河北沧州市肃宁县第一中学2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题

**基本信息** 立足高一数学核心内容，以向量投影、复数运算、空间几何及解三角形为主体，融合《九章算术》“阳马”文化素材，通过基础巩固与综合应用的梯度设计，考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量投影、复数虚部、斜二测画法|基础概念辨析，如投影向量坐标计算| |多选题|3/18|复数方程、几何体侧面积体积|综合判断，如圆柱与球表面积关系| |填空题|3/15|直观图面积、复数方程、解三角形中线|情境简洁，如利用余弦定理求中线长| |解答题|5/60|平面几何、三棱柱证明、阳马线面角|文化渗透与逻辑推理，如“阳马”线面垂直证明；数学思维应用，如向量与解三角形结合求范围|

高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知点，，，则在上的投影向量的坐标为(    ) A. B. C. D. 2.已知平面向量和满足，在方向上的投影向量为，则在方向上的投影向量为(    ) A. B. C. D. 3.复数为虚数单位的虚部为(    ) A. B. C. D. 4.如图，利用斜二测画法画出的四边形的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的面积为(    ) A. B. C. D. 5.，为空间两条不重合直线，为空间平面，下列命题正确的是(    ) A. ，，则 B. ，与所成角均为，则 C. ，，，则直线，到的距离相等 D. ，，则 6.已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.已知复数为虚数单位，则下列说法正确的是(    ) A. 的虚部为 B. 复数在复平面内对应的点位于第三象限 C. 的共轭复数 D. 8.在锐角中，角，，所对的边为，，，若，且，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.实系数一元二次方程有一个根是纯虚数，则  (    ) A. B. C. D. 10.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是(    )           A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为 11.设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是． A. 若，则点是的重心 B. 若，则点在线段的延长线上 C. 若，且，则的面积是面积的 D. 已知平面向量，满足，则为等腰三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积是          ． 13.已知是虚数单位，若复数满足，则          ． 14.在中，已知，，边的中线，那么          ． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，在平面四边形中，，， ，． 求的长； 求的正弦值． 16.本小题分 在三棱柱中，，平面，，分别是，的中点． 求证：平面； 求证：平面平面． 17.本小题分 设，在复平面内 对应的点为 ，那么求满足条件：的点 的集合的图形面积； 已知复数，，且，求的范围． 18.本小题分 九章算术中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥如图，四棱锥为阳马，底面，分别为的中点． 证明：平面； 证明：平面； 求直线与平面所成角的大小． 19.本小题分 如图所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，且满足，线段与线段交于点． Ⅰ若，求实数，的值； Ⅱ若，求实数的值； Ⅲ如图，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，求的最小值． 答案和解析 1.  2.  3.  4.  5.  6.  7.  8.  【解析】解：由，由正弦定理得 即有，而，则，又， 由正弦定理、余弦定理得，，化简得：， 由正弦定理有：，即，， 是锐角三角形且，有，，解得， 因此， 由得：，， 所以． 9.  10.  【解析】解：对于选项A：依题意得球的半径为， 则圆柱的侧面积为，故A错误 对于选项B：因为圆锥的底面半径为，高为，所以圆锥的母线为， 因此圆锥的侧面积为，故 B错误 对于选项C：球的表面积为，圆柱的侧面积为， 因此圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确 对于选项D：圆柱的体积， 圆锥的体积， 球的体积， 所以，故D正确． 故选CD． 11.  【解析】解：对于，设的中点为，若， 则点是的重心，故A正确； 对于，若，即有，即， 则点在边的延长线上，故B错误； 对于，若，且， 由右图可得为的中点，则的面积是面积的，故C正确； 对于，因为，所以，即， 所以， 因为，所以点在的角平分线上， 所以，所以， 所以，所以为等腰三角形，故D正确． 故选：． 12.  13.  14.  【解析】解：依题可设， ， 根据余弦定理： 在中， ， 即， 在中， ， 即， 与两式联立可以解得， 所以， 故答案为． 15.解：在中，由余弦定理可知： ， ； 在中，由正弦定理可知：， 即：， ．  ． 16.证明：，分别是，的中点． 所以，因为平面，平面， 所以平面； 因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面．  17.解：由复数的几何意义知：满足条件  的点 的集合的图形为圆环， 其中大圆半径为 ，小圆半径为 ， 故所求面积为  ． 因为   ，   ，且  ， 所以  ， 所以  且  ， 故  ， 因为  ，  ， 所以当  时，  有最小值为  ， 所以  范围为  ． 18.解：证明：作的中点，连接， 由得分别为的中点， 所以且， 又因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面，所以平面 证明：因为，所以， 因为底面，而底面，所以， 又因为平面，且， 所以平面，而平面， 所以， 因为，，所以，， 又因为平面， 所以平面； 连接交于点，连接， 因为点分别为的中点， 所以， 所以平面， 所以为在平面中的射影， 所以与平面所成角为， 由已知得 所以， 因为为锐角，所以， 所以与平面所成角为． 19.解：Ⅰ因为  ， 所以 ， 所以  ， 又  ，且  、  不共线， 所以  ，  ； Ⅱ因为、、三点共线， 所以存在实数使得， 所以， 因为，即， 所以， 又因为， 所以，且、不共线， 所以，解得， 所以． Ⅲ由Ⅱ可知，，且，， 所以， 因为，，三点共线，所以， 因为，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $