广东中山市华辰实验学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

广东省中山市华辰实验学校2025-2026学年高二下数学期中考 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.若数列{an}满足a1=a2=-2,an+2=an+1-an,则a6-a4=（） A.4 B.2 C.0 D.-2 2.下列导数运算正确的是() A.(cosz)'=sinz B.(log2).In2 C.(2)=2 3.已知{an}是无穷数列，设甲：存在常数q,使得2=g且3=g,乙：数列{an}为等比数列，则 () A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4.函数f(x)=e+1的图象在点(0，f(0)处的切线方程为(). A.3x-y+2=0B.2x-y+2=0C.x-y+2=0 D.x-4y+6=0 5.已知函数f(x)=e-1+f(1)x2+1,则f(2)=（) A.e+2 B.e-4 C.e-7 D.e-8 6设a∈R,若函数j(@)三23- 乙号22+心+2在1,2)内存在极值点，则a的取值范围是()】 C.（-00,3) D 7.在数列{an}中，a1=2,a2=1,an+2= 「an十2n为旑数， 则{an}的前20项和S20=() 2ann为偶数 A.621 B.622 C.1133 D.1134 8.已知函数f(x)的定义域为R,f(O)=2,若对任意x∈R,都有f(x)>1-f'(x),则不等式 f(x)<1+ex的解集为() A.(-0o,0) B.(0,+o) C.(-∞，-1)U1,+o∞) D.(-∞，-1)U0,1) 第1页共4页 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求.全部答对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 者封()=-323+2+2x+1是区间(m-1,m+4纠上的单调函数，则实数m的值可以是( A.-4 B.-3 C.3 D.4 10.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为S,m,且S3=9,a3是a1与a4的等比中项，则下列说法正 确的是() A.a2=3 B.d=-1 C.数列 ∫Sn 是递增数列 D.当Sm>0时，n的最大值为8 11.已知a1,a2,ag,a4成等比数列，满足a1+a2十a3十a4=(a2十a3十a4)2，且a4>1,下列选项 正确的是() A.a1>a3 B.a3>a4 C.a>a2 D.d2<a4 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12.正项等比数列中1 +品+=则品+ 2 13.若(1-2am)2021=a0+a1x+a2x2+…+a20212021,则a1+a2+…+a2021= a1+2a2+3ag+…+2021a2021= 14.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇衡量曲线弯 曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f(x)是f(x)的导函数，∫”(x)是∫(x)的导函 |f”(x) 数，则曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的曲率K= 则曲线(x)=√E在 {+P2} (1,1)处的曲率为；正弦曲线g(x)=sinx(x∈R)曲率的平方K2的最大值为 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程过演算步骤. 15.已知f()=alnc+2 十x (1)当a=1时，求f(x)的单调区间： (2)若当x≥2时∫(x)为单调递增函数，求实数a的取值范围. 第2页 共4页 16.在数列{an}中，已知a1=4,2an+1=an+3.2”. (1)证明：{am-2”}是等比数列： (2)求数列{an}的前n项和Sn. 17.已知数列{an}的前n项和为Sm(n∈N*). (1)若{a}为等差数列，a1=-1,e=1 a贴 g,求S,和an的表达式 ②若数到8满足+宁5+一云8=3+5.求a 18.已知函数f()=lnr- 2(x-1) x+1 (1)证明：当x>1时，f(x)>0: (2)从编号为1~100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20张，设抽取 9 、191 的20个号码互不相同的概率为p.证明：p< 10 <e21 第3页 共4页 19.已知函数f(x)的定义域为R,若T>0f(x+T)=T·f(),则称f(x)为类周期函数，T为f()的 一个类周期. (1)证明：f(x)=sinx不是类周期函数： (2)若V2是函数f(x)的一个类周期，且f(o)=1,记an=f(V2n)(n∈N),求数列{an}的前n 项和Sn: (3)若f(x)=a”(a>0且a>1)是类周期函数，求a的取值范围. 第4页 共4页 广东省中山市华辰实验学校2025-2026学年高二下数学期中考 数学参考答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.D 2.B 3.B 4.C 5.B 6.B 7.C 8.A 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求.全部答对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分· 9.C,D 10.A,B,D 11.A,D 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12.9 13.-2;-4042 14.①. 2②.1 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程过演算步骤。 15.0)（Dfc的定义域为0，+o,当a=1时f)=nE+2+, 回=是是+1”g-2e+2-山 2 当0<x<1时，f(x)<0,当x>1时，f(x)>0, 所以f(x)在(0,1)上的单调递减，在(1，+o∞)上单调递增. (2)(2)当x≥2时f(x)为单调增函数， .a2 所以f(x)=二 三+1≥0在2，+o)上恒成立， 第1页共10页 所以a≥2 x在2，+o∞)上恒成立， 2 令中(x)= -(如≥2)，则（巴）三-1<0恒成立 所以中(x)在[2，+∞)单调递减， 所以(r)max=(2)=-1. .a≥-1. 16.(1)见解答 (2)S=2n+1- 2-2+2 16,n=1, 17.(1)an=1-2m,5n=-n2:(2)an -4,n=2, 3×2m-1,n≥3. 18.(1)证明如下 (2)答案如下 19.(1)假设f(x)=sinx是类周期函数，且T(T>0)为f(x)的一个类周期， 则由f(x+T)=T·f(x),得sin(x+T)=Tsinc, 令x=0,得sinT=0,从而T=r,k∈N, 若k为奇数，则由sin(x+T)=Tsinx,得-sinx=knsinz,即(r+1)sinx=0① 若k为偶数，则由sin(x+T)=Tsing,得sinc=kπsinc,即(kr-l)sinx=0②， ①，②式不可能恒成立，故假设不成立，从而f(c)=sinx不是类周期函数. (2)因为v2是函数f(x)的一个类周期，所以f(c十√②)=V2f(x), 令x=0,则f(V②)=√2f(0)=V2, 令x=V2n,则f(√2n+√2)=V2f(W2n),即an+1=√2an 因为a1=f(√②)=√2，所以{an}是首项为√2，公比为√2的等比数列， v2[1-(w②] 则Sn= =-(2+V②)[1-(v②)"]=(2+√②)[(W2)”-1]. 1-v2 (3)设f(c)=a的类周期为T,则由f(e+T)=T·f(x),得a+7=T·a,则aF-T=0, 方法-：由a2-T=0,a≠1，得Ta=hT,即lna=n, g园-竖x>.则财回)-1 当x∈(0，e)时，g(x)>0,g(x)单调递增：当c∈(e,+∞)时，g(x)<0,g(x)单调递减， 若ge)x=ge)=子，从而lna≤，解得0<a<1或1<a≤e, e 即a的取值范围为0,1U(1,e]: 方法二：令g(x)=a”-x,由题意可知g(x)在(0，十∞)上存在零点， g(c）=a"Ina-1, 若0<a<1,则1na<0,g(x)<0,g(x)单调递减， 因为g(0)=1>0,9(1)=a-1<0,所以g(x)在(0,1)上存在零点，符合题意， 若a>1,则lna>0,由 第2页共10页 g (x)=0,=-loga (Ina), 若a≥e,则-logn(Ina)<0,当x∈(-oo,-logn(lna)时，g(x)<0,g(x)单调递减， 当x∈(-loga(na),+∞)时g(x)>0,g(x)单调递增， 从而当x∈(0，+o∞)时，g(x)>g(0)=1,故g(x)在(0，+∞)上不存在零点，不符合题意， 若1<a<e,则-loga(na)>0,当c∈(-∞，-loga(lna)时，g(x)<0,g(x)单调递减，当 x∈(-loga(lna),+∞)时，g(x)>0,g(x)单调递增， 从而当r∈(0，+x)时，g(a)≥g(-log.（ma)=na +loga (lna). ga)在(0,1上存在零点，得8+iog0a)≤0， 则na≤=】,则a≤e,从面1<a≤e, 综上，a的取值范围为(0,1U(1,e: 数学参考解析 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.D 【解答过程】 当n=1时，a3=la2-a1|=-2-（-2)川=0， 同理a4=2,a5=2,a6=0, 所以a6-a4=0-2=-2. 故选：D 2.B 【解答过程】 对于A,(cosx)'=-sinc,故A错误， 1 对于B,(og=n2'故B正确. 对于C,(2r)/=2r1n2,故C错误， 1 对于D, () 2 ,故D错误， 故选：B 3.B 【解答过程】 数列{an}为等比数列设其公比为q,则中=q→2=3=g, an al a2 若2=43=g方+中1=g,即数列{an}不一定为等比数列， a1 a2 an 所以甲是乙的必要条件但不是充分条件， 故选：B 4.C 【解答过程】 第3页共10页 依题意，f(0)=2,因为f(x)=e, 所以f(0)=1,所以切线方程为y-2=1(x-0),即x-y+2=0. 故选：C. 5.B 【解答过程】 根据导数运算公式求得函数f(x)的导数，令x=1求出f(1)=-1,再令x=2即可求解. f(x)=e-1+2f(1)x, 令x=1可得f(1)=1+2f(1)解得f'(1)=-1, 所以f(c)=e2-1-2x,所以f'(2)=e-4, 故选：B. 6.B 【解答过程】 依题意，f(x)=2x2一ax+1在(1,2)内存在变号零点，而x=0不是f1(x)的零点，从而得 a=2z+1,又g=2x+在1,2)上递增，所以3<a<2 9 故选：B 7.C 【解答过程】 设bn=a2m-1,cn=a2m,则b1=a1=2,C1=a2=1. 由已知可得， a2n+1-a2n-1=2,即bn+1-b=2, 所以{b}为以2为首项，2为公差的等差数列，bn=2+2(n-1)=2m. a2n+2 2a2n,ECn+1 2Cn, 所以{cn}为以1为首项，2为公比的等比数列，G=1×2n-1=2n-1 所以，{an}的前20项和S20=(b1+b2+·+b10)+(c1+c2+·+c0) =(2+4++20)+(1+2+…+2)=10×2+20+1×1-210） =1133 2 1-2 故选：C 8.A 【解答过程】 令函数g(x)=ef(x)-e2-1,由f(0)=2,得g(0)=f(0)-2=0, 又f(x)>1-f'(x),求导得g(x)=e[f(x)+f'(x)】-e”=e[f(x)+f(x)-1刂>0， 函数g(x)在R上单调递增，不等式f(x)<1+e”台ef(x)<1+e台g(x)<0=g(0), 解得x<0,所以不等式f(x)<1+er的解集为(-o∞，0). 故选：A 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求.全部答对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.C,D 【解答过程】 第4页共10页 由题意，f'(x)=-x2+x+2=-(x-2)(x+1), 令f(x)>0,解得-1<x<2,令f(x)<0,解得x<-1或x>2, 所以f(x)在(-1,2)上单调递减，在(-o∞，-1)，(2，+o∞)上单调递减， 若函数@)=+号2+2z+1在区间(m-1m+到上单两， 则m+4≤1或m1≥2或m+4<2,解得m≤5或m≥3或m∈0， 即m≤-5或m≥3. 故选：CD. 10.A,B,D 【解答过程】 设等差数列{an}的公差为d(d≠0) 由8，=9，是a1与a4的等比中项，得{ 3a2=9 a3=a1·a4 即{o+=a:-0-a:+2 a2=3 ， 解得d=-1,故AB正确： 则a,=2+(m-2)d=-n+5,a1=4,3n=n4-n+5)_n9-m 所以受-9”，又9。”随的消大面减个，所以数列 S〉是递减数列，故C错误： n 当S,=n(9m>0时，n<9,所以n的最大值为8，故D正确 2 故选：ABD 11.A,D 【解答过程】 .'a1,a2,a3,a4成等比数列， ++@++a学+学+号+a-(学+告+ 3 时++日+1=（+日+ 又.∵a4>1, 是安1（位小（停小 21,2 整理得+ 1 十 92 二<0，即q3+2q2+q+1<0, 令f(x)=x3+2x2+x+1,则f(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1), 由∫回)>0解得x>3或红<-1，由f)<0解得-1<<专 fo在(-0，-上单调造指，在(1，)上单调造成，在（分+o 上单调递增， @的数大值为)=1，极小省为() 23 27>0, 又.f(-2)=-1<0, .f(x)在区间(-2，-1)上有一个零点xo, 第5页共10页 即g3+2q+q+1<0时，q<x0<-1, .q>1, .‘a4>1, ,.a1,a2,a3,a4中，a1和ag为负数，a2和a4为正数， .∴.a3=a1q<a1,a4=a2q>a2, 故选：AD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12.9 【解答过程】 {an}为正项等比数列， ∴.q>0且a2a4=a32，a42=aga5,a4a6=a52, 1+2 1 =81可化为， a4a6 (°云+( 12 =81, 即(+)=81， a3 a5 1+ 1 =9. a3 a5 13.-2:-4042 【解答过程】 令28=0可得(1-0)2021=a0: 即a0=1, 令x=1可得(1-2)2021=a0+a1+a2+…+a2021, ∴.a1+a2+…a2021=-1-a0=-2, 又由(1-2x)2021=a0十a1x+2x2+…+a2021x2021两边分别求导可得， 2021×(1-2x)2020×(-2)=a1+2a2x+…+2021a2021x2020, 再令x=1可得2021×(1-2)2020×(-2)=a1+2a2+…+2021a2021, .a1+2a2+3a3+·+2021a2021=-4042, 故a1+a2+·+a2021=-2;a1+2a2+3a3+·+2021a2021=-4042. 14,①.2②.1 5月 【解答过程】 解： 少题意对f国=短r倒=子e.则r回分r0子 则K= 1f”(1川 2 （1+[F(2) 52 (2）由题意得，g(a)=cos,g()=-sin,K2=,sin2z sin2x (1+cos2x)3 (2-sina) 令t=2-sin2x∈[1,2，则 第6页共10页 K2= 2加间-2脚=-_29 6 t4, 显然当t∈[1,2]时，p'(t)<0,p(t)单调递减，所以p(t)mx=p(1)=1,∴K2的最大值为1， 2 故答案为：手，1， 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程过演算步骤 15.(1) (1)fe)的定义域为0，+oo),当0=1时f(回)=1nr+2+, f=是+1-+2-+0a- 当0<x<1时，f(x)<0,当x>1时，f(x)>0, 所以f(x)在(0,1)上的单调递减，在(1，+∞)上单调递增 【解答过程】 略 (2) (2)当x≥2时f(x)为单调增函数， 所W@)=：号+1≥02+xL室度 所以a≥2-在2，+o)上恒成立。 o回名a≥2》.6)=是-1<0恒成立 所以中(x)在[2，+o∞)单调递减， 所以(c)max=b(2)=-1. .a≥-1. 【解答过程】 略 16.(1) 见解答 【解答过程】 因为数列{an}中，2an+1=an+3×2”, 可得2(a+1-2+1)=am-2,a1-2≠0，所以1-21 1 an -2n= 21 因为a1=4,所以数列{am-2”}是首项为2，公比为2的等比数列. (2) Sn=2n+1、 2n2+2 【解答过程】 1,n-1 1n-2 由1)，可得a-2=2×(分=（分”，所以a= 2n2+2n, 所以数列{an}的前n项和 第7页共10页 21-(), Sn 2-1-2）21+2 1-方 1-2 17 16,m=1, (1)am=1-2m,Sn=-n2;(2)an= -4,n=2, 3×2n-1,n≥3. 【解答过程】 解：(1)设等差数列{an}的通项为an=a1+(n-1)d=-1+(n-1)d(d为等差数列的公差)， 则a6=-1+5d11 a5 -1+4a=9,解得d=-2, 所以a=1-2m,S=n(a,+a）=n-1+1-2m=-n2 2 2 a)+ 2252+…+ 275m=3m+5,① 1 1 当n≥2时， 6S十28+t2s1=3m-+5=3n+2,® 由①-②得， 8.=3.5=3×2， 当n=1时， 28=8,S1=16, 所以Sn= ∫3×2"，n≥2， 16,n=1. 当n=1时，a1=S1=16: 当n=2时，a2=S2-S1=12-16=-4: 当n≥3时，an=Sm-Sn-1=3×2n-1, 16,m=1 所以an= -4,n=2 3×2n-1,n≥3 本题考查等差数列通项、前项和的求法，考查运算能力和分析问题能力，属于中档题.求数列通 项、前n项和的方法如下： (1)判断数列是等差数列还是等比数列，列出相应通项公式： (2)根据S,n和a,之间的关系，求得an(讨论n符合的取值)： (3)判断数列是等差数列还是等比数列，列出前n项和S,m的式子. 18.(1) 证明如下 【解答过程】 由已知得函数f(x)的定义域为(0十o∞)， :f)=1-,4。-e-1 x(e+1)2x(x+1)2 ≥0， .函数f(x)在区间(1，十∞)上单调递增 又.f(1)=0 .当x>1时，f(x)>f(1)=0,即f(x)>0. (2) 答案如下 第8页 共10页 【解答过程】 由已知条件得，抽取的20个号码互不相同的概率为 A280100×99×98×·×81_99×98×·×81 = 10020 10020 10019 .99×81=902-92<902 同理98×82<902,97×83<902，·，81×99<902， 99×98×.×81<9019 :99×98×…×81 9019 919 10019 10019 (0, 9 19 1 再证： 10 9 9 即证：19ln <-2,即 1g'I 2 9. 10 10< 0+19<0, 由(1)得，当x<1时，f()<0,取x=10 9 =h品+<0. 2 19.(1) 假设f(x)=sinx是类周期函数，且T(T>0)为f(x)的一个类周期， 则由f(x+T)=T·f(x),得sin(c+T)=Tsinc, 令x=0,得sinT=0,从而T=r,∈N, 若k为奇数，则由sin(x+T)=Tsinx,得-sinx=knsinx,即(kr+l)sinx=0① 若k为偶数，则由sin(x+T)=Tsinc,得sinx=knsing,即(kr-l)sinc=0②， ①，②式不可能恒成立，故假设不成立，从而f(x)=sinx不是类周期函数. 【解答过程】 略 (2) 因为√2是函数f(x)的一个类周期，所以f(x+√②=v2∫(x) 令x=0,则f（V②)=V2f(0)=√2， 令x=v2n,则f(√2m+v√②)=√2f(√2n),即an+1=V2an, 因为a=f(V②)=V2,所以{an}是首项为v2,公比为v2的等比数列， v21-(W②” 则Sm= =-(2+V②)[1-（②)"]=(2+√②)[(W②)”-1. 1-√2 【解答过程】 略 (3) 设f(c)=a'的类周期为T,则由f(x+T)=T·f(),得a2+T=T·a,则aF-T=0, InT 方法一：由a-T=0,a≠1，得Ina=hT,即na=T, 令g()=r,x>0.则g(o)=1-1nr 当x∈(0，e)时，g(x)>0,g(x)单调递增：当x∈(e,+∞)时，g(x)<0,g(x)单调递减， 第9页 共10页 若es=ge)=是从而a≤是解得0<a<1或1<a≤e, 即a的取值范围为(0,1U(1,e]: 方法二：令g(x)=a-x,由题意可知g(x)在(0，十o∞)上存在零点， g(x)=a"lna-1, 若0<a<1,则lna<0,g(x)<0,g(x)单调递减， 因为g(0)=1>0,9(1)=a-1<0,所以g(x)在(0,1)上存在零点，符合题意， 若a>1,则lna>0,由g(x)=0,得x=-loga(lna), 若a≥e,则-loga(na)<0,当x∈(-o,-loga(lna)时，g(x)<0,g(x)单调递减， 当x∈(-log。(lna),+o)时g(x)>0,g(x)单调递增， 从而当x∈(0，+∞)时，g(x)>9(0)=1,故g(x)在(0，+∞)上不存在零点，不符合题意， 若1<a<e,则-loga(na)>0,当x∈（-o,-loga(lna)时，g(x)<0,g(x)单调递减，当 x∈(-loga(lna),十∞)时，g(x)>0,g(ac)单调递增， 从而当x∈(0，+∞)时，g(m)29(-1o8ma》=na+lo8.(ma. 由ga在Q,止在在零点，相品a+log.0a)≤0 则na≤abge=】,则a≤e,从而1<a≤e片， 综上，a的取值范围为(0,1儿U(1,e]。 【解答过程】 略 第10页 共10页