小升初专题训练：探索规律（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

**基本信息** 聚焦图形、数列、算式规律探索，通过归纳推理构建数学模型，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图形规律|5题（正方形/正六边形/点阵）|观察增量→归纳通项公式（3n+1/5n+1）|从具体图形到代数表达，体现几何直观向符号意识转化| |数列与数表|4题（三角形数/有序数对）|递推关系分析→累加公式推导|数与形结合，构建数列与图形的对应关系| |算式规律|3题（平方差/分数裂项）|结构特征提取→公式化表达（n²-(n-1)²=2n-1）|从特殊算式到一般规律，培养代数推理能力| |周期问题|2题（手指计数/菱形拼图）|周期划分→余数定位法|建立周期性模型，发展数学建模意识|

小升初专题训练：探索规律 一、填空题 1．用等长的小棒像如图这样摆下去，摆n个正方形需要( )根小棒。 2．我们知道，，那么( )。 3．按下面用小棒摆正六边形。摆4个正六边形需要( )根小棒；摆10个正六边形需要( )根小棒；摆n个正六边形需要( )根小棒。 4．古希腊毕达哥拉斯学派信奉“万物皆数”，将“数”排列成三角形、正方形等美丽的图形。如下图，排列成三角形的数叫作三角形数。照这样排列下去，第8个图形所表示的数是( )。 5．如图，在各个手指间标记字母、、、。请你按图中箭头所指方向（即的方式）从开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当字母第200次出现时，恰好数到的数是( )。 6．如图，用棋子摆方阵，那么图⑥要摆( )枚棋子，图n要摆( )枚棋子。 7．观察算式的规律。22－12＝2＋1，32－22＝3＋2，42－32＝4＋3，52－42＝5＋4，…用含有字母n的式子表示上述规律：( )。用上述规律计算：102－92＋82－72＋62－52＋42－32＋22－12＝( )。 8．将正整数按照如图所示的规律排列下去，若用有序数对表示第排，从左往右数第个数，如（3，2）表示整数5，则（16，4）表示的数是( )。 9．填空 ，，，，，________。 10．观察下图各个图形的规律，可得出：第6个图形有( )个直角三角形；第个图形有( )个正方形． 二、选择题 11．如图，用灰白两种颜色的菱形纸片，按灰色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2020张白色纸片，则n的值为（    ）。 A．671 B．672 C．673 D．674 12．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”，从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和。下列等式中，符合这一规律的是（    ）。 A．13＝3＋10 B．25＝9＋16 C．36＝15＋21 D．49＝18＋31 13．认真观察下面这组图，第一幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，…… 按照上面的规律，第n幅图的点数为（    ）。 A．4n－3 B．4n＋3 C．6n－2 D．6n＋4 14．巧算：（    ）。 A． B． C． D． 15．将9个数从左到右排成一行，从第3个数开始，每个数恰好等于它前两个数之和，如果第8个数和第9个数分别是81和131，那么第一个数是（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题 16．观察下列点阵，在□里面画出第六个点阵，并写出它的算式。 17．找规律，并计算。 观察下列两组等式： 第一组：；；。 第二组：；；；。 回答下列问题： （1）我发现的规律：两个分数的（    ）相同，并且等于分母之（    ），则这两个分数的和就等于它们的积。 （2）根据这个规律计算： ①；     ②若，则正整数m等于（    ）。 18．（1）用一个长方形像图中那样任意圈出四个数字，你发现了什么规律？ （2）如果长方形中最上面一个数字用表示，最下面一个数字可以怎样表示？ （3）按这样的圈法，小丽圈出的四个数的和是200，你知道她圈的是哪四个数吗？算一算写出来。 19.观察下列三行数： ①0，3，8，15，24，… ②2，5，10，17，26，… ③0，6，16，30，48，… (1)．第①行数按什么规律排行？ (2)．第②行，第③行数与第①行数分别有什么关系？ (3)．分别从①②③行数中取出第a个数，并计算这三个数的和．（结果用含a的式子表示） 20．用同样规格的黑白两种颜色的正方形，按如图的方式拼图，请根据图中的信息完成下列的问题． （1）图②中用了　 　块黑色正方形，图③中用了　 　块黑色正方形； （2）按如图的规律继续铺下去，那第n个图形要用　 　块黑色正方形； （3）如果有足够多的白色正方形，能不能恰好用完90块黑色正方形，拼出具有以上规律的图形？如果可以请明它是第几个图形；如果不能，说明你的理由． 第4页，共5页 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．3n＋1 【分析】根据图形可知，摆一个正方形需要4个小棒，可以写成：3×1＋1＝4（根）；摆二个正方形需要7个小棒，可以写成：3×2＋1＝7（根），摆三个正方形需要10个小棒，可以写成：3×3＋1＝10（根）…由此可以推理得出一般规律解答问题。 【详解】根据分析：摆一个正方形需要小棒的数量：3×1＋1； 摆二个正方形需要小棒的数量：3×2＋1； 摆三个正方形需要小棒的数量：3×3＋1； …… 由此可知，摆n个正方形需要小棒的数量： 3×n＋1 ＝3n＋1（根） 用等长的小棒像如图这样摆下去，摆n个正方形需要3n＋1根小棒。 【点睛】根据题干中已知的图形的排列特点及其数量关系，推理得出一般的结论进行解答，是此类问题的关键。 2． 【分析】观察，，发现规律：分数相乘的中间项通过约分全部抵消，最终结果为一个分子为1、分母等于最后一个分母的分数，据此解答。 【详解】我们知道，，那么。 3． 21 51 5n＋1 【分析】观察图形可知，摆1个正六边形需要6根小棒，摆2个正六边形需要（5×2＋1）根小棒，摆3个正六边形需要（5×3＋1）根小棒，摆4个正六边形需要（5×4＋1）根小棒……则摆n个正六边形需要（5×n＋1）根小棒，据此解答即可。 【详解】5×4＋1 ＝20＋1 ＝21（根） 5×10＋1 ＝50＋1 ＝51（根） 5×n＋1＝（5n＋1）根 摆4个正六边形需要21根小棒；摆10个正六边形需要51根小棒；摆n个正六边形需要（5n＋1）根小棒。 4．36 【分析】根据题意，第一个图形有1个点，表示1；第二个图形有3个点，表示3，可以写成：1＋2＝3；第三个图形有6个点，表示6，可以写成：1＋2＋3＝6；第四个图形有10个点，表示10，可以写成：1＋2＋3＋4＝10；由此可知，第n个图形有（1＋2＋3＋＋n）个点，表示（1＋2＋3＋＋n），由此当n＝8时，把8代入算式计算即可。 【详解】根据分析可知，第n个图形有（1＋2＋3＋＋n）个点。 当n＝8时，表示的数是： 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36 古希腊毕达哥拉斯学派信奉“万物皆数”，将“数”排列成三角形、正方形等美丽的图形。如下图，排列成三角形的数叫作三角形数。照这样排列下去，第8个图形所表示的数是36。 5．599 【分析】由题可知，对应的数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，…，可得共6个数为1个周期，1个周期中字母出现2次，先用200除以2求出循环的周期数，再乘6，然后再减去最后一个数字即可。 【详解】200÷2×6－1 ＝100×6－1 ＝600－1 ＝599 因此当字母C第200次出现时，恰好数到的数是599。 【点睛】明确1个周期中字母出现2次是解答此题的关键。 6． 25 4n＋1 【分析】根据题意发现：图①有5枚棋子，图②有（5＋4）枚棋子，图③有（5＋4＋4）枚棋子，图④有（5＋4＋4＋4）枚棋子，……以此类推，图n的棋子数是5＋4（n－1）。 【详解】根据分析可知， 图n的棋子数是： 5＋4（n－1） ＝5＋4n－4 ＝（4n＋1）枚 当n＝6时， 4×6＋1 ＝24＋1 ＝25（枚） 图⑥要摆25枚棋子，图n要摆（4n＋1）枚棋子。 【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键是根据图示发现这组图形的规律，利用规律做题。 7． n2－（n－1）2＝2n－1 55 【分析】观察算式，发现规律，相邻两个自然数（0除外）的平方差等于这两个数的和，据此规律写出用字母n表示的式子，并用规律计算出算式的结果。 【详解】n2－（n－1）2 ＝n＋（n－1） ＝2n－1 即n2－（n－1）2＝2n－1。 102－92＋82－72＋62－52＋42－32＋22－12 ＝10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1 ＝（10＋1）＋（9＋2）＋（8＋3）＋（7＋4）＋（6＋5） ＝11×5 ＝55 【点睛】本题考查找规律，观察算式，找到算式的规律，应用发现的规律解决问题是解题的关键。 8．124 【分析】由图我们可以发现每排的数的个数与排数一样，（3，2）＝＋2＝5； （3，1）＝；（4，4）＝＝10…由此可以发现，所有的数对（m，n）＝，按此规律即可求解。 【详解】（16，4）＝ ＝ ＝120＋4 ＝124 【点睛】此题考查的是数与形规律，结合图形找规律、总结数字规律。 9． 【分析】后面一个分数的分子是相邻的前一个数的分母的2倍加上这个数的分子，分母是相邻的前一个数的分子与分母的和；按照这个规律计算即可。 【详解】分子：29×2＋41＝58＋41＝99，分母：41＋29＝70，这个分数是。 故答案为： 【点睛】本题考查了数的排列规律，关键是通过前后数的关系找到规律。 10． 24 n+1 【详解】略 11．C 【分析】观察可知，第1个图案中有张白色张片，第2个图案中有张白色张片，第3个图案中有张白色张片第n个图案中有张白色张片，即，据此解方程即可。 【详解】 解： 用灰白两种颜色的菱形纸片，按灰色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2020张白色纸片，则n的值为673。 故答案为：C 12．C 【分析】根据“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21、28、36、45…，“正方形数”的规律为1、4、9、16、25、36、49…，且任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，据此逐项判断即可。 【详解】A．13＝3＋10，3和10不是相邻的“三角形数”，不符合题意； B．25＝9＋16，9和16都不是“三角形数”，不符合题意； C．36＝15＋21，15和21是相邻的“三角形数”，且36是“正方形数”，符合题意； D．49＝18＋31，18和31都不是“三角形数”，不符合题意。 因此等式中，符合这一规律的是：36＝15＋21。 故答案为：C 13．A 【分析】观察图形，第1幅图的点数为：1＋4×0＝1； 第2幅图的点数为：1＋4×1＝5； 第3幅图的点数为：1＋4×2＝9； 第4幅图的点数为：1＋4×3＝13； …… 照这个规律，第n幅图点数应为：1＋4（n－1）＝4n－3。 【详解】按照上面的规律，第n幅图的点数为（4n－3）。 故答案为：A 14．C 【分析】解答这道题需明确减法的性质：，即2－－－－－－…－＝2－（＋＋＋＋＋…＋）。可以通过找规律的方法求出＋＋＋＋＋…＋的结果，再用2减去这个结果即可。 因为： ＋＝ ＋＋＝ ＋＋＋＝ 所以，＋＋＋＋＋…＋＝。 据此解答。 【详解】根据分析： 2－－－－－－…－ ＝2－（＋＋＋＋＋…＋） ＝2－ ＝－ ＝ ＝ 故答案为：C 【点睛】这道题的关键在于利用找规律的方法求出＋＋＋＋＋…＋结果，再用2减去这个结果即可。 15．B 【分析】用倒推法解决问题，每个数恰好等于它前面两个数之和。第7个数＋第8个数＝第9个数，第8个数和第9个数分别是81和131，则第7个数＝131－81＝50；第6个数＋第5个数＝第7个数，这样一个一个数往前面推。直至找出第一个数即可。 【详解】根据分析： 第7个数：131－81＝50 第6个数：81－50＝31 第5个数：50－31＝19 第4个数：31－19＝12 第3个数：19－12＝7 第2个数：12－7＝5 第1个数：7－5＝2 第一个数是2。 故答案为：B 16．见详解；1＋2＋3＋4＋5＋6 【分析】根据图可知，第几个点阵，就在前一个点阵的基础上，在最下面加几个点即可，由此即可画出第六个点阵；第一个点阵：1个点；第二个点阵：1＋2＝3个点，第三个点阵：1＋2＋3＝6个点，第四个点阵：1＋2＋3＋4＝10个点，由此即可知道第n个点阵的点数：1＋2＋3＋……＋n，据此写出第六个点阵的算式。 【详解】由分析可得，第六个点阵如图如下： 1＋2＋3＋4＋5＋6＝21 【点睛】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力。 17．（1）分子，和 （2）① ②19 【分析】（1）观察算式可知，若两个分数的分子相同，且分母之和等于分子，所以这两个分数的和等于它们的积； （2）①根据（1）中发现的规律进行计算即可； ②根据规律可知＝，然后根据发现的规律求出m的值即可。 【详解】（1）我发现的规律：两个分数的分子相同，并且等于分母之和，则这两个分数的和就等于它们的积。 （2）① ② ＝ ＝ 所以6＋m＝25 m＝19 【点睛】本题考查算式的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 18．（1）每相邻两个之间相差10； （2）； （3）35、45、55、65。 【分析】（1）观察上下相邻的数之间的大小关系，得出规律； （2）长方形中一共有4个数，最上面和最下面之间相差30，据此列式； （3）设小丽圈出的第一个数字为，下面的数依次是a＋10、a＋20、a＋30，根据四个数相加等于200，列出方程，求出第一个数，再分别求出下面的数即可。 【详解】（1）我发现圈出的4个数，每相邻两个之间相差10。 （2）最下面一个数字可以用表示。 （3）解：设小丽圈出的第一个数字为。 4＋60＝200 4＝140 ，，。 答：她圈的是35、45、55、65。 【点睛】本题考查了数字的排列规律和列方程解决问题，关键是发现数表中的规律。 19．(1)第a个数为a2﹣1 (2)第②行相对应的数比第①行数多2，第③行相对应的数是第①行数的2倍 (3)a2﹣1+a2+1+2（a2﹣1）=4a2﹣2 【分析】探索数与式的规律（1）第①行的每个数均为序数的平方减1；（2）第②行相对应的数比第①行数多2，第③行相对应的数是第①行数的2倍；（3）由（2）得出第②行第a个数为a2+1，第③行第a个数为2（a2﹣1），相加化简即可． (1)解：∵第1个数0=12﹣1，第2个数3=22﹣1，第3个数8=32﹣1，第4个数15=42﹣1，… ∴第a个数为a2﹣1 (2)第②行相对应的数比第①行数多2，第③行相对应的数是第①行数的2倍 (3)由（2）知，第②行第a个数为a2+1，第③行第a个数为2（a2﹣1）， ∴这三个数的和为a2﹣1+a2+1+2（a2﹣1）=4a2﹣2 20．（1）7，10；（2）3n+1;（3）3n+1． 【详解】分析：（1）观察如图可直接得出答案； （2）认真观察题目中给出的图形，结合问题（1），通过分析，即可找到规律，得出答案； （3）根据问题（2）中总结的规律，列出算式3n+1=90，如果结果是整数，则能够拼出具有以上规律的图形，否则，不能． 解答：解：（1）观察如图可以发现，图②中用了7 块黑色正方形，在图③中用了10 块黑色正方形； 故答案为7；10； （2）在图①中，需要黑色正方形的块数为3×1+1=4； 在图②中，需要黑色正方形的块数为3×2+1=7； 在图③中，需要黑色正方形的块数为3×3+1=10； 由此可以发现，第几个图形，需要黑色正方形的块数就等于3乘几，然后加1． 所以，按如图的规律继续铺下去，那么第n个图形要用3n+1块黑色正方形； 故答案为3n+1． （3）假设第n个图形恰好能用完90块黑色正方形，则3n+1=90， 解得：n=， 因为n不是整数，所以不能． 故答案为3n+1． 点评：此题主要考查了图形变化类这个知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，通过分析、思考，总结出图形变化的规律，属于难题． 答案第10页，共10页 答案第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $