面直径垂直切开得到两个相同的半圆柱，此时切面是长方形，长方形的长等于圆柱的高，长方形的宽等于底面直径，根据“”求出一个切面的面积，再乘2就是增加的表面积；另一种切法是沿着高的中点切开得到两个相同的小圆柱，此时切面是圆形，圆形的面积等于圆柱的底面积，利用“”求出一个切面的面积，再乘2就是增加的表面积，最后比较大小。 【详解】切法1：10×8×2 ＝80×2 ＝160（平方厘米） 切法2：3.14×（8÷2）2×2 ＝3.14×42×2 ＝3.14×16×2 ＝50.24×2 ＝100.48（平方厘米） 因为160平方厘米＞100.48平方厘米，所以表面积最多可增加160平方厘米。 考点09：圆柱的体积 【典型例题】工人叔叔做了一个底面直径是4分米，高是5分米的有盖圆柱形铁皮油桶。并在这个油桶里装了的油，这些油重多少千克？（每升油重0.8千克，得数保留整数） 【答案】40千克 【分析】首先根据圆柱的体积＝底面积×高， 求出油桶的容积，再根据油桶里装了的油求出油的体积，注意1立方分米＝1升。最后根据“油的重量＝油的体积×每升油的重量”求出结果，并按要求保留整数。 【详解】（分米）      ＝ ＝ ＝（立方分米） 立方分米 升 （千克）≈40（千克） 答：这些油重 40 千克。 【变式训练1】将一个长为6cm，宽为4cm的长方形以长边为轴旋转一周，将会得到一个（ ），它的体积为（ ）。 【答案】 圆柱 【分析】将一个长为厘米，宽为厘米的长方形以长边为轴旋转一周，将会得到一个底面半径为厘米，高为厘米的圆柱，再根据，代入数据得出答案。 【详解】 （立方厘米） 将一个长为6厘米，宽为4厘米的长方形以长边为轴旋转一周，将会得到一个圆柱，它的体积为立方厘米。 【变式训练2】一个圆柱形水杯的底面直径是8cm，高是8cm。如果杯子里水面的高度是5cm，那么水的体积是（ ）cm3。 【答案】251.2 【分析】水在杯中形成的仍是一个圆柱，底面直径与水杯相同，高为水面高度，按照圆柱的体积公式计算即可。 【详解】r＝8÷2＝4（cm） （） 考点10：圆柱的容积 【典型例题】甲乙两个圆柱体容器，甲的底面半径为4厘米，有10厘米深的水，乙空着，底面直径4厘米，现把甲中的水倒一部分给乙，使两个容器中的水一样高，甲的水位下降多少厘米？ 【答案】2厘米 【分析】根据题意，水的总体积不变。可以将两个容器看作一个底面积为两容器底面积之和的大容器。用水的总体积除以这个总底面积，即可得到最终的水深。最后用初始水深减去最终水深，即为甲容器水位下降的高度。圆柱的体积V＝πr2h，圆的面积S＝πr2。 【详解】3.14×42×10 ＝3.14×16×10 ＝502.4（立方厘米） 3.14×42＋3.14×（4÷2）2 ＝3.14×42＋3.14×22 ＝3.14×16＋3.14×4 ＝50.24＋12.56 ＝62.8（平方厘米） （厘米） （厘米） 答：甲的水位下降2厘米。 【变式训练1】小明家的一套茶具如下图。烧一壶茶能倒满6杯吗？（杯子的厚度忽略不计） 【答案】不能倒满 【分析】先计算一个杯子的容积，再算6杯水的总体积，再与1200毫升比较。圆柱的体积＝底面积×高，计算时注意单位名数的转换。 【详解】 ＝28.26×10 ＝282.6（立方厘米） ＝282.6（毫升） （毫升） 答：烧一壶茶不能倒满6杯。 【变式训练2】一种圆柱形果汁易拉罐，底面半径是4厘米，高是15厘米。 （1）要在易拉罐侧面贴一圈包装纸，包装纸的面积至少是多少平方厘米？ （2）罐身标注“净含量760毫升”，这个标注与易拉罐的实际容积相符吗？请说明理由。（铁皮厚度忽略不计） 【答案】（1）376.8平方厘米 （2）不相符，理由见详解 【分析】（1）求在易拉罐侧面贴一圈包装纸，即求圆柱的侧面积。根据圆柱侧面积公式“侧面积＝底面周长×高”，已知底面半径和高，先计算底面周长，再计算侧面积。 （2）由于铁皮厚度不计，容积等于体积。根据圆柱体积公式“体积＝底面积×高”计算出体积，根据1立方厘米＝1毫升，将单位换算成毫升后，与标注的净含量进行比较大小，从而得出结论。 【详解】（1）2×3.14×4×15 ＝6.28×4×15 ＝25.12×15 ＝376.8（平方厘米） 答：包装纸的面积至少是376.8平方厘米。 （2）3.14×4²×15 ＝3.14×16×15 ＝50.24×15 ＝753.6（cm³） 753.6立方厘米＝753.6毫升 753.6毫升＜760毫升 答：这个易拉罐的实际容积小于标注的容积，这个标注与易拉罐的实际容积不相符。 考点11：圆锥的体积（容积） 【典型例题】学校在修建操场跑道时剩了一堆沙子，沙堆大致呈圆锥形，底面周长18.84米，高1.5米。跳远用的沙坑长10米，宽2.8米，深50厘米，用这堆沙子能填满吗？（π取3.14） 【答案】能填满 【分析】先根据圆锥底面周长C＝2πr，可得r＝C÷2π求出底面半径，接着根据圆锥体积公式V＝πr2h求出沙堆体积；然后将沙坑深度的单位换算成米，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，求出沙坑容积；最后比较两个体积的大小得出结论。 【详解】底面半径：18.84÷（2×3.14） ＝18.84÷6.28 ＝3（米） 圆锥形沙堆的体积：×3.14×32×1.5 ＝×3.14×9×1.5 ＝3.14×（9×）×1.5 ＝3.14×3×1.5 ＝9.42×1.5 ＝14.13（立方米） 50厘米＝0.5米 沙坑的容积：10×2.8×0.5 ＝28×0.5 ＝14（立方米） 14.13＞14 答：用这堆沙子能填满。 【变式训练1】下图是一个直角三角形，如果以AC边为轴旋转一周，所得立体图形的体积是（ ）立方厘米。（用含有π的式子表示） 【答案】4π 【分析】直角三角形以一条直角边为轴旋转一周，得到的立体图形是圆锥，圆锥的高为旋转轴的长度，底面半径为另一条直角边的长度。根据圆锥体积公式V＝πr2h，代入对应数据计算，结果用含π的式子表示即可。 【详解】以AC边为轴旋转一周，得到底面半径为2厘米，高为3厘米的圆锥。 圆锥体积： ×π×22×3 ＝π×4×3 ＝π×3 ＝4π（立方厘米） 【变式训练2】一个圆锥形救灾帐篷，它的内部空间是30.144立方米，底面半径是4米。这个帐篷的高是（ ）米。 【答案】1.8 【分析】已知圆锥的体积和底面半径，根据圆锥体积公式V＝πr2h，可推导出圆锥的高h＝3V÷πr2，先计算出圆锥的底面积，再代入公式计算出高即可。 【详解】圆锥的底面积：3.14×42＝3.14×16＝50.24（平方米） 圆锥的高： 3×30.144÷50.24 ＝90.432÷50.24 ＝1.8（米） 考点12：圆柱与圆锥体积的关系 【典型例题】圆柱形容器与一个圆锥形容器等底等高，圆柱形容器内原有6升水，将圆锥形容器盛满水再全部倒入圆柱形容器，容器内的水面上升到60%处，则圆锥形容器的容积是多少？ 【答案】7.5升 【分析】把圆柱的容积看作单位“1”。等底等高的圆锥的体积是圆柱的，据此求出圆柱容器内原来水的体积占圆柱容积的分率，将圆锥盛满水后，圆柱内水的总体积占圆柱容积的60%，原来有6升水，对应的是圆柱容积的（60%－），求单位“1”，用除法，用6÷（60%－），求出圆柱容积，再乘，即可求出圆锥形容器的容积。 【详解】6÷（60%－）× ＝6÷（－）× ＝6÷（－）× ＝6÷× ＝6×× ＝22.5× ＝7.5（升） 答：圆锥形容器的容积是7.5升。 【变式训练1】一个圆锥的底面面积是7.5平方分米，与它等底等体积的圆柱的高是5分米，则圆锥的高是（     ）分米。 A．5 B．10 C．15 【答案】C 【分析】根据圆柱体积公式V＝Sh和圆锥体积公式V＝Sh，当底面积S和体积V分别相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍。已知圆柱的高，直接乘3即可求出圆锥的高。 【详解】5×3＝15（分米） 所以圆锥的高是15分米。 【变式训练2】把一个圆柱削成最大的圆锥，削去部分的体积是26立方分米，圆柱的体积是（ ）立方分米。 【答案】39 【分析】把一个圆柱削成最大的圆锥，那么圆锥和圆柱等底等高，此时圆锥的体积是圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，圆锥的体积占圆柱体积的，则削去部分的体积占圆柱体积的（1－），单位“1”未知，用削去部分的体积除以（1－），求出圆柱的体积。 【详解】26÷（1－） ＝26÷ ＝26× ＝39（立方分米） 考点13：立体图形的切拼（圆柱与圆锥） 【典型例题】如果把一个高18厘米的圆柱形木料沿着两条互相垂直的直径切成完全相同的四块，它的表面积将增加720平方厘米（如图）。如果把这个圆柱形木料削成一个最大的圆锥，应削去多少立方厘米木料？ 【答案】942立方厘米 【分析】增加了2×2个宽是底面直径、长是圆柱高的长方形的面；每个切面的面积＝增加的表面积÷增加的面数；圆柱的底面直径＝每个切面的面积÷圆柱的高；底面半径＝；圆柱的体积＝；最大的圆锥体积＝圆柱的体积×；削去的木料＝圆柱的体积－圆锥的体积。 【详解】 （厘米） （立方厘米） （立方厘米） 答：应削去942立方厘米木料。 【变式训练1】把一根2米长的圆柱形木料截成3段小圆木，表面积增加12.56平方分米。这根木料原来的体积是多少立方分米？ 【答案】62.8立方分米 【分析】把圆柱截成3段需要切2次，每切1次增加2个圆柱的底面积，一共增加了（3－1）×2＝4个底面积，因此增加的12.56平方分米就是4个底面积的总和，先将增加的总面积除以4得到一个底面积，再根据体积＝底面积×高求得木料的体积，因为问题中体积用的是“立方分米”作单位，所以先把2米乘进率10换算为分米再算体积。 【详解】2米＝20分米 （3－1）×2＝2×2＝4（个） 12.56÷4×20 ＝3.14×20 ＝62.8（立方分米） 答：这根木料原来的体积是62.8立方分米。 【变式训练2】一个底面半径是4厘米的圆锥，沿着高将它切成两部分，表面积增加了48平方厘米。这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 【答案】100.48立方厘米 【分析】圆锥沿高切开后，表面积增加的部分是两个完全相同的等腰三角形，三角形的底是圆锥底面直径，高是圆锥的高。先通过增加的表面积求出圆锥的高，再用圆锥体积公式计算体积。 【详解】4×2＝8（厘米） 48÷2＝24（平方厘米） 24×2÷8＝6（厘米） （立方厘米） 答：这个圆锥的体积是100.48立方厘米。 考点14：组合体的表面积 【典型例题】如图，会议室门口有三级台阶，每级台阶长5米，宽3分米，高1.8分米。如果要给这个台阶表面全部涂上一层漆（底面和后面不刷），那么要刷漆的面积是多少平方米？ 【答案】7.848平方米 【分析】根据题意，此题要求台阶四个面的面积之和，分别是上面、前面、左面和右面。题干给出的长、宽、高的单位不同，要先将单位统一为“米”再进行计算。每级台阶的上面可以看成是3个长为5米，宽为3分米的长方形合起来；每级台阶的前面可以看成是3个长为5米，宽为1.8分米的长方形合起来；左面和右面的面积相等，每级台阶的右面可以看成是3个小长方形合起来，这3个长方形的长和宽分别是3分米、1.8分米；3分米、1.8×2分米；3分米、1.8×3分米。 【详解】3分米＝0.3米 1.8分米＝0.18米 上面：5×0.3×3 ＝1.5×3 ＝4.5（平方米） 前面：5×0.18×3 ＝0.9×3 ＝2.7（平方米） 右面：0.3×0.18＋0.3×（0.18×2）＋0.3×（0.18×3） ＝0.3×0.18＋0.3×0.36＋0.3×0.54 ＝0.054＋0.108＋0.162 ＝0.162＋0.162 ＝0.324（平方米） 4.5＋2.7＋0.324×2 ＝4.5＋2.7＋0.648 ＝7.2＋0.648 ＝7.848（平方米） 答：要刷漆的面积是7.848平方米。 【变式训练1】计算下面图形的表面积。（单位：cm） 【答案】958.2cm2 【分析】根据图可知：图形的表面积等于棱长是12cm的正方体的表面积加上底面直径是5cm高是6cm的圆柱的侧面积，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，圆柱的侧面积＝πdh，据此列式计算。 【详解】12×12×6＋3.14×5×6 ＝144×6＋15.7×6 ＝864＋94.2 ＝958.2（cm2） 图形的表面积是958.2cm2。 【变式训练2】庆元旦文艺汇演，乐乐制作了一个魔术帽作为道具（如图），制作这顶魔术帽至少需要多少平方厘米布料？ 【答案】1884平方厘米 【分析】求制作这顶魔术帽至少需要多少平方厘米布料，就是求帽檐的面积，也就是环形的面积，加上圆柱的侧面积，再加上1个底面积的和。 环形面积＝π（R2－r2） 圆柱的侧面积＝πdh 圆柱的底面积＝πr2 【详解】帽子的底面半径：20÷2＝10（厘米） 帽檐面积：3.14×[（10＋10）2－102] ＝3.14×[202－102] ＝3.14×[400－100] ＝3.14×300 ＝942（平方厘米） 圆柱的侧面积：3.14×20×10 ＝62.8×10 ＝628（平方厘米） 圆柱的底面积：3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 942＋628＋314 ＝1570＋314 ＝1884（平方厘米） 答：制作这顶魔术帽至少需要1884平方厘米布料。 考点15：组合体的体积 【典型例题】为了提高学生们的环保意识，某小学举办“变废为宝”手工创意大赛，明明制作了运载火箭整流罩的模型（如图所示），并打算给这个模型的圆锥部分涂上红色，圆柱部分涂上蓝色。 （1）涂蓝色的面积是多少平方分米？ （2）这个模型的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）34.54平方分米 （2）18.84立方分米 【分析】（1）涂蓝色部分是圆柱的侧面积与一个底面积之和，运用圆柱侧面积公式S＝πdh和圆的面积公式S＝πr2来计算。 （2）模型的体积是圆柱体积与圆锥体积之和，运用圆柱体积公式V＝πr2h和圆锥的体积V＝πr2h来求解。 【详解】（1）3.14×（2÷2）2＋3.14×2×5 ＝3.14×12＋3.14×2×5 ＝3.14×1＋3.14×2×5 ＝3.14＋6.28×5 ＝3.14＋31.4 ＝34.54（平方分米） 答：涂蓝色的面积是34.54平方分米。 （2）3.14×（2÷2）2×5＋×3.14×（2÷2）2×（8－5） ＝3.14×12×5＋×3.14×12×（8－5） ＝3.14×1×5＋×3.14×1×（8－5） ＝15.7＋×3.14×1×3 ＝15.7＋×3×3.14×1 ＝15.7＋3.14 ＝18.84（立方分米） 答：这个模型的体积是18.84立方分米。 【变式训练1】求下面立体图形的体积。 【答案】7638.5立方厘米 【分析】图中立体图形的体积等于圆锥体体积加上长方体体积，根据圆锥体的体积，长方体的体积＝长×宽×高，即可算出图中立体图形的体积。 【详解】圆锥体体积： （立方厘米） 长方体体积： （立方厘米） 图中立体图形的体积：6358.5＋1280＝7638.5（立方厘米） 【变式训练2】已知半圆柱的底面直径是10厘米，求下面图形的体积和表面积。 【答案】7822.5立方厘米；2792.5平方厘米 【分析】“”“”，图形的体积＝长方体的体积－半圆柱的体积；“”“”，先用长方体5个面的面积减去圆柱底面圆的面积，计算出图形前面、后面、左面、右面、下面5个面的面积，再用两个小长方形的面积加上半圆柱的侧面积，计算出图形上面的面积，最后相加求和，据此解答。 【详解】体积：30×20×15－3.14×（10÷2）2×30÷2 ＝30×20×15－3.14×25×30÷2 ＝600×15－78.5×30÷2 ＝9000－2355÷2 ＝9000－1177.5 ＝7822.5（立方厘米） 表面积：20×30＋（20×15＋30×15）×2－3.14×（10÷2）2 ＝20×30＋（300＋450）×2－3.14×25 ＝20×30＋750×2－3.14×25 ＝600＋1500－78.5 ＝2100－78.5 ＝2021.5（平方厘米） （20－10）×30＋3.14×10×30÷2 ＝10×30＋3.14×10×30÷2 ＝300＋31.4×30÷2 ＝300＋942÷2 ＝300＋471 ＝771（平方厘米） 2021.5＋771＝2792.5（平方厘米） 答：图形的体积是7822.5立方厘米，表面积是2792.5平方厘米。 考点16：不规则物体的体积（长方体、正方体） 【典型例题】在一个长8米，宽5米，高2米的水池中注满水，然后把3条长3米，宽2米，高4米的石柱立着放入池中，水池溢出的水的体积是多少？ 【答案】36立方米 【分析】根据题意，水池注满水，放入石柱后，溢出水的体积等于石柱浸入水中部分的体积；石柱高4米，水池高2米，石柱立着放入，浸入水中的高度只有2米（不是4米），长宽不变；根据长方体的体积＝长×宽×高，先求出1条石柱浸入水中的体积，再乘石柱的数量3条，即可求出3条石柱浸入水中部分的体积，也就是溢出水的体积。 【详解】3×2×2×3 ＝6×2×3 ＝12×3 ＝36（立方米） 答：水池溢出的水的体积是36立方米。 【变式训练1】德化县地处福建省中部，是中国陶瓷文化的发祥地之一。每次做完一件陶瓷作品，都会剩余一些陶土，为了避免陶土浪费，聪聪把剩下的陶土做成大小一样的陶粒。现在有一个长7厘米、宽5厘米、高10厘米的长方体容器，容器里水深8厘米，聪聪把69个大小一样的陶粒放入这个容器内，陶粒全部浸入水中且水溢出26.6毫升。每个陶粒的体积是多少？ 【答案】1.4立方厘米 【分析】根据题意，陶粒全部浸入水中且水溢出，说明69个陶粒的总体积等于容器内水面上方空余部分的体积与溢出水的体积之和。先根据长方体的体积=长×宽×高，求出容器内空余部分的体积，加上溢出水的体积得到陶粒总体积，最后除以陶粒个数即可求出每个陶粒的体积。注意单位的换算：1毫升＝1立方厘米。 【详解】26.6毫升＝26.6立方厘米 容器内空余部分的体积： 7×5×（10－8） ＝7×5×2 ＝70（立方厘米） 69个陶粒的总体积：70＋26.6＝96.6（立方厘米） 每个陶粒的体积：96.6÷69＝1.4（立方厘米） 答：每个陶粒的体积是1.4立方厘米。 【变式训练2】将一个体积为120立方厘米的石块完全浸没在装有水的长方体容器中，长方体容器的底面积为30平方厘米，水面高度为10厘米，把石块捞出来后，水面高多少厘米？ 【答案】6厘米 【分析】石块完全浸没在水中时，石块的体积等于它排开水的体积。当把石块捞出后，水面会下降，下降部分水的体积等于石块的体积。据此先利用长方体体积公式的变式“高＝体积÷底面积”，求出水面下降的高度，再用原来的水面高度减去下降的高度，即可求出现在的水面高度。 【详解】（厘米） （厘米） 答：水面高6厘米。 考点17：不规则物体的体积（圆柱、圆锥） 【典型例题】如图，浩浩为了测量出一个圆锥的体积，他先在一个底面直径是10厘米的圆柱形玻璃杯中装入一定量的水，量得水面高度是5厘米，将圆锥完全浸入水中，再次测量水面高度是7厘米。如果玻璃的厚度忽略不计，这个圆锥的体积大约是多少立方厘米？（π取3.14） 【答案】157立方厘米 【分析】圆锥完全浸入水中，上升的水的体积等于圆锥的体积。先算水面上升的高度，再根据圆柱体积公式（）求出上升部分水的体积，即为圆锥体积。 【详解】r＝10÷2＝5（厘米） 7－5＝2（厘米） 3.14×52×2 ＝3.14×25×2 ＝157（立方厘米） 答：这个圆锥的体积大约是157立方厘米。 【变式训练1】下面是一个圆柱形容器，容器内盛有水。把一个底面半径是2cm，高是3cm的圆锥形铁块放入圆柱形容器中，铁块完全浸没在水中，这时水面升高了（     ）cm。 A．1 B．0.5 C．0.25 【答案】C 【分析】根据圆锥的体积公式算出圆锥形铁块的体积，即为上升部分水的体积。由图可知圆柱形容器的底面直径是8cm，除以2求出底面半径，根据圆的面积公式求出底面积；圆柱的体积＝底面积×高，用上升部分水的体积除以圆柱形容器的底面积即可求出水面上升的高度。 【详解】×3.14×22×3 ＝×3.14×4×3 ＝3.14×4 ＝12.56（cm3） 8÷2＝4（cm） 3.14×42＝3.14×16＝50.24（cm2） 12.56÷50.24＝0.25（cm） 【变式训练2】一个密封的瓶子装有一些水，如下图所示，瓶子底面积为10平方厘米，则这个瓶子的容积是（     ）立方厘米。 A．80 B．70 C．60 D．50 【答案】C 【分析】瓶子的容积＝水的体积＋空余部分的容积，水的体积通过左图进行计算，空余部分的容积通过右图进行计算，圆柱体积＝底面积×高。 【详解】10×4＋10×（7－5） ＝40＋10×2 ＝40＋20 ＝60（立方厘米） 这个瓶子的容积是60立方厘米。 一、选择题 1．推导圆柱的体积计算公式的方法（如下图），与下面第（     ）个古代故事中的方法相同。 A．揠苗助长 B．刻舟求剑 C．曹冲称象 D．田忌赛马 【答案】C 【分析】推导圆柱体积公式时，我们把圆柱切割成若干个小扇形，再拼接成近似的长方体，这是利用了“转化”思想，逐一分析选项中古代故事所体现的思想即可。 【详解】A．揠苗助长：违背事物发展规律，和数学转化思想无关。 B．刻舟求剑：用静止的眼光看问题，忽视运动变化，和转化思想无关。 C．曹冲称象：把无法直接称量的大象重量，转化为可以称量的石头重量，本质也是“转化思想”，和圆柱体积推导的方法一致。 D．田忌赛马：是策略优化、博弈论的思想，和转化思想不同。 2．下面是一个正方体纸盒，将它的上半部分涂上颜色后再展开，（     ）的展开图是正确的。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题展开图是“1—4—1”型（中间4个侧面，上下各1个底面），完全涂色的面（上底面）相邻的4个侧面，每个侧面只有一半涂色；据此解答。 【详解】A．根据图示的展开图类型可知，从完全涂色的正方形出发观察，左面正方形竖直涂色右半部分，右面正方形竖直涂色左半部分，上面正方形竖直涂色左半部分，下面正方形竖直涂色右半部分，如图，，选项错误； B．根据图示的展开图类型可知，从完全涂色的正方形出发观察，左面正方形竖直涂色右半部分，右面正方形竖直涂色左半部分，上面正方形竖直涂色左半部分，下面正方形竖直涂色右半部分，如图，，选项正确； C．根据图示的展开图类型可知，从完全涂色的正方形出发观察，左面正方形竖直涂色右半部分，右面正方形竖直涂色左半部分，上面正方形横向涂色上半部分，下面正方形竖直涂色右半部分，如图，，选项错误； D．根据图示的展开图类型可知，从完全涂色的正方形出发观察，左面正方形竖直涂色右半部分，右面正方形竖直涂色左半部分，上面正方形横向涂色上半部分，下面正方形竖直涂色右半部分，如图，，选项错误。 故答案为：B 3．如图，一个长方形长为a，宽为b。分别以长为轴、宽为轴旋转，产生了两个圆柱甲、乙，判断甲、乙两个圆柱侧面积的大小关系是（     ） A．甲＞乙 B．甲＜乙 C．甲＝乙 D．无法比较 【答案】C 【分析】根据圆柱的侧面积公式：S＝2πrh，已知长方形长为a，宽为b，由图可知圆柱甲的底面半径为b，高为a，圆柱乙底面半径为a，高为b，把数据代入公式求出它们的侧面积进行比较即可。 【详解】甲：2πrh＝2π×b×a＝2abπ 乙：2πrh＝2π×a×b＝2abπ 因为2abπ＝2abπ，所以甲圆柱的侧面积＝乙圆柱的侧面积。 故答案为：C 4．如图，把3个相同的小长方体拼成1个高的大长方体，表面积减少了，那么原来1个小长方体的体积是（     ）cm3。 A．180 B．120 C．60 【答案】C 【分析】把3个相同的小长方体拼成了1个高的大长方体，表面积减少了，减少的面积是小长方体的4个底面面积，用，求出一个小长方体的底面积，再用，求出一个小长方体的高，再根据长方体体积底面积高，即可求出一个小长方体的体积。 【详解】（48÷4）×（15÷3） ＝12×5 ＝60（） 所以原来1个小长方体的体积是60。 故答案为：C 5．一个长方形的长是6厘米，宽是4厘米，如图所示，以长为轴旋转一周形成圆柱甲，以宽为轴旋转一周形成圆柱乙。下面说法正确的是（     ）。 ①圆柱甲的底面积比圆柱乙的底面积大；②圆柱甲的侧面积与圆柱乙的侧面积相等 ③圆柱甲的表面积与圆柱乙的表面积相等；④圆柱甲的体积比圆柱乙的体积小 A．①② B．②④ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】圆柱甲：底面半径＝长方形的宽，高＝长方形的长；圆柱乙：底面半径＝长方形的长，高＝长方形的宽； ①圆柱底面积＝圆周率×底面半径的平方，据此分别计算出圆柱甲和圆柱乙的底面积，比较即可； ②圆柱侧面积＝底面周长×高，据此分别计算出圆柱甲和圆柱乙的侧面积，比较即可； ③圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，据此分别计算出圆柱甲和圆柱乙的表面积，比较即可； ④圆柱体积＝底面积×高，据此分别计算出圆柱甲和圆柱乙的体积，比较即可。 【详解】①圆柱甲底面积：3.14× ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 圆柱乙底面积：3.14× ＝3.14×36 ＝113.04（平方厘米） 50.24＜113.04，圆柱甲的底面积比圆柱乙的底面积小，原说法错误； ②圆柱甲侧面积：2×3.14×4×6＝150.72（平方厘米） 圆柱乙侧面积：2×3.14×6×4＝150.72（平方厘米） 圆柱甲的侧面积与圆柱乙的侧面积相等，说法正确； ③圆柱甲表面积：50.24×2＋150.72 ＝100.48＋150.72 ＝251.2（平方厘米） 圆柱乙表面积：113.04×2＋150.72 ＝226.08＋150.72 ＝376.8（平方厘米） 251.2＜376.8，圆柱甲的表面积比圆柱乙的表面积小，原说法错误； ④圆柱甲体积：50.24×6＝301.44（立方厘米） 圆柱乙体积：113.04×4＝452.16（立方厘米） 301.44＜452.16，圆柱甲的体积比圆柱乙的体积小，说法正确。 说法正确的是②④。 6．一个圆柱和一个圆锥，底面周长的比是，体积比是，那么这个圆柱和这个圆锥的高的比是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的面积之比等于圆的周长之比的平方，假设圆柱、圆锥的底面面积、体积分别为具体数值，根据圆柱的体积V1＝Sh，圆锥的体积V2 ＝Sh得出高的计算公式，计算出高，写出高的比并进行化简。 【详解】圆的面积之比等于圆的周长之比的平方。 （3∶2）2＝＝＝9∶4 令圆柱和圆锥的底面积分别为9和4，体积分别为3和2。 V1＝Sh     则h＝V1÷S＝3÷9＝ V2＝Sh   则 h＝3V2÷S＝3×2÷4＝6÷4＝ ∶＝（×6）∶（×6）＝2∶9 这个圆柱和这个圆锥的高的比是2∶9。 7．一个长6dm、宽4dm、高5dm的木箱，最多能放下（     ）个棱长为2dm的榫卯木块。 A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】B 【分析】首先根据“包含”除法的运用，用除法分别求出长方体木箱的长、宽、高里面各包含多少个2dm，再根据长方体的体积＝长×宽×高，把数据代入公式解答。 【详解】长方体的长包含：6÷2＝3（个） 长方体的宽包含：4÷2＝2（个） 长方体的高包含：5÷2＝2（个）……1（dm） 则最多能装下棱长为2分米的榫卯木块个数为：3×2×2＝12（个） 故答案为：B 8．一个棱长3分米的正方体零件，从它的正中间向对面挖通一个底面边长为1分米的小长方体，这个零件的表面积（     ）。 A．增加10平方分米 B．减少10平方分米 C．增加12平方分米 D．减少12平方分米 【答案】A 【分析】底面边长为1分米的小长方体，这个小长方体的长和宽都是1分米，高是3分米，底面是一个正方形的小长方体，前后左右4个面的面积相等。 由题意知：这个零件的表面积减少的面积是这个小长方体的上下两个底面（1×1），增加的面积是这个小长方体的4个侧面面积（1×3），据此代入数据计算即可。 【详解】减少： 1×1×2 ＝1×2 ＝2（平方分米） 增加： 1×3×4 ＝3×4 ＝12（平方分米） 12－2＝10（平方分米），所以这个零件的表面积增加10平方分米。 故答案为：A 9．小明买了一瓶水喝掉了一部分后还有剩余（如图所示），已知这个饮料瓶的内直径是8cm。根据图中标出的数据，小明用算式“”计算的是（     ）。 A．喝掉的水的体积 B．瓶子的容积 C．剩余水的体积 D．喝掉的水和剩余的水相差的体积 【答案】B 【分析】喝掉的水即为空白部分的体积，根据圆柱的体积＝πr2h，可判断A的正误。 瓶子的容积＝水的体积＋空白部分的体积。利用圆柱的体积，可求得水的体积和空白部分的体积，二者相加，即可求得瓶子的容积，以此判断B的正误。 剩余水的体积即为阴影部分圆柱的体积，代入圆柱的体积公式，可判断C的正误。 喝掉水和剩余的水相差的体积即为用空白部分的体积减去水的体积，代入圆柱的体积公式，可判断D的正误，以此做出选择。 【详解】A．喝掉的水的体积＝空白部分的体积＝，该选项错误。 B．瓶子的容积＝水的体积＋空白部分的体积＝，该选项正确。 C．剩余水的体积＝，该选项错误。 D．喝掉的水和剩余的水相差的体积＝空白部分的体积－水的体积＝，该选项错误。 故答案为：B 10．把底面直径为6cm的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比圆柱增加30cm2，那么圆柱的体积是（     ）cm3。 A．30π B．45π C．60π D．180π 【答案】B 【分析】把一个圆柱切拼成一个近似长方体，这个长方体的表面积比圆柱的表面积增加了长方体左右两个面的面积，长方体左右面的长等于圆柱的高，宽等于圆柱的底面半径，已知这个长方体的表面积比原来增加30cm2，用30÷2得出增加的一个面的面积，再接着除以半径可以求出圆柱的高，然后根据圆柱的体积公式，把数据代入公式解答。 【详解】30÷2＝15（cm2） 15÷（6÷2） ＝15÷3 ＝5（cm） ×（6÷2）2×5 ＝×32×5 ＝×9×5 ＝9×5 ＝45（cm3） 圆柱的体积是45cm3。 故答案为：B 11．一个正方体容器的棱长之和是96cm，若将它装满水后倒入另一个高是8cm的圆柱形容器中，刚好倒满。这个圆柱形容器的底面积是（     ）cm2。（容器的厚度忽略不计） A．64 B．76 C．92 D．108 【答案】A 【分析】已知正方体容器的棱长之和是96cm，根据正方体的棱长总和＝棱长×12，可知正方体的棱长＝棱长总和÷12，求出正方体的棱长； 若将它装满水，根据正方体的体积公式V＝a3，求出水的体积； 将水倒入另一个高是8cm的圆柱形容器中，刚好倒满，则水的体积等于圆柱的容积；根据圆柱的容积公式V＝Sh，可知圆柱的高h＝V÷h，代入数据计算，求出这个圆柱形容器的底面积。 【详解】正方体的棱长：96÷12＝8（cm） 水的体积：8×8×8＝512（cm3） 圆柱的底面积：512÷8＝64（cm2） 这个圆柱形容器的底面积是64cm2。 故答案为：A 12．王叔叔要做如图这样的一个几何组合体的艺术品，组合体下面这个长方体铁块的表面积是96平方分米，底面是一个面积为12平方分米的正方形，在它上面粘一个正方体铁块，正方体的四个顶点正好落在底面各边的中点。这个组合体的表面积是（     ）平方分米。 A．108 B．120 C．132 D．126 【答案】B 【分析】由图可知，正方体的底面积是长方体底面积的一半，则正方体的底面积为（12÷2）平方分米，即正方体一个面的面积为6平方分米。因为正方体下底面与长方体上底面重叠的面积刚好与正方体上底面的面积相等，所以组合体的表面积＝长方体的表面积＋正方体4个侧面的面积，据此解答。 【详解】12÷2＝6（平方分米） 96＋6×4 ＝96＋24 ＝120（平方分米） 所以，这个组合体的表面积是120平方分米。 故答案为：B 二、填空题 13．图中，h1＝h2，d1＝d2，把下面左边瓶里的饮料倒入圆锥形的杯子里，最多能倒满（ ）杯。 【答案】6 【分析】从图中可知，左边瓶中的饮料是圆柱形，杯子是圆锥形，由d1＝d2可知，它们的底面半径相等，根据底面积公式S＝πr2，可知圆柱形饮料与圆锥形杯子的底面积相等，设它们的底面积是S，高度h1＝h2＝h。 根据圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积（容积）公式V＝Sh，分别求出饮料的体积和杯子的容积，再用饮料的体积除以杯子的容积，即可求出最多能倒满的杯数。 【详解】设h1＝h2＝h，圆柱形饮料与圆锥形杯子的底面积都是S。 饮料的体积：S×（h1＋h2）＝ S×2h＝2Sh 杯子的容积：×S×h1＝Sh 2Sh÷Sh ＝2÷ ＝2×3 ＝6（杯） 最多能倒满6杯。 14．如图是一个正方体的展开图，把这个展开图折叠成一个正方体，折叠后与点A重合的是点（ ）。 【答案】C 【分析】根据正方体展开图知识，属于正方体展开图的“1－4－1”型，把这个展开图折叠成一个正方体，据此解答即可。 【详解】属于正方体展开图的“1－4－1”型，把这个展开图折叠成一个正方体， 折叠后与点A重合的是点C。 15．冰冰和明明将两个体积相等的铁块，分别浸没在高度相等的甲、乙两个圆柱体水杯中，两铁块全部浸入水中，甲杯水面上升3厘米，乙杯水面上升了5厘米，甲乙两个水杯的容积之比是（ ）。 【答案】5∶3 【分析】由于这两个铁块体积相同，甲杯水面上升3厘米，乙杯水面上升5厘米，设甲水杯的底面积（内）为S，则乙水杯的底面积（内）为S，再设甲、乙水杯高为h。根据圆柱的体积计算公式“V＝Sh”，分别求出甲、乙两个水杯的容积，再根据比的意义，即可写出甲、乙两个水杯的容积，再化成最简整数比。 【详解】解：设甲水杯的底面积（内）为S，则乙水杯的底面积（内）为S、乙水杯高为h。 Sh∶Sh ＝1： ＝（1×5）：（×5） ＝5∶3 答：甲、乙两个水杯的容积比是5∶3。 16．如图，把一个圆柱沿着半径切分成若干份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比圆柱多60cm2，这个长方体的高是10cm。这个圆柱的体积是（ ）cm3。 【答案】282.6 【分析】把圆柱拼成近似长方体后，表面积增加了2个长是圆柱的高、宽是圆柱底面半径的长方形的面积。已知表面积增加了60cm2，长方体的高（即圆柱的高）是10cm，所以用增加的表面积除以2再除以高，即可得到圆柱的底面半径；根据圆柱的体积公式V＝πr2h（其中V是体积，r是底面半径，h是高），已知底面半径为3厘米，高为10厘米，π取3.14，代入公式计算圆柱体的体积。据此解答即可。 【详解】60÷2÷10＝3（cm） 3.14×3×3×10＝282.6（cm3） 所以这个圆柱的体积是282.6cm3。 17．如下图，三个量杯从里面量，高度都是9厘米。小冬先把圆锥形量杯盛满水，再把这杯水全部倒进圆柱形量杯中，圆柱形量杯的水面高度是（ ）厘米，接着他又把这些水全部倒进长方体量杯中，长方体量杯的水面高度应为（ ）厘米。（得数保留一位小数） 【答案】 3 2.4 【分析】由图可知，圆锥和圆柱的底面直径都是4厘米，则它们的底面半径相等，，那么圆锥和圆柱的底面积相等，把圆锥形量杯里面的水倒入圆柱形量杯中水的体积不变，由“”可知“”，由“”可知“”，，由此可知，当圆柱和圆锥的体积和底面积分别相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍，即圆锥形量杯的高度是圆柱形量杯水面高度的3倍；先根据“”求出圆柱形量杯中水的体积，长方体量杯的水面高度＝水的体积÷长方体量杯的底面积，据此解答。 【详解】当圆柱和圆锥的体积和底面积分别相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍。 9÷3＝3（厘米） 3.14×（4÷2）2×3÷（4×4） ＝3.14×22×3÷16 ＝3.14×4×3÷16 ＝12.56×3÷16 ＝37.68÷16 ≈2.4（厘米） 所以，圆柱形量杯的水面高度是3厘米，长方体量杯的水面高度应为2.4厘米。 18．一个底面半径是5分米，高是12分米的无盖圆柱形铁皮水桶，它的容积是（ ）升；做这样一挑水桶（2个）至少需要（ ）平方分米铁皮。（铁皮厚度不计） 【答案】 942 910.6 【分析】圆柱的容积计算和它的体积计算方法一样，根据，代入数据计算即可； 这个无盖水桶需要铁皮的面积也就是这个水桶的底面面积加上侧面积，其中底面面积为，侧面面积为，计算出一个水桶需要的铁皮，再乘2即可。 【详解】3.14×52×12 ＝3.14×25×12 ＝78.5×12 ＝942（立方分米） 942立方分米＝942升 （3.14×52＋2×3.14×5×12）×2 ＝（3.14×25＋6.28×5×12）×2 ＝（78.5＋31.4×12）×2 ＝（78.5＋376.8）×2 ＝455.3×2 ＝910.6（平方分米） 所以一个底面半径是5分米，高是12分米的无盖圆柱形铁皮水桶，它的容积是942升；做这样一挑水桶（2个）至少需要910.6平方分米铁皮。 19．一个圆柱和圆锥等底等高，体积相差12立方厘米，圆柱体积是（ ）立方厘米。 【答案】18 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍，设圆锥的体积是x立方厘米，则圆柱的体积是3x立方厘米，圆柱与圆锥的体积相差12立方厘米，列方程：3x－x＝12，解方程，即可解答。 【详解】解：设圆锥的体积是x立方厘米，则圆柱的体积是3x立方厘米。 3x－x＝12 2x＝12 x＝12÷2 x＝6 圆柱：6×3＝18（立方厘米） 一个圆柱和圆锥等底等高，体积相差12立方厘米，圆柱体积是18立方厘米。 20．一根圆柱木料，底面半径3cm，高10cm，如果把这根圆柱木料削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是（ ）cm3。 【答案】94.2 【分析】依据题意可知，这根圆柱木料削成一个最大的圆锥，那么圆锥应该以圆柱的底为底，以圆柱的高为高。然后利用圆锥的体积底面半径2高，结合题中数据计算即可。 【详解】 （立方厘米） 圆锥的体积是cm3。 21．一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是1∶9，如果圆锥的高是6cm，那么圆柱的高是（ ）cm；如果圆柱的高是6cm，那么圆锥的高是（ ）cm。 【答案】 18 2 【分析】根据等底等高的圆锥与圆柱体积比是1∶3，已知一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是1∶9，由此推出这个圆锥与这个圆柱的高的比是1∶3；也就是圆柱的高应该是圆锥高的3倍。由此解答。 【详解】由分析可知，这个圆锥与这个圆柱的高的比是1∶3。 当圆锥的高是6厘米时，圆柱的高为： 3×6＝18（cm） 当圆柱的高是6厘米时，圆锥的高为： 6÷3＝2（cm） 一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是1∶9，如果圆锥的高是6cm，那么圆柱的高是18cm；如果圆柱的高是6cm，那么圆锥的高是2cm。 22．如图，直角三角形以AB边为轴旋转一周，形成的圆锥的体积是（ ）立方厘米。（π取3.14） 【答案】3.14 【分析】通过观察图形可知，以AB为轴旋转形成一个底面半径是1厘米，高是3厘米的圆锥，根据圆锥的体积＝底面积×高×，把数据代入公式解答。 【详解】3.14×12×3× ＝3.14×1×3× ＝3.14×3× ＝9.42× ＝3.14（立方厘米） 形成的圆锥的体积是3.14立方厘米。 23．在高度是32厘米的长方体容器中装满水，平放在桌上，现在把它像如图这样斜放，水流出，则此时AB的长度是（ ）厘米。 【答案】12 【分析】由图可知，把这个长方体容器斜放，水流出，如果再流出，那么空白部分就可以看成高是AB、长和宽与原来长方体一样的长方体，此时流出的水是原来长方体的＝，将长方体容器的容积看作单位“1”，则可看成将长方体容器平均分成8份，也就是将高平均分成了8段，AB的长是其中的3段，即AB的长是高的。求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用32乘即可计算AB的长度。据此解答。 【详解】＝ ＝12（厘米） 所以AB的长度是12厘米。 24．一个圆锥和圆柱，底面积相等，高的比是3∶1，体积的比是（ ）。 【答案】1∶1 【分析】已知圆锥和圆柱的底面积相等，它们高的比是3∶1，假设圆锥的高为3h，圆柱的高为h，底面积为S，根据圆柱的体积计算公式“V＝Sh”、圆锥的体积计算公式“V＝Sh”，代入数据求解圆柱和圆锥的体积，再写出它们的比即可。 【详解】解：设圆柱、圆锥的底面积为S，圆柱的高为h，则圆锥的高为3h。 （S×3h）∶Sh ＝Sh∶Sh ＝1∶1 所以体积的比是1∶1。 25．如图所示，索朗要为这盏台灯制作一个长方体包装盒（箱子的厚度忽略不计），这个包装盒的最小体积是（ ）立方分米。 【答案】36 【分析】要使长方体包装盒的体积最小，那么这个长方体的底面应该是能刚好容纳台灯底面圆的最小正方形，长方体的高就是台灯的高。因为台灯底面圆的直径是3分米，所以能容纳这个圆的最小正方形的边长就是3分米，台灯高为4分米。所以长方体包装盒的长和宽都为3分米，高为4分米，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，把数据代入计算即可。 【详解】3×3×4＝36（立方分米） 这个包装盒的最小体积是36立方分米。 26．一个圆柱体，它的侧面展开图是一个正方形，已知它的底面直径为2厘米，则它的高为 （ ）厘米。 【答案】6.28 【分析】圆柱体的底面周长：，因为圆柱的侧面展开图是正方形，所以底面周长与高是相等的。 【详解】（厘米） 一个圆柱体，它的侧面展开图是一个正方形，已知它的底面直径为2厘米，则它的高为（6.28）厘米 27．如图，将底面半径是6厘米，高8厘米的圆锥，沿底面直径切成大小完全相同的两块后，表面积之和比原来增加（ ）平方厘米。 【答案】96 【分析】根据题意，圆锥沿底面直径切成大小完全相同的两块后，表面积比原来圆锥的表面积增加了2个切面的面积，切面是一个以圆锥的底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形； 根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个切面的面积，再乘2，即是增加的表面积。 【详解】直径：6×2＝12（厘米） 增加的面积：12×8÷2×2＝96（平方厘米） 表面积之和比原来增加96平方厘米。 28．如图，两位同学分别对一个高是6cm，底面半径是3cm的圆柱平均切成两部分。甲同学切分后，表面积比原来增加了（ ），乙同学切分后，表面积比原来增加了（ ）。 【答案】 56.52 72 【分析】甲：平行于圆柱底面切成两部分，表面积增加了2个底面积，圆柱底面积＝圆周率×底面半径的平方，据此求出1个底面的面积，乘2即可； 乙：垂直于底面直径切成两部分，表面积增加了2个长方形的面，长方形的长＝圆柱的高，长方形的宽＝圆柱的底面直径，因为这个圆柱的高＝底面直径，因此增加的是2个正方形的面，根据正方形面积＝边长×边长，求出1个正方形的面积，乘2即可。 【详解】甲：3.14×32×2 ＝3.14×9×2 ＝56.52（） 乙：3×2＝6（cm） 6×6×2＝72（） 甲同学切分后，表面积比原来增加了56.52，乙同学切分后，表面积比原来增加了72。 29．有一个长方体储碗柜，内部尺寸如图1。现在柜子里放置相同规格的碗，其中2只碗和6只碗叠起来的高度如图2所示。 （1）若有只碗叠起来，它的高度是（ ）cm（用含有字母的式子表示）。 （2）若按图所示摆放，这个储碗柜最多可摆放（ ）只这种规格的碗。 【答案】（1）1.5n＋4.5 （2）75 【分析】（1）观察图2，6只碗叠起来的高度－2只碗叠起来的高度＝4只碗露出部分的高度，除以4求出叠起来1只碗露出部分的高度，2只碗叠起来的高度－1只碗露出部分的高度＝1只碗的高度，根据总高度＝（碗的数量－1）×1只碗露出部分的高度＋1只碗的高度，用字母表示出n只碗的高度即可； （2）根据第（1）题的分析，可得碗的数量＝（总高度－1只碗的高度）÷1只碗露出部分的高度＋1（结果用去尾法保留整数），求出每叠碗的数量，储碗柜的长÷碗的宽度＝沿长放的数量，储碗柜的宽÷碗的宽度＝沿宽放的数量，沿长放的数量×沿宽放的数量×每叠碗的数量＝这个储碗柜最多可摆放的数量，据此列式计算。 【详解】（1）（13.5－7.5）÷（6－2） ＝6÷4 ＝1.5（cm） 7.5－1.5＝6（cm） （n－1）×1.5＋6 ＝1.5n－1.5＋6 ＝（1.5n＋4.5）cm 若有只碗叠起来，它的高度是（1.5n＋4.5）cm。 （2）（13－6）÷1.5＋1 ＝7÷1.5＋1 ≈4＋1 ＝5（只） 60÷12＝5（只） 36÷12＝3（只） 5×3×5＝75（只） 这个储碗柜最多可摆放75只这种规格的碗。 三、解答题 30．一个圆锥形沙堆，底面周长是12.56米，高是1.5米。如果每立方米沙子重2吨，这堆沙子有多少吨？ 【答案】12.56吨 【分析】圆锥底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，圆锥体积＝底面积×高÷3，圆锥形沙堆体积×每立方米沙子吨数＝这堆沙子吨数。 【详解】3.14×（12.56÷3.14÷2）2×1.5÷3×2 ＝3.14×22×1.5÷3×2 ＝3.14×4×1.5÷3×2 ＝6.28×2 ＝12.56（吨） 答：这堆沙子有12.56吨。 31．下图是一个装满水的无盖长方体容器。（单位：分米，π取3.14） （1）在容器中放入一个底面直径为2分米，高为4分米的实心圆柱铁柱。会溢出多少升水？ （2）如果把这个铁柱锻造成一个实心圆锥。使得圆锥能垂直放入长方体容器，并且底面积最大。这个圆锥的高是多少？ 【答案】（1）12.56升 （2）分米 【分析】（1）因为铁柱与长方体一样高，所以，放入后溢出的水的体积就相当于圆柱的体积；最后再把体积化为容积即可；可列式为：3.14×（2÷2）2×4。 （2）把这个铁柱锻造成一个实心圆锥，使得圆锥能垂直放入长方体容器，并且底面积最大。意思是以长方体的宽为直径，锻造一个实心圆锥，求圆锥的高；根据圆锥的体积公进行解答。 【详解】（1）3.14×（2÷2）2×4 ＝3.14×12×4 ＝3.14×1×4 ＝3.14×4 ＝12.56（立方分米） 12.56立方分米＝12.56升 答：会溢出12.56升水。 （2）12.56×3÷[3.14×（6÷2）2] ＝12.56×3÷[3.14×32] ＝37.68÷[3.14×9] （分米） 答：这个圆锥的高是分米。 32．蚁狮主要以蚂蚁为食，会挖出圆锥形的洞穴作为陷阱，捕猎时的稳准狠堪比狮子，故而得名蚁狮。如果蚁狮挖一个深9厘米、口部宽8厘米的陷阱，那么至少需要挖出多少立方厘米的土？ 【答案】150.72立方厘米 【分析】求需要挖土多少立方厘米，就是求一个底面直径是8厘米，高是9厘米的圆锥的体积，根据圆锥的体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（8÷2）2×9× ＝3.14×42×9× ＝3.14×16×9× ＝50.24×9× ＝452.16× ＝150.72（立方厘米） 答：至少需要挖150.72立方厘米的土。 33．母亲节，李兵送给妈妈一个水杯（如下图，底面直径60毫米，高210毫米）。 （1）李兵要用一个长方体的盒子包装它，这个盒子的表面积至少多少平方厘米？ （2）妈妈一天饮水量不少于1500毫升。喝这样的3杯，能达到要求吗？请说明理由。（杯壁的厚度忽略不计，π取3） 【答案】（1）576平方厘米 （2）能达到（理由见详解） 【分析】（1）要用一个长方体的盒子包装它，盒子的长至少是60毫米，宽至少是60毫米，高至少是210毫米。根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可求出这个盒子的表面积，注意单位名数的换算。 （2）因为水杯是圆柱形，根据题意可知，圆柱形水杯的底面直径是60毫米，高是210毫米；根据圆柱的容积＝底面积×高，代入数据，求出这个水杯的容积，再乘3，求出3杯水的容积，再和1500毫升比较，即可解答，注意单位名数的换算。 【详解】（1）（1）60毫米＝6厘米；210毫米＝21厘米 （6×6＋6×21＋6×21）×2 ＝（36＋126＋126）×2 ＝（162＋126）×2 ＝288×2 ＝576（平方厘米） 答：这个盒子的表面积至少576平方厘米。 （2）60毫米＝6厘米；210毫米＝21厘米。 3×（6÷2）2×21×3 ＝3×32×21×3 ＝3×9×21×3 ＝27×21×3 ＝567×3 ＝1701（立方厘米） 1701立方厘米＝1701毫升 1701毫升＞1500毫升，喝这样的3杯，能达到要求。 答：喝这样的3杯，能达到要求。 34．数学活动实践课上，小辰所在的小组同学用铁皮制作了一个无盖的长方体容器，如图所示。（容器厚度、接头处均不计） （1）制作这个无盖的长方体容器，至少需要多少平方厘米的铁皮？ （2）小辰给空的容器中加入水，水深12厘米，然后将一个萝卜放入水中，完全浸没，水面上升到14厘米，这个萝卜的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）6250平方厘米 （2）1.5立方分米 【分析】（1）求这个无盖长方体容器需要铁皮的面积，就是求长方体的下面、前后面、左右面共5个面的面积之和，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算求解。 （2）根据题意，把萝卜完全浸入水中，水面上升了（14－12）厘米，那么水上升部分的体积等于萝卜的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，求出这个萝卜的体积。注意单位的换算：1立方分米＝1000立方厘米。 【详解】（1）30×25＋30×50×2＋25×50×2 ＝750＋3000＋2500 ＝6250（平方厘米） 答：至少需要6250平方厘米的铁皮。 （2）30×25×（14－12） ＝30×25×2 ＝1500（立方厘米） 1500立方厘米＝1.5立方分米 答：这个萝卜的体积是1.5立方分米。 