宁夏吴忠市兰亭中学2025-2026学年高三第二学期五月质检数学试卷

2025-2026学年高三第二学期五月质检数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，3，5}，则∁UM＝（　　） A．{4} B．{2，4} C．{2，5} D．{2} 2．已知i是虚数单位，则复数﹣i（3+i）的虚部是（　　） A．i B．﹣3i C．﹣3 D．3 3．函数f（x）＝（x2﹣8）ex的极大值为（　　） A．2 B．﹣4 C．8e﹣4 D．﹣4e2 4．若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率e为（　　） A． B． C． D． 5．已知，则sin2α﹣3cos2α＝（　　） A． B． C． D． 6．从0，1，2，3，4，5这六个数中，每次取三个不同的数字，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有（　　） A．40个 B．120个 C．360个 D．720个 7．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5+S3＝2S4+6，a3a6＝27，则{an}的公比为（　　） A．3或 B．3或 C．或 D．或 8．彩凤穿花纹是中国传统瓷器经典装饰纹样．某彩凤穿花纹碗如图1所示，其轴截面（不含碗的底座）如图2所示，已知该碗的底座高为1cm，曲线AC，BD均是焦点到准线的距离为5cm的抛物线的一部分，则该碗的高度为（　　） A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．如图，这是全国2025年下半年商品零售额和餐饮收入同比增长速度图，则全国2025年下半年（　　） A．商品零售额同比增长速度的极差为2.9% B．商品零售额同比增长速度逐渐降低 C．餐饮收入同比增长速度的30%分位数为1.1% D．餐饮收入同比增长速度的平均数小于2% 10．下列命题正确的是（　　） A．若{an}、{bn}均为等比数列且公比相等，则{an+bn}也是等比数列 B．若{an}为等比数列，其前n项和为Sn，则S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列 C．若{an}为等比数列，其前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比数列 D．若数列{an}的前n项和为Sn，则“”是“{Sn}为递增数列”的充分不必要条件 11．已知f（x）＝msinωx﹣cosωx（m＞0，ω＞0），g（x）＝2tanx，若对，使得f（x1）≤g（x2）成立，若f（x）在区间[0，π]上的值域为[﹣1，2]，则实数ω的值可能是（　　） A． B．1 C． D． 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知平面向量和，若，则x＝　 　 ． 13．若函数f（x）＝（x﹣a+1）（x2﹣1）是奇函数，则实数a＝ 　 　 ． 14．在航天探索的虚拟场景中，探测器在太空中的运行轨迹可看作空间直角坐标系Oxyz中的曲线C，探测器到空间中两个固定的监测点F1（﹣2，0，0），F2（2，0，0）的距离之积为定值m（m＞0），且曲线C经过坐标原点O（0，0，0），若探测器运行在Oxy平面上，则曲线C的方程为（x2+y2）2＝　 　 ，曲线C上任意两点间距离的最大值为　 　 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）证明：cosAcosB＝sinC； （2）若△ABC的面积为，求cosC． 16．（15分）如图，在圆台O1O2中，上、下底面半径分别为1和4，高为4，轴截面为四边形ABCD，E在下底⊙O2上，O2E⊥CD，F为O1E中点． （1）求证：O1E⊥平面O2CF； （2）求平面BDE与平面O2CF夹角的余弦值． 17．（15分）已知a∈R，函数f（x）＝x3﹣6x2+3（4﹣a）x． （1）若曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线与直线x﹣3y＝0垂直，求a的值； （2）若函数f（x）在区间（1，4）上单调递减，求a的取值范围． 18．（17分）如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，设P是第一象限内Γ上的一点，PF1、PF2的延长线分别交Γ于点Q1、Q2． （1）求△PF1Q2的周长； （2）求△PF1Q2面积的取值范围； （3）设r1、r2分别为△PF1Q2、△PF2Q1的内切圆半径，求r1﹣r2的最大值． 19．（17分）某班级在课堂上开展传递卡片游戏，规则如下： ①将n（n＜N*，n≥2）个学生依次编号为1，2，…，n，每个学生手中均有红卡、黑卡各一张； ②老师先给1号学生随机等可能地发放一张红卡或黑卡； ③2号从1号手中的三张卡片中随机抽取一张，接着，3号从2号手中的三张卡片中随机抽取一张，重复上述操作，直至n号从n﹣1号手中的三张卡片中随机抽取一张； ④老师从n号手中的三张卡片中随机取出一张弃置．则一轮游戏结束． （1）求在一轮游戏结束后，1号学生手中恰有两张红卡的概率； （2）求在一轮游戏结束后，n号学生手中红卡张数的期望； （3）在一轮游戏结束后，将手持两张同色卡片的学生淘汰，余下的学生重新编号，并按照游戏规则重新进行下一轮游戏；当且仅当只剩一个学生未被淘汰或所有学生均被淘汰时，游戏终止，求比赛进行两轮后终止，且此时只剩一个学生未被淘汰的概率． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C D A A A C 二．多选题 题号 9 10 11 答案 BC BD ABC 三．填空题 12．． 13．1． 14．8（x2﹣y2）；． 四．解答题 15．解：（1）证明：设a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC， 代入，得，即， 整理得cosAcosB＝sinAcosB+cosAsinB＝sin（A+B）， 由A+B+C＝π，得sin（A+B）＝sin（π﹣C）＝sinC， 所以cosAcosB＝sinC； （2）由面积公式得， 由正弦定理得， 整理得， 由A+B+C＝π，得cosC＝﹣cos（A+B）＝sinAsinB﹣cosAcosB， 由（1）得， 由平方关系得 因为C∈（0，π），所以sinC＞0， 解得sinC，cosC， 所以． 16．（1）证明：由题意知，O1O2＝O2E＝4， 因为F为O1E的中点，所以O2F⊥O1E， 由圆台的性质知，O1O2⊥平面CDE， 因为CD⊂平面CDE，所以O1O2⊥CD， 又O2E⊥CD，O1O2∩O2E＝O2，O1O2、O2E⊂平面O1O2E， 所以CD⊥平面O1O2E， 而O1E⊂平面O1O2E， 所以O1E⊥CD， 又CD∩O2F＝O2，CD、O2F⊂平面O2CF， 所以O1E⊥平面O2CF． （2）解：因为O1O2⊥平面CDE，O2E⊥CD， 故以点O2为坐标原点，O2E、O2C、O2O1所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B（0，1，4），D（0，﹣4，0），E（4，0，0），O1（0，0，4）， 所以，， 设平面BDE的法向量为，则， 取x＝4，则， 由（1）知O1E⊥平面O2CF， 所以平面O2CF的一个法向量为， 所以|cos，|． 故平面BDE与平面O2CF夹角的余弦值为． 17．解：（1）因为f'（x）＝3x2﹣12x+12﹣3a，则k＝f'（3）＝27﹣36+12﹣3a＝3﹣3a． 而直线x﹣3y＝0的斜率为，则k＝3﹣3a＝﹣3， 解得a＝2． （2）由f（x）在（1，4）上单调递减， 得f'（x）＝3x2﹣12x+12﹣3a≤0在（1，4）上恒成立， 即a≥x2﹣4x+4在（1，4）上恒成立， 令g（x）＝x2﹣4x+4，x∈（1，4）， 由二次函数的图象与性质可得g（2）≤g（x）＜g（4）， 即0≤g（x）＜4， 得a≥4， 即a的取值范围是[4，+∞）． 18．解：（1）∵F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q2为椭圆上的点， ∴PF1+PF2＝Q2F1+Q2F2＝2a，从而得到△PQ2F1的周长为4a． 由题意，得，即△PF1Q2的周长为． （2）由题意可设过PQ2的直线方程为x＝my+1，P（x0，y0），Q2（x2，y2）（x0＞0，y0＞0）， 联立，消去x得（m2+2）y2+2my﹣1＝0， 则， 所以， 令， 则（当时等号成立，即m＝0时）， 所以， 故△PF1Q2面积的取值范围为． （3）设Q1（x1，y1），直线F1P的方程为， 将其代入椭圆Γ的方程可得， 整理可得， 则，得，， 故． 当x0≠1时，直线F2P的方程为， 将其代入椭圆方程并整理可得， 同理，可得， 因为， 所以 ， 当且仅当时，等号成立． PF2⊥x轴时，易知，，， 此时， 综上，r1﹣r2的最大值为． 19．解：（1）解：记D＝“一轮游戏结束后1号手中有两张红卡”， 若要1号手中是两张红卡，则应从在1号手中放入红卡，取出黑卡， 所以， 所以一轮游戏结束后，1号学生恰有两张红卡的概率为； （2）记Ai＝“抽取卡片后i号学生手中有两张红卡和一张黑卡”，Bi＝“从i号手中取出的卡为红卡”， 所以，，，， 则由全概率公式可得：P（A）＝P（Ai﹣1）P（Bi﹣1|Ai﹣1）+P（）P（Bi﹣1|）P（Ai﹣1）P（）， 则，故， 又，所以，1≤i≤n， 假设一轮游戏结束后，n号手中红卡个数为X，X的可能取值为0，1，2， ， ， ， 所以； （3）由题可知，一轮游戏后至少还有两位学生未被淘汰， 记Mk＝“一轮游戏后剩k个学生未被淘汰”，其中k＝2，3，…，n， 记N＝“两轮游戏后恰好剩一个学生未被淘汰”， 则N＝M2N+M3N+⋯+MnN， 由（2）知，每个学生i一轮后最终卡片的状态概率为： 两红的概率， 两黑的概率， 所以单个学生被淘汰的概率均为，不淘汰的概率为， 故一轮结束后，未被淘汰的人数k服从二项分布， 所以，k＝2，3，…，n， 第二轮结束后，k人中剩1人未被淘汰的概率为：， 所以， 由全概率公式得： ， 因为， 因为， 所以， 所以比赛进行两轮后终止，且此时只剩一个学生未被淘汰的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $