宁夏中卫市海原县第一中学2025-2026学年高三下学期考前质检数学试题

**基本信息** 高三质检数学卷，120分钟150分，通过生活情境（如碳酸饮料与肥胖概率）、立体几何折叠、导数综合题，考查数学眼光观察、思维推理与语言表达能力，适配高考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数（1）、集合（2）、函数图像（4）、双曲线（11）|多选题（9-11）结合数列、三角函数、双曲线性质，区分思维层次| |填空题|3题15分|导数切线（12）、二项式定理（13）、数列递推（14）|第14题以等差数列为桥梁求通项与最值，体现知识交汇| |解答题|5题77分|概率分布列（15）、立体几何折叠（16）、椭圆综合（18）、导数应用（19）|16题折叠问题证明面面垂直并求二面角，19题导数与极值点不等式结合，考查逻辑推理与数学建模|

2025-2026学年高三下学期第四次质检数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若复数z＝a2﹣1+（a﹣1）i为纯虚数，则（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 2．已知集合A＝{x|0}，B＝{x|y，则A∩B＝（　　） A．[﹣1，1] B．[0，1] C．[0，1） D．（0，1） 3．已知直线l：2x﹣y＝0的一个方向向量为，向量，若与是共线向量，则实数m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．8 4．函数的图象在区间（0，1）上恰有一个对称中心，则ω的取值范围为（　　） A． B． C． D． 5．某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为．若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（　　） A． B． C． D． 6．已知点P在抛物线M：y2＝8x上，过点P作圆C：（x﹣4）2+y2＝1的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（　　） A．7 B．6 C．5 D． 7．已知正三棱锥A﹣BCD的底面边长为6，二面角A﹣BC﹣D的余弦值为，则正三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 8．已知f（x）＝ex﹣e﹣x+sinx﹣x，若正实数m，n满足f（2m）+f（n﹣1）＝0，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 二．多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．记Sn为数列{an}的前n项和，已知（k为常数），且a1＝2，则下列说法正确的是（　　） A． B．{an}是等比数列 C．设，则b1+b2+⋯+bn＜1 D．设，则c1+c2+⋯+cn＜1 10．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h（单位：cm）由关系式确定，以t为横坐标，h为纵坐标，下列选项中正确的是（　　） A．当时小球达到最高点 B．小球在开始振动（t＝0）时的位置离平衡位置的距离为 C．小球往复运动一次经过的时间为π秒 D．当时，小球向上运动 11．设双曲线的左焦点为F1，右焦点为F2，点P在E的右支上，且不与E的顶点重合，则下列命题中正确的是（　　） A．若a＝3且b＝2，则双曲线E的两条渐近线的方程是 B．若PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积等于b2 C．若点P的坐标为，则双曲线E的离心率大于3 D．以PF2为直径的圆与以E的实轴为直径的圆外切 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知函数f（x）＝x3﹣ax2﹣bx的图象在点（0，f（0））处的切线斜率为﹣4，且x＝﹣2时，y＝f（x）有极值，则a+b＝　 　 ． 13．（3﹣x）（1﹣x）4的展开式中x3的系数为　 　 ． 14．在数列{an}中，a1＝3，a2＝﹣2．数列{bn}满足bn＝an+1﹣an（n∈N*）．若{bn}是公差为2的等差数列，则{bn}的通项公式为bn＝　 　 ，an的最小值为　 　 ． 四．解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）李华参加一次招聘考试，已知共有8道题目，他只能答对其中5道．若随机抽取3道让李华回答，规定至少要答对其中2道才能通过考试． （1）记X为李华答对的题目数，求X的分布列及数学期望E（X）； （2）求李华能通过考试的概率． 16．（15分）已知菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，E为AD中点，如图一所示，现将△ABE沿着BE折起，使得点A到达点P，如图二所示． （1）当时，证明：平面PBC⊥平面PBE； （2）当PD＝1时，求平面PBC与平面PCD所成角的余弦值． 17．（15分）如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，BC＝CD＝2． （1）已知AB＝2，且AC＝AD， （i）当时，求△ABC的面积； （ii）若，求∠ABC． （2）已知，且，求AC的最大值． 18．（17分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，A，B分别是椭圆C的右顶点，上顶点，且|AB|． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点P（3，1）的直线l与椭圆C交于M，N两点，其中点M在第一象限，点N不在y轴上，设直线BM，BN的斜率分别为k1，k2． （i）求证：为定值； （ii）设直线BM与x轴交于点T，求△BNT的面积S的最大值． 19．（17分）已知函数f（x）＝a•lnx﹣ax+1，a∈R． （1）若经过点（0，0）的直线与函数f（x）的图像相切于点（2，f（2）），求实数a的值； （2）设，若函数g（x）在区间当为严格递减函数时，求实数a的取值范围； （3）对于（2）中的函数g（x），若函数g（x）有两个极值点为x1、x2（x1≠x2），且不等式g（x1）+g（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求实数λ的取值范围． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C A C A C C D BCD BC BCD 三．填空题 12．2． 13．﹣18． 14．2n﹣7；﹣6． 四．解答题 15．解：（1）李华参加一次招聘考试，已知共有8道题目，他只能答对其中5道， 若随机抽取3道让李华回答，规定至少要答对其中2道才能通过考试， 记X为李华答对的题目数，则X的所有可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以X的数学期望为； （2）因为至少答对其中2道才能通过考试， 所以通过考试包括答对2道题和答对3道题两种情况， 这两种情况是互斥的， 由（1）知，，， 所以， 所以李华能通过考试的概率为． 16．解：（1）证明：取BC的中点F，连接DF， 在△PBE中，由余弦定理可得， 即⇒2＝5﹣BE2，， 因此PE2+BE2＝PB2，即PE⊥BE， 因为，因此PE2+DE2＝PD2，即PE⊥ED， EB∩ED＝E，EB，ED⊂平面BFDE， BC⊂平面BFDE，因此PE⊥BC， 又菱形中BD＝CD＝AB＝2，∠C＝∠A＝60°，F为BC的中点， DF⊥BC且， 因此四边形BFDE为平行四边形， 因此BC⊥BE， 因为BE∩PE＝E，BE，PE⊂平面PEB，因此BC⊥平面PEB， 因为BC⊂平面PBC，因此平面PBC⊥平面PBE； （2）取ED的中点为O，连接PO，作Ox∥EB， 因为PD＝1，因此△PED为正三角形，由（1）可知Ox⊥ED， 以点O为坐标原点，根据图形的结构特征，将三条互相垂直的棱（或线段）分别作为x、y、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz， 则， ， 设平面PBC的法向量为， 则， 取x＝1，则， 同理设平面PCD的法向量为， 则， 取，则， 因此平面PBC与平面PCD所成角的余弦值为： |cos． 17．解：（1）（i）设AC＝x，在△ACD中，由余弦定理得，解得， 在△ABC中，AB＝BC＝2，则底边AC上的高， 所以△ABC的面积． （ii）设∠ADC＝θ，依题意，， 则AD＝AC＝2ABcos∠BAC＝4sinθ，CD＝2ADcos∠ADC＝8sinθcosθ＝2，即，而， 所以． （2）连接BD，△ABD中，，， 由余弦定理得， 则BD＝AB，，设，在△BCD中，BC＝CD＝2， 于是AB＝BD＝2BCcos∠CBD＝4cosα，在△ABC中，， 由余弦定理得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcos∠ABC， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，， 所以AC的最大值是． 18．解：（1）因为椭圆C的离心率为， 所以，即， 因为|AB|2＝a2+b2＝10， 又a2＝b2+c2，解得a＝3，b＝1， 则椭圆C的标准方程为； （2）（i）证明：设直线l的方程为 y﹣1＝k（x﹣3），其中k＞0，且，M（x1，y1）N（x2，y2）， 联立，消去y并整理得（9k2+1）x2﹣（54k2﹣18k）x+81k2﹣54k＝0， 由韦达定理得，， 所以 ， 则为定值，定值为﹣6； （ii）直线BM的方程为y＝k1x+1， 令y＝0，解得，即， 设直线BN与x轴交于点Q，直线BN的方程为y＝k2x+1， 令y＝0，解得，即， 由（i）知，所以， 所以点A（3，0）是线段TQ的中点， 则△BNT的面积S＝2，其中d为点N到直线AB的距离， 显然，当过点N且与直线AB平行的直线l′与椭圆C相切时，d取最大值． 设直线l′的方程为，即x+3y﹣3m＝0， 联立，消去y并整理得2x2﹣6mx+9m2﹣9＝0， 由Δ＝0，解得， 所以平行直线l′：与l：x+3y﹣3＝0 之间的距离为， 即d的最大值为， 此时△BNT的面积为． 即△BNT的面积S的最大值为． 19．解：（1）f（x）＝a•lnx﹣ax+1，则， ∴过点（2，f（2））切线的斜率， ∵在点（2，f（2））的切线过点（0，0）， ∴k，即，解得； （2）f（x）＝a•lnx﹣ax+1，，则， 函数g（x）在区间当为严格递减函数，转化为对x∈上的任意实数恒成立， ∴a对x∈上的任意实数恒成立， 令y，x∈，则y'， 由y'＝0得x＝2，由y'＞0得2＜x≤4，由y'＜0得x＜2， ∴y在（2，4]上单调递增，在[，2）上单调递减， 又当x＝4时，y，当x时，y， ∴当x＝4时，ymax， 故实数a的取值范围为； （3），x＞0， 函数g（x）有两个极值点为x1、x2（x1≠x2），转化为g'（x）＝0在（0，+∞）上有两个不同的根， ∴x2﹣ax+a＝0在（0，+∞）上有两个不同的根， ∴，解得a＞4， 不等式g（x1）+g（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，即λ， 又， 令，所以， 又a＞4， ∴h'（a）＜0恒成立，即在区间（4，+∞）上单调递减， ∴， ∴λ≥2ln2﹣3， 故实数λ的取值范围为[2ln2﹣3，+∞） 学科网（北京）股份有限公司 $