35．正值实验西校建校二十周年校庆，学校利用暑假进行装修。每间教室内侧长9米、宽7米、高3米。地面铺地砖，天花板刷乳胶漆，四面墙刷防水漆（门窗和黑板不粉刷），门窗共有10平方米，黑板共有4平方米。 （1）每间教室内需要粉刷的总面积是多少？ （2）乳胶漆每平方米15元，防水漆每平方米12元，每间教室刷天花板和墙壁一共需要多少元？ （3）地砖是规格为50厘米×50厘米的正方形，每间教室需要铺多少块地砖？如果每块地砖损耗2%，实际需要买多少块？ 【答案】（1）145平方米；（2）1929元；（3）258块 【分析】（1）根据不包括下底面的长方体的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，求出不包括下底面的表面积再减去门窗和黑板的面积，即可求得每间教室内需要粉刷的总面积是多少。 （2）用长×宽×乳胶漆的单价＋（长×高×2＋宽×高×2－门窗和黑板的面积）×防水漆的单价，即可求得每间教室刷天花板和墙壁一共需要多少元。 （3）求得长方体的底面积即长×宽，单位换算成平方厘米，用底面积除以一块地砖的面积（正方形的面积＝边长×边长），求得需要用多少块砖，再用砖数×（1＋2%），计算时可以将百分数化成小数，算出结果若是小数需要进一，即可求得实际需要买多少块砖。 【详解】（1）9×7＋9×3×2＋7×3×2－（10＋4） ＝9×7＋9×3×2＋7×3×2－14 ＝63＋54＋42－14 ＝145（平方米） 答：每间教室内需要粉刷的总面积是145平方米。 （2）9×7×15 ＋[9×3×2＋7×3×2－（10＋4）]×12 ＝9×7×15＋[9×3×2＋7×3×2×2－14]×12 ＝9×7×15＋[54＋42－14]×12 ＝9×7×15＋82×12 ＝945＋984 ＝1929（元） 答：每间教室刷天花板和墙壁一共需要1929元。 （3）50×50＝2500（平方厘米） 9×7＝63（平方米） 63平方米＝630000平方厘米 630000÷2500＝252（块） 252×（1＋2%） ＝252×1.02 ≈258（块） 答：实际需要买258块。 36．为了形象直观地说明“木桶效应”蕴含的道理，老师特意准备了一只木桶，制作此木桶底面与侧面用的木板的厚度相同，侧面木板长短不一，小明从木桶外部测量的数据，如图1所示。 （1）如果从木桶的里面测量，底面的直径是多少厘米？ （2）这只木桶上的铁箍是用薄铁皮制作的，箍1圈铁箍，如果接头处、铁皮厚度都忽略不计，请你算一算，至少需要多少平方厘米的薄铁皮？ （3）把这个木桶斜放比平放最多能多接多少水？ 【答案】（1）40厘米；（2）659.4平方厘米；（3）12560毫升 【分析】（1）根据图示可知，木桶从外面测量的直径是42厘米，而小板厚1厘米，用外面测量的直径长度减去2个1厘米即是从内部测量的直径长度。 （2）根据“圆周长＝πd”，用木桶从外面测量的直径是42厘米乘π，求出木桶的底面周长，再根据“长方形面积＝长×宽”，用底面周长乘铁箍的宽即可求解。 （3）根据图示可知，平放时最多可以装水的容积即为底面直径40厘米，高36厘米的圆柱体积，斜放比平放多装水的部分即为底面直径40厘米，高（56－36）厘米的圆柱体积的一半，据此解答。 【详解】（1）42－1×2 ＝42－2 ＝40（厘米） 答：如果从木桶的里面测量，底面的直径是40厘米。 （2）3.14×42×5 ＝131.88×5 ＝659.4（平方厘米） 答：至少需要659.4平方厘米的薄铁皮。 （3）3.14×（）2×（56－36）÷2 ＝3.14××20÷2 ＝3.14×400×20÷2 ＝12560（立方厘米） 12560立方厘米＝12560毫升 答：把这个木桶斜放比平放最多能多接12560毫升水。 37．阅读下面资料，解决问题。 生物在进化过程中，为了求得生存，有些动物的骨、植物的茎是空心的，而且截面的内圆直径和外圆直径之比大约都是8∶11，研究表明，当一根空心管的底面的内圈直径和外圆直径之比是8∶11时最不容易弯曲。根据这个研究，人们制成了空心零件、自行车的车身架等，以达到耗费最少材料而使其最坚固的目的。 （1）要加工这样一个零件，有一块长方体木料（如图1），先把这块木料加工成一个圆柱。这个圆柱的体积是多少？（π取3） （2）按照上面的研究，用刚才加工的圆柱制作这样一个零件（如图2）。这个零件底面的内圆直径是多少厘米？ （3）这个零件（如图3）的体积是多少立方厘米？（π取3） 【答案】（1）3630立方厘米 （2）16厘米 （3）1710立方厘米 【分析】（1）求这个圆柱的体积是多少立方厘米，，代入数值即可解答； （2）内圆直径和外圆直径之比大约都是8∶11，设内圆直径为厘米，外圆直径为22厘米，，解比例即可解答； （3）求这个零件（如图3）的体积，用外圆柱的体积减内圆柱的体积，据此解答。 【详解】（1） （立方厘米） 答：这个圆柱的体积是3630立方厘米。 （2）设内圆直径为厘米， 答：这个零件底面的内圆直径是16厘米。 （3） （立方厘米） （立方厘米） 答：这个零件（如图3）的体积是1710立方厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年小升初数学复习讲练测 第七章：立体图形 （17大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练） （一）知识点梳理 知识点01 长方体 2 知识点02 正方体 2 知识点03 圆柱 3 知识点04 圆锥 4 知识点05 立体图形表面积和体积公式汇总 4 知识点06 组合体、不规则物体的表面积和体积 5 （二）重难点题型讲解 考点01 长方体、正方体有关棱长的应用 6 考点02 长方体的表面积 7 考点03 正方体的表面积 9 考点04 长方体的体积 10 考点05 正方体的体积 12 考点06 长方体、正方体的容积 14 考点07 圆柱的侧面积 16 考点08 圆柱的表面积 18 考点09 圆柱的体积 20 考点10 圆柱的容积 22 考点11 圆锥的体积（容积） 25 考点12 圆柱与圆锥体积的关系 27 考点13 立体图形的切拼（圆柱与圆锥） 29 考点14 组合体的表面积 31 考点15 组合体的体积 34 考点16 不规则物体的体积（长方体、正方体） 37 考点17 不规则物体的体积（圆柱、圆锥） 39 （三）真题演练 真题演练 41 知识点01：长方体 1.长方体的认识 （1）面：长方体有6个面，每个面一般是长方形，特殊情况有两个相对的面是正方形。相对的面完全相同。 （2）棱：两个面相交的边叫做棱，长方体有12条棱，相对的棱长度相等。 （3）顶点：三条棱相交的点叫做顶点，长方体有8个顶点。 2.长方体表面积 （1）长方体6个面的总面积叫做它的表面积。 （2）计算公式为S＝（ab＋ah＋bh）×2，其中a为长，b为宽，h为高。 3.长方体的体积 （1）体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。 （2）长方体体积公式：V＝abh，其中a为长，b为宽，h为高。 【易错点拨】 （1）无盖长方体（如鱼缸、抽屉）：表面积=长×宽+2×（长×高+宽×高）（少1个底面）。 （2）通风管/烟囱（无上下底面）：表面积=2×（长×高+宽×高）（少2个相对面）。 （2）占地面积：只求底面积（长×宽），不是表面积。 （3）切割长方体：每切一刀增加2个面，拼接则减少2个面。 知识点02：正方体 1.正方体的认识 正方体是特殊的长方体，它的6个面都是正方形，6个面完全相同，12 条棱的长度都相等。 2.正方体的表面积 （1）正方体 6 个面的总面积叫做它的表面积。 （2）计算公式为S＝6a2，其中a为正方体的棱长。 3.长方体和正方体的体积 （1）正方体体积公式：V＝a3，其中a为正方体的棱长。 （2）统一公式：长方体和正方体的体积都可以用底面积乘高来计算，即V＝Sh，其中S为底面积，h为高。 【易错点拨】 （1）无盖正方体：表面积= 5a2。 （2）正方体涂色问题： 3面涂色：8个顶点； 2面涂色：棱中间部分； 1面涂色：面中间部分； 0面涂色：内部。 （3）切割小正方体：大正方体体积÷小正方体体积=个数 知识点03：圆柱 1.圆柱的认识 （1）底面：圆柱有两个底面，是完全相同的两个圆。 （2）侧面：圆柱的侧面是一个曲面，展开后是一个长方形或正方形。当圆柱底面周长和高相等时，侧面展开是正方形。 （3）高：两个底面之间的距离叫做圆柱的高，圆柱有无数条高。 2.圆柱的表面积 （1）圆柱的表面积等于两个底面积加上侧面积。 （2）计算公式为S＝2πr2 +2πrh，其中r为底面半径，h为高。 3.圆柱的体积 圆柱的体积计算公式为V＝πr2h，其中r为底面半径，h为高。 【易错点拨】 （1）无盖圆柱（如水桶）的表面积=S侧+S底。 （2）烟囱、通风管、压路机滚筒：只有侧面积，无底面。通风管、烟囱等的表面积=S侧。 （3）半径与直径混淆：看清给的是r还是d。 （4）圆柱横切：增加2个圆形底面；竖切增加2个长方形。 （5）切拼圆柱后体积变化判断错误：认为切拼成长方体后体积变大，实际体积不变，表面积变大。 知识点04：圆锥 1.圆锥的认识 （1）底面：圆锥的底面是一个圆。 （2）侧面：圆锥的侧面是一个曲面，展开后是一个扇形。 （3）高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高，圆锥只有一条高。 2.圆锥的体积 （1）圆锥体积公式的推导：通过实验发现，等底等高的圆柱和圆锥，圆锥体积是圆柱体积的。 （2）圆锥的体积公式：V圆锥＝V圆柱＝πr2h （3）圆柱与圆锥的关系 ①等底等高：V锥=V柱，V柱=3V锥； ②体积相等、底面积相等：h锥=3h柱； ③体积相等、高相等：S锥底=3S柱底。 【易错点拨】 （1）圆锥高的概念误解：认为圆锥的高是从顶点到底面边缘的距离，实际是到圆心的垂直距离。 （2）等底等高关系混淆：在体积相等的情况下，V锥=V柱，V柱=3V锥。 知识点05：立体图形表面积和体积公式汇总 立体图形 表面积 体积 长方体 S=2 ：长 b:宽 h：高 S：表面积 正方体 S= ：棱长 S：表面积 圆柱 圆锥 是母线，即从顶点到底面圆上的线段长 知识点06：组合体、不规则物体的表面积和体积 1.组合体的表面积 （1）概念：组合体的表面积是指组合体各个面的面积之和。在计算时，需要注意有些面可能会重合，重合的面在计算总面积时只能计算一次。 （2）计算方法：通常采用“分面计算，然后求和”的方法。先将组合体分解成几个基本的立体图形，分别计算出每个基本立体图形的表面积，然后减去重合部分的面积。 （3）拼接：两个立体拼在一起，重合面会消失，每重合1处，减少2个重合面面积。 （4）挖去：在立体上挖去小正方体。 ①角上挖：表面积不变。 ②棱上挖：表面积增加2个面。 ③面上挖：表面积增加4个面。 2.组合体的体积 （1）概念：组合体的体积是指组合体所占空间的大小。 （2）计算方法： ①“分割法”：将组合体分割成几个规则的、易求体积的基本立体图形，分别计算它们的体积，然后将这些体积相加。 ②“添补法”：对于一些不规则的组合体，可以通过添加一部分使其成为一个规则的立体图形，然后用这个规则立体图形的体积减去添加部分的体积，得到组合体的体积。 3.不规则物体的表面积 计算方法：一般采用 “近似转化” 的方法。可以将不规则物体的表面近似看作由若干个规则的平面图形组成，然后分别计算这些平面图形的面积，再求和。 4.不规则物体的体积 计算方法： （1）“排水法”：将不规则物体放入一个装满水的容器中，溢出的水的体积就是该不规则物体的体积。具体操作时，先测量出容器的容积以及放入物体后剩余水的体积，用容器的容积减去剩余水的体积，就得到了不规则物体的体积。 （2）割补法：对于一些形状比较特殊的不规则物体，也可以通过将其分割或拼接成规则物体来计算体积。 （3）“转化法” ①根据正放的瓶子得：液体的体积＝瓶子的底面积×液体的高度 ②根据倒放的瓶子得：空余部分的的体积＝瓶子的底面积×空余部分的高度 ③瓶子的容积＝液体的体积＋空余部分的体积 【易错点拨】 （1）拼接：重合面要减去。 （2）挖去：看位置判断表面积增减，空心、挖孔图形别把内部面积漏掉。 （3）组合体表面积：不要直接相加，一定要减重合面。 （4）排水法：容器底面积不变，只看高度变化。单位必须统一，高度差是关键。 考点01：长方体、正方体有关棱长的应用 【典型例题】贝贝给妈妈准备了一个生日礼物，为了更加美观，她用丝带捆扎这个礼品盒（如图），已知打结部分用了30厘米，贝贝捆扎这个礼品盒一共用去多少米的丝带？ 【变式训练1】超市有三种规格的长方体礼品盒，现在要给礼品盒的所有棱都贴一圈彩带，选用（     ）礼品盒用的彩带最少。 A．长15cm、宽12cm、高10cm B．长20cm、宽15cm、高8cm C．长25cm、宽10cm、高5cm 【变式训练2】用铁丝焊接一个长6cm、宽5cm、高4cm的长方体框架，至少需要铁丝（ ）cm。如果用同样长的铁丝焊接一个正方体框架，它的棱长是（ ）cm。 考点02：长方体的表面积 【典型例题】一块某品牌香皂长8厘米、宽5厘米、高4厘米，商场进行促销活动，把2块同样的香皂装在一起销售。请你算一算至少需要多少平方厘米包装纸？ 【变式训练1】一个长方体长15厘米，宽8厘米，高12厘米，若高减少5厘米，则表面积减少（ ）平方厘米。 【变式训练2】下图是一个长方体的展开图，请计算它的表面积。（单位：cm） 考点03：正方体的表面积 【典型例题】用铁丝做一个棱长为8分米的正方体框架，至少要用（ ）分米的铁丝，如果在这个框架外糊一层广告纸，至少需要（ ）平方分米的纸。（接头处忽略不计） 【变式训练1】一个正方体的棱长总和是36厘米，表面积是（ ）平方厘米。 【变式训练2】一个正方体的棱长从3cm增加到5cm，它的表面积增加了（     ）cm2。 A．16 B．96 C．150 D．216 考点04：长方体的体积 【典型例题】一个长方体，如果高增加3厘米，就变成一个正方体，这时表面积比原来增加了72平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 【变式训练1】一根长方体木料，长8m，把它截成4段，表面积增加了，这根木料的体积是（ ）。 【变式训练2】一个长方体容器里装满水，沿着容器边缘从左侧将水倒出一些（如图所示，单位：厘米），倒出了（ ）立方厘米的水，还剩（ ）立方厘米的水。（容器的厚度忽略不计） 考点05：正方体的体积 【典型例题】把一个棱长为6分米的正方体钢锭铸造成长9分米，高3分米的长方体钢锭，这个长方体的宽是多少分米？ 【变式训练1】把一块长14米，宽12米，高8米的长方体木块截成一个最大的正方体，这个正方体木块的体积是（ ）立方米。 【变式训练2】如图，长方体玻璃缸中水深4.8分米，将棱长是5分米的正方体铁块投入水中，缸里的水会溢出多少立方分米？ 考点06：长方体、正方体的容积 【典型例题】《天工开物》中记载了竹子造纸的具体流程（如下图）。 在“入帘”环节，需要将竹木浆放到一个无盖纸槽里。从里面量，纸槽长12分米，宽8分米，高5分米。 （1）如果需要在纸槽内部涂一层蜡，需要涂蜡的面积是多少平方分米？ （2）这个纸槽最多能容纳多少升竹木浆？ 【变式训练1】一个棱长是10dm的正方体水池，蓄水后水面低于池口2dm，此时有（ ）L水。 【变式训练2】某汽车油箱的长为50厘米，宽为40厘米，高为30厘米，如果每升油可行驶12千米，这箱油最多可以供这辆汽车行驶多少千米？ 考点07：圆柱的侧面积 【典型例题】一台压路机的前轮是圆柱形的，轮宽2米，直径1米。如果这台压路机在工作时前轮每分钟转10圈，那么它每分钟可压路面多少平方米？ 【变式训练1】如下图，把一个圆柱的侧面展开得到一个平行四边形，这个圆柱的底面积是（ ），侧面积是（ ）。 【变式训练2】张师傅用白铁皮做10节圆柱形通风管，每节通风管的直径是0.2米，长是1米。至少要用（ ）平方米的白铁皮。（接头处损耗忽略不计） 考点08：圆柱的表面积 【典型例题】一个圆柱形无盖铁皮水桶，底面半径是3分米，高是5分米。做20个水桶至少需要多少平方分米的铁皮？ 【变式训练1】请你从下面各图中，选出图（     ）中的两个圆和一个长方形刚好可以围成一个圆柱，并计算出它的表面积和体积。（接头处忽略不计）（单位：厘米） 【变式训练2】如图，将一个高是10厘米，底面直径是8厘米的圆柱切成大小相等的2份，表面积最多可增加（     ）平方厘米。（不可斜切） A．80 B．100.48 C．160 考点09：圆柱的体积 【典型例题】工人叔叔做了一个底面直径是4分米，高是5分米的有盖圆柱形铁皮油桶。并在这个油桶里装了的油，这些油重多少千克？（每升油重0.8千克，得数保留整数） 【变式训练1】将一个长为6cm，宽为4cm的长方形以长边为轴旋转一周，将会得到一个（ ），它的体积为（ ）。 【变式训练2】一个圆柱形水杯的底面直径是8cm，高是8cm。如果杯子里水面的高度是5cm，那么水的体积是（ ）cm3。 考点10：圆柱的容积 【典型例题】甲乙两个圆柱体容器，甲的底面半径为4厘米，有10厘米深的水，乙空着，底面直径4厘米，现把甲中的水倒一部分给乙，使两个容器中的水一样高，甲的水位下降多少厘米？ 【变式训练1】小明家的一套茶具如下图。烧一壶茶能倒满6杯吗？（杯子的厚度忽略不计） 【变式训练2】一种圆柱形果汁易拉罐，底面半径是4厘米，高是15厘米。 （1）要在易拉罐侧面贴一圈包装纸，包装纸的面积至少是多少平方厘米？ （2）罐身标注“净含量760毫升”，这个标注与易拉罐的实际容积相符吗？请说明理由。（铁皮厚度忽略不计） 考点11：圆锥的体积（容积） 【典型例题】学校在修建操场跑道时剩了一堆沙子，沙堆大致呈圆锥形，底面周长18.84米，高1.5米。跳远用的沙坑长10米，宽2.8米，深50厘米，用这堆沙子能填满吗？（π取3.14） 【变式训练1】下图是一个直角三角形，如果以AC边为轴旋转一周，所得立体图形的体积是（ ）立方厘米。（用含有π的式子表示） 【变式训练2】一个圆锥形救灾帐篷，它的内部空间是30.144立方米，底面半径是4米。这个帐篷的高是（ ）米。 考点12：圆柱与圆锥体积的关系 【典型例题】圆柱形容器与一个圆锥形容器等底等高，圆柱形容器内原有6升水，将圆锥形容器盛满水再全部倒入圆柱形容器，容器内的水面上升到60%处，则圆锥形容器的容积是多少？ 【变式训练1】一个圆锥的底面面积是7.5平方分米，与它等底等体积的圆柱的高是5分米，则圆锥的高是（     ）分米。 A．5 B．10 C．15 【变式训练2】把一个圆柱削成最大的圆锥，削去部分的体积是26立方分米，圆柱的体积是（ ）立方分米。 考点13：立体图形的切拼（圆柱与圆锥） 【典型例题】如果把一个高18厘米的圆柱形木料沿着两条互相垂直的直径切成完全相同的四块，它的表面积将增加720平方厘米（如图）。如果把这个圆柱形木料削成一个最大的圆锥，应削去多少立方厘米木料？ 【变式训练1】把一根2米长的圆柱形木料截成3段小圆木，表面积增加12.56平方分米。这根木料原来的体积是多少立方分米？ 【变式训练2】一个底面半径是4厘米的圆锥，沿着高将它切成两部分，表面积增加了48平方厘米。这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 考点14：组合体的表面积 【典型例题】如图，会议室门口有三级台阶，每级台阶长5米，宽3分米，高1.8分米。如果要给这个台阶表面全部涂上一层漆（底面和后面不刷），那么要刷漆的面积是多少平方米？ 【变式训练1】计算下面图形的表面积。（单位：cm） 【变式训练2】庆元旦文艺汇演，乐乐制作了一个魔术帽作为道具（如图），制作这顶魔术帽至少需要多少平方厘米布料？ 考点15：组合体的体积 【典型例题】为了提高学生们的环保意识，某小学举办“变废为宝”手工创意大赛，明明制作了运载火箭整流罩的模型（如图所示），并打算给这个模型的圆锥部分涂上红色，圆柱部分涂上蓝色。 （1）涂蓝色的面积是多少平方分米？ （2）这个模型的体积是多少立方分米？ 【变式训练1】求下面立体图形的体积。 【变式训练2】已知半圆柱的底面直径是10厘米，求下面图形的体积和表面积。 考点16：不规则物体的体积（长方体、正方体） 【典型例题】在一个长8米，宽5米，高2米的水池中注满水，然后把3条长3米，宽2米，高4米的石柱立着放入池中，水池溢出的水的体积是多少？ 