湖北随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高一下学期数学周练8

**基本信息** 湖北曾都一中高一下数学周练聚焦必修1,2核心内容，以集合关系、复数运算、向量应用、解三角形为主体，通过巡逻艇追击（17题）等现实情境题与斜坐标系创新题（19题），考查数学眼光（空间观念）、思维（推理能力）及语言（模型意识），适配高一阶段性能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合关系（1题）、复数象限（2题）、向量垂直（3题）|基础概念辨析，如正方体与直四棱柱关系判断| |多选题|3/18|复数性质（9题）、三角形边角关系（10题）|选项分层，如10题结合锐角三角形判定与面积计算| |填空题|3/15|复数方程（12题）、三点共线（13题）|隐性考查转化思想，如13题向量共线参数求解| |解答题|5/77|向量夹角与模（15题）、解三角形应用（17题）、斜坐标系（19题）|梯度设计，15题基础运算，19题创新情境下的向量坐标应用，贴合高考对数学建模与创新意识的考查趋势|

曾都一中26年春高一数学周练8参考答案 2 3 4 5 6 9 10 11 B B D D B ACD BC BD 12.【答案】41 13.【答案】-3 14.【答案】5：1212 15.①m=1,-2.2-4,01U0,+o 【详解】(1)因为a=,6=(m,,所以=2，=Vm+3】 所以a-6=-m+3=2m2+5cs号=Vm+3,解得m=1-2. (2)由条件可得a+,a>0且a+5与a不平行，当m=2时，a+6=21-lN5+5, 可得22--+V5V5A+>0,解得元>-4， 若a+后，则2a-×5-V5+v5×(-=0,则2=0，所以元的取值范围是(4,0U(0,+) 16.【答案】(1)c0s2a=7 25 (2)tan B-2 【小问1详解】 tana= 已知 4“为锐角，由 tana=sina 3 cosa 4, 4 结合同角三角函数关系sin2a+cos2o=1,解得： sina=3 osa= 5, 由二倍角公式c0s2a=cos2a-sin2a,代入得：cos2a= 16-9_7 2525: 【小问2详解】 因内日为防“B(号引.又a--西0，国t“-9(利】 1310 由同角三角函数关系得：c0s(a-)=V1-sin(a-)=1-10-10,因此 tana-)=sina-月)、1 cos(a-)3,又B=a-(a-B),由正切差角公式： m8=ma-e-=12, 13 代入a子me-)=-{得：B 4 3 3 2=13 1*4 3 17.【答案】)两船相距V5海里. (2)巡逻艇应该北偏东 5方向去追，才能最快追上走私船， 【小问1详解】 由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时 BD=3×1=3,AC=2N2x1=2V2 由题意知∠B4C=90-30=60,在△ABC中，AB=V6+V2,AC=2V2 由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·4C.eos∠BAC =66+-(22-2x6+2122xl2 AC BC 2v2 23 所以BC=2V3.在△ABC中，由正弦定理得sin∠ABC sin∠BAC,即sin∠ABC sin60 所以sin∠ABC= 2∠4BC=45,（135舍去) 所在∠4CB=180-60-45=75,又∠CBD=180-45-45-60=30 在△BCD中，∠CBD=30,BD=3,BC=2V5 由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC-BD-c0s30=2W°+32-2×23x3c0s30°=3 “CD=√5，故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距V5海里， 【小问2详解】 当巡逻艇经过'小时经CE方向在E处追上走私船，则CE=3V2,DE=3,CD=V5 CD BD BC 在△BCD中，由正弦定理得：sin∠CBD sin∠BCD sin∠BDC,则 3 3 2W3 sin30°sin∠BCD sin∠BDC 所以sin∠BCD=3 ,ZBCD=60,∠BDC=-90,∠CDE=135 CE DE 在△CDE中，由正弦定理得：sin∠CDE sin∠DCE 则sin∠DCE=3-sin135°1 32t 2,故∠DCE=30（150舍) ∠ACE=∠ACB+∠BCD+∠DCE=75°+60°+30°=90°+75° 故巡逻艇应该北偏东75 方向去追，才能最快追上走私船. 33 18.【答案】(1)兀 (2)3 (3 6 22 【小问1详解】 因为sinC+V5cosC=-a,根据正孩定理inC+V3cosC-sn sinB sinBsinC+3sinBcosC-bsinA=sin(B+C) 即inC=V5co6inC,又snC0,所以an6=5,因为8=0，所以B=号. 【小问2详解】 由B二3及余弦定强容、 3-c+a-2accos ,即3=c2+a2-ac=(a+c)2-3ac, 1 又因为a十c=2,所以ac=3,所以 Saac=Sn+Saan=c e.BD.sin B 1 B 1 +a.BD.sin= -acsinB 22 2 1√5 所以BD(a+c小sim刀=acsin,即BD=马 2=3 2× 6 6 3 【小问3详解】 E=BA+BC 因为E是AC的中点，所以 21 E-4+2aac+c）4c2+a+aej-3+c 则 4 b 由正弦定理得，ac= sinB sinA.b sinB sinC=4sinAsinC=4sinAsin ac =23sindcos4+2sin4-sin24-c0524+1-2sin2+1 因为1e(0,m,c-2牙-Ae(0,,所以A∈(0，)，所以2A-(石7石) 3 所以m(2A-君(]所以oc=2sm(21-君)+1e0副，所以m'-3+0cc(云]， 利（怎引用发4C上的中装BE的院价范阳去〔誓引 19.【答案】a)OM=v91 2m15-23 (2)①3；②4 【小问1详解】 因为0M=(6,5),所以0M=6g+58, 所以0M=6e+5e}=36c+60e,e,+25c,=91,所以0M=V1. 【小问2详解】 ①因为0P=(2,1=26+6,00=(1,-1=g-6, 所以o=2g+g°-5+e.1o@=g-6-v2-2ge 得到0P.00=28+66-8=2-1-28g+g6=1-g6, 则cosB= 0P.0g 1-g·82 Op00 s+4ee.2-2ee,2' 化荷并整里背26-6-66-1-0，能特96=oa=方我g8=ma=1(给去.则 a=2n Γ3 ②依题意设OA=me,0B=n8,(m>0,n>0), 如图，作出符合题意的图形， e A 2 月06=01+丽=01+后而=0+名40+0丽例-8mg+行d E-OF-+e.E-nE. =25me+ne+6mne-e)=25m+m-3nm则， 在△0AB中， ∠A0B=25.h8=3,oi-mE-m,O丽-ng-m, 依据余弦定理得c0S∠AOB= oa+OB"-4B m2+n-91 204OB 2mn 2, 整理得m+n-9=-m,所0E.OF=2[5m+r+3m2+斤-9] =m+4标-2刘号2+， 在△01B中，∠408-行B-g由正孩定得2红n201mO%5. 3 设∠0AB=B,则oB=n=25sinB,1o4=m=2W5sim(写-B, 2m+=l22im（g--sim6 =21-c-2pjr1g2]-12[3-9n2p 因为0<B,所以20-(Q.则sn28e10则：所当B=牙，12号号m 22 取得最 15-25 小值18-6V3,即2m2+n2取最小值18-6V3,此时OE.OF取最小值4 湖北曾都一中2025至2026学年高一下数学周练8 时间：2026-04-25 18:30-20:30 范围：人教A版必修1,2（5.1-8.1） 1. 单选题（5分/8题，共40分） 1. 设集合M={正四棱柱},N={长方体},P={直四棱柱},Q={正方体},则这四个集合之间的关系是(　　) A.Q⫌M⫌N⫌P B.Q⫋M⫋N⫋P C.P⫋M⫋N⫋Q D.Q⫋N⫋M⫋P 2. 在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（ ） A. B. C. D. 1 4. 在∆ABC中，D是线段AC的中点，E是线段BD的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 在∆ABC中，角的对边分别为，若，，，则角等于（ ） A. 30° B. 60° C. 30°或60° D. 60°或120° 6．若函数是偶函数，则（    ） A．0 B． C． D． 7. 已知正三角形ABC的边长为6，，P是线段DE上的动点（含端点），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在∆ABC中，内角的对边分别为，且，则∆ABC面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 6 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，为的共轭复数，则（ ） A. B. 的虚部为-2 C. D. 在复平面内，对应的点在第三象限 10. 在∆ABC中，角的对边分别是，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. ∆ABC是锐角三角形 C. ∆ABC的最大内角是最小内角的2倍 D. 若，则∆ABC的面积为 11. 如图，在矩形ABCD内(不包含边界)有一动点Q，满足，，，若，其中，，则下列命题中正确的选项为（ ） A. 为定值 B. 且 C. 的最小值为 D. 的最大值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数是关于的方程的一个根，则_____． 13. 设为实数，若，，，，是不共线的两个非零向量且，，三点共线，则________． 14．设点在的内部，且，则 . 4、 解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知向量，． (1)若与的夹角为，求实数m值及的模； (2)若实数，向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 16. 已知为锐角，． （1）求的值； （2）求的值． 17. 如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击 （1）当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里 （2）问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船 18. 在中,内角所对的边分别是且. （1）求角; （2）若,求边上的角平分线长; （3）求边上的中线的取值范围． 19. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成的两条射线，，分别为Ox，Oy同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为． （1）在斜坐标系中，，求； （2）在斜坐标系中，，，且与的夹角． ①求； ②A，B分别在射线Ox，Oy上，，E，F为线段AB上两点，且，，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $