第六章：平面图形（综合复习讲义）-2026年小升初数学复习讲练测

2026年小升初数学复习讲练测 第六章：平面图形 （18大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练） （一）知识点梳理 知识点01 线和角 2 知识点02 三角形 3 知识点03 四边形 4 知识点04 圆 6 知识点05 平面图形周长和面积公式汇总 8 知识点06 组合图形的面积、不规则图形面积、阴影部分面积 9 （二）重难点题型讲解 考点01 线的认识、平行与垂直 10 考点02 角的认识与角的度量 10 考点03 三角形的特性和分类 11 考点04 三角形的内角和 12 考点05 三角形周长与面积 12 考点06 长方形、正方形的周长 13 考点07 长方形、正方形的面积 13 考点08 平行四边形的周长与面积 14 考点09 梯形的周长与面积 15 考点10 圆的周长 16 考点11 半圆的周长 16 考点12 圆的面积 17 考点13 圆环的面积 18 考点14 弧、圆心角、扇形 18 考点15 含多边形的组合图形的周长与面积 19 考点16 含圆的组合图形的周长与面积 19 考点17 不规则图形的面积 20 考点18 阴影部分的周长和面积 21 （三）真题演练 真题演练 22 知识点01：线和角 1.线段、直线、射线的认识和特征 2.平行与垂直 （1）垂直 ①定义：在同一平面内，如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 ②过直线外一点只能画一条已知直线的垂线。 （2）平行 ①定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。两条平行线之间的距离处处相等。 ②平行线之间的距离处处相等。 ③点到直线的所有连线中，垂线段最短。 3.角 （1）角的定义：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 （2）角的分类： 锐角 直角 钝角 平角 周角 0°＜锐角＜90° 直角=90° 90°＜钝角＜180° 平角=180° 周角=360° ①锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角； ②1平角＝2直角，1周角＝2平角＝4直角。 （3）角的度量 角的度量方法：核心是“两对齐，一读数”，步骤如下： ①点对齐：将量角器的中心点与角的顶点完全对齐； ②线对齐：将量角器的0°刻度线与角的一条边完全对齐（这条边作为“基准边”）； ③读刻度：看角的另一条边所对应的量角器刻度，这个刻度值就是角的度数（注意区分内圈和外圈刻度）。 ④刻度的选择技巧：若基准边对齐的是“内圈0°”，则读内圈刻度；若对齐的是“外圈0°”，则读外圈刻度。 （4）角的大小比较 比较角的大小可以用叠合法，将两个角的顶点及一条边重合，另一条边在重合边的同侧，根据另一条边的位置来比较角的大小；也可以用量角器测量出角的度数，再比较度数的大小。 （5）角的画法 先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合；在量角器上找到要画的角的度数的刻度线，并点上一个点；以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，就得到了要画的角。 【易错点拨】 （1）直线、射线不能比较长短。 （2）角的大小与边长短无关，只与张口大小有关。 （3）画垂线、直角要记得标符号。 知识点02：三角形 1.三角形的定义：由三条线段首尾顺次相接围成的封闭图形叫做三角形。 2.三角形的特性 （1）稳定性：三角形具有稳定性，例如自行车的车架、篮球架等都是利用了三角形的稳定性。 （2）三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 3.三角形的分类 （1）按角分： 类型 核心特征 注意 锐角三角形 3个角都是锐角（小于90°） 三个角的度数都需满足锐角条件 直角三角形 有1个角是直角（等于90°） 另外2个角一定是锐角； 有1条高与直角边重合 钝角三角形 有1个角是钝角（大于90°） 另外2个角一定是锐角； 有2条高在三角形外 （2）按边分： 类型 核心特征 注意 不等边三角形 3条边的长度都不相等 无特殊角的要求 等腰三角形 有2条边相等（相等的边叫腰，第三条边叫底；两腰的夹角叫顶角，腰与底的夹角叫底角） 两个底角相等； 可能是锐角、直角或钝角三角形 等边三角形（正三角形） 3条边都相等 三个角都相等，且都是60°； 是特殊的等腰三角形； 一定是锐角三角形 4.三角形的内角和：三角形的内角和是180°。 5.多边形内角和：多边形的内角和＝（边数－2）×180°。 6.三角形的面积 （1）计算公式：三角形的面积＝底×高÷2，用字母表示为S＝ah÷2，其中a表示三角形的底，h表示三角形这条底边对应的高。 （2）直角三角形面积＝直角边×直角边÷2，两条直角边互为底和高。 【易错点拨】 （1）三角形的稳定性是其特有属性，与边的长短无关。 （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。 知识点03：四边形 1.长方形 （1）定义：有一个角是直角的平行四边形叫做长方形。 （2）特征 ①四个角都是直角。 ②对边平行且相等。 ③对角线互相平分且相等。 （3）周长公式：C＝2×（a＋b），其中a、b分别为长方形的长和宽。 （4）面积公式：S＝a×b。 2.正方形 （1）定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 （2）特征 ①边：四条边都相等，对边平行。 ②角：四个角都是直角，即每个角都为90°。 ③对角线：对角线互相垂直、平分且相等，每条对角线平分一组对角。 ④对称性：既是轴对称图形，有4条对称轴，分别是两条对角线所在直线以及两组对边中点连线所在直线；又是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。 （3）周长公式：C＝4a（其中C表示周长，a表示边长）。 （4）面积公式：为S＝a2（其中S表示面积，a表示边长）。 （5）与其他图形的关系 ①正方形是特殊的长方形，当长方形的长和宽相等时就变成了正方形。 ②正方形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，同时又有自己独特的性质。 3.平行四边形 （1）定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 （2）特征 ①两组对边分别平行且相等； ②两组对角分别相等； ③对角线互相平分（对角线是连接平行四边形不相邻两个顶点的线段）； ④具有不稳定性（容易变形，可用于制作伸缩结构）。 （3）周长公式：C＝2×（a＋b），其中a、b分别为平行四边形的相邻两边的长。 （4）面积公式：S＝a×h，其中a为底边长，h为这条底边对应的高。 4.梯形 （1）定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。平行的两边叫做梯形的底，不平行的两边叫做梯形的腰。 （2）各部分名称 ①平行的两组对边分别叫做梯形的上底和下底（通常把较短的底叫上底，较长的底叫下底，也可根据位置区分）； ②不平行的两组对边叫做梯形的腰； ③从梯形一条底边上的一点向对边引垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高（梯形有无数条高，且所有高长度相等）。 （3）特殊梯形 ①等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形同一底上的两个底角相等，对角线相等。 ②直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 （4）周长公式：C＝a＋b＋c＋d，其中a、b为梯形的上底和下底，c、d为梯形的两腰。 （5）面积公式：S＝（a＋b）×h÷2，其中a、b分别为梯形的上底和下底，h为梯形的高。 5.四边形之间的关系 【易错点拨】 （1）等底等高的三角形面积相等。 （2）把长方形拉成平行四边形，周长不变，面积变小。把平行四边形拉成长方形，周长不变，面积变大。 （3）把平行四边形割补成长方形，形状改变，面积不变。 （4）平行四边形的面积是与它等底等高的三角形面积的2倍；三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的一半。 （5）平行四边形的面积是与它等底等高的梯形面积的2倍；梯形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的一半。 知识点04：圆 1.圆的认识 （1）定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。 （2）圆心：圆中心的一点叫做圆心，一般用字母O表示。 （3）半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示。 （4）直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，通常用字母d表示。 （5）圆的特征 ①圆具有对称性，圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴。 ②在同圆或等圆中，半径的长度都相等，直径的长度都相等，直径的长度是半径长度的2倍。d＝2r，或r＝d。 2.圆的周长 （1）定义：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。 （2）圆周率：圆的周长和它直径的比值叫做圆周率，用字母π表示，π≈3.14。它是一个无限不循环小数。 （3）圆的周长公式：C＝πd＝2πr。已知圆的半径或直径，可根据公式求出圆的周长。 （4）半圆的周长：，或。 3.圆的面积 （1）定义：圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母S表示。 （2）圆的面积公式的推导：把一个圆切成若干偶数等分，拼成一个长方形。拼成的长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。 （3）圆的面积公式：S＝πr2。 4.圆环 （1）两个半径不相等的同心圆之间的部分叫做圆环。 （2）计算公式： ，或 。 5.扇形 （1）弧的定义：圆上A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。 （2）扇形的定义：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 （3）圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。 【易错点拨】 （1）d=2r仅在“同一个圆或等圆”中成立，若两个圆大小不同（半径不同），则直径与半径的2倍关系不成立。 （2）计算圆环面积时，需先明确“外圆半径（R）” 和“内圆半径（r）”，不能用“外圆直径减内圆直径”再算半径。 （3）扇形的大小和半径的长短、圆心角的大小有关。 知识点05：平面图形周长和面积公式汇总 图形 周长公式 面积公式 三角形 三角形的周长＝三边之和 三角形的面积＝底×高÷2 直角三角形面积＝直角边×直角边÷2 长方形 C＝2×（a＋b） 其中a、b分别为长方形的长和宽。 S＝a×b 其中a、b分别为长方形的长和宽。 正方形 C＝4a 其中C表示周长，a表示边长。 S＝a2 其中S表示面积，a表示边长。 平行四边形 C＝2×（a＋b） 其中a、b分别为平行四边形的相邻两边的长 S＝a×h 其中a为底边长，h为这条底边对应的高 梯形 C＝a＋b＋c＋d 其中a、b为梯形的上底和下底，c、d为梯形的两腰 S＝（a＋b）×h÷2 其中a、b分别为梯形的上底和下底，h为梯形的高 圆 C＝πd＝2πr S＝πr2 半圆 或 S＝πr2÷2 圆环 或 知识点06：组合图形的面积、不规则图形面积、阴影部分面积 1.组合图形的面积 （1）定义：组合图形是由两个或两个以上的简单图形（如长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等）组合而成的图形。 （2）核心思路：先通过拆分或割补转化为基本图形，再计算各部分面积，最后通过求和或求差得到组合图形的面积。 （3）解题方法 ①拆分法：将组合图形拆分为几个规则的基本图形，分别计算面积后求和。 ②割补法：通过切割、平移、拼接，将组合图形补成一个完整的基本图形，用补成图形的面积减去多余部分的面积。 2.不规则图形面积 （1）估算方法：方格法 将不规则图形放在方格纸上，数出图形所占的方格数。不满一格的，根据具体情况进行估算，一般可以把不满一格的当作半格计算，最后统计出总面积。 （2）精确计算方法：转化法 通过平移、旋转、对称等方法将不规则图形转化为规则图形，再进行计算。 3.阴影部分面积 计算方法 （1）直接法：如果阴影部分是一个规则的图形，可直接根据相应的面积公式进行计算。 （2）整体减空白法：先计算出整个图形的面积，再减去空白部分的面积，得到阴影部分的面积。 （3）割补法：通过割补将阴影部分转化为规则图形或便于计算的图形。 【易错点拨】 （1）拆分时需按图形的明显边界或对称特征进行，确保每个基本图形无重叠、无遗漏。 （2）同一组合图形可能有多种拆分方式，优先选择计算步骤少、数据简单的方法（如能补成正方形的，不拆为多个小图形）。 （3）解决半圆、圆环或与其他图形组合的周长时，需明确“周长包含哪些部分”（如半圆的周长=圆周长的一半+直径，不是仅圆周长的一半），避免漏算关键线段或曲线。 考点01：线的认识、平行与垂直 【典型例题】为了自己和他人的安全，过马路时要走人行横道。 （1）如果小康要从A点过马路，那么怎样走路线最短？请你在图中画一画。 （2）如果小康的步行速度是每秒50厘米，按照最短路线行走，他过马路用了18秒，那么这条马路宽多少米？ 【变式训练】下面四个生活场景，可以用“两点之间，线段最短”来解释的有（     ）个。 A．0 B．1 C．2 D．3 考点02：角的认识与角的度量 【典型例题1】龙龙和君君各买了一个同样的风筝（风筝线长度也相同），他们想比赛看谁的风筝飞得更高。比赛过程中，他们将风筝线的一端固定在了地面上（如下图）。 （1）量一量：∠1＝（ ）°，∠2＝ （ ）°。 （2）想一想：当风筝线一样长且完全放开时，风筝线与地面的夹角度数越（ ）（填“大”或“小”），那么风筝飞得就越高。 【典型例题2】把一张长方形纸片折起来（如下图），已知∠1＝50°，求∠2的度数。 【变式训练】小明用量角器分别量出了下面三个角的度数，其中错误的是（     ）。 A． B． C． 考点03：三角形的特性和分类 【典型例题】如果等腰三角形的其中两个角的和是130度，则顶角是（ ）度或（ ）度。 【变式训练】下面分别是三根小棒长度的比，根据这个比，下面选项中的三根小棒能围成三角形的是（     ）。 A．5∶3∶2 B．7∶3∶3 C．3∶4∶5 D．4∶6∶10 考点04：三角形的内角和 【典型例题】如果等腰三角形的其中两个角的和是130度，则顶角是（ ）度或（ ）度。 【变式训练1】如图，∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 【变式训练2】一个直角三角形两个锐角的度数比是，这两个锐角分别是（ ）度和（ ）度。 考点05：三角形周长与面积 【典型例题1】一块直角三角形菜地的周长是180米，它的三条边的长度比是3∶4∶5，如果画在比例尺是1∶500的图纸上，那么菜地的图上面积是（ ）平方厘米。 【典型例题2】等腰三角形其中两条边长分别为6cm和10cm，它的周长是（     ）。 A．16cm B．22cm或26cm C．22cm D．26cm 【变式训练】有一块三角形的菜地，底18米，高24米。如果每平方米能收获13千克萝卜。这块地一共可以收获多少千克萝卜？ 考点06：长方形、正方形的周长 【典型例题1】将一个正方形的一条边增加，另一条边增加，使它变成长方形，现在长方形与原来正方形的周长比是（     ）。 A．3∶2 B．4∶3 C．2∶1 D．17∶12 【典型例题2】一个正方形的边长减少它的25%后，得到的新正方形的周长是60厘米。原正方形的边长是多少米？ 【变式训练】张爷爷收藏了一幅长方形的《墨梅图》，它的周长是160厘米，长与宽的比是5∶3。这幅画的面积是多少平方厘米？ 考点07：长方形、正方形的面积 【典型例题1】一年一度的白马山小学“书香班级”评选开始啦，五（2）班的孩子们设计做成一个无盖的纸盒来收集大家的阅读手抄报，需要用到一块长35厘米、宽30厘米的硬纸壳。从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，这个纸盒的容积是多少？这个纸盒的表面积是多少？ 【典型例题2】丽丽在一张长方形纸条上画了三个三角形图案，这张纸条的面积是120平方厘米，那么这三个三角形图案的面积之和是（ ）平方厘米。 【变式训练】甲、乙两个长方形的周长都是40厘米，甲的长与宽的比是3∶2，乙的长与宽的比是3∶1，甲与乙的面积比是（ ）。 考点08：平行四边形的周长与面积 【典型例题1】如图，一个平行四边形和一个三角形等底等高，它们的面积之和是78平方厘米，它们的面积分别是多少平方厘米？ 【典型例题2】两个完全一样的梯形，上底是4厘米，下底是5厘米。两腰分别长3厘米和4厘米，若把它们拼成一个平行四边形，则这个平行四边形的周长可能是（     ）厘米。 A．24 B．22 C．30 D．23 【变式训练】一个平行四边形相邻的两条边分别是10cm，8cm，其中一条边上的高为9cm，则这个平行四边形的面积是（     ）平方厘米。 A．72 B．80 C．90 D．不确定 考点09：梯形的周长与面积 【典型例题】如图是一个靠墙围成的直角梯形果园，果园的篱笆长75米。 （1）这个果园的面积是多少平方米？ （2）如果每棵果树占地9平方米，那么这个果园一共可以种多少棵果树？ 【变式训练1】一个梯形的下底是上底的3倍，如果将上底延长6厘米，就成了一个平行四边形，上底是（ ）厘米，下底是（ ）厘米。 【变式训练2】在推导梯形面积计算公式时，在课本中我们是把两个完全一样的梯形拼成了一个平行四边形。课堂上，同学们还想出了其他的方法。丁丁这样想：“可以把梯形分割成两个三角形（如下图），来推导梯形的面积计算公式。” （1）请你按照他的思路可以在图中画一画、写一写，推导出梯形的面积计算公式。（保留推导过程） （2）如果这是一个梯形的种植地，上底是10米，下底是20米，高是8米。这个种植地的面积是多少平方米？ 考点10：圆的周长 【典型例题】小明用圆规画了一个圆，结果发现圆小了，他将圆规两脚张开的距离增加了1厘米再画圆，新的圆比原来圆的周长增加（     ）厘米。 A．3.14 B．6.28 C．9.42 D．12.56 【变式训练1】如图，把一个用草绳编织成的圆形垫片沿半径剪开，拼成一个近似的等腰三角形。三角形的高相当于圆形垫片的（ ），底相当于圆形垫片的（ ）。如果三角形的底是12.56厘米，那么圆形垫片的面积是（ ）平方厘米。 【变式训练2】六一儿童节，爸爸给小健买了一辆自行车，前齿轮有40个齿，后齿轮有20个齿，车轮直径约70cm。小健蹬一圈脚踏板，自行车能前进（ ）cm。 考点11：半圆的周长 【典型例题】如图所示：赛车甲、乙分别按两种路线进行比赛，则下列说法正确的是（     ）。 A．赛车甲走的路程长，比赛不公平 B．赛车乙走的路程长，比赛不公平 C．赛车甲、乙走的路程相同 【变式训练】一个长12dm、宽6dm的长方形，如果在里面画一个最大的圆，这个圆的面积是（ ）；如果画一个最大的半圆，半圆的周长是（ ）dm。 考点12：圆的面积 【典型例题】欢欢在长为12cm、宽为4cm的长方形纸上剪一个最大的半圆制作宣传图标，这个半圆的半径是（ ）cm，周长是（ ）cm，面积是（ ）cm2。 【变式训练1】团扇起源于中国，是一种圆形有柄的扇子。刘阿姨制作一把团扇，准备了12.56dm的竹条做圆形扇框，正好用完。这把团扇的面积是（ ）dm²。（扇柄忽略不计） 【变式训练2】北京天坛公园的回音壁是闻名世界的声学奇迹，回音壁有回音效果的原因是皇穹宇围墙的建造符合了声学的传音原理。它是一道圆形的围墙，墙体坚硬光滑，是声波的良好反射体，又因圆周曲率准确，声波可沿墙内面连续反射，向前传播。它的圆形围墙周长大约为204米，请你算一算它的面积是多少。（π取3） 考点13：圆环的面积 【典型例题】圆形荷花池直径是30米，它的外围有一条2米宽的圆环形碎石小路，这条小路面积约是多少平方米？（得数保留整数） 【变式训练】峰峰和爸爸一起改造家里的旧圆桌。他们打算在桌面上铺一块圆形的防烫垫，但希望桌子边缘留出20厘米宽的边，用来摆放碗筷。已知这张圆桌的直径是1.4米，防烫垫的直径应该是（ ）米，它的面积大约是（ ）平方米。 考点14：弧、圆心角、扇形 【典型例题】“黄金螺旋线”是一种优美的螺旋曲线，它可以用大小不同的、圆心角是90°的扇形弧线画出来（如下图）。第一步中扇形的半径是1cm，按下图的方法继续画，第五步画的弧长为（ ）cm。（π取3.14） 【变式训练1】一个扇形所在圆的半径是5cm，圆心角是72°，这个扇形的面积是（ ），弧长是（ ）cm。（π取3.14） 【变式训练2】一张正方形纸的边长是8厘米，如果从纸上剪下一个最大的扇形，那么这个扇形的圆心角是（ ），半径是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 考点15：含多边形的组合图形的周长与面积 【典型例题】下图是由一个三角形和一个平行四边形组成的。已知AG＝8厘米，BF＝5厘米，FB⊥BC，涂色部分的面积是50平方厘米，四边形ABFC的面积是（ ）平方厘米。 【变式训练】像这样把一个三角形沿虚线折叠后得到图2，这个多边形的面积是原三角形面积的，已知图2中阴影部分的面积和为24平方厘米，那么原三角形的面积是（ ）平方厘米。 考点16：含圆的组合图形的周长与面积 【典型例题】校园内有一个花坛（如图），它的中心是一个边长为10米的正方形，周围是4个半圆，这个花坛的周长是多少？面积是多少？（圆周率取3.14） 【变式训练】先测量出需要的数据（取整厘米数），用圆规画出和下面一样的图形，并涂上颜色，再求出空白部分的面积。 考点17：不规则图形的面积 【典型例题】2025年第十一届中国花卉博览会将在郑州举办。花博会执委会办公室面向公众征集会徽、吉祥物、会花、会歌、宣传口号。五年级亮亮同学积极参与这项活动。下图为亮亮设计的吉祥物，用下面（    ）的方法估计吉祥物图案的面积比较合适。（每个小方格的边长表示1dm） 郑郑：方格纸的面积约为64平方分米，设计图面积约占方格纸的一半。 州州：把它看成一个高为6分米，底为5分米的三角形进行估算。 中中：方格纸上满格有14格，不满格的有20格，不满一格的都按照半格计算。 A．郑郑 B．州州 C．中中 【变式训练】手影是民间儿童游戏，通过形似，启发儿童的联想思维。楷楷参加了手影兴趣班，学到了做下面图案，请你填一填。（每个小方格的面积是1平方厘米，不满整格的按半格算） 整格（ ）个，不满整格（ ）个，面积大约是（ ）平方厘米。 考点18：阴影部分的周长和面积 【典型例题】【自主探究】下面是巧用“”求圆面积的解题思路。（本题中取3.14）如图1所示，正方形的边长等于圆的半径，正方形的面积就是，因为正方形的面积是10平方厘米，也就是是10，又因为，所以圆的面积就是（平方厘米）。 【问题解决】根据上面的思路解决以下问题： （1）如图2，长方形ABCD的面积为24平方厘米，阴影部分的面积是多少？ （2）如图3，等腰直角三角形的面积是12平方厘米， 。阴影部分（半圆形）的面积是多少？    【变式训练1】计算下图中阴影部分的面积。（π取3.14） 【变式训练2】求阴影部分的面积（单位：cm）。 一、选择题 1．下列图形中，空白部分与阴影部分的周长和面积都相等的是（     ）。 A． B． C． D． 2．在一个正方形里画一个最大的圆，这个圆的面积是正方形面积的（     ）。 A． B． C． D． 3．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面半径与高的比是（     ）。 A． B． C． D． 4．两根木棒的长分别是5cm，8cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果三角形的周长为奇数，那么第三根木棒的取值情况有（     ）种。 A．4 B．5 C．8 D．9 5．一个挂钟的分针长20cm，经过小时后，这根分针的尖端所走过的路程是（     ）。 A．94.2cm B．942cm C．47.1cm D．471cm 6．如图中的正方形部分是一个水池，其余部分是草坪，已知正方形的面积是300m2。草坪的面积是（     ）m2。 A． B． C． D．无法确定 7．一个三角形，三个内角度数的比是1∶2∶3，这个三角形是（     ）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 8．已知线段AB，延长BA到C，使，D为AC中点，且CD＝2，那么线段AB的长为（     ）。 A．4 B．6 C．8 D．10 9．如图是由3个半圆组成的图形，图中阴影部分的周长是（     ）厘米。 A． B．3aπ C． D．3aπ＋6a 10．如图，在一个等边三角形中画一个尽可能大的圆，又在这个圆中画一个尽可能大的等边三角形。图中小等边三角形的面积相当于大等边三角形面积的（     ）。 A． B． C． D． 二、填空题 11．一个直角三角形三条边的长度分别为5厘米，12厘米，13厘米，直角三角形的面积为（ ）平方厘米。 12．一个40°的角，透过放大5倍的放大镜看，这个角是（ ）。 13．在推导圆的面积公式时，将圆等分成若干份，拼成一个近似的长方形。已知长方形的长比宽多6.42厘米，圆的面积是（ ）平方厘米。 14．学校操场是一个长方形，画在比例尺是1∶2000的平面图上，长是3厘米，宽是2厘米，学校操场实际面积是（ ）平方米。 15．小清同学拿到一块漂亮的三角板模块，经过测量，他发现三个内角之比为2∶3∶4，相信聪明的你一定判断出了该三角形的形状，那就是（ ）。 16．在一张长方形纸上画一个棱长4厘米的正方体展开图，这张长方形的面积至少是（ ）平方厘米。 17．图中，若圆形的位置是（2，3），则三角形的位置是（ ）；如果三角形的面积是0.5cm2，则圆的面积是（ ）cm2。 18．正方形ABCD中，AC＝4，分别以A、B、C、D为圆心，2为半径画弧，得到如下图形，则阴影部分的面积为（ ）。（π取3） 19．把一个圆平均分成若干份，再拼成一个近似的长方形（如图）。如果这个近似长方形的周长比原来圆的周长增加了20厘米，那么这个圆的半径是（ ）厘米，它的面积是（ ）平方厘米。 20．如图，E点和F点分别是长方形ABCD的两条对边的中点，G点是AB边上一点，那么空白部分与阴影部分面积的最简整数比是（ ）。 21．一个正方形的一边减少10%，另一边增加10%，得到的长方形的面积是原正方形面积的（ ）。 22．如图，在正方形ABCD的边长为6，以D为圆心，4为半径作圆弧。以C为圆心，6为半径作圆弧。若图中阴影部分的面积分别为S1、S2时，则（ ）。（结果保留π） 23．如图，在三角形ABC中，D、E分别为线段AC、BC上的点，且CD＝3AD，BE＝2EC，连接AE、BD，交于点F，若三角形ADF的面积为1，则三角形ABC的面积为（ ）。 24．图中，小圆的直径是4厘米，大圆的半径是5厘米，让小圆沿大圆外沿滚动一周，小圆的圆心移动的路程是（ ）厘米，小圆扫过的面积是（ ）平方厘米。（π取3.14） 25．如图，直角的斜边，以点为中心，将顺时针旋转，点分别到达点，则边扫过的面积（即图中阴影部分面积）是（ ）。（取3） 26．生活中，人们经常会把同样大小的圆柱形物体捆成一排（横截面如下图）。如果每个圆柱的直径是6cm，粘贴处的胶带长度不计，捆3个需要胶带（ ）cm，捆n个需要（ ）cm。（取3） 27．有一种用来画圆的工具板（如图所示），工具板长21cm，上面依次排列着大小不等的五个圆孔，其中最大圆的直径为3cm，其余圆的直径从左到右依次递减0.2cm，最大圆的左侧距工具板边缘1.5cm，最小圆的右侧距工具板边缘1.5cm，相邻两圆的间距d均相等，则相邻两圆的间距是（ ）cm。 28．如图，ABCD是边长为10厘米的正方形，AB是半圆的直径，则阴影部分的面积是（ ）平方厘米。（π取3.14） 29．如图，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm。D、E分别为BC、AC边上一点。现将三角形ABC沿线段AD对折，使得点E与点B重合。三角形ABC的面积是（ ）cm2，阴影部分三角形CDE的面积是（ ）cm2。 三、计算题 30．求阴影部分面积。 （1） （2） 31．计算阴影部分的面积（单位：厘米，π取3.14） 32．求下图中阴影部分的面积。（单位：cm） 33．如图，三角形ABC的面积为10，AD与BF交于点E，且，求图中阴影部分的面积和。 34．求图中阴影部分的面积。 35．求下图中阴影部分的面积。（取3.14） 36．计算下面阴影部分的面积。（π＝3.14） 37．求下图阴影部分的面积。（单位：cm；π取3.14） 四、解答题 38．如图，半径分别为10、20、40、80的四个圆的圆心在同一条直线上，而且半径为20的圆的圆心在半径为10的圆周上，半径为40的圆的圆心在半径为20的圆周上，半径为80的圆的圆心在半径为40的圆周上，那么阴影部分的面积是多少？（取3.14） 39．图形与操作。 （1）按要求在图中画一画。 （2）计算变化后图形中阴影部分的面积。 （3）你能求出原图中阴影部分的周长吗？试一试。 40．在平行四边形ABCD中，，若三角形CEF的面积等于1，求平行四边形ABCD的面积。 41．鲁洛克斯三角形是一种特殊三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为鲁洛克斯三角形。它的特点是在任何方向上都有相同的宽度，在自行车的车轮、井盖、硬币等方面有应用。如果一个等边三角形的边长是5分米，那么这个鲁洛克斯三角形的周长就等于分米。你认为正确吗？请说明你的理由。 42．如图，在梯形ABCD中，，。若的面积比的面积小8平方厘米，求梯形ABCD的面积。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年小升初数学复习讲练测 第六章：平面图形 （18大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练） （一）知识点梳理 知识点01 线和角 2 知识点02 三角形 3 知识点03 四边形 4 知识点04 圆 6 知识点05 平面图形周长和面积公式汇总 8 知识点06 组合图形的面积、不规则图形面积、阴影部分面积 9 （二）重难点题型讲解 考点01 线的认识、平行与垂直 10 考点02 角的认识与角的度量 11 考点03 三角形的特性和分类 13 考点04 三角形的内角和 15 考点05 三角形周长与面积 16 考点06 长方形、正方形的周长 18 考点07 长方形、正方形的面积 20 考点08 平行四边形的周长与面积 23 考点09 梯形的周长与面积 25 考点10 圆的周长 27 考点11 半圆的周长 29 考点12 圆的面积 30 考点13 圆环的面积 32 考点14 弧、圆心角、扇形 34 考点15 含多边形的组合图形的周长与面积 36 考点16 含圆的组合图形的周长与面积 37 考点17 不规则图形的面积 39 考点18 阴影部分的周长和面积 41 （三）真题演练 真题演练 44 知识点01：线和角 1.线段、直线、射线的认识和特征 2.平行与垂直 （1）垂直 ①定义：在同一平面内，如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 ②过直线外一点只能画一条已知直线的垂线。 （2）平行 ①定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。两条平行线之间的距离处处相等。 ②平行线之间的距离处处相等。 ③点到直线的所有连线中，垂线段最短。 3.角 （1）角的定义：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 （2）角的分类： 锐角 直角 钝角 平角 周角 0°＜锐角＜90° 直角=90° 90°＜钝角＜180° 平角=180° 周角=360° ①锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角； ②1平角＝2直角，1周角＝2平角＝4直角。 （3）角的度量 角的度量方法：核心是“两对齐，一读数”，步骤如下： ①点对齐：将量角器的中心点与角的顶点完全对齐； ②线对齐：将量角器的0°刻度线与角的一条边完全对齐（这条边作为“基准边”）； ③读刻度：看角的另一条边所对应的量角器刻度，这个刻度值就是角的度数（注意区分内圈和外圈刻度）。 ④刻度的选择技巧：若基准边对齐的是“内圈0°”，则读内圈刻度；若对齐的是“外圈0°”，则读外圈刻度。 （4）角的大小比较 比较角的大小可以用叠合法，将两个角的顶点及一条边重合，另一条边在重合边的同侧，根据另一条边的位置来比较角的大小；也可以用量角器测量出角的度数，再比较度数的大小。 （5）角的画法 先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合；在量角器上找到要画的角的度数的刻度线，并点上一个点；以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，就得到了要画的角。 【易错点拨】 （1）直线、射线不能比较长短。 （2）角的大小与边长短无关，只与张口大小有关。 （3）画垂线、直角要记得标符号。 知识点02：三角形 1.三角形的定义：由三条线段首尾顺次相接围成的封闭图形叫做三角形。 2.三角形的特性 （1）稳定性：三角形具有稳定性，例如自行车的车架、篮球架等都是利用了三角形的稳定性。 （2）三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 3.三角形的分类 （1）按角分： 类型 核心特征 注意 锐角三角形 3个角都是锐角（小于90°） 三个角的度数都需满足锐角条件 直角三角形 有1个角是直角（等于90°） 另外2个角一定是锐角； 有1条高与直角边重合 钝角三角形 有1个角是钝角（大于90°） 另外2个角一定是锐角； 有2条高在三角形外 （2）按边分： 类型 核心特征 注意 不等边三角形 3条边的长度都不相等 无特殊角的要求 等腰三角形 有2条边相等（相等的边叫腰，第三条边叫底；两腰的夹角叫顶角，腰与底的夹角叫底角） 两个底角相等； 可能是锐角、直角或钝角三角形 等边三角形（正三角形） 3条边都相等 三个角都相等，且都是60°； 是特殊的等腰三角形； 一定是锐角三角形 4.三角形的内角和：三角形的内角和是180°。 5.多边形内角和：多边形的内角和＝（边数－2）×180°。 6.三角形的面积 （1）计算公式：三角形的面积＝底×高÷2，用字母表示为S＝ah÷2，其中a表示三角形的底，h表示三角形这条底边对应的高。 （2）直角三角形面积＝直角边×直角边÷2，两条直角边互为底和高。 【易错点拨】 （1）三角形的稳定性是其特有属性，与边的长短无关。 （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。 知识点03：四边形 1.长方形 （1）定义：有一个角是直角的平行四边形叫做长方形。 （2）特征 ①四个角都是直角。 ②对边平行且相等。 ③对角线互相平分且相等。 （3）周长公式：C＝2×（a＋b），其中a、b分别为长方形的长和宽。 （4）面积公式：S＝a×b。 2.正方形 （1）定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 （2）特征 ①边：四条边都相等，对边平行。 ②角：四个角都是直角，即每个角都为90°。 ③对角线：对角线互相垂直、平分且相等，每条对角线平分一组对角。 ④对称性：既是轴对称图形，有4条对称轴，分别是两条对角线所在直线以及两组对边中点连线所在直线；又是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。 （3）周长公式：C＝4a（其中C表示周长，a表示边长）。 （4）面积公式：为S＝a2（其中S表示面积，a表示边长）。 （5）与其他图形的关系 ①正方形是特殊的长方形，当长方形的长和宽相等时就变成了正方形。 ②正方形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，同时又有自己独特的性质。 3.平行四边形 （1）定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 （2）特征 ①两组对边分别平行且相等； ②两组对角分别相等； ③对角线互相平分（对角线是连接平行四边形不相邻两个顶点的线段）； ④具有不稳定性（容易变形，可用于制作伸缩结构）。 （3）周长公式：C＝2×（a＋b），其中a、b分别为平行四边形的相邻两边的长。 （4）面积公式：S＝a×h，其中a为底边长，h为这条底边对应的高。 4.梯形 （1）定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。平行的两边叫做梯形的底，不平行的两边叫做梯形的腰。 （2）各部分名称 ①平行的两组对边分别叫做梯形的上底和下底（通常把较短的底叫上底，较长的底叫下底，也可根据位置区分）； ②不平行的两组对边叫做梯形的腰； ③从梯形一条底边上的一点向对边引垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高（梯形有无数条高，且所有高长度相等）。 （3）特殊梯形 ①等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形同一底上的两个底角相等，对角线相等。 ②直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 （4）周长公式：C＝a＋b＋c＋d，其中a、b为梯形的上底和下底，c、d为梯形的两腰。 （5）面积公式：S＝（a＋b）×h÷2，其中a、b分别为梯形的上底和下底，h为梯形的高。 5.四边形之间的关系 【易错点拨】 （1）等底等高的三角形面积相等。 （2）把长方形拉成平行四边形，周长不变，面积变小。把平行四边形拉成长方形，周长不变，面积变大。 （3）把平行四边形割补成长方形，形状改变，面积不变。 （4）平行四边形的面积是与它等底等高的三角形面积的2倍；三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的一半。 （5）平行四边形的面积是与它等底等高的梯形面积的2倍；梯形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的一半。 知识点04：圆 1.圆的认识 （1）定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。 （2）圆心：圆中心的一点叫做圆心，一般用字母O表示。 （3）半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示。 （4）直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，通常用字母d表示。 （5）圆的特征 ①圆具有对称性，圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴。 ②在同圆或等圆中，半径的长度都相等，直径的长度都相等，直径的长度是半径长度的2倍。d＝2r，或r＝d。 2.圆的周长 （1）定义：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。 （2）圆周率：圆的周长和它直径的比值叫做圆周率，用字母π表示，π≈3.14。它是一个无限不循环小数。 （3）圆的周长公式：C＝πd＝2πr。已知圆的半径或直径，可根据公式求出圆的周长。 （4）半圆的周长：，或。 3.圆的面积 （1）定义：圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母S表示。 （2）圆的面积公式的推导：把一个圆切成若干偶数等分，拼成一个长方形。拼成的长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。 （3）圆的面积公式：S＝πr2。 4.圆环 （1）两个半径不相等的同心圆之间的部分叫做圆环。 （2）计算公式： ，或 。 5.扇形 （1）弧的定义：圆上A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。 （2）扇形的定义：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 （3）圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。 【易错点拨】 （1）d=2r仅在“同一个圆或等圆”中成立，若两个圆大小不同（半径不同），则直径与半径的2倍关系不成立。 （2）计算圆环面积时，需先明确“外圆半径（R）” 和“内圆半径（r）”，不能用“外圆直径减内圆直径”再算半径。 （3）扇形的大小和半径的长短、圆心角的大小有关。 知识点05：平面图形周长和面积公式汇总 图形 周长公式 面积公式 三角形 三角形的周长＝三边之和 三角形的面积＝底×高÷2 直角三角形面积＝直角边×直角边÷2 长方形 C＝2×（a＋b） 其中a、b分别为长方形的长和宽。 S＝a×b 其中a、b分别为长方形的长和宽。 正方形 C＝4a 其中C表示周长，a表示边长。 S＝a2 其中S表示面积，a表示边长。 平行四边形 C＝2×（a＋b） 其中a、b分别为平行四边形的相邻两边的长 S＝a×h 其中a为底边长，h为这条底边对应的高 梯形 C＝a＋b＋c＋d 其中a、b为梯形的上底和下底，c、d为梯形的两腰 S＝（a＋b）×h÷2 其中a、b分别为梯形的上底和下底，h为梯形的高 圆 C＝πd＝2πr S＝πr2 半圆 或 S＝πr2÷2 圆环 或 知识点06：组合图形的面积、不规则图形面积、阴影部分面积 1.组合图形的面积 （1）定义：组合图形是由两个或两个以上的简单图形（如长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等）组合而成的图形。 （2）核心思路：先通过拆分或割补转化为基本图形，再计算各部分面积，最后通过求和或求差得到组合图形的面积。 （3）解题方法 ①拆分法：将组合图形拆分为几个规则的基本图形，分别计算面积后求和。 ②割补法：通过切割、平移、拼接，将组合图形补成一个完整的基本图形，用补成图形的面积减去多余部分的面积。 2.不规则图形面积 （1）估算方法：方格法 将不规则图形放在方格纸上，数出图形所占的方格数。不满一格的，根据具体情况进行估算，一般可以把不满一格的当作半格计算，最后统计出总面积。 （2）精确计算方法：转化法 通过平移、旋转、对称等方法将不规则图形转化为规则图形，再进行计算。 3.阴影部分面积 计算方法 （1）直接法：如果阴影部分是一个规则的图形，可直接根据相应的面积公式进行计算。 （2）整体减空白法：先计算出整个图形的面积，再减去空白部分的面积，得到阴影部分的面积。 （3）割补法：通过割补将阴影部分转化为规则图形或便于计算的图形。 【易错点拨】 （1）拆分时需按图形的明显边界或对称特征进行，确保每个基本图形无重叠、无遗漏。 （2）同一组合图形可能有多种拆分方式，优先选择计算步骤少、数据简单的方法（如能补成正方形的，不拆为多个小图形）。 （3）解决半圆、圆环或与其他图形组合的周长时，需明确“周长包含哪些部分”（如半圆的周长=圆周长的一半+直径，不是仅圆周长的一半），避免漏算关键线段或曲线。 考点01：线的认识、平行与垂直 【典型例题】为了自己和他人的安全，过马路时要走人行横道。 （1）如果小康要从A点过马路，那么怎样走路线最短？请你在图中画一画。 （2）如果小康的步行速度是每秒50厘米，按照最短路线行走，他过马路用了18秒，那么这条马路宽多少米？ 【答案】（1）见详解 （2）9米 【分析】（1）直线外一点到这条直线的所有线段中，垂线段最短，据此过点A作马路的垂线段即可。 （2）路程＝速度×时间，用每秒步行的距离乘用的秒数，即可求出这条马路宽多少厘米，最后根据1米＝100厘米，据此换算成米为单位。 【详解】（1）如图： （2）50×18＝900（厘米） 900厘米＝9米 答：这条马路宽9米。 【变式训练】下面四个生活场景，可以用“两点之间，线段最短”来解释的有（     ）个。 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离。两点之间，线段最短。据此逐项分析解答即可。 【详解】从小明家到学校走线路②：意味着从一个地点到另一个地点，人们会选择路程最短的路径，而在平面上，两点之间的最短路径就是线段，所以走近路也可以用“两点之间，线段最短”来解释。 量跳远距离时是利用了垂线段最短，与“两点之间，线段最短”这一概念无关。 固定木条是利用了两点确定一条直线，与“两点之间，线段最短”这一概念无关。 铅垂线是利用了同一平面内，垂直于同一平面的两条线互相平行，与“两点之间，线段最短”这一概念无关。 可以用“两点之间，线段最短”来解释的有1个。 考点02：角的认识与角的度量 【典型例题1】龙龙和君君各买了一个同样的风筝（风筝线长度也相同），他们想比赛看谁的风筝飞得更高。比赛过程中，他们将风筝线的一端固定在了地面上（如下图）。 （1）量一量：∠1＝（ ）°，∠2＝ （ ）°。 （2）想一想：当风筝线一样长且完全放开时，风筝线与地面的夹角度数越（ ）（填“大”或“小”），那么风筝飞得就越高。 【答案】（1） 75 30 （2）大 【分析】（1）用量角器量角，测量方法：将量角器中心与角的顶点重合，0°刻度线与地面（角的一条边）重合，读取另一条边对应的刻度。 （2）通过观察并对比两个人的风筝的高度，结合量出的角度进行分析。 【详解】（1）量角器量出∠1＝75°，∠2＝ 30°。 （2）因为75°＞30°，龙龙的风筝飞得比君君的风筝高，所以当风筝线一样长且完全放开时，风筝线与地面的夹角度数越大，那么风筝飞得就越高。 【典型例题2】把一张长方形纸片折起来（如下图），已知∠1＝50°，求∠2的度数。 【答案】65° 【分析】根据折痕可知，如图，可以得到∠3、∠2与∠1构成了一个平角，所以，由折叠可得到，∠3∠2，所以，已知∠1的度数，直接将其代入，进行计算便可求出∠2的度数。 【详解】如图： 由折叠可知，， 因为，所以， 答：∠2的度数是65° 【变式训练】小明用量角器分别量出了下面三个角的度数，其中错误的是（     ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】角的度量方法：用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合， 0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 【详解】A．根据分析可知，度量方法正确。         B．根据分析可知，度量方法正确。         C．量角器的中心没有与角的顶点重合，度量方法错误。 故答案为：C 考点03：三角形的特性和分类 【典型例题】如果等腰三角形的其中两个角的和是130度，则顶角是（ ）度或（ ）度。 【答案】 50 80 【分析】因为等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°，所以分两种情况分析：一是这两个角为两个底角，二是这两个角为一个底角和顶角，再结合内角和与等腰三角形的性质分别求顶角。 【详解】等腰三角形内角和为180°，分两种情况： 若两个底角的和是130°，则顶角：180°－130°＝50° 若一个底角与顶角的和是130°，则底角：180°－130°＝50° 顶角：180°－50°×2 ＝180°－100° ＝80° 顶角是50度或80度。 【变式训练】下面分别是三根小棒长度的比，根据这个比，下面选项中的三根小棒能围成三角形的是（     ）。 A．5∶3∶2 B．7∶3∶3 C．3∶4∶5 D．4∶6∶10 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），对每个选项中三根小棒的长度比进行判断，假设每一份长度为1，计算具体边长后验证条件。 【详解】A．假设每一份长度为1，则三根小棒长度分别为5、3、2。因为3＋2＝5，5＝5，不满足“任意两边之和大于第三边”，因此，选项A的三根小棒不能围成三角形。 B．假设每一份长度为1，则三根小棒长度分别为7、3、3。因为3＋3＝6，6＜7，不满足“任意两边之和大于第三边”，因此，选项B的三根小棒不能围成三角形。 C．假设每一份长度为1，则三根小棒长度分别为3、4、5。因为3＋4＝7，7＞5；3＋5＝8，8＞4；4＋5＝9，9＞3，满足“任意两边之和大于第三边”。5－3＝2，2＜4；5－4＝1，1＜3；4－3＝1，1＜5，满足“任意两边之差小于第三边”，因此，选项C的三根小棒能围成三角形。 D．假设每一份长度为1，则三根小棒长度分别为4、6、10。因为4＋6＝10，10＝10，不满足“任意两边之和大于第三边”，因此，选项D的三根小棒不能围成三角形。 考点04：三角形的内角和 【典型例题】如果等腰三角形的其中两个角的和是130度，则顶角是（ ）度或（ ）度。 【答案】 50 80 【分析】因为等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°，所以分两种情况分析：一是这两个角为两个底角，二是这两个角为一个底角和顶角，再结合内角和与等腰三角形的性质分别求顶角。 【详解】等腰三角形内角和为180°，分两种情况： 若两个底角的和是130°，则顶角：180°－130°＝50° 若一个底角与顶角的和是130°，则底角：180°－130°＝50° 顶角：180°－50°×2 ＝180°－100° ＝80° 顶角是50度或80度。 【变式训练1】如图，∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 【答案】 50 22 【分析】在包含∠1的直角三角形中，根据三角形内角和等于180°，用180°减去90°和已知的40°，即可求出∠1的角度；在包含∠2的直角三角形中，根据三角形内角和等于180°，用180°减去90°，再减去已知的18°与∠1的度数和，求出∠2的角度。 【详解】∠1＝180°－90°－40° ＝90°－40° ＝50° ∠2＝180°－90°－（18°＋50°） ＝90°－68° ＝22° 【变式训练2】一个直角三角形两个锐角的度数比是，这两个锐角分别是（ ）度和（ ）度。 【答案】 30 60 【分析】直角三角形中两个锐角的和是90度，共1＋2＝3份，用两个锐角的和除以3求出每份的度数，用每份的度数分别乘1、乘2即可求出两个锐角的度数。 【详解】90÷（1＋2） ＝90÷3 ＝30（度） 30×1＝30（度） 30×2＝60（度） 考点05：三角形周长与面积 【典型例题1】一块直角三角形菜地的周长是180米，它的三条边的长度比是3∶4∶5，如果画在比例尺是1∶500的图纸上，那么菜地的图上面积是（ ）平方厘米。 【答案】54 【分析】先根据三条边的长度比求出总份数，再用周长除以总份数，求出每份的长度；根据直角三角形的特征，确定两条较短的边为直角边；用每份的长度分别乘两条较短的边对应的份数求出两条直角边的长度；接着将实际长度的单位由米换算成厘米；然后利用比例尺公式“图上距离＝实际距离×比例尺”求出图上的两条直角边长度；最后根据三角形面积公式“底×高÷2”求出图上的面积。 【详解】180÷（3＋4＋5） ＝180÷12 ＝15（米） 15×3＝45（米） 15×4＝60（米） 45米＝4500厘米 60米＝6000厘米 4500×＝9（厘米） 6000×＝12（厘米） 9×12÷2 ＝108÷2 ＝54（平方厘米） 【典型例题2】等腰三角形其中两条边长分别为6cm和10cm，它的周长是（     ）。 A．16cm B．22cm或26cm C．22cm D．26cm 【答案】B 【分析】分类讨论腰长是哪一条边，并通过 “三角形任意两边之和大于第三边”，验证三条边能否组成三角形，再计算三条边之和，求出周长。 【详解】情况一：当腰长为6cm时，此时三角形的三条边长分别为：6cm、6cm、10cm。 6＋6＝12（cm） 12＞10，因为两边之和大于第三边，所以这三条边能组成三角形。 周长：6＋6＋10＝22（cm） 情况二：当腰长为10cm时，此时三角形的三条边长分别为：6cm、10cm、10cm。 10＋6＝16（cm） 16＞10，因为两边之和大于第三边，所以这三条边也能组成三角形。 周长：10＋10＋6＝26（cm） 综合以上两种情况，该等腰三角形的周长可能是22cm或26cm。 【变式训练】有一块三角形的菜地，底18米，高24米。如果每平方米能收获13千克萝卜。这块地一共可以收获多少千克萝卜？ 【答案】2808千克 【分析】先根据三角形面积＝底×高÷2，求出这块三角形菜地的面积；然后根据总收获量＝每平方米收获量×面积，计算出这块地一共可以收获萝卜的质量。 【详解】18×24÷2 ＝432÷2 ＝216（平方米） 216×13＝2808（千克） 答：这块地一共可以收获2808千克萝卜。 考点06：长方形、正方形的周长 【典型例题1】将一个正方形的一条边增加，另一条边增加，使它变成长方形，现在长方形与原来正方形的周长比是（     ）。 A．3∶2 B．4∶3 C．2∶1 D．17∶12 【答案】D 【分析】假设原来正方形的边长为6，把边长看作单位“1”，一条边增加，另一条边增加，则一条边是原来的（1＋），另一条边是原来的（1＋），根据分数乘法的意义，分别用6×（1＋）和6×（1＋）即可求出长方形的长和宽，再根据长方形、正方形的周长公式，求出前后变化的周长，进而求出它们的比，再化简即可。 【详解】假设原来正方形的边长为6， 6×（1＋） ＝6× ＝9 6×（1＋） ＝6× ＝8 （9＋8）×2 ＝17×2 ＝34 6×4＝24 34∶24 ＝（34÷2）∶（24÷2） ＝17∶12 现在长方形与原来正方形的周长比是7∶12。 故答案为：D 【典型例题2】一个正方形的边长减少它的25%后，得到的新正方形的周长是60厘米。原正方形的边长是多少米？ 【答案】0.2米 【分析】已知新正方形的周长是60厘米，根据正方形周长公式：正方形周长＝边长×4，变形可得边长＝周长÷4，求出新正方形的边长。再根据“原边长减少25%后得到新边长”，把原边长看作单位“1”，则新边长是原边长的（1－25%），根据“已知比一个数少百分之几的数是多少，求这个数，用除法计算”，用新边长除以（1－25%）求出原边长，再根据1米＝100厘米，进行单位换算即可。 【详解】60÷4＝15（厘米） 15÷（1－25%） ＝15÷0.75 ＝20（厘米） 20厘米＝0.2米 答：原正方形的边长是0.2米。 【变式训练】张爷爷收藏了一幅长方形的《墨梅图》，它的周长是160厘米，长与宽的比是5∶3。这幅画的面积是多少平方厘米？ 【答案】1500平方厘米 【分析】根据长方形的周长公式，周长除以2即可求出长与宽的和。已知长与宽的比是5∶3，将长与宽的和看作单位“1”，平均分成8份，利用按比分配的方法分别求出长和宽的长度，最后根据长方形的面积＝长×宽，代入数据即可。 【详解】长与宽的和：（厘米） 总份数： 长：（厘米） 宽：（厘米） 面积：（平方厘米） 答：这幅画的面积是1500平方厘米。 考点07：长方形、正方形的面积 【典型例题1】一年一度的白马山小学“书香班级”评选开始啦，五（2）班的孩子们设计做成一个无盖的纸盒来收集大家的阅读手抄报，需要用到一块长35厘米、宽30厘米的硬纸壳。从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，这个纸盒的容积是多少？这个纸盒的表面积是多少？ 