【变式训练1】德化县地处福建省中部，是中国陶瓷文化的发祥地之一。每次做完一件陶瓷作品，都会剩余一些陶土，为了避免陶土浪费，聪聪把剩下的陶土做成大小一样的陶粒。现在有一个长7厘米、宽5厘米、高10厘米的长方体容器，容器里水深8厘米，聪聪把69个大小一样的陶粒放入这个容器内，陶粒全部浸入水中且水溢出26.6毫升。每个陶粒的体积是多少？ 【变式训练2】将一个体积为120立方厘米的石块完全浸没在装有水的长方体容器中，长方体容器的底面积为30平方厘米，水面高度为10厘米，把石块捞出来后，水面高多少厘米？ 考点17：不规则物体的体积（圆柱、圆锥） 【典型例题】如图，浩浩为了测量出一个圆锥的体积，他先在一个底面直径是10厘米的圆柱形玻璃杯中装入一定量的水，量得水面高度是5厘米，将圆锥完全浸入水中，再次测量水面高度是7厘米。如果玻璃的厚度忽略不计，这个圆锥的体积大约是多少立方厘米？（π取3.14） 【变式训练1】下面是一个圆柱形容器，容器内盛有水。把一个底面半径是2cm，高是3cm的圆锥形铁块放入圆柱形容器中，铁块完全浸没在水中，这时水面升高了（     ）cm。 A．1 B．0.5 C．0.25 【变式训练2】一个密封的瓶子装有一些水，如下图所示，瓶子底面积为10平方厘米，则这个瓶子的容积是（     ）立方厘米。 A．80 B．70 C．60 D．50 一、选择题 1．推导圆柱的体积计算公式的方法（如下图），与下面第（     ）个古代故事中的方法相同。 A．揠苗助长 B．刻舟求剑 C．曹冲称象 D．田忌赛马 2．下面是一个正方体纸盒，将它的上半部分涂上颜色后再展开，（     ）的展开图是正确的。 A． B． C． D． 3．如图，一个长方形长为a，宽为b。分别以长为轴、宽为轴旋转，产生了两个圆柱甲、乙，判断甲、乙两个圆柱侧面积的大小关系是（     ） A．甲＞乙 B．甲＜乙 C．甲＝乙 D．无法比较 4．如图，把3个相同的小长方体拼成1个高的大长方体，表面积减少了，那么原来1个小长方体的体积是（     ）cm3。 A．180 B．120 C．60 5．一个长方形的长是6厘米，宽是4厘米，如图所示，以长为轴旋转一周形成圆柱甲，以宽为轴旋转一周形成圆柱乙。下面说法正确的是（     ）。 ①圆柱甲的底面积比圆柱乙的底面积大；②圆柱甲的侧面积与圆柱乙的侧面积相等 ③圆柱甲的表面积与圆柱乙的表面积相等；④圆柱甲的体积比圆柱乙的体积小 A．①② B．②④ C．①②③ D．②③④ 6．一个圆柱和一个圆锥，底面周长的比是，体积比是，那么这个圆柱和这个圆锥的高的比是（     ）。 A． B． C． D． 7．一个长6dm、宽4dm、高5dm的木箱，最多能放下（     ）个棱长为2dm的榫卯木块。 A．10 B．12 C．14 D．15 8．一个棱长3分米的正方体零件，从它的正中间向对面挖通一个底面边长为1分米的小长方体，这个零件的表面积（     ）。 A．增加10平方分米 B．减少10平方分米 C．增加12平方分米 D．减少12平方分米 9．小明买了一瓶水喝掉了一部分后还有剩余（如图所示），已知这个饮料瓶的内直径是8cm。根据图中标出的数据，小明用算式“”计算的是（     ）。 A．喝掉的水的体积 B．瓶子的容积 C．剩余水的体积 D．喝掉的水和剩余的水相差的体积 10．把底面直径为6cm的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比圆柱增加30cm2，那么圆柱的体积是（     ）cm3。 A．30π B．45π C．60π D．180π 11．一个正方体容器的棱长之和是96cm，若将它装满水后倒入另一个高是8cm的圆柱形容器中，刚好倒满。这个圆柱形容器的底面积是（     ）cm2。（容器的厚度忽略不计） A．64 B．76 C．92 D．108 12．王叔叔要做如图这样的一个几何组合体的艺术品，组合体下面这个长方体铁块的表面积是96平方分米，底面是一个面积为12平方分米的正方形，在它上面粘一个正方体铁块，正方体的四个顶点正好落在底面各边的中点。这个组合体的表面积是（     ）平方分米。 A．108 B．120 C．132 D．126 二、填空题 13．图中，h1＝h2，d1＝d2，把下面左边瓶里的饮料倒入圆锥形的杯子里，最多能倒满（ ）杯。 14．如图是一个正方体的展开图，把这个展开图折叠成一个正方体，折叠后与点A重合的是点（ ）。 15．冰冰和明明将两个体积相等的铁块，分别浸没在高度相等的甲、乙两个圆柱体水杯中，两铁块全部浸入水中，甲杯水面上升3厘米，乙杯水面上升了5厘米，甲乙两个水杯的容积之比是（ ）。 16．如图，把一个圆柱沿着半径切分成若干份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比圆柱多60cm2，这个长方体的高是10cm。这个圆柱的体积是（ ）cm3。 17．如下图，三个量杯从里面量，高度都是9厘米。小冬先把圆锥形量杯盛满水，再把这杯水全部倒进圆柱形量杯中，圆柱形量杯的水面高度是（ ）厘米，接着他又把这些水全部倒进长方体量杯中，长方体量杯的水面高度应为（ ）厘米。（得数保留一位小数） 18．一个底面半径是5分米，高是12分米的无盖圆柱形铁皮水桶，它的容积是（ ）升；做这样一挑水桶（2个）至少需要（ ）平方分米铁皮。（铁皮厚度不计） 19．一个圆柱和圆锥等底等高，体积相差12立方厘米，圆柱体积是（ ）立方厘米。 20．一根圆柱木料，底面半径3cm，高10cm，如果把这根圆柱木料削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是（ ）cm3。 21．一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是1∶9，如果圆锥的高是6cm，那么圆柱的高是（ ）cm；如果圆柱的高是6cm，那么圆锥的高是（ ）cm。 22．如图，直角三角形以AB边为轴旋转一周，形成的圆锥的体积是（ ）立方厘米。（π取3.14） 23．在高度是32厘米的长方体容器中装满水，平放在桌上，现在把它像如图这样斜放，水流出，则此时AB的长度是（ ）厘米。 24．一个圆锥和圆柱，底面积相等，高的比是3∶1，体积的比是（ ）。 25．如图所示，索朗要为这盏台灯制作一个长方体包装盒（箱子的厚度忽略不计），这个包装盒的最小体积是（ ）立方分米。 26．一个圆柱体，它的侧面展开图是一个正方形，已知它的底面直径为2厘米，则它的高为 （ ）厘米。 27．如图，将底面半径是6厘米，高8厘米的圆锥，沿底面直径切成大小完全相同的两块后，表面积之和比原来增加（ ）平方厘米。 28．如图，两位同学分别对一个高是6cm，底面半径是3cm的圆柱平均切成两部分。甲同学切分后，表面积比原来增加了（ ），乙同学切分后，表面积比原来增加了（ ）。 29．有一个长方体储碗柜，内部尺寸如图1。现在柜子里放置相同规格的碗，其中2只碗和6只碗叠起来的高度如图2所示。 （1）若有只碗叠起来，它的高度是（ ）cm（用含有字母的式子表示）。 （2）若按图所示摆放，这个储碗柜最多可摆放（ ）只这种规格的碗。 三、解答题 30．一个圆锥形沙堆，底面周长是12.56米，高是1.5米。如果每立方米沙子重2吨，这堆沙子有多少吨？ 31．下图是一个装满水的无盖长方体容器。（单位：分米，π取3.14） （1）在容器中放入一个底面直径为2分米，高为4分米的实心圆柱铁柱。会溢出多少升水？ （2）如果把这个铁柱锻造成一个实心圆锥。使得圆锥能垂直放入长方体容器，并且底面积最大。这个圆锥的高是多少？ 32．蚁狮主要以蚂蚁为食，会挖出圆锥形的洞穴作为陷阱，捕猎时的稳准狠堪比狮子，故而得名蚁狮。如果蚁狮挖一个深9厘米、口部宽8厘米的陷阱，那么至少需要挖出多少立方厘米的土？ 33．母亲节，李兵送给妈妈一个水杯（如下图，底面直径60毫米，高210毫米）。 （1）李兵要用一个长方体的盒子包装它，这个盒子的表面积至少多少平方厘米？ （2）妈妈一天饮水量不少于1500毫升。喝这样的3杯，能达到要求吗？请说明理由。（杯壁的厚度忽略不计，π取3） 34．数学活动实践课上，小辰所在的小组同学用铁皮制作了一个无盖的长方体容器，如图所示。（容器厚度、接头处均不计） （1）制作这个无盖的长方体容器，至少需要多少平方厘米的铁皮？ （2）小辰给空的容器中加入水，水深12厘米，然后将一个萝卜放入水中，完全浸没，水面上升到14厘米，这个萝卜的体积是多少立方分米？ 35．正值实验西校建校二十周年校庆，学校利用暑假进行装修。每间教室内侧长9米、宽7米、高3米。地面铺地砖，天花板刷乳胶漆，四面墙刷防水漆（门窗和黑板不粉刷），门窗共有10平方米，黑板共有4平方米。 （1）每间教室内需要粉刷的总面积是多少？ （2）乳胶漆每平方米15元，防水漆每平方米12元，每间教室刷天花板和墙壁一共需要多少元？ （3）地砖是规格为50厘米×50厘米的正方形，每间教室需要铺多少块地砖？如果每块地砖损耗2%，实际需要买多少块？ 36．为了形象直观地说明“木桶效应”蕴含的道理，老师特意准备了一只木桶，制作此木桶底面与侧面用的木板的厚度相同，侧面木板长短不一，小明从木桶外部测量的数据，如图1所示。 （1）如果从木桶的里面测量，底面的直径是多少厘米？ （2）这只木桶上的铁箍是用薄铁皮制作的，箍1圈铁箍，如果接头处、铁皮厚度都忽略不计，请你算一算，至少需要多少平方厘米的薄铁皮？ （3）把这个木桶斜放比平放最多能多接多少水？ 37．阅读下面资料，解决问题。 生物在进化过程中，为了求得生存，有些动物的骨、植物的茎是空心的，而且截面的内圆直径和外圆直径之比大约都是8∶11，研究表明，当一根空心管的底面的内圈直径和外圆直径之比是8∶11时最不容易弯曲。根据这个研究，人们制成了空心零件、自行车的车身架等，以达到耗费最少材料而使其最坚固的目的。 （1）要加工这样一个零件，有一块长方体木料（如图1），先把这块木料加工成一个圆柱。这个圆柱的体积是多少？（π取3） （2）按照上面的研究，用刚才加工的圆柱制作这样一个零件（如图2）。这个零件底面的内圆直径是多少厘米？ （3）这个零件（如图3）的体积是多少立方厘米？（π取3） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $