湖北随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高一下学期数学周练9

湖北曾都一中2025至2026学年高一下数学周练9 时间：2026-5-9---18:30-20:30 范围：人教A版必修1，2（5.4--8.3） 一、单选题 1．已知向量，为单位向量，，则，的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 2．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的面积为（    ） A． B． C． D．2 3．已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 6．已知在梯形中，且满足，E为中点，F为线段上靠近点B的三等分点，设，，则（    ）． A． B． C． D． 7．已知圆与圆的半径分别为3和1，圆与圆外切沿着圆周滚动如图所示，是圆的任意直径，则（    ） A．1 B．4 C．9 D．15 8．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题中不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 10．在中，角，，的对边分别为，，，若，为的中点，则下列结论正确的是（   ） A． B．当，时，仅有一解 C．当时，为等边三角形 D．当时，的最大值为 11．在中，，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知向量的夹角为，，，则________． 13．在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 14．一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________． 四、解答题 15．已知为虚数单位，，是的两个根. (1)设，满足方程，求的值； (2)设，复数，所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 16．如图，正三棱柱的各棱长均为2，D为棱的中点． (1)求该三棱柱的体积； (2)求点到平面的距离． 17．在锐角中，已知，，且． (1)求角B的大小； (2)若，求面积的最大值． 18．学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式： ， ， ， ． (1)证明：． (2)运用上面的公式解决下列问题： （i）已知，求的值； （ii）若，求的最大值． 19．长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向． (1)当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由． (2)当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？（不必近似计算） (3)当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？ 湖北曾都一中2025至2026学年高一下数学周练9 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D D B C D D ABC BCD 题号 11 答案 ABC 12. 13. 14． 圆柱的底面半径为，设铁球的半径为r，且， 由圆柱与球的性质知， 即，，故答案为：. 15．(1)，(2) 【详解】（1）因为， 所以方程的两个根，为共轭复数， 设，， 由韦达定理得，， 将，代入， 得，即， 所以，解得，所以，， 所以，． （2）因为，所以，所以，， 所以，， 因为与的夹角为钝角，所以，且与不共线， 所以，解得且， 所以实数的取值范围为. 16．(1)(2) 【详解】（1）正三棱柱的各棱长均为2， 所以； （2）设点到平面的距离为，由， 又， 所以，即得， 即， 解得. 17．(1)(2) 【详解】（1）由于，所以， 即，即， 由于是锐角，所以，所以. （2）依题意，，由正弦定理得， ，所以 ， 由于，所以， 所以， 所以当时，取得最大值为. 18．(1)证明见解析(2)（i）；（ii） 【详解】（1）由于， 且， 将两式相加，得， 两边同时除以2，得． （2）（i）由（1）可知 ， 结合已知条件可得． （ii） 由于，， 所以，原式 ， 当且时取到最大值，最大值为． 19．(1)的左侧.(2)，航行小时.(3) 【详解】（1）由题设，在反方向上的分速度为， ∴游船航行到达北岸的位置是在的左侧. （2）要使能到达处，则在反方向上的分速度为， ∴，故，又，此时， ∴垂直方向上的速度， ∴. （3）由（1）知：垂直方向航行时间为， ∴水平方向航行距离为， ∴游船航行到达北岸的实际航程. 学科网（北京）股份有限公司 $