【答案】2500立方厘米，950平方厘米 【分析】四个角各切掉边长5厘米的正方形，所以纸盒的长是35－5×2，宽是30－5×2，高是5厘米，再用长方体的体积公式求出它的容积。 用长方形原面积减去切掉的四个小正方形的面积即可得到纸盒的表面积。 【详解】纸盒的长： 35－5×2 ＝35－10 ＝25（厘米） 纸盒的宽： 30－5×2 ＝30－10 ＝20（厘米） 高：5厘米 25×20×5 ＝500×5 ＝2500（立方厘米） 35×30＝1050（平方厘米） 5×5×4＝100（平方厘米） 1050－100＝950（平方厘米） 答：这个纸盒的容积是2500立方厘米，表面积是950平方厘米。 【典型例题2】丽丽在一张长方形纸条上画了三个三角形图案，这张纸条的面积是120平方厘米，那么这三个三角形图案的面积之和是（ ）平方厘米。 【答案】60 【分析】观察图形可知三个三角形的高均等于长方形的宽，三个三角形的底之和等于长方形的长。利用长方形面积＝长×宽，三角形面积公式S＝底×高÷2，推导出三角形面积是长方形面积的一半，据此求出三角形面积和。 【详解】三个三角形面积是长方形面积的一半。 120÷2＝60（平方厘米） 【变式训练】甲、乙两个长方形的周长都是40厘米，甲的长与宽的比是3∶2，乙的长与宽的比是3∶1，甲与乙的面积比是（ ）。 【答案】32∶25 【分析】用周长除以2算出长和宽的和，用和除以总份数算出每份的数值，再分别乘长或宽的份数算出长和宽；根据长方形的面积＝长×宽，算出甲乙的面积，再写出它们的面积之比，再化简即可。 【详解】甲长方形的长：（40÷2）÷（3＋2）×3 ＝20÷5×3 ＝12（厘米） 甲长方形的宽：（40÷2）÷（3＋2）×2 ＝20÷5×2 ＝8（厘米） 甲长方形的面积：12×8＝96（平方厘米） 乙长方形的长：（40÷2）÷（3＋1）×3 ＝20÷4×3 ＝15（厘米） 乙长方形的宽：（40÷2）÷（3＋1）×1 ＝20÷4×1 ＝5（厘米） 乙长方形的面积：15×5＝75（平方厘米） 96∶75＝（96÷3）∶（75÷3）＝32∶25 考点08：平行四边形的周长与面积 【典型例题1】如图，一个平行四边形和一个三角形等底等高，它们的面积之和是78平方厘米，它们的面积分别是多少平方厘米？ 【答案】平行四边形52平方厘米；三角形26平方厘米 【分析】等底等高的平行四边形的面积是三角形面积的2倍。根据平行四边形和三角形的面积之和是78平方厘米这一等量关系，将三角形的面积设为平方厘米，利用等量关系列方程求解。 【详解】解：设三角形的面积为平方厘米，则平行四边形的面积为2平方厘米。 （平方厘米） 答：平行四边形的面积是52平方厘米，三角形的面积是26平方厘米。 【典型例题2】两个完全一样的梯形，上底是4厘米，下底是5厘米。两腰分别长3厘米和4厘米，若把它们拼成一个平行四边形，则这个平行四边形的周长可能是（     ）厘米。 A．24 B．22 C．30 D．23 【答案】A 【分析】根据题意可得，这个平行四边形的两条邻边分别长：5＋4＝9（厘米）、3厘米，或5＋4＝9（厘米）、4厘米。然后根据这个平行四边形的周长＝两条邻边的长度和×2解答即可。 【详解】拼成的平行四边形的两条邻边分别长： 5＋4＝9（厘米）、3厘米，或5＋4＝9（厘米）、4厘米。 所以周长可能是： （9＋3）×2 ＝12×2 ＝24（厘米） （9＋4）×2 ＝13×2 ＝26（厘米） 这个平行四边形的周长可能是24厘米或26厘米。 故答案为：A 【变式训练】一个平行四边形相邻的两条边分别是10cm，8cm，其中一条边上的高为9cm，则这个平行四边形的面积是（     ）平方厘米。 A．72 B．80 C．90 D．不确定 【答案】A 【分析】平行四边形面积计算公式为：底边×对应的高。题目中给出两边分别为8cm和10cm，其中一边的高为9cm。需确定高对应的底边。若高9cm对应8cm的底边，邻边为10cm，边长和高度的关系满足另一边的长度≥高，即10＞9；若高9cm对应10cm的底边，但在平行四边形中，边长和高度的关系需满足另一边的长度≥高（即高度不可能超过相邻边的长度），8＜9，所以这种情况不成立。 【详解】①若高9cm对应8cm的底边，边长和高度的关系满足另一边的长度≥高，即10＞9： 面积为：8×9＝72（平方厘米）； ②若高9cm对应10cm的底边，边长和高度的关系不满足另一边的长度≥高（高度超过相邻边的长度），9＞8，所以不成立。 这个平行四边形的面积是72平方厘米。 考点09：梯形的周长与面积 【典型例题】如图是一个靠墙围成的直角梯形果园，果园的篱笆长75米。 （1）这个果园的面积是多少平方米？ （2）如果每棵果树占地9平方米，那么这个果园一共可以种多少棵果树？ 【答案】（1）675平方米 （2）75棵 【分析】（1）篱笆长－高＝上下底的和，梯形面积＝上下底的和×高÷2； （2）果园面积÷每棵果树占地面积＝果树棵数。 【详解】（1）（75－30）×30÷2 ＝45×30÷2 ＝675（平方米） 答：这个果园的面积是675平方米。 （2）675÷9＝75（棵） 答：这个果园一共可以种75棵果树。 【变式训练1】一个梯形的下底是上底的3倍，如果将上底延长6厘米，就成了一个平行四边形，上底是（ ）厘米，下底是（ ）厘米。 【答案】 3 9 【分析】平行四边形对边相等：将上底看作1份，下底是3份，份数差对应的长度即为6厘米，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法，求出上底的长，进而求出下底的长。 【详解】上底：6÷（3－1） ＝6÷2 ＝3（厘米） 下底：3×3＝9（厘米） 【变式训练2】在推导梯形面积计算公式时，在课本中我们是把两个完全一样的梯形拼成了一个平行四边形。课堂上，同学们还想出了其他的方法。丁丁这样想：“可以把梯形分割成两个三角形（如下图），来推导梯形的面积计算公式。” （1）请你按照他的思路可以在图中画一画、写一写，推导出梯形的面积计算公式。（保留推导过程） （2）如果这是一个梯形的种植地，上底是10米，下底是20米，高是8米。这个种植地的面积是多少平方米？ 【答案】（1）见详解 （2）120平方米 【分析】（1）丁丁用分割法把梯形分成两个三角形，根据三角形面积＝底×高÷2，分别求出两个三角形的面积，再相加，推导出梯形的面积公式。 （2）根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此解答。 【详解】（1）丁丁的方法，如图： 梯形面积＝三角形①的面积＋三角形②的面积 a×h÷2＋b×h÷2＝（a＋b）×h÷2 所以梯形面积＝（a＋b）×h÷2。 （2）（10＋20）×8÷2 ＝30×8÷2 ＝240÷2 ＝120（平方米） 答：这个种植地的面积是120平方米。 考点10：圆的周长 【典型例题】小明用圆规画了一个圆，结果发现圆小了，他将圆规两脚张开的距离增加了1厘米再画圆，新的圆比原来圆的周长增加（     ）厘米。 A．3.14 B．6.28 C．9.42 D．12.56 【答案】B 【分析】圆规两脚张开的距离即为圆的半径。圆的周长公式为（为半径）。当半径增加时，周长的增加量等于乘半径的增加量，与原来半径的大小无关。 【详解】原来圆的半径为厘米。 原来圆的周长为厘米。 新的圆的半径为厘米。 新的圆的周长为厘米。 周长增加量为： （厘米） 新的圆比原来圆的周长增加6.28厘米。 【变式训练1】如图，把一个用草绳编织成的圆形垫片沿半径剪开，拼成一个近似的等腰三角形。三角形的高相当于圆形垫片的（ ），底相当于圆形垫片的（ ）。如果三角形的底是12.56厘米，那么圆形垫片的面积是（ ）平方厘米。 【答案】 半径 周长 12.56 【分析】根据题意，把圆沿半径剪开，拼成一个近似的等腰三角形，圆的半径为三角形顶点到底边的垂直高度，三角形底为剪开的扇形弧长的总长，即是圆的周长；先根据圆的周长公式，求出圆的半径，再根据圆的面积公式，求出圆的面积。 【详解】把圆形垫片沿半径剪开，拼成一个近似的等腰三角形，三角形的高相当于圆形垫片的半径，底相当于圆形垫片的周长。 圆形垫片的半径： 12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 圆形垫片的面积： 【变式训练2】六一儿童节，爸爸给小健买了一辆自行车，前齿轮有40个齿，后齿轮有20个齿，车轮直径约70cm。小健蹬一圈脚踏板，自行车能前进（ ）cm。 【答案】439.6 【分析】链条传动时，前齿轮转1圈，链条会带动后齿轮转的圈数＝前齿轮齿数÷后齿轮齿数，圆的周长＝（取3.14，d是直径），自行车前进的距离＝后轮周长×后轮转的圈数。 【详解】40÷20＝2（圈） 3.14×70＝219.8（cm） 219.8×2＝439.6（cm） 考点11：半圆的周长 【典型例题】如图所示：赛车甲、乙分别按两种路线进行比赛，则下列说法正确的是（     ）。 A．赛车甲走的路程长，比赛不公平 B．赛车乙走的路程长，比赛不公平 C．赛车甲、乙走的路程相同 【答案】C 【分析】把大半圆直径看作三个小半圆直径之和，分别计算两条路线的弧长，会发现两段路程长度相等，因此比赛公平。 【详解】假设三个小半圆的直径分别是4、2、2，那么大半圆的直径就是4＋2＋2＝8。 计算赛车甲的路程：三个小半圆的弧长分别是：π×4÷2＝2π，π×2÷2＝π，π×2÷2＝π 总路程：2π＋π＋π＝4π 计算赛车乙的路程：大半圆的弧长：π×8÷2＝4π 比较：两者路程相等，对应选项C。 【变式训练】一个长12dm、宽6dm的长方形，如果在里面画一个最大的圆，这个圆的面积是（ ）；如果画一个最大的半圆，半圆的周长是（ ）dm。 【答案】 28.26 30.84 【分析】在长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。利用求出圆的半径，再用求出圆的面积。在长方形里画一个最大的半圆，半圆的直径不能超过长方形的长（长边），同时半圆的半径不能超过长方形的宽，若以长方形的长12dm为直径画圆，则半径为dm，刚好和长方形的宽相等，所以这个最大的半圆的直径为12dm。根据半圆的周长等于圆的周长的一半加上直径进行计算，圆的周长。 【详解】 考点12：圆的面积 【典型例题】欢欢在长为12cm、宽为4cm的长方形纸上剪一个最大的半圆制作宣传图标，这个半圆的半径是（ ）cm，周长是（ ）cm，面积是（ ）cm2。 【答案】 4 20.56 25.12 【分析】要在长方形内剪一个最大的半圆，半圆的直径应落在长方形的长边上，但半径的长度受限于长方形的宽。因为宽是4cm，所以最大半径只能是4cm。此时直径为8cm，小于长方形的长12cm，符合条件。半圆周长＝＋直径，半圆的面积＝。 【详解】这个半圆的半径是4cm。 半圆周长：3.14×4＋8 ＝12.56＋8 ＝20.56（cm） 半圆面积＝ ＝ ＝ ＝25.12（cm2） 【变式训练1】团扇起源于中国，是一种圆形有柄的扇子。刘阿姨制作一把团扇，准备了12.56dm的竹条做圆形扇框，正好用完。这把团扇的面积是（ ）dm²。（扇柄忽略不计） 【答案】12.56 【分析】先根据圆的周长公式C＝2πr（π取3.14），可得r＝C÷2π，用竹条的长度（即圆的周长）求出团扇的半径；再根据圆的面积公式S＝πr2，代入半径求出团扇的面积。 【详解】半径：12.56÷（3.14×2） ＝12.56÷6.28 ＝2（dm） 面积：3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（dm2） 【变式训练2】北京天坛公园的回音壁是闻名世界的声学奇迹，回音壁有回音效果的原因是皇穹宇围墙的建造符合了声学的传音原理。它是一道圆形的围墙，墙体坚硬光滑，是声波的良好反射体，又因圆周曲率准确，声波可沿墙内面连续反射，向前传播。它的圆形围墙周长大约为204米，请你算一算它的面积是多少。（π取3） 【答案】3468平方米 【分析】根据“圆的周长＝2πr（r为半径）”求出半径；再根据“圆的面积＝πr2”计算面积。 【详解】 （米） （平方米） 答：它的面积是3468平方米。 考点13：圆环的面积 【典型例题】圆形荷花池直径是30米，它的外围有一条2米宽的圆环形碎石小路，这条小路面积约是多少平方米？（得数保留整数） 【答案】201平方米 【分析】先根据半径＝直径÷2求出圆形荷花池的半径r，在圆形荷花池的外围有一条2米宽的圆环形碎石小路，那么外圆的半径R就是荷花池的半径加上小路的宽度；求小路的面积，就是求圆环的面积，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算求解。 【详解】30÷2＝15（米） 15＋2＝17（米） 3.14×（172－152） ＝3.14×（289－225） ＝3.14×64 ≈201（平方米） 答：这条小路的面积约是201平方米。 【变式训练】峰峰和爸爸一起改造家里的旧圆桌。他们打算在桌面上铺一块圆形的防烫垫，但希望桌子边缘留出20厘米宽的边，用来摆放碗筷。已知这张圆桌的直径是1.4米，防烫垫的直径应该是（ ）米，它的面积大约是（ ）平方米。 【答案】 1 0.785 【分析】先统一单位，再用圆桌直径减去两边留出的宽度求出防烫垫的直径，接着用防烫垫的直径除以2求出半径，最后根据圆的面积公式S＝πr2（π取3.14）求出面积。 【详解】20厘米＝0.2米 直径：1.4－0.2×2 ＝1.4－0.4 ＝1（米） 半径：1÷2＝0.5（米） 面积：3.14×0.52 ＝3.14×0.25 ＝0.785（平方米） 考点14：弧、圆心角、扇形 【典型例题】“黄金螺旋线”是一种优美的螺旋曲线，它可以用大小不同的、圆心角是90°的扇形弧线画出来（如下图）。第一步中扇形的半径是1cm，按下图的方法继续画，第五步画的弧长为（ ）cm。（π取3.14） 【答案】7.85 【分析】观察图形可知，从第三步的扇形开始，每个扇形的半径是前面两个扇形半径之和，第一个扇形半径是1厘米，第二个扇形半径是1厘米，第三个扇形半径是1＋1＝2厘米，第四个扇形半径是1＋2＝3厘米，第五个扇形半径是2＋3＝5厘米，第五步弧线长就是半径为5厘米圆的周长的，根据圆的周长公式：π×半径×2，即可求出弧长。 【详解】根据分析可知， 第一个扇形半径：1厘米 第二个扇形半径：1厘米 第三个扇形半径：1＋1＝2厘米 第四个扇形半径：1＋2＝3厘米 第五个扇形半径：2＋3＝5厘米 第五步画的弧长：3.14×5×2×＝15.7×2×＝31.4×＝（7.85）厘米 【变式训练1】一个扇形所在圆的半径是5cm，圆心角是72°，这个扇形的面积是（ ），弧长是（ ）cm。（π取3.14） 【答案】 15.7 6.28 【分析】首先计算出扇形的圆心角是整个圆的圆心角的几分之几，然后再根据圆的面积计算公式计算出整个圆的面积，最后再乘扇形的圆心角所占的几分之几即可得到扇形的面积。同样根据圆的周长计算公式计算出整个圆的周长，最后再乘扇形的圆心角所占的几分之几即可得到扇形的弧长。 【详解】 这个扇形的面积是。 弧长是。 【变式训练2】一张正方形纸的边长是8厘米，如果从纸上剪下一个最大的扇形，那么这个扇形的圆心角是（ ），半径是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 【答案】 90 8 50.24 【分析】从正方形纸上剪下最大的扇形，应以正方形的一个顶点为圆心，以边长为半径，这样扇形的半径最大。由于正方形的每个顶点角都是90度，因此扇形的圆心角为90度。扇形的面积公式：面积＝（圆心角÷360°）计算，取3.14，其中圆心角为90度，半径为8厘米。 【详解】以正方形的一个顶点为圆心，以边长8厘米为半径，剪下的扇形是四分之一圆，圆心角为90度。半径是8厘米。 （90°÷360°）π×＝π×64＝16π＝16×3.14＝50.24（平方厘米） 所以，面积是50.24平方厘米。 考点15：含多边形的组合图形的周长与面积 【典型例题】下图是由一个三角形和一个平行四边形组成的。已知AG＝8厘米，BF＝5厘米，FB⊥BC，涂色部分的面积是50平方厘米，四边形ABFC的面积是（ ）平方厘米。 【答案】130 【分析】从图中可以看出，三角形BFC与平行四边形BCDE等底等高，那么三角形BFC的面积是平行四边形面积的一半；因为涂色部分的面积＝平行四边形的面积－三角形BFC的面积，那么涂色部分的面积也等于平行四边形面积的一半，所以三角形BFC的面积等于涂色部分的面积50平方厘米；根据三角形的底＝面积×2÷高，据此求出BC的长度以及三角形ABC的面积；最后把三角形ABC的面积加上三角形BFC的面积，求出四边形ABFC的面积。 【详解】BC的长度： 50×2÷5 ＝100÷5 ＝20（厘米） 三角形ABC的面积：20×8÷2＝80（平方厘米） 四边形ABFC的面积：80＋50＝130（平方厘米） 【变式训练】像这样把一个三角形沿虚线折叠后得到图2，这个多边形的面积是原三角形面积的，已知图2中阴影部分的面积和为24平方厘米，那么原三角形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】56 【分析】把原三角形的面积看作单位“1”。多边形白色部分的面积相当于原三角形面积的（1－）。阴影部分的面积相当于原三角形面积的（）。根据对应量除以对应分率等于单位“1”的量解决。 【详解】1－ ＝ ＝ ＝56（平方厘米） 所以，原三角形的面积是56平方厘米。 考点16：含圆的组合图形的周长与面积 【典型例题】校园内有一个花坛（如图），它的中心是一个边长为10米的正方形，周围是4个半圆，这个花坛的周长是多少？面积是多少？（圆周率取3.14） 【答案】62.8米；257平方米 【分析】4个半圆的直径都等于正方形的边长10米，4个半圆可以拼成2个完整的圆。 花坛的周长就是4个半圆的弧长之和，也就是2个直径为10米的圆的周长； 圆的周长公式：； 总周长 ，据此解题。 花坛的面积 ＝ 中心正方形的面积 ＋ 4个半圆的面积（即2个整圆的面积） 正方形面积边长边长，圆的面积＝； 圆的半径：米，2个圆的面积＝2据此解题。 【详解】2×3.14×10＝62.8（米） （平方米） （米） （平方米） （平方米） 答：这个花坛的周长是62.8米，面积是257平方米。 【变式训练】先测量出需要的数据（取整厘米数），用圆规画出和下面一样的图形，并涂上颜色，再求出空白部分的面积。 【答案】画图见详解；1.57平方厘米 【分析】测量可知，大圆半径1厘米，涂色半圆的直径＝大圆半径，先画出半径1厘米的大圆，在圆内画出垂直的两条直径，即4条半径，以每条半径的中点为圆心，分别画出4个涂色半圆。 4个涂色半圆可以拼成2个小圆，空白部分的面积＝大圆面积－2个小圆的面积，圆的面积＝圆周率×半径的平方。 【详解】画圆的步骤：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 1÷2＝0.5（厘米） 3.14×－3.14××2 ＝3.14×1－3.14×0.25×2 ＝3.14－1.57 ＝1.57（平方厘米） 空白部分的面积是1.57平方厘米。 考点17：不规则图形的面积 【典型例题】2025年第十一届中国花卉博览会将在郑州举办。花博会执委会办公室面向公众征集会徽、吉祥物、会花、会歌、宣传口号。五年级亮亮同学积极参与这项活动。下图为亮亮设计的吉祥物，用下面（    ）的方法估计吉祥物图案的面积比较合适。（每个小方格的边长表示1dm） 郑郑：方格纸的面积约为64平方分米，设计图面积约占方格纸的一半。 州州：把它看成一个高为6分米，底为5分米的三角形进行估算。 中中：方格纸上满格有14格，不满格的有20格，不满一格的都按照半格计算。 A．郑郑 B．州州 C．中中 【答案】C 【分析】估计不规则图形的面积：借助方格图数格子估算不规则图形的面积，也可以把不规则图形看成近似于规则的图形估算面积。利用数格子的方法计算不规则图形的面积的方法：满一格的按一格计算，不满一格按半格计算，由此解答。 【详解】A．方格纸的面积约为64平方分米，设计图面积约占方格纸的一半，估算出吉祥物图案的面积是：64÷2＝32（平方分米），实际吉祥物图案的面积要比方格纸的一半小得多，所以此方法不太合适； B．把它看成一个高为6分米，底为5分米的三角形进行估算，三角形的面积是： 5×6÷2 ＝30÷2 ＝15（平方分米） 三角形的面积比吉祥物图案的面积小得多，所以此方法估计吉祥物图案的面积不太合适。 C．方格纸上满格有14格，不满格的有20格，不满一格的都按照半格计算，估算吉祥物图案的面积是： 14＋20÷2 ＝14＋10 ＝24（平方分米） 此方法估计出的吉祥物图案的面积较为准确，所以这种方法比较合适。 故答案为：C 【变式训练】手影是民间儿童游戏，通过形似，启发儿童的联想思维。楷楷参加了手影兴趣班，学到了做下面图案，请你填一填。（每个小方格的面积是1平方厘米，不满整格的按半格算） 整格（ ）个，不满整格（ ）个，面积大约是（ ）平方厘米。 【答案】 3 16 11 【分析】方格纸上用数方格估计不规则图形的面积的方法：先数整格，再数不满整格的，不满整格的按半格算，整格数＋不满格数÷2＝不规则图形的格子数，最后乘每个小方格的面积，即是图形的面积。 【详解】整格有3个，不满整格有16个。 一共有： 3＋16÷2 ＝3＋8 ＝11（个） 面积：1×11＝11（平方厘米） 因此整格3个，不满整格16个，面积大约是11平方厘米。 考点18：阴影部分的周长和面积 【典型例题】【自主探究】下面是巧用“”求圆面积的解题思路。（本题中取3.14）如图1所示，正方形的边长等于圆的半径，正方形的面积就是，因为正方形的面积是10平方厘米，也就是是10，又因为，所以圆的面积就是（平方厘米）。 【问题解决】根据上面的思路解决以下问题： （1）如图2，长方形ABCD的面积为24平方厘米，阴影部分的面积是多少？ （2）如图3，等腰直角三角形的面积是12平方厘米， 。阴影部分（半圆形）的面积是多少？    【答案】（1）5.16平方厘米 （2）9.42平方厘米 【分析】半圆的面积 （1）由图可知长方形的长等于两条半径，即2r，宽等于一条半径，即r。长方形的面积＝长×宽。据此列方程求出的值，代入半圆的面积公式求出半圆面积后，用长方形面积减去半圆面积。 （2）已知，则为等腰直角三角形，BC为底，AB为高。且由图可知，BC等于两条半径的长度，即BC等于，则AB也等于，根据“三角形的面积＝底×高÷2”这一等量关系列方程求出的值，代入半圆的面积公式求出半圆面积。 【详解】（1） 解： 半圆面积： （平方厘米） 阴影部分面积： （平方厘米） 答：阴影部分的面积是5.16平方厘米。 （2） 解： （平方厘米） 答：半圆的面积是9.42平方厘米。 【变式训练1】计算下图中阴影部分的面积。（π取3.14） 【答案】6.86cm2 【分析】圆的半径等于长方形的宽，阴影部分的面积＝长方形的面积－圆的面积×。 【详解】5×2－3.14×22× ＝5×2－3.14×4× ＝10－3.14×（4×） ＝10－3.14×1 ＝10－3.14 ＝6.86（cm2） 【变式训练2】求阴影部分的面积（单位：cm）。 【答案】47.5cm² 【分析】用割补法将不规则图形转化为规则的几何图形进行计算。 【详解】如图：将右侧的弓形割补到左侧，正好拼成一个直角梯形， 上底：12－5＝7（cm） 面积：（12＋7）×5÷2 ＝19×5÷2 ＝95÷2 ＝47.5（cm²） 阴影部分的面积是47.5cm²。 一、选择题 1．下列图形中，空白部分与阴影部分的周长和面积都相等的是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】图A阴影部分与空白部分面积都等于圆面积的一半，周长为圆周长的一半加上同一条曲线的长度； 图B、图D空白部分与阴影部分都分别为两个三角形，三角形面积＝底×高÷2，若等底等高，面积一定相等，三角形周长等于三边长度之和，据此判断； 图C阴影部分为一个扇形，面积等于圆面积除以4，扇形的半径等于正方形的边长，可假设正方形边长为，根据，再除以4表示阴影部分面积，空白部分面积等于正方形面积减去阴影部分面积，周长都是两条边长加上同样的弧的长度。 【详解】图中阴影部分与空白部分面积都为圆面积的一半，周长为圆周长的一半加上同一条曲线的长度，所以周长和面积都相等； 图中阴影部分和空白部分为两个三角形，两个三角形高相等，题目中没有说明与是否相等，所以不确定面积是否相等，周长不相等； 假设图中正方形边长为，图中阴影部分面积等于，空白部分面积等于，面积不相等，周长都为，也就是,周长相等； 图中空白部分与阴影部分为两个三角形，底不相等，高相等，面积不相等，周长也不相等。 2．在一个正方形里画一个最大的圆，这个圆的面积是正方形面积的（     ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以正方形的边长为直径的圆是正方形里面最大的圆，假设出正方形的边长，根据“”和“”分别求出圆和正方形的面积，最后求出圆的面积除以正方形面积的商。 【详解】假设正方形的边长为1。 圆的面积： ＝ ＝ ＝ 正方形的面积：1×1＝1 ÷1＝ 这个圆的面积是正方形面积的。 3．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面半径与高的比是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】圆柱的侧面展开图一般是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高；特殊情况下，圆柱的侧面展开图是正方形，此时圆柱的底面周长和高相等，即C＝h。根据圆的周长公式C＝2r，进而得出圆柱的底面半径与高的比。 【详解】由一个圆柱的侧面展开图是正方形，可得出：C＝h； r∶h＝ r∶C＝ r∶2r＝（r÷r）∶（2r÷r）＝1∶2 所以这个圆柱的底面半径与高的比是1∶2。 故答案为：D 4．两根木棒的长分别是5cm，8cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果三角形的周长为奇数，那么第三根木棒的取值情况有（     ）种。 A．4 B．5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】由三角形的三边关系可知，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。所以第三根木棒大于（8－5）、小于（8＋5），据此确定第三根木棒的长度范围在3到13之间；三角形的周长等于三角形的三边之和且三角形的周长为奇数，因为5＋8＝13是奇数，根据“奇数＋偶数＝奇数”可知，第三根木棒的长度为3到13之间的偶数，3到13之间的偶数有4、6、8、10、12共5种情况。 【详解】8－5＝3（cm） 8＋5＝13（cm） 所以3＜第三根木棒长＜13； 因为8＋5＋第三根木棒长＝奇数，即13＋第三根木棒长＝奇数，所以第三根木棒长是偶数； 所以第三根木棒长可能是4、6、8、10、12共5种情况。 两根木棒的长分别是5cm，8cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果三角形的周长为奇数，那么第三根木棒的取值情况有5种。 故答案为：B 5．一个挂钟的分针长20cm，经过小时后，这根分针的尖端所走过的路程是（     ）。 A．94.2cm B．942cm C．47.1cm D．471cm 【答案】A 【分析】分针长度相当于圆的半径，经过小时后，这根分针的尖端所走过的路程是圆周长的，根据圆的周长＝2×圆周率×半径，求出圆的周长，再用圆的周长×即可。 【详解】2×3.14×20× ＝125.6× ＝94.2（cm） 这根分针的尖端所走过的路程是94.2cm。 故答案为：A 6．如图中的正方形部分是一个水池，其余部分是草坪，已知正方形的面积是300m2。草坪的面积是（     ）m2。 A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】看图可知，正方形的边长＝圆的半径，根据正方形面积＝边长×边长，可知这个正方形的面积＝半径的平方，草坪的面积是圆面积的，根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，圆的面积×＝草坪的面积，列式计算即可。 【详解】π×300×＝225π（平方米） 草坪的面积是225π平方米。 故答案为：B 7．一个三角形，三个内角度数的比是1∶2∶3，这个三角形是（     ）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】已知三角形的内角和是180°，三角形内角度数比是1∶2∶3，则这个三角形中最大的内角占三角形内角和的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可求出这个最大内角的度数，再根据三角形按角的分类，确定这个三角形的类型。 【详解】最大的内角是： 180°× ＝180°× ＝90° 这个三角形是直角三角形。 故答案为：B 8．已知线段AB，延长BA到C，使，D为AC中点，且CD＝2，那么线段AB的长为（     ）。 A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据题目， 是 的中点，且 ，因此 。给定 ，点顺序为 --，因此 。由以上条件解答。 【详解】因为AC＝BC 所以AC＝AB 又D为AC中点 所以CD＝AC，即AC＝2CD 所以2CD＝AB 即AB＝4CD 而CD＝2 所以AB＝4×2＝8 线段AB的长为8。 故答案为：C 9．如图是由3个半圆组成的图形，图中阴影部分的周长是（     ）厘米。 A． B．3aπ C． D．3aπ＋6a 【答案】B 【分析】通过观察图形可知，阴影部分的周长分为三部分，分别是直径为a、直径为2a，直径为（a＋2a）的圆周长一半的和，根据圆的周长公式：，分别把数据代入公式算出各自周长，相加后再除以2即可得解。 【详解】π×a＝πa（厘米） π×2a＝2πa（厘米） π×（a＋2a） ＝π×3a ＝3aπ（厘米） （πa＋2πa＋3aπ）÷2 ＝（3aπ＋3aπ）÷2 ＝6aπ÷2 ＝3aπ（厘米） 图中阴影部分的周长是3aπ厘米。 故答案为：B 10．如图，在一个等边三角形中画一个尽可能大的圆，又在这个圆中画一个尽可能大的等边三角形。图中小等边三角形的面积相当于大等边三角形面积的（     ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可以作出小三角形顺时针或逆时针旋转后的图形，再判断它与大三角形的关系。 【详解】由分析，作旋转后的图形如下： 把大三角形看作单位“1”，平均分成4份，取其中的1份，就是一个小三角形。 所以，图中小等边三角形的面积相当于大等边三角形面积的。 二、填空题 11．一个直角三角形三条边的长度分别为5厘米，12厘米，13厘米，直角三角形的面积为（ ）平方厘米。 【答案】30 【分析】三角形的面积＝底×高÷2。根据题意分析，这是个直角三角形，那么短的两条边就是直角边，两条直角边互为三角形的底和高。根据三角形的面积公式即可解答。 【详解】5×12÷2 ＝60÷2 ＝30（平方厘米） 所以直角三角形的面积是30平方厘米。 12．一个40°的角，透过放大5倍的放大镜看，这个角是（ ）。 【答案】40° 【分析】根据角的定义，角的大小只和角两边张开的大小有关，和边的长度无关。虽然放大镜放大了角两边的长度，但是角的大小不变，依旧是40°。 【详解】根据分析，一个40°的角，透过放大5倍的放大镜看，这个角是40°。 13．在推导圆的面积公式时，将圆等分成若干份，拼成一个近似的长方形。已知长方形的长比宽多6.42厘米，圆的面积是（ ）平方厘米。 【答案】28.26 【分析】长方形的长为圆的周长的一半，宽为圆的半径，根据圆的周长＝，长方形的长是，宽是r，长比宽多。用6.42厘米除以（3.14－1），即可求出圆的半径，再根据圆的面积＝即可求出圆的面积。 【详解】6.42÷（3.14－1） ＝6.42÷2.14 ＝3（厘米） 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 即圆的面积是28.26平方厘米。 14．学校操场是一个长方形，画在比例尺是1∶2000的平面图上，长是3厘米，宽是2厘米，学校操场实际面积是（ ）平方米。 【答案】2400 【分析】比例尺1∶2000表示图上1厘米代表实际距离2000厘米，2000厘米＝20米，即图上1厘米代表实际20米。 先根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”求出实际长和宽的长度 再根据“长方形面积＝长×宽”计算即可。 【详解】2000厘米＝20米 3×20＝60（米） 2×20＝40（米） 60×40＝2400（平方米） 所以这个操场的实际面积是2400平方米。 15．小清同学拿到一块漂亮的三角板模块，经过测量，他发现三个内角之比为2∶3∶4，相信聪明的你一定判断出了该三角形的形状，那就是（ ）。 【答案】 锐角三角形 【分析】首先明确三角形内角和为180°，题目给出三个内角之比为，需要先通过比例分配的方法求出每个内角的具体度数，再根据锐角三角形（三个角均小于90°）、直角三角形（有一个角为90°）、钝角三角形（有一个角大于90°）的定义，判断三角形的形状。    【详解】2＋3＋4＝9 三个角分别为40°、60°、80°，均小于90°，因此该三角形是锐角三角形。 16．在一张长方形纸上画一个棱长4厘米的正方体展开图，这张长方形的面积至少是（ ）平方厘米。 【答案】160 【分析】根据正方体展开图的11种特征，正方体展开图分四种类型“141”结构，“222”结构，“132”结构，所以所需的长方形长是4个边长4厘米的正方形的边长，宽是3个边长4厘米的正方形的边长；“33”结构，所需长方形的长是5个边长4厘米的正方形的边长，宽是2个边长4厘米的正方形的边长，分别计算所需长方形的面积，再比大小确定即可。 【详解】（4×4）×（4×3） ＝16×12 ＝192（平方厘米） （4×5）×（4×2） ＝20×8 ＝160（平方厘米） 160＜192 在一张长方形纸上画一个棱长4厘米的正方体展开图，这张长方形的面积至少是160平方厘米。 17．图中，若圆形的位置是（2，3），则三角形的位置是（ ）；如果三角形的面积是0.5cm2，则圆的面积是（ ）cm2。 【答案】 （3，1） 0.785 【分析】用数对表示位置时，第一个数表示列，第二个数表示行。由图可知，三角形在圆形的右下方，横向向右移动1格，纵向向下移动2格，若圆形的位置是（2，3），则列数加1，变为2＋1＝3，行数减2，变为3－2＝1，所以三角形的位置是（3，1）。 由图可知，三角形的面积是小正方形面积的一半，用三角形的面积乘2求出每个小正方形的面积为0.5×2＝1cm2，因为1×1＝1，所以每个小正方形的边长是1cm。圆的直径相当于小正方形的边长（1cm），所以圆的半径为1÷2＝0.5cm，根据圆的面积公式即可求出圆的面积。据此解答。 【详解】列数：2＋1＝3 行数：3－2＝1 三角形的位置是（3，1）。 0.5×2＝1（cm2） 1×1＝1 3.14×（1÷2）2 ＝3.14×0.52 ＝3.14×0.25 ＝0.785（cm2） 综上，若圆形的位置是（2，3），则三角形的位置是（3，1）；如果三角形的面积是0.5cm2，则圆的面积是0.785cm2。 18．正方形ABCD中，AC＝4，分别以A、B、C、D为圆心，2为半径画弧，得到如下图形，则阴影部分的面积为（ ）。（π取3） 【答案】4 【分析】已知分别以A、B、C、D为圆心，2为半径画弧，四个扇形的圆心角都是90°，合起来刚好是一个完整的圆，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积，再把正方形ABCD分成两个底为4，高为2的三角形，根据三角形的面积公式＝底×高÷2，求出三角形的面积，再用圆的面积减去两个三角形的面积即可求出阴影部分的面积。 【详解】3×22 ＝3×4 ＝12 4×2÷2 ＝8÷2 ＝4 12－2×4 ＝12－8 ＝4 19．把一个圆平均分成若干份，再拼成一个近似的长方形（如图）。如果这个近似长方形的周长比原来圆的周长增加了20厘米，那么这个圆的半径是（ ）厘米，它的面积是（ ）平方厘米。 【答案】 10 314 【分析】由图可知，近似长方形的长相当于圆周长的一半，近似长方形的宽相当于圆的半径，近似长方形的周长比圆的周长多了2条半径的长度，根据增加部分的周长求出这个圆的半径，最后利用“”求出这个圆的面积，据此解答。 【详解】20÷2＝10（厘米） 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 所以，这个圆的半径是10厘米，它的面积是314平方厘米。 20．如图，E点和F点分别是长方形ABCD的两条对边的中点，G点是AB边上一点，那么空白部分与阴影部分面积的最简整数比是（ ）。 【答案】3∶1 【分析】已知，E点和F点分别是长方形ABCD的两条对边的中点，G点是AB边上一点，阴影部分是三角形，则三角形底与长方形的宽相等，高是长方形的长的一半，假设长方形ABCD的长为2a，宽为b，根据长方形的面积＝长×宽，三角形的面积＝底×高÷2，空白部分面积=长方形面积－阴影部分面积，分别求出阴影部分和空白部分的面积，再求出最简整数比即可。 【详解】假设长方形ABCD的长为2a，宽为b，则阴影部分三角形的底为b，高为2a÷2＝a。 长方形的面积：2a×b＝2ab； 三角形的面积：a×b÷2 ＝ ab÷2 ＝ab 空白部分面积：2ab－ab＝ ab 空白部分面积∶阴影部分面积＝ab∶ab ＝（ ab÷ab）∶（ab÷ab） ＝∶ ＝∶ ＝3∶1 所以空白部分与阴影部分面积的最简整数比是3∶1。 21．一个正方形的一边减少10%，另一边增加10%，得到的长方形的面积是原正方形面积的（ ）。 【答案】99%/ 【分析】假设正方形的边长10厘米，将正方形边长看作单位“1”，一边减少10%，是正方形边长的（1－10%），另一边增加10%，是正方形边长的（1＋10%），正方形边长×减少后的对应百分率＝长方形的宽，正方形边长×增加后的对应百分率＝长方形的长，根据长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，分别计算出得到的长方形和原正方形面积，得到的长方形的面积÷原正方形面积＝得到的长方形的面积是原正方形面积的百分之几或几分之几。 【详解】假设正方形的边长10厘米。 10×（1－10%） ＝10×0.9 ＝9（厘米） 10×（1＋10%） ＝10×1.1 ＝11（厘米） 11×9＝99（平方厘米） 10×10＝100（平方厘米） 99÷100＝0.99＝99% 得到的长方形的面积是原正方形面积的99%。 22．如图，在正方形ABCD的边长为6，以D为圆心，4为半径作圆弧。以C为圆心，6为半径作圆弧。若图中阴影部分的面积分别为S1、S2时，则（ ）。（结果保留π） 【答案】13π－36 【分析】 如图设左边空白部分的面积为S，根据题意，正方形ABCD的边长为6，正方形的面积＝6×6＝36，以C为圆心、6为半径作圆弧得到一个圆心角为90°的扇形的面积＝圆的面积×，S＋＝正方形ABCD的面积－圆的面积的＝36－π××＝36－9π，以D为圆心、4为半径得到一个圆心角为90°的扇形，即S＋＝π××＝4π，然后再用（S＋）－（S＋）即可求出的结果。 【详解】设左边空白部分的面积为S， ＝； ＝； （）－（）＝＝＝＝＝ 即 23．如图，在三角形ABC中，D、E分别为线段AC、BC上的点，且CD＝3AD，BE＝2EC，连接AE、BD，交于点F，若三角形ADF的面积为1，则三角形ABC的面积为（ ）。 【答案】36 【分析】连接CF，在△ADF和△DFC中，高相等，底CD＝3AD，得出△CDF的面积是△ADF面积的3倍，从而得出△AFC的面积；在△ABF和△ACF中，底相同都是AF，高BE＝2CE，得出△ABF的面积是△ACF面积的2倍，从而得出△ADB的面积；在△ADB和△BCD中，底CD＝3AD，高相等，得出△DBC的面积是△ADB面积的3倍，从而得出△ABC的面积。 【详解】因为CD＝3AD，＝1，且△ADF和△CDF的高相等，所以＝1×3＝3。即：＝＋＝1＋3＝4。 在△ABF和△ACF中，底都是AF，且BE＝2EC，所以＝2＝2×4＝8； ＝＋＝8＋1＝9； 在△ABD和△BDC中，CD＝3AD，且高相同，所以＝3＝9×3＝27； 所以＝＋＝27＋9＝36。 24．图中，小圆的直径是4厘米，大圆的半径是5厘米，让小圆沿大圆外沿滚动一周，小圆的圆心移动的路程是（ ）厘米，小圆扫过的面积是（ ）平方厘米。（π取3.14） 【答案】 43.96 175.84 【分析】这道题需明确：让小圆沿大圆外沿滚动一周，小圆的圆心移动的轨迹是一个圆；小圆扫过的面是一个圆环。可以通过计算圆的周长，通过计算圆环的面积。具体为：小圆圆心移动的路程实质是求以“大圆半径＋小圆半径”为半径的圆的周长，需先算出小圆半径，再确定轨迹半径。小圆扫过的面积实质是求外圆半径为“大圆半径＋小圆直径”、内圆半径为大圆半径的圆环面积。先根据小圆直径求小圆半径，再分别计算小圆圆心移动轨迹的半径、小圆扫过区域的圆环内外半径，最后代入公式求出路程和面积。 【详解】根据分析： 小圆的圆心移动的路程： 小圆半径：（厘米） 轨迹半径：（厘米） 路程： （厘米） 所以小圆的圆心移动的路程为43.96厘米。 小圆扫过的面积： 外圆半径：（厘米） 面积： （平方厘米） 所以小圆扫过的面积是175.84平方厘米。 25．如图，直角的斜边，以点为中心，将顺时针旋转，点分别到达点，则边扫过的面积（即图中阴影部分面积）是（ ）。（取3） 【答案】75 【分析】根据题意，直角顺时针旋转了120°，则∠ABE＝120°；∠CBD＝180°－∠ABC＝180°－60°＝120°。 直角的面积与直角的面积相等。 阴影部分的面积＝以AB为半径、圆心角是120°的扇形面积＋直角的面积－直角的面积－以BC为半径、圆心角为120°的扇形面积 ＝以AB为半径、圆心角是120°的扇形面积－以BC为半径、圆心角为120°的扇形面积 扇形的面积＝πr2× 【详解】阴影部分面积：3×102×－3×52× ＝3×100×－3×25× ＝3×100×－3×25× ＝3××（100－25） ＝3××75 ＝1×75 ＝75 26．生活中，人们经常会把同样大小的圆柱形物体捆成一排（横截面如下图）。如果每个圆柱的直径是6cm，粘贴处的胶带长度不计，捆3个需要胶带（ ）cm，捆n个需要（ ）cm。