第十章：探索规律（专项训练）-2026年小升初数学复习讲练测

【专项训练】2026年小升初数学复习讲练测 第十章：探索规律 一、选择题 1．观察下边算式的规律，14285.7×42的正确得数应是（     ）。 14285.7×7＝99999.9 14285.7×14＝199999.8 14285.7×21＝299999.7 …… A．399999.6 B．499999.5 C．599999.4 D．699999.3 2．黑珠子和白珠子共有102颗，穿成一串，排列如下：○●○○○●○○○●○○○●○○……这串珠子中，黑珠子有（     ）颗。 A．26 B．25 C．76 D．77 3．下面各正方形的四个数之间都有相同规律，根据此规律可以求出a的值是（     ）。 A．78 B．69 C．57 D．54 4．观察如图点阵图的规律，第n个这样的点阵图中有（     ）个点。 A．3n B．3＋3n C．3＋（n－1）×3 D．6＋3n 5．寺庙的钟声敲6下用了30秒，敲7下要花（     ）秒。 A．36 B．42 C．38 D．49 6．下表中，将每列上下两个字组成一组，例如第一组为（共，社），第二组为（产，会），那么，第100组和第2022组分别是（     ）。 共 产 党 好 共 产 党 好 共 产 党 好 共 产 党 …… 社 会 主 义 好 社 会 主 义 好 社 会 主 义 好 …… A．（共，社）；（产，会） B．（好，好）；（产，会） C．（好，义）；（产，会） D．（好，义）；（共，义） 7．如图，五角星中AB长3cm。一只小蚂蚁由点A开始爬，按ABCDEA…的顺序不断循环爬行。当小蚂蚁爬了2024cm时，它停在（     ）。 A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段DE上 D．线段EA上 8．丽丽用小棒摆五边形，如图，摆1个五边形用了5根小棒，摆2个五边形用了9根小棒，摆3个五边形用了13根小棒，……，按此规律摆下去，用85根小棒能摆（     ）个五边形。 A．19 B．21 C．23 D．25 9．小马虎想要计算“1＋2＋3＋…＋n”的和，但是他不小心把其中一个数加了两次，得到的结果为2026，小马虎加了两次的数是（     ）。 A．9 B．10 C．11 D．12 10．某种大肠杆菌细胞在环境适应的情况下，平均每20分会分裂一次，第一次分裂会变成两个细胞，第二次分裂这两个细胞会变成四个细胞，以此类推，经过（     ）分，这种大肠杆菌细胞会分裂成128个新细胞。 A．7 B．20 C．120 D．140 二、填空题 11．流水线上生产若干个小木球。按照红、红、白、黄、红、红、白、黄……这样生产下去，第47个小木球是（ ）色，在前123个小木球中，红球有（ ）个。 12．微生物在生长过程中要经历迟缓期、对数期、稳定期和衰亡期。某种微生物在进入衰亡期时有1024个，之后每过30分钟减少为原来的一半，那么进入衰亡期后经过1小时，这种微生物还剩下（ ）个。 13．小兔妈妈给小兔买了200颗糖，小兔星期一吃了1颗糖，星期二吃了2颗糖，星期三吃了3颗糖……星期天吃了7颗糖，小兔星期（ ）吃了最后1颗糖。 14．现有▲和共200个，按照如下规律排列：▲▲▲▲▲▲▲▲……，▲有（ ）个，有（ ）个。 15．斐波那契数列，分别是：1，1，2，3，5，8，13，21…如果要计算12＋12＋22＋32＋52＋82＋132，有什么简便的方法呢？我们可以先找找规律。观察下面的算式，并填空。 （ ）×（ ） （ ）×（ ）＝（ ） 16．小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表：当输入12时，输出的是（ ） 输入 1 2 3 4 5 … 输出 … 17．一个面积为1平方米的正方形，如图所示，第1次截去它的；第2次接着截去它的，共截去它的（ ）；第3次又接着截去它的，共截去它的（ ）……，照这样的截法，第6次就会接着截去它的（ ），共截去它的（ ）。 18．先找规律，然后填空。 第一次截去后剩下 第二次截去后剩下 第三次截去后剩下 … … 第五次截去后剩下（ ），第（ ）次截去后剩下。 19．找规律填一填。 围成图4要用（ ）个黑色方块，（ ）个白色方块；按这样的规律围成的图形用了100个白色方块，黑色方块要用（ ）个。 20．用同样大小的黑、白两种正方形如下图所示的方式摆图案，并按照规律一直摆下去。 第4个图形中白色方块有（ ）个，第（ ）个图形中白色方块有20个，第个图形中白色方块有（ ）个。 21．观察下面的图形，按此规律，第507个方框里有（ ）个点。 22．小明按规律写了一串数：1，2，3，﹣4，5，6，7，﹣8，9，10，11，﹣12，…，他写的第90个数是（ ），此时他已经写了（ ）个负数。 23．先观察下面每个图形中小长方形个数与所列算式之间的关系，再填一填。 （1）2＋4＋6＋8＋10＝（ ）×（ ）。 （2）2＋4＋6＋8＋10＋…＋（ ）＝10×11。 （3）我的发现：从（ ）起，n个（ ）相加，和等于（ ）。 24．观察下列表达式：解答问题：的末位数字是（ ）。 25．如图，甲、乙两人沿着边长为70米的正方形，按逆时针的方向行走，甲从A以65米/分的速度行走，乙从B以72米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时，是在正方形的边（ ）（AB、BC、CD或DA）上。 26．甲、乙、丙三根管子，甲管以每秒4克的流量流出含糖20%的糖水，乙管以每秒6克的流量流出含糖15%的糖水，丙管以每秒10克的流量流出水，但丙管打开后开始2秒不流，接着流5秒，然后又停2秒，再流5秒……现三管同时打开，1分钟后都关上，得到的混合溶液共（ ）克，它的含糖率是（ ）。 27．小美做一个剪纸片的游戏：有一张三角形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片；从这3张中任选一张，重复上述操作，得到4张纸片；……，如此下去。若最后得到10张纸片，其中有5张三角形纸片，2张四边形纸片，2张五边形纸片，则还有1张多边形纸片的边数是（ ）。 28．一张三角形的餐桌可以坐6人，按照下图的方式摆放餐桌和椅子：    像这样4张餐桌可以坐（ ）人，n张餐桌可以坐（ ）人。 29．表示n个a相乘，那么结果的个位数字是（ ）。 三、解答题 30．中国传统建筑中“三交六椀菱花”门窗装饰，以三根棂条精准交叉构成六瓣菱花，花心以竹木钉点缀。这种几何图案通过60度角完美分割空间，形成严谨的对称美，既展现了传统木作的精密计算，又赋予建筑以韵律感，是中国古代工匠对数学之美的极致表达。 （1）如上图，第1幅图有8个交点，第2幅图有13个交点，第3幅图有（ ）个交点，照这样的规律，第9幅图有（ ）个交点。 （2）根据上面的规律，请你推测一下有378个交点的是第几幅图？ 31．有一根50厘米长的木条，从一端起每隔5厘米做一个记号，每隔6厘米也做一个记号，然后沿着有记号的地方锯开，这根木条一共被锯成多少段？ 32．中国5G技术全球领先，已建成234万基站实现全覆盖，网速突破10Gbps！工程师从蜂巢获得灵感，采用六边形基站布局：既像蜜蜂筑巢般节省资源，又能实现信号无缝覆盖。有趣的是，随着网络扩展，基站会按特定数学规律增加，就像蜂巢层层生长一样。想知道这精妙的增长规律吗？快来一起探索5G网络背后的科学奥秘吧！ 序号 ① ② ③ ④ ⑤ …… 图形 …… 每层新增数 6 …… （1）观察蜂巢的生长规律，请你接着在表格里涂一涂，算一算。 （2）观察上表，先想一想新增第几层数和新增六边形个数的关系，再填一填第9幅图（即第8层）新增的六边形数量有（ ）个。 （3）观察上表，先想一想层数与正六边形总数的关系，再填一填第9幅图中一共有（ ）个六边形。 33．乐乐、欢欢、笑笑，都在少年宫学习画画。乐乐5天去一次，欢欢4天去一次，笑笑10天去一次。星期日他们三人同一时间去的，下一次三人一同去是星期几？ 34．如图，观察由梯形拼成的图形和所给表中的数据后回答问题。 梯形个数 1 2 3 4 5 … 图形周长 10 14 18 22 26 … （1）当梯形的个数为10个时，图形的周长是（ ）。 （2）当图形的周长为82时，梯形的个数是（ ）个。 35．陈亮小组的同学数学实践活动中，操作两个大小相同的圆形纸片A、B（直径均为2cm）。 活动记录：1.沿直线滚动（图1）：圆A在一条直线上滚动1圈，它前进的距离等于它的周长；2.绕另一个圆滚动（图2）：将圆A紧贴圆B的边，圆A绕圆B滚动一周，但它自己转了两圈。 为什么圆A转动的圈数不一样呢？请仔细观察图1和图2，动手画一画、算一算。把你的发现和思考记录下来吧！ 36．丽丽爱数学阅读，这次阅读分享活动她想与大家分享“次方之美”。 数学知识窗——次方之美 当我们把相同的数进行重复相乘时，就会用次方来进行描述。 比如：    表示2个5相乘；     表示4个6相乘；     表示6个7相乘。 （1）通过阅读数学知识窗，判断对错。对的画“√”，错的画“×”。 ①是的7倍。（ ） ②是7的6倍。（ ） （2）如图是7的1~9次方。计算出的结果的最后一个数字遵循了相应的规律，请仔细观察，用心思考。选一选的结果的最后一个数字是（     ）。         7        ＝49         ＝343         ＝2041         ＝16807         ＝117649     ＝823543     ＝5764801     ＝40353607 A．1 B．3 C．7 D．9 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 【专项训练】2026年小升初数学复习讲练测 第十章：探索规律 一、选择题 1．观察下边算式的规律，14285.7×42的正确得数应是（     ）。 14285.7×7＝99999.9 14285.7×14＝199999.8 14285.7×21＝299999.7 …… A．399999.6 B．499999.5 C．599999.4 D．699999.3 【答案】C 【分析】观察算式发现：第一个因数是14285.7不变，第二个因数依次是7的1倍、2倍、3倍。从第二个算式开始，积的整数部分都是六位数，最高位依次是1、2（呈依次加1的规律），后面五位都是9；积的小数部分依次是9、8、7（呈依次减1的规律）。因为42＝7×6，第二个因数是7的6倍。根据上述规律，积的整数部分最高位应是5，后面五位是9，即599999，积的小数部分应是4。 【详解】14285.7×42＝599999.4 故答案为：C 2．黑珠子和白珠子共有102颗，穿成一串，排列如下：○●○○○●○○○●○○○●○○……这串珠子中，黑珠子有（     ）颗。 A．26 B．25 C．76 D．77 【答案】A 【分析】观察珠子排列规律：1黑3白。一个完整周期包含颗珠子。 总珠子数为102颗， （组） （颗） ，25组表示有25个完整的 “1黑3白” 周期，余数2表示剩余2颗珠子，按规律排列为第1颗白，第2颗黑。 完整周期中的黑珠子： （颗） ，剩余2颗里有1颗是黑珠子，总计： （颗）。 【详解】由分析可得：这串珠子中，黑珠子有26颗。 故答案为：A 3．下面各正方形的四个数之间都有相同规律，根据此规律可以求出a的值是（     ）。 A．78 B．69 C．57 D．54 【答案】B 【分析】观察每组数据，1×3＋0＝3，3×5＋2＝17，5×7＋4＝39，由此可知，每组四个数中，左下角和右上角的数字相乘加上左上角的数字就是右下角的数字，右上角的数字依次比前一个表多2，左下角的数字是从1开始依次加2，找出规律即可求解。 【详解】左下角的数是7，右上角的数是9。 所以a的值是：7×9＋6 ＝63＋6 ＝69 4．观察如图点阵图的规律，第n个这样的点阵图中有（     ）个点。 A．3n B．3＋3n C．3＋（n－1）×3 D．6＋3n 【答案】B 【分析】根据图示，第1个这样的点阵图中有3×1＋3＝6（个）点，第2个这样的点阵图中有3×2＋3＝9（个）点，第3个这样的点阵图中有3×3＋3＝12（个）点，第n个这样的点阵图中有（3n＋3）个点。 【详解】第n个这样的点阵图中有（3n＋3）个点。 5．寺庙的钟声敲6下用了30秒，敲7下要花（     ）秒。 A．36 B．42 C．38 D．49 【答案】A 【分析】根据题意可知，寺庙的钟声敲6下，有5个间隔，一共用时30秒，则用30除以5，求出平均每两声之间的间隔时间；敲7下，有6个间隔，所以再用每两声之间的间隔时间乘6，即可解答。 【详解】30÷（6－1） ＝30÷5 ＝6（秒） 6×（7－1） ＝6×6 ＝36（秒） 寺庙的钟声敲6下用了30秒，敲7下要花36秒。 故答案为：A 6．下表中，将每列上下两个字组成一组，例如第一组为（共，社），第二组为（产，会），那么，第100组和第2022组分别是（     ）。 共 产 党 好 共 产 党 好 共 产 党 好 共 产 党 …… 社 会 主 义 好 社 会 主 义 好 社 会 主 义 好 …… A．（共，社）；（产，会） B．（好，好）；（产，会） C．（好，义）；（产，会） D．（好，义）；（共，义） 【答案】B 【分析】首先观察表格中上下两行文字的排列规律，确定每一行的循环周期。第一行“共产党好”4个字为一个周期，第二行“社会主义好”5个字为一个周期。要求第几组的字，就用组数除以各自的周期数，根据余数确定对应的字。若余数为0，则对应周期中的最后一个字；若余数不为0，则余数是几就对应周期中的第几个字。分别计算出第100组和第2022组上下两行的字，组成一组后即可解答。 【详解】第100组： 第一行：100÷4＝25，没有余数，对应周期最后一个字，则第一行的字为：好； 第二行：100÷5＝20，没有余数，对应周期最后一个字，则第二行的字为：好； 所以，第100组为（好，好）。 第2022组： 第一行：2022÷4＝505……2，余数是2，对应周期第二个字，则第一行的字为：产； 第二行：2022÷5＝404……2，余数是2，对应周期第二个字，则第二行的字为：会； 所以，第2022组为（产，会）。 7．如图，五角星中AB长3cm。一只小蚂蚁由点A开始爬，按ABCDEA…的顺序不断循环爬行。当小蚂蚁爬了2024cm时，它停在（     ）。 A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段DE上 D．线段EA上 【答案】D 【分析】用爬行距离÷每段距离＝爬行段数，根据周期问题的解题方法，爬行段数÷总段数，根据余数确定在哪条线段即可。确定周期后，用总量除以周期，如果正好是整数个周期，结果为周期的最后一个；如果比整数格周期多n个，也就是余数是n，那么结果为下一个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续计算。 【详解】2024÷3＝674（段）……2（cm） 周期AB、BC、CD、DE、EA 674÷5＝134（圈）……4（段） 当小蚂蚁爬了2024cm时，它停在线段EA上。 故答案为：D 8．丽丽用小棒摆五边形，如图，摆1个五边形用了5根小棒，摆2个五边形用了9根小棒，摆3个五边形用了13根小棒，……，按此规律摆下去，用85根小棒能摆（     ）个五边形。 A．19 B．21 C．23 D．25 【答案】B 【分析】先观察小棒数量的变化规律：摆1个五边形用5根，摆2个用9根，摆3个用13根。可以发现，每多摆1个五边形，小棒数量就增加4根，因此推导出摆n个五边形的小棒总数公式为（4n＋1）根。已知小棒总数为85根，将其代入公式列方程4n＋1＝85，解方程即可。 【详解】摆1个五边形：5＝1×4＋1 摆2个五边形：9＝2×4＋1 摆3个五边形：13＝3×4＋1 摆n个五边形：（4n＋1）根小棒 令4n＋1＝85 解：4n＋1－1＝85－1 4n＝84 4n÷4＝84÷4 n＝21 用85根小棒能摆21个五边形。 9．小马虎想要计算“1＋2＋3＋…＋n”的和，但是他不小心把其中一个数加了两次，得到的结果为2026，小马虎加了两次的数是（     ）。 A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】根据题意，错误的和比正确的和多了一个加数，且这个加数小于或等于最大的加数n。可以利用求和公式估算出n的值，计算出正确的和，再用错误的和减去正确的和，即可得到重复加的数。 【详解】因为其中一个数加了两次，所以错误的和2026比正确的和略大，即＜2026。 估算n的值：＜2026，两边同时乘2，可得≈2026×2＝4052。 60×60＝3600、63×64＝4032、64×65＝4160，所以n取63比较合适。 当n＝63时 ＝ ＝ ＝2016 2026－2016＝10 小马虎加了两次的数是10。 10．某种大肠杆菌细胞在环境适应的情况下，平均每20分会分裂一次，第一次分裂会变成两个细胞，第二次分裂这两个细胞会变成四个细胞，以此类推，经过（     ）分，这种大肠杆菌细胞会分裂成128个新细胞。 A．7 B．20 C．120 D．140 【答案】D 【分析】先根据题意明确大肠杆菌的分裂规律：每20分钟分裂1次，每次分裂后细胞数量变为原来的2倍；再从1个细胞开始，按每次数量翻倍的规律，依次列举出每次分裂后的细胞数量和对应的时间，直到细胞数量达到128个；最后根据分裂次数乘每次20分钟的间隔，求出总时间。 【详解】第1次：2个 第2次：2×2＝4（个） 第3次：4×2＝8（个） 第4次：8×2＝16（个） 第5次：16×2＝32（个） 第6次：32×2＝64（个） 第7次：64×2＝128（个） 总时间：7×20＝140（分钟） 所以经过140分钟，大肠杆菌会分裂成128个新细胞。 二、填空题 11．流水线上生产若干个小木球。按照红、红、白、黄、红、红、白、黄……这样生产下去，第47个小木球是（ ）色，在前123个小木球中，红球有（ ）个。 【答案】 白 62 【分析】（1）由题意可得，流水线上生产若干个小木球，按照红、红、白、黄4个颜色为一个周期进行循环，要求第47个小木球的颜色，先求可以分成几个周期：47÷4＝11（个）……3（个），若余数为1，说明为周期第一个颜色；余数为2，说明为周期第二个颜色；余数为3，说明为周期第三个颜色；无余数，说明为周期最后一个颜色。 （2）先算前123个木球中，可以分成几个周期：123÷4＝30（个）……3（个），余数为3，说明为周期第三个颜色：白色；因为每个周期内有2个红球，再求30个周期内红球的个数：30×2＝60（个）；最后加上余下的2个红球；据此解答即可。 【详解】47÷4＝11（个）……3（个） 则余数为3，说明第47个小木球的颜色为白色。 123÷4＝30（个）……3（个） 30×2＝60（个） 60＋2＝62（个） 则前123个小木球中，红球有62个。 12．微生物在生长过程中要经历迟缓期、对数期、稳定期和衰亡期。某种微生物在进入衰亡期时有1024个，之后每过30分钟减少为原来的一半，那么进入衰亡期后经过1小时，这种微生物还剩下（ ）个。 【答案】256 【分析】1小时＝60分钟，每30分钟为1个周期，因此1小时包含的周期数为：60÷30＝2个；初始数量（进入衰亡期时）：1024个，第1个周期（30分钟后），减少为原来的一半（即原来的），因为要经过2个周期，所以用1024乘两次即可得出还剩下多少个。 【详解】1小时＝60分钟 减少为原来的一半，即原来的。 60÷30＝2（个） ＝ ＝256（个） 进入衰亡期后经过1小时，这种微生物还剩下256个。 13．小兔妈妈给小兔买了200颗糖，小兔星期一吃了1颗糖，星期二吃了2颗糖，星期三吃了3颗糖……星期天吃了7颗糖，小兔星期（ ）吃了最后1颗糖。 【答案】三 【分析】解答这道题的关键是先求出小兔一个星期一共吃多少颗糖。题目中已知小兔星期一吃了1颗糖，星期二吃了2颗糖，星期三吃了3颗糖……星期天吃了7颗糖。根据1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，算出一星期的总糖数。用200除以28找到余数后，再按每周吃糖的这个周期排列确定最后一颗糖在星期几吃。 【详解】根据分析：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28（颗） 200÷28＝7（周）……4（颗） 剩余4颗，星期一吃1颗，星期二吃2颗，还剩1颗只能在星期三吃。 所以小兔星期三吃了最后1颗糖。 14．现有▲和共200个，按照如下规律排列：▲▲▲▲▲▲▲▲……，▲有（ ）个，有（ ）个。 【答案】 101 99 【分析】周期性循环，将一个循环周期看作一组，用总个数÷每一组的图形个数＝组数，余数是几，从最开始再数出几个，用组数乘每组中该图形的个数，如果余数中包含该图形，再加上余数中包含的个数即为该图形总个数。 【详解】 观察图形可知：为一组，一组中共有6个图形，200个图形共有：200÷6＝33（组）……2（个），这2个是一组的最前边两个，即2个▲，每组有3个▲，所以▲一共有： 33×3＋2 ＝99＋2 ＝101（个） 则有：200－101＝99（个） 15．斐波那契数列，分别是：1，1，2，3，5，8，13，21…如果要计算12＋12＋22＋32＋52＋82＋132，有什么简便的方法呢？我们可以先找找规律。观察下面的算式，并填空。 （ ）×（ ） （ ）×（ ）＝（ ） 【答案】 5 8 13 21 273 【分析】观察给出的算式，能发现斐波那契数列前几项的平方和，正好等于最后一项与它后一项的乘积。 【详解】12＋12＋22＋32＋52最后一项是5，后一项是8，所以12＋12＋22＋32＋52＝5×8； 12＋12＋22＋32＋52＋82＋132最后一项是13，后一项是21，所以12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＝13×21＝273。 16．小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表：当输入12时，输出的是（ ） 输入 1 2 3 4 5 … 输出 … 【答案】 【分析】观察数据发现，输入n时，输出的分数的分子就是n，分母是3n－1，即。 【详解】当输入12时，输出的分数的分子是12，分母是3×12－1＝36－1＝35，所以输出的是。 17．一个面积为1平方米的正方形，如图所示，第1次截去它的；第2次接着截去它的，共截去它的（ ）；第3次又接着截去它的，共截去它的（ ）……，照这样的截法，第6次就会接着截去它的（ ），共截去它的（ ）。 【答案】 【分析】由条件可知，每次截去的都是这个正方形的几分之几，则这个正方形就是整体单位“1”，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 【详解】，则第2次后共截去它的； ，则第3次后共截去它的； 可以发现规律是每次截去的是前一次的，第几次截去的面积对应的分数就是几个2相乘作分母1作分子组成的分数；共截去的面积是用1减去这个分数。 ，则第6次截去它的； ，则第6次后共截去它的。 18．先找规律，然后填空。 第一次截去后剩下 第二次截去后剩下 第三次截去后剩下 … … 第五次截去后剩下（ ），第（ ）次截去后剩下。 【答案】 七 【分析】观察可知，第一次剩下；第二次；第三次；第几次，就分子为，分母为几个相乘，据此填空。 【详解】25＝32 27＝128 第五次截去后剩下，第七次截去后剩下。 19．找规律填一填。 围成图4要用（ ）个黑色方块，（ ）个白色方块；按这样的规律围成的图形用了100个白色方块，黑色方块要用（ ）个。 【答案】 20 16 44 【分析】观察图中规律可知，图片的序号是几，白色方块的个数就是序号乘序号，若序号为n，则白色方块的个数是n×n＝n2；黑色方块第一幅图有8个，第二幅图有12个，第三幅图有16个，观察发现它们的个数都和4有关系，并且每幅图黑色方块的个数都可以表示为4×（序号＋1），因此第n幅图黑色方块的个数＝4×（n＋1）；如果按这样的规律围成的图形用了100个白色方块，说明序号乘序号等于100，则可知10×10＝100，也就是第10幅图，也就是序号是10，黑色方块的个数代入4×（序号＋1）解答。 【详解】根据分析可知，第4幅图序号是4，也就是n＝4 黑色方块：4×（n＋1） 4×（4＋1） ＝4×5 ＝20（个） 白色方块＝n2 4×4＝16（个） 围成图4要用20个黑色方块，16个白色方块。 根据分析可知，白色方块：n2，n表示图的序号， 用了100个白色方块也就是n2＝n×n＝100，所以n＝10，也就是第10幅图。 则黑色方块个数：4×（n＋1） 4×（10＋1） ＝4×11 ＝44（个） 如果按这样的规律围成的图形用了100个白色方块，黑色方块要用44个。 20．用同样大小的黑、白两种正方形如下图所示的方式摆图案，并按照规律一直摆下去。 第4个图形中白色方块有（ ）个，第（ ）个图形中白色方块有20个，第个图形中白色方块有（ ）个。 【答案】 14 6 3n＋2 【分析】先观察前三个图形中白色方块的个数，发现从第二个图形开始，每个图形都比前一个多3个，由此总结出第n个图形白色方块数量的公式为5＋3×（n－1）；接着将n＝4代入公式，求出第4个图形的白色方块数；再令公式结果等于20，通过解方程求出对应的图形序号。 【详解】第1个图形白色方块有5个 第2个图形白色方块有5＋3＝8个 第3个图形白色方块有8＋3＝11个 …… 第n个图形白色方块：5＋3×（n－1） ＝5＋3n－3 ＝（3n＋2）个 将n＝4代入公式 3×4＋2＝12＋2＝14（个） 即第4个图形白色方块有14个。 令3n＋2＝20 解：3n＋2－2＝20－2 3n＝18 3n÷3＝18÷3 n＝6 即第6个图形中白色方块有20个。 21．观察下面的图形，按此规律，第507个方框里有（ ）个点。 【答案】2025 【分析】第一个方框：1个 第二个方框： 1＋4＝5（个） 第三个方框： 1＋4＋4 ＝5＋4 ＝9（个） …… 可发现每增加一个方框，比前一个方框多4个点，第507个方框，比第一个方框多（507－1）×4个点，据此解答。 【详解】1＋（507－1）×4 ＝1＋506×4 ＝1＋2024 ＝2025（个） 22．小明按规律写了一串数：1，2，3，﹣4，5，6，7，﹣8，9，10，11，﹣12，…，他写的第90个数是（ ），此时他已经写了（ ）个负数。 【答案】 90 22 【分析】观察这串数，发现规律：每4个数为一组，每组前3个数是正数，第4个数是负数；且数字（不考虑负号）是从1开始依次增加1。 求第90个数是几，就是求90里有几个4，用除法计算，再结合余数的情况确定第90个数是正数还是负数；商表示有几组，每组有1个负数，有几组就有几个负数。 【详解】90÷4＝22（组）……2（个） 余数是2，表示是一组数里的第2个数，即是正数90； 每4个数为一组，每组里有1个负数，那么22组就有22个负数。 23．先观察下面每个图形中小长方形个数与所列算式之间的关系，再填一填。 （1）2＋4＋6＋8＋10＝（ ）×（ ）。 （2）2＋4＋6＋8＋10＋…＋（ ）＝10×11。 （3）我的发现：从（ ）起，n个（ ）相加，和等于（ ）。 【答案】（1） 5 6 （2）20 （3） 2 连续偶数 【分析】（1）通过图形展示的排列，推导规律。第1个算式：2＝1×2，是1个偶数（2），结果＝加数个数×（加数个数＋1）。第2个算式：2＋4＝2×3，是2个连续偶数（2、4）相加，结果＝加数个数×（加数个数＋1）。第3个算式：2＋4＋6＝3×4，是3个连续偶数（2、4、6）相加，结果＝加数个数×（加数个数＋1）。即，连续偶数相加的和＝偶数的个数×（偶数的个数＋1）。 （2）由规律可知，连续偶数相加时，最后一个偶数的大小＝偶数的个数×2。 （3）根据（1）中的结论：连续偶数相加的和＝偶数的个数×（偶数的个数＋1），将偶数的个数设为n个，将n代入公式计算求解，计算时，连续的偶数必须从2起。 【详解】（1）2、4、6、8、10一共有5个连续偶数， 所以，2＋4＋6＋8＋10＝5×6。 （2）10×11表示有10个偶数，则最后一个偶数为：。 2＋4＋6＋8＋10＋…＋20＝10×11。 （3）从2起，n个连续偶数相加，和等于。 24．观察下列表达式：解答问题：的末位数字是（ ）。 【答案】4 【分析】根据题意，可以算出每个加数的个位的和是多少，看末位就是所求；通过计算的个位依次是2，4，8，6，可知每4个数末位都是这样循环的，用2015除以4计算商和余数，商表示2，4，8，6的个数，再把余数对应的数字相加。 【详解】通过计算的个位依次是2，4，8，6，末位是这四个数的循环； 2015÷4＝503……3 （2＋4＋8＋6）×503＋（2＋4＋8） ＝20×503＋14 ＝10060＋14 ＝10074 所以算式的末位数字是4。 25．如图，甲、乙两人沿着边长为70米的正方形，按逆时针的方向行走，甲从A以65米/分的速度行走，乙从B以72米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时，是在正方形的边（ ）（AB、BC、CD或DA）上。 【答案】DA 【分析】设乙第一次追上甲用了x分钟，则有乙行走的路程等于甲行走的路程加上70×3，根据其相等关系列方程得72x＝65x＋70×3，根据，再用甲行走的总路程除以正方形的周长，所得的余数再与AB，AB与BC的和，AB、BC与CD的和比较即可得解。 【详解】解：设乙第一次追上甲用了x分钟。 72x＝65x＋70×3 72x－65x＝65x＋210－65x 7x＝210 7x÷7＝210÷7 x＝30 65×30＝1950（米） （米） 1950÷280＝6（圈）……270（米） AB的距离是70米，AB与BC的和是（米），AB、BC与CD的和是（米） 所以，乙第一次追上甲是在DA边上。 26．甲、乙、丙三根管子，甲管以每秒4克的流量流出含糖20%的糖水，乙管以每秒6克的流量流出含糖15%的糖水，丙管以每秒10克的流量流出水，但丙管打开后开始2秒不流，接着流5秒，然后又停2秒，再流5秒……现三管同时打开，1分钟后都关上，得到的混合溶液共（ ）克，它的含糖率是（ ）。 【答案】 1020 10 【分析】1分钟＝60秒，用甲管每秒流出的糖水克数乘60求出甲管1分钟流出的糖水质量，用乙管每秒流出的糖水克数乘60求出乙管1分钟流出的糖水质量，再根据“糖的质量＝糖水的质量×百分率”，分别求出甲管、乙管1分钟流出的糖的质量，丙管以每秒10克的流量流出水，但间歇流动：周期为停2秒流5秒，共7秒，用60除以7求出1分钟有几个周期余几秒，再用每个周期的流水时间乘周期数，再加上余下的几秒流水的秒数，求出丙管1分钟流水的秒数，再乘每秒流出的10克水，求出丙管1分钟内流出的水的质量，最后把甲管1分钟流出的糖水质量加上乙管1分钟流出的糖水质量，再加上丙管1分钟内流出的水的质量就是得到的混合溶液的质量，最后根据含糖率＝糖的质量÷糖水的质量×100%，用甲管、乙管1分钟流出的糖的质量和÷混合溶液的质量×100%求出含糖率。 【详解】1分钟＝60秒 4×60＝240（克） 6×60＝360（克） 60÷（2＋5） ＝60÷7 ＝8（个）……4（秒） 余下的4秒之中有2秒流水，所以丙管1分钟的流水时间为： 5×8＋2 ＝40＋2 ＝42（秒） 10×42＝420（克） 240＋360＋420 ＝600＋420 ＝1020（克） （240×20%＋360×15%）÷1020×100% ＝（48＋54）÷1020×100% ＝102÷1020×100% ＝0.1×100% ＝10% 所以1分钟后都关上，得到的混合溶液共1020克，含糖率是10%。 27．小美做一个剪纸片的游戏：有一张三角形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片；从这3张中任选一张，重复上述操作，得到4张纸片；……，如此下去。若最后得到10张纸片，其中有5张三角形纸片，2张四边形纸片，2张五边形纸片，则还有1张多边形纸片的边数是（ ）。 【答案】6 【分析】初始有1张三角形纸片，每剪1次纸片数增加1，最终得到10张纸片，所以总共剪了10减1等于9次；接着根据剪纸规律，每次剪纸会使总边数增加4，初始三角形总边数为3，因此9次剪纸后所有纸片的总边数为3＋9×4＝39；然后分别计算5个三角形、2个四边形、2个五边形的边数和；最后用总边数减去已知边数和，即可求出未知多边形的边数。 【详解】剪纸次数：10－1＝9（次） 总边数增量：9×4＝36 最终总边数：3＋36＝39 已知边数和：5×3＋2×4＋2×5 ＝15＋8＋10 ＝33 未知多边形边数：39－33＝6 28．一张三角形的餐桌可以坐6人，按照下图的方式摆放餐桌和椅子：    像这样4张餐桌可以坐（ ）人，n张餐桌可以坐（ ）人。 【答案】 12 2n＋4 【分析】由图分析知：一张餐桌坐6人，二张餐桌坐8人，三张餐桌坐10人，即 6＝2×1＋4，8＝2×2＋4，10＝2×3＋4 由此，可得出4张桌子可坐2×4＋4人，n张桌子可坐2n＋4人。 【详解】一张餐桌坐的人数： 2×1＋4＝6（人） 二张餐桌坐的人数： 2×2＋4＝8（人） 三张餐桌坐的人数： 2×3＋4＝10（人） 三张餐桌坐的人数： 2×4＋4＝12（人） n张餐桌可以坐： 2×n＋4＝2n＋4（人） 像这样4张餐桌可以坐（12）人，n张餐桌可以坐（2n＋4）人。 29．表示n个a相乘，那么结果的个位数字是（ ）。 【答案】7 【分析】一个数的乘方的个位数字，会按照固定的周期循环出现。我们先分别找出2n、3n、7n、9n的个位数字循环规律，再根据指数计算出每个数的个位，最后相加取个位即可。 【详解】22015的个位数字：2n的个位数字周期为：2，4，8，6； 2015÷4＝503⋯⋯3，余数为3，对应周期第3个数字，个位是8。 32016的个位数字：3n的个位数字周期为：3，9，7，1； 2016÷4＝504，余数为0，对应周期第4个数字，个位是1。 72017的个位数字：7n的个位数字周期为：7，9，3，1； 2017÷4＝504⋯⋯1，余数为1，对应周期第1个数字，个位是7。 92018的个位数字：9n的个位数字周期为：9，1； 2018÷2＝1009，余数为0，对应周期第2个数字，个位是1。 求和取个位：8＋1＋7＋1＝17，个位数字为7。 三、解答题 30．中国传统建筑中“三交六椀菱花”门窗装饰，以三根棂条精准交叉构成六瓣菱花，花心以竹木钉点缀。这种几何图案通过60度角完美分割空间，形成严谨的对称美，既展现了传统木作的精密计算，又赋予建筑以韵律感，是中国古代工匠对数学之美的极致表达。 （1）如上图，第1幅图有8个交点，第2幅图有13个交点，第3幅图有（ ）个交点，照这样的规律，第9幅图有（ ）个交点。 （2）根据上面的规律，请你推测一下有378个交点的是第几幅图？ 【答案】（1） 18 48 （2）75幅 【分析】（1）根据题意，已知第1幅图有8个交点，第2幅图有13个交点，先计算两幅图交点数的差，得出每增加一幅图交点数增加5个，据此总结出第n幅图交点数的计算方法，再代入第3幅和第9幅图的序号计算结果。 （2）根据已知的交点总数378个，结合总结的规律，先减去固定多出的3个交点，再用所得的差÷每幅图增加的5个交点，即可求出对应的图序号。 【详解】（1）计算相邻两幅图交点数的差值：13－8＝5（个），可知每增加1幅图，交点数增加5个。 总结规律：第n幅图的交点数＝8＋（n－1）×5，化简后为5n＋3。 计算第3幅图交点数：5×3＋3＝18（个） 计算第9幅图交点数：5×9＋3＝48（个） （2）378－3＝375（个） 375÷5＝75 答：有378个交点的是第75幅图。 31．有一根50厘米长的木条，从一端起每隔5厘米做一个记号，每隔6厘米也做一个记号，然后沿着有记号的地方锯开，这根木条一共被锯成多少段？ 【答案】17段 【分析】先分别用木条总长50厘米除以5厘米和6厘米的间隔，求出各自的间隔数。每隔5厘米做记号时，用间隔数减1得到记号个数；每隔6厘米做记号时，直接取商作为记号个数，不再减1。再求出5和6的最小公倍数，找出50厘米内重复记号的个数。用两种记号个数相加再减去重复个数，得到实际总记号数，最后用总记号数加1就是木条被锯成的段数。 【详解】50÷5－1 ＝10－1 ＝9（个） 50÷6＝8……2，共8个 5和6的最小公倍数是30，50以内30的倍数有1个 9＋8－1＝16（个） 16＋1＝17（段） 答：这根木条一共被锯成17段。 32．中国5G技术全球领先，已建成234万基站实现全覆盖，网速突破10Gbps！工程师从蜂巢获得灵感，采用六边形基站布局：既像蜜蜂筑巢般节省资源，又能实现信号无缝覆盖。有趣的是，随着网络扩展，基站会按特定数学规律增加，就像蜂巢层层生长一样。想知道这精妙的增长规律吗？快来一起探索5G网络背后的科学奥秘吧！ 序号 ① ② ③ ④ ⑤ …… 图形 …… 每层新增数 6 …… （1）观察蜂巢的生长规律，请你接着在表格里涂一涂，算一算。 （2）观察上表，先想一想新增第几层数和新增六边形个数的关系，再填一填第9幅图（即第8层）新增的六边形数量有（ ）个。 （3）观察上表，先想一想层数与正六边形总数的关系，再填一填第9幅图中一共有（ ）个六边形。 【答案】（1）见详解 （2）48 （3）217 【分析】（1）以一个正六边形为中心，逐渐向外扩散，涂出第①层、第②层、第③层…的新增六边形个数。 观察图形可知：，第①层新增0个，第②层新增6个后一层比前一层多新增6个，所以第③层新增6＋6＝12个，第④层新增12＋6＝18个，第⑤层新增18＋6＝24个。 （2）由前面规律可知，新增第n层的六边形个数为6×n，其中n从1开始指新增层序号，第9幅图（即第8层），则求当n＝8时，代入可得新增个数。 （3）第1幅图有1个六边形，从第2幅图开始，每层新增的个数依次为6×1，6×2，6×3，…，6×7，6×8（因为第9幅图是第8层，所以总数为1＋6×（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8）。 【详解】（1） 序号 ① ② ③ ④ ⑤ …… 图形 …… 每层新增数 6 12 18 24 …… （2）6×8＝48（个） 第9幅图（即第8层）新增的六边形数量有48个。 （3）1＋6×（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8） ＝1＋6×（3＋3＋4＋5＋6＋7＋8） ＝1＋6×（6＋4＋5＋6＋7＋8） ＝1＋6×（10＋5＋6＋7＋8） ＝1＋6×（15＋6＋7＋8） ＝1＋6×（21＋7＋8） ＝1＋6×（28＋8） ＝1＋6×36 ＝1＋216 ＝217（个） 第9幅图中一共有217个六边形。 33．乐乐、欢欢、笑笑，都在少年宫学习画画。乐乐5天去一次，欢欢4天去一次，笑笑10天去一次。星期日他们三人同一时间去的，下一次三人一同去是星期几？ 【答案】星期六 【分析】乐乐5天去一次，欢欢4天去一次，笑笑10天去一次，先求出5、4、10的最小公倍数，也就是下一次三人一同去经过的天数，用这个天数除以7求出20里包含几周余几天，从星期日开始往后数余数的天数即可解答。 【详解】5×4＝20 20÷10＝2 所以20和10的最小公倍数是20，即5、4、10的最小公倍数是20。 20÷7＝2（周）……6（天） 因为他们是星期日一同去的，往后数6天，是星期六。 答：下一次三人一同去是星期六。 34．如图，观察由梯形拼成的图形和所给表中的数据后回答问题。 梯形个数 1 2 3 4 5 … 图形周长 10 14 18 22 26 … （1）当梯形的个数为10个时，图形的周长是（ ）。 （2）当图形的周长为82时，梯形的个数是（ ）个。 【答案】（1）46 （2）19 【分析】（1）观察图形及表格可知，每增加一个梯形，图形的周长就增加4。据此总结出计算周长的规律表达式，求出梯形个数为10时，图形的周长。 （2）让上述表达式的结果等于82，求出梯形的个数。 【详解】（1）根据图形及表格可知： 当梯形个数为1时，周长为10，10＝1×4＋6； 当梯形个数为2时，周长为14，14＝2×4＋6； 当梯形个数为3时，周长为18，18＝3×4＋6； 当梯形个数为4时，周长为22，22＝4×4＋6； 当梯形个数为5时，周长为26，26＝5×4＋6； …… 由此可知，当梯形个数为n时，周长为n×4＋6＝4n＋6。 将n＝10代入上述表达式，得到当梯形个数为10时，图形的周长为： 4×10＋6 ＝40＋6 ＝46 （2）当图形的周长为82时，即： 4n＋6＝82 解：4n＝82－6 4n＝76 n＝76÷4 n＝19 因此，当图形的周长为82时，梯形的个数是19个。 35．陈亮小组的同学数学实践活动中，操作两个大小相同的圆形纸片A、B（直径均为2cm）。 活动记录：1.沿直线滚动（图1）：圆A在一条直线上滚动1圈，它前进的距离等于它的周长；2.绕另一个圆滚动（图2）：将圆A紧贴圆B的边，圆A绕圆B滚动一周，但它自己转了两圈。 为什么圆A转动的圈数不一样呢？请仔细观察图1和图2，动手画一画、算一算。把你的发现和思考记录下来吧！ 【答案】见解析 【分析】图1：沿直线滚动圆A的直径为2cm，周长为C＝πd＝2πcm。当圆A沿直线滚动1周时，它前进的距离正好等于自身的周长＝2πcm；因此，圆A只需要自转1圈就能完成这段滚动。图2：沿另一个圆滚动圆A和圆B大小相同，直径均为2cm，周长均为2πcm。当圆A紧贴圆B的边缘滚动一周时，它走过的路径是圆B的周长，即2πcm。但因为圆A是在一个曲线上滚动，除了自身的自转外，整个圆还在绕着圆B公转；圆A在公转1周的过程中，自身额外多转了1圈，所以，圆A总共自转了2圈。 【详解】图1中，圆A只做自转，转动圈数＝圆心移动距离÷自身周长＝2π÷2π＝1圈。图2中，圆A除了自转，还绕圆B的圆心做公转，总转动圈数＝轨迹长度÷自身周长＝4π÷2π＝2圈。因此，两种情况转动圈数不一样，原因是图2中圆A的圆心运动轨迹长度大于自身周长，多了一圈公转带来的转动。答：图1中圆A转动1圈，图2中圆A转动2圈，因为图2中圆A的圆心运动轨迹是半径为2cm的大圆，长度是自身周长的2倍。 36．丽丽爱数学阅读，这次阅读分享活动她想与大家分享“次方之美”。 数学知识窗——次方之美 当我们把相同的数进行重复相乘时，就会用次方来进行描述。 比如：    表示2个5相乘；     表示4个6相乘；     表示6个7相乘。 （1）通过阅读数学知识窗，判断对错。对的画“√”，错的画“×”。 ①是的7倍。（ ） ②是7的6倍。（ ） （2）如图是7的1~9次方。计算出的结果的最后一个数字遵循了相应的规律，请仔细观察，用心思考。选一选的结果的最后一个数字是（     ）。         7        ＝49         ＝343         ＝2041         ＝16807         ＝117649     ＝823543     ＝5764801     ＝40353607 A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】（1） √ × （2）C 【分析】（1）①根据次方的含义，表示5个7相乘；表示6个7相乘，6个7相乘可以写成5个7相乘再乘7，即；所以是的7倍。 ②表示6个7相乘，而7的6倍是7×6，二者意义不同，所以不是7的6倍。 （2）观察图中算式的计算结果可知，从开始，最后一个数字是按照7、9、3、1四个数字一组循环出现的，是第2025个算式，所以用2025÷4＝506（组）……1（个）求出2025中有506组完整的7、9、3、1循环，余数1表示下一个循环的第一个数7。 【详解】（1）① ＝ ＝ ＝7 所以是的7倍。原说法正确， 故答案为：√ ②是6个7相乘，不是7的6倍。原说法错误。 故答案为：× （2）图中计算结果可知，最后一个数字按照7、9、3、1四个数字一组循环出现。 2025÷4＝506（组）……1（个） 余数1表示下一组循环的第一个数7。 的结果的最后一个数字是7。 故答案为：C 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 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