（取3） 【答案】 42 （12n＋6）/（6＋12n） 【分析】看图可知，捆1个需要的胶带长度＝圆的周长；捆2个需要的胶带长度＝圆的周长＋直径×2；捆3个需要的胶带长度＝圆的周长＋直径×4…，直径的数量＝（圆柱的数量－1）×2，因此胶带的长＝圆的周长＋直径×[（圆柱的数量－1）×2]，圆的周长＝圆周率×直径，据此列式计算。 【详解】3×6＋6×[（3－1）×2] ＝18＋6×[2×2] ＝18＋6×4 ＝18＋24 ＝42（cm） 3×6＋6×[（n－1）×2] ＝18＋12（n－1） ＝18＋12n－12 ＝（12n＋6）cm 捆3个需要胶带42cm，捆n个需要（12n＋6）cm。 27．有一种用来画圆的工具板（如图所示），工具板长21cm，上面依次排列着大小不等的五个圆孔，其中最大圆的直径为3cm，其余圆的直径从左到右依次递减0.2cm，最大圆的左侧距工具板边缘1.5cm，最小圆的右侧距工具板边缘1.5cm，相邻两圆的间距d均相等，则相邻两圆的间距是（ ）cm。 【答案】1.25/ / 【分析】先用前一个圆的直径减去0.2，依次求出后面4个圆的直径。再用工具板长减去最大圆的左侧距工具板的距离，减去5个圆的直径，减去最小圆的右侧距工具板的距离，求出两个圆之间距离和，再除以4，即可求出相邻两圆的间距。 【详解】3－0.2＝2.8（cm） 2.8－0.2＝2.6（cm） 2.6－0.2＝2.4（cm） 2.4－0.2＝2.2（cm） （21－1.5－3－2.8－2.6－2.4－2.2－1.5）÷4 ＝（19.5－3－2.8－2.6－2.4－2.2－1.5）÷4 ＝（16.5－2.8－2.6－2.4－2.2－1.5）÷4 ＝（13.7－2.6－2.4－2.2－1.5）÷4 ＝（11.1－2.4－2.2－1.5）÷4 ＝（8.7－2.2－1.5）÷4 ＝（6.5－1.5）÷4 ＝5÷4 ＝1.25（cm） 相邻两圆的间距d均相等，则相邻两圆的间距是1.25cm。 28．如图，ABCD是边长为10厘米的正方形，AB是半圆的直径，则阴影部分的面积是（ ）平方厘米。（π取3.14） 【答案】17.875 【分析】阴影部分面积可通过“整体减部分”的思路计算阴影面积：将阴影所在的大三角形ABC视为“整体”，减去大三角形内的两个空白部分（小直角三角形、扇形），即可得到阴影面积。大三角形ABC是正方形的一半，小直角三角形的直角边等于半圆半径（正方形边长的一半），扇形是圆的（因圆心角为90°），通过圆面积公式计算。 【详解】计算三角形ABC的面积： （平方厘米） 计算小三角形面积： （厘米） （平方厘米） 计算扇形的面积： （平方厘米） 计算阴影部分面积： （平方厘米） 阴影部分的面积是17.875平方厘米。 29．如图，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm。D、E分别为BC、AC边上一点。现将三角形ABC沿线段AD对折，使得点E与点B重合。三角形ABC的面积是（ ）cm2，阴影部分三角形CDE的面积是（ ）cm2。 【答案】 24 6 【分析】三角形的面积＝底×高÷2，据此代入数据求出三角形ABC的面积。由于沿AD折叠，所以三角形AED和三角形ABD完全一样，即BD＝ED，AB＝AD＝6，则CE＝（10－6），根据图可知，三角形CDE、三角形AED、三角形ABD的高相等，可以设高为hcm，再根据三角形CDE、三角形AED、三角形ABD的面积之和等于三角形ABC的面积列出方程，再进一步求出高ED，最后根据阴影部分三角形CDE的底是CE，高是ED代入三角形的面积公式计算即可。 【详解】8×6÷2 ＝48÷2 ＝24（cm2） 所以三角形ABC的面积是24cm2。 由题图可知三角形CDE、三角形AED、三角形ABD的高相等； 解：设高为hcm。 6×h÷2＋6×h÷2＋（10－6）×h÷2＝24 3h＋3h＋2h＝24 8h＝24 8h÷8＝24÷8 h＝3 （10－6）×3÷2 ＝4×3÷2 ＝12÷2 ＝6（cm2） 所以阴影部分三角形CDE的面积是6cm2。 三、计算题 30．求阴影部分面积。 （1） （2） 【答案】（1）21.76cm2 （2）82.24cm2 【分析】（1）由图可知，空白部分是一个直径为8cm的圆，先用直径除以2计算出圆的半径，然后根据“圆的面积＝πr2（r为半径）”求出空白部分的面积；图中梯形的上底为8cm、下底为10cm、高为8cm，根据“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”代入数值计算出梯形的面积；最后用梯形的面积减去圆的面积即可。 （2）将阴影部分分成两部分：一部分扇形面积等于圆的面积（由图可知，所在圆的半径为8cm），先根据“圆的面积＝πr2（r为半径）”求出半径是8cm的圆的面积，再用圆的面积乘计算出扇形面积；另一部分是底为8cm，高为8cm的三角形，根据“三角形的面积＝底×高÷2”计算出三角形的面积；最后将扇形面积和三角形面积求和即可。 【详解】（1）（8＋10）×8÷2－3.14×（8÷2）2 ＝18×8÷2－3.14×42 ＝144÷2－3.14×16 ＝72－50.24 ＝21.76（cm2） 所以阴影部分的面积是21.76cm2。 （2）3.14×82×＋8×8÷2 ＝3.14×64×＋64÷2 ＝200.96×＋32 ＝50.24＋32 ＝82.24（cm2） 所以阴影部分的面积是82.24cm2。 31．计算阴影部分的面积（单位：厘米，π取3.14） 【答案】24平方厘米 【分析】观察图形，可将右侧的阴影部分割补到左侧，这样阴影部分组成的图形就是一个梯形。因为半圆的半径为4厘米，所以梯形的高为4厘米，梯形的上底为8－4＝4厘米，下底为8厘米。根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，把数据代入计算即可。 【详解】将右侧的阴影部分割补到左侧，阴影部分组成的图形就是一个梯形。 8－4＝4（厘米） （4＋8）×4÷2 ＝12×4÷2 ＝48÷2 ＝24（平方厘米） 阴影部分的面积是24平方厘米。 32．求下图中阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】16.82cm2 【分析】由图可知，阴影部分面积＝半径为6cm的扇形面积＋半径为4cm的扇形面积－长方形面积，根据圆的面积＝πr2，扇形的面积是圆的面积的，代入数据即可求出扇形面积；根据长方形的面积＝长×宽，代入数据即可求出长方形的面积，据此解答即可。 【详解】3.14×62÷4 ＝3.14×36÷4 ＝113.04÷4 ＝28.26（cm2） 3.14×42÷4 ＝3.14×16÷4 ＝50.24÷4 ＝12.56（cm2） 28.26＋12.56－6×4 ＝28.26＋12.56－24 ＝40.82－24 ＝16.82（cm2） 33．如图，三角形ABC的面积为10，AD与BF交于点E，且，求图中阴影部分的面积和。 【答案】4 【分析】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。由于AE＝ED，连接DF，可知（等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分面积转化为求三角形BDF的面积。 【详解】连接DF，如下图： 因为AE＝ED 所以， 又因为（BD占2份，DC占1份） 所以（和等高） 所以（，即） 所以（） 又因为 所以 所以 阴影部分的总面积是4。 34．求图中阴影部分的面积。 【答案】32.5 【分析】 通过分割平移，连接AE将阴影部分①移动到位置②，则阴影部分面积①和③的和可以转化②和③的和即为梯形ABED的面积即可。 【详解】 即阴影图形面积为32.5。 35．求下图中阴影部分的面积。（取3.14） 【答案】18.24平方厘米 【分析】要计算阴影部分的面积，我们可以通过图形的割补与组合，将阴影部分转化为“半圆面积 ＋ 扇形面积 － 三角形面积”来求解。 【详解】半圆的面积为： 3.14×(8÷2）2÷2 =3.14×16÷2 =50.24÷2 =25.12（平方厘米） 扇形的面积为： 三角形的面积为： 阴影部分面积为： 25.12＋25.12－32 ＝50.24－32 ＝18.24（平方厘米） 所以阴影面积为18.24平方厘米。 36．计算下面阴影部分的面积。（π＝3.14） 【答案】66.5cm2 【分析】观察图形可知，该图形是由个圆和一个正方形组成。空白部分是一个三角形，阴影部分的面积就是个圆的面积加上正方形面积后减三角形面积。 圆的面积公式为S＝πr2（π＝3.14，r为半径），已知半径为10cm，把数据代入公式计算后再乘即可得出个圆的面积。正方形面积公式为：S＝a×a（a为边长），正方形的边长为6cm，把数据代入公式计算得出正方形面积。三角形面积公式为：S＝a×h÷2（a为底，h为高），三角形的底是6cm，高为10＋6＝16cm，把数据代入公式计算得出三角形的面积。然后根据：阴影面积＝个圆的面积＋正方形面积－三角形面积，把计算得出的各图形的面积代入计算即可。 【详解】3.14×102× ＝3.14×100× ＝314× ＝78.5（cm2） 6×6＝36（cm2） 6×（10＋6）÷2 ＝6×16÷2 ＝48（cm2） 78.5＋36－48＝66.5（cm2） 阴影部分的面积是66.5cm2。 37．求下图阴影部分的面积。（单位：cm；π取3.14） 【答案】26.75cm2 【分析】根据图可知，三角形是一个直角三角形，两条直角边的长度等于圆的半径；阴影部分面积＝直径是10cm的圆的面积的一半－底等于圆的半径，高等于圆的半径的三角形面积；根据圆的面积＝π×半径2，三角形面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】10÷2＝5（cm） 3.14×52÷2－5×5÷2 ＝3.14×25÷2－5×5÷2 ＝78.5÷2－25÷2 ＝39.25－12.5 ＝26.75（cm2） 阴影部分面积是26.75cm2。 四、解答题 38．如图，半径分别为10、20、40、80的四个圆的圆心在同一条直线上，而且半径为20的圆的圆心在半径为10的圆周上，半径为40的圆的圆心在半径为20的圆周上，半径为80的圆的圆心在半径为40的圆周上，那么阴影部分的面积是多少？（取3.14） 【答案】16014 【分析】利用圆的面积公式S＝πr2，通过大圆面积减去相邻小圆面积，再交替相加的方法计算涂色部分面积。 【详解】3.14×802－3.14×402＋3.14×202－3.14×102 ＝3.14×6400－3.14×1600＋3.14×400－3.14×100 ＝3.14×（6400－1600＋400－100） ＝3.14×5100 ＝16014 答：阴影部分的面积是16014。 39．图形与操作。 （1）按要求在图中画一画。 （2）计算变化后图形中阴影部分的面积。 （3）你能求出原图中阴影部分的周长吗？试一试。 【答案】（1）见详解 （2）8平方厘米 （3）20.56厘米 【分析】（1）先确定旋转中心为O点，根据阴影①绕O点逆时针旋转90°，阴影②绕O点顺时针旋转90°的方向和度数，画出旋转后的图形。 （2）变化后阴影部分的面积是一个等腰直角三角形，两条直角边分别是正方形的边长，根据三角形的面积公式可计算出阴影部分面积。 （3）原图中阴影部分的周长是一个直径为4cm的圆的周长，依据圆的周长公式为计算出圆的周长，最后加上两条4厘米的线段长度得到阴影部分的周长。 【详解】（1）见下图 （2）4×4÷2 ＝16÷2 ＝8（平方厘米） 所以，变化后图形中阴影部分的面积8平方厘米。 （3）3.14×4＋4×2 ＝12.56＋8 ＝20.56（厘米） 原图中阴影部分的周长是20.56厘米。 40．在平行四边形ABCD中，，若三角形CEF的面积等于1，求平行四边形ABCD的面积。 【答案】5 【分析】令平行四边形ABCD的面积为。 因为，所以＝ 因为（同底等高） 所以， 因为 由于，所以＝ 通过化简得，解这个一元二次方程即可。 【详解】解：设平行四边形ABCD的面积为，则： ， 由于得＝ 化简得： 解得（舍去）或 所以平行四边形ABCD的面积为5。 41．鲁洛克斯三角形是一种特殊三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为鲁洛克斯三角形。它的特点是在任何方向上都有相同的宽度，在自行车的车轮、井盖、硬币等方面有应用。如果一个等边三角形的边长是5分米，那么这个鲁洛克斯三角形的周长就等于分米。你认为正确吗？请说明你的理由。 【答案】不正确；鲁洛克斯三角形的每条边是圆心角为60°、半径为5分米的圆弧，每条圆弧长为分米，总周长为分米，而非分米 【分析】因为等边三角形的每个内角为60°，所以每条圆弧对应的圆心角为60°，即圆心角为60°的圆弧占整个圆的。圆的周长为，即一条圆弧的长度为。这样的圆弧一共有三条，再将数值再乘3，即可得出这个鲁洛克斯三角形的周长，据此可判断出本题的说法是否正确。 【详解】（分米） ＝ （分米） （分米） 答：我认为说法不正确，因为鲁洛克斯三角形的每条边是圆心角为60°、半径为5分米的圆弧，每条圆弧长为分米，总周长为分米，而非分米。 42．如图，在梯形ABCD中，，。若的面积比的面积小8平方厘米，求梯形ABCD的面积。 【答案】83平方厘米 【分析】三角形面积＝×底×高，高相等时，可以根据底边之比求出三角形的面积之比，再根据面积比和面积差按比分配求出△ABD和△DBC的面积，两个面积相加得梯形面积。 【详解】因为＝8（平方厘米） 所以 ＝ ＝ ＝ ＝8（平方厘米） 假设梯形的高为h，则△ABE和△ABD的高都为h： ＝（×BE×h）∶（×AD×h） ＝BE∶AD ＝7∶5 已知＝7∶5，（平方厘米），按比分配，先求一份量，再求多份量： 一份量：8÷（7－5） ＝8÷2 ＝4（平方厘米） ＝4×7 ＝28（平方厘米） ＝4×5 ＝20（平方厘米） ＝（×BE×h）∶（×BC×h） ＝BE∶BC ＝4∶9 已知＝4∶9，＝28（平方厘米），按比分配求△DBC的面积： ＝28÷4×9 ＝7×9 ＝63（平方厘米） ＝ ＝20＋63 ＝83（平方厘米） 答：梯形ABCD的面积是83平方厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $