精品解析：贵州遵义航天高级中2025-2026学年高二第二学期第1次月考数学试题

贵州遵义航天高级中2025-2026学年高二第二学期第1次月考数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 3. 已知有7件产品，其中4件正品，3件次品，每次从中随机取出1件产品，抽出的产品不再放回，那么在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 某校甲、乙、丙、丁、戊五名学生分别上台演讲，已知甲是第二个演讲，乙不是第五个演讲，丙不是第一个演讲，则这五人的演讲顺序的种数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，则图中阴影部分的面积为（ ） 附：若随机变量，则，， A. 0.1359 B. 0.7282 C. 0.8641 D. 0.93205 6. 已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知双曲线的左右焦点分别为，，经过的直线与C的右支交于A，B两点，且，，则C的离心率是（ ） A. B. C. D. 8. 某市选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医生，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，则不同的分配方法种数为（ ） A. 720 B. 1480 C. 1080 D. 1440 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为了研究某款新上市智能手环的直播间展示时长（单位：分钟）与即时下单量（单位：件）之间的关系，某电商平台随机记录了5场直播带货的数据，如下表所示： 直播间展示时长 1 2 3 4 5 即时下单量 12 18 25 30 34 若与的经验回归方程为，样本相关系数为，则（ ） A. B. 回归直线过点 C. D. 当直播间展示时长为10分钟时，即时下单量的值估计为63 10. 为激发学生写字练字的兴趣，培养学生良好的书写习惯，提高学生规范整洁书写汉字的能力，引导学生感悟汉字魅力，弘扬中华文化，某校举办汉字书写大赛. 参加大赛的学生需要逐轮晋级最终进入决赛. 每轮晋级比赛中，两位选手需要经过多局比赛决出最终胜负. 规则要求晋级比赛双方其中一方比对方多胜两局，则比赛结束，胜局多者晋级；否则比赛继续，但最多进行五局，最终以胜局多者晋级. 在某轮晋级比赛中，甲乙二人对决. 其中每局比赛甲同学胜乙同学的概率为，乙同学胜甲同学的概率为. 则（ ） A. 比赛经过两局就结束的概率为 B. 甲在第四局结束后即晋级的概率为 C. 乙在第四局结束后即晋级的概率为 D. 比赛在第五局才结束的概率为 11. 如图，正方体的棱长为是棱上的动点（含端点），则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. C. 二面角的平面角的大小为 D. 存在某个点，使直线与平面所成角为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 的二项展开式中的系数为______． 13. 小明上学要经过两个有红绿灯的路口，已知小明在第一个路口遇到红灯的概率为，若他在第一个路口遇到红灯，第二个路口没有遇到红灯的概率为，在第一个路口没有遇到红灯，第二个路口遇到红灯的概率为，则小明在第二个路口遇到红灯的概率为__________． 14. ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校开展阅读兴趣调查，随机采访男生、女生各50人，每人从文学类书籍和科普类书籍中选择最喜欢的一类，喜欢文学类书籍的归为甲组，喜欢科普类书籍的归为乙组．调查发现：甲组成员共46人，其中男生16人． （1）依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢文学类还是科普类书籍是否与性别有关； （2）现从调查的女生中，按分层抽样选出5人，再从这5人中随机抽取3人赠送书签，记赠送书签的3人在甲组中的人数为，求的分布列及数学期望． 参考公式：，． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.841 10.828 16. 在中，内角所对的边分别为. （1）求； （2）若的面积为，求的周长. 17. 已知椭圆，为坐标原点． （1）求椭圆的焦点坐标和离心率； （2）设直线与椭圆交于两点，记弦的中点为，求点的轨迹方程； （3）求面积的最大值． 18. 如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点． （1）求证：∥平面； （2）求证：平面平面； （3）设平面与平面夹角为60°，，，求长． 19. 某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为，每局比赛，棋手胜加分；平局不得分；棋手负减分．当棋手总分为时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立. （1）求两局后比赛终止的概率； （2）在局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； （3）在挑战过程中，棋手每胜局，获奖千元．记局后比赛终止且棋手获奖万元的概率为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州遵义航天高级中2025-2026学年高二第二学期第1次月考数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项分布的期望值公式，即可求得结果. 【详解】因为，所以，解得. 故选：A. 2. 已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案. 【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得. 故选：C. 【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题. 3. 已知有7件产品，其中4件正品，3件次品，每次从中随机取出1件产品，抽出的产品不再放回，那么在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用缩小事件空间来求解. 【详解】第一次取得次品的条件下，第二次取产品时，共有6件产品，其中4件正品，所以第二次取得正品的概率为. 故选：B. 4. 某校甲、乙、丙、丁、戊五名学生分别上台演讲，已知甲是第二个演讲，乙不是第五个演讲，丙不是第一个演讲，则这五人的演讲顺序的种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】使用间接法计算，先将乙、丙、丁、戊进行全排列，然后减去乙排在第五个，丙在第一个的排列数，最后加上乙在第五，丙在第一的排列数即可. 【详解】由于甲的位置固定，所以其他学生进行全排列，则 甲第二，乙第五，排列数为 甲第二，丙第一，排列数为 甲第二，乙第五，丙第一，排列数为 所以甲是第二个演讲，乙不是第五个演讲，丙不是第一个演讲， 则这五人的演讲顺序的种数为 故选：B 5. 已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，则图中阴影部分的面积为（ ） 附：若随机变量，则，， A. 0.1359 B. 0.7282 C. 0.8641 D. 0.93205 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布密度曲线的对称性，可求出阴影部分的面积， 【详解】根据题意，随机变量满足正态分布， 得，，则对称轴为，且， 根据正态分布密度曲线的性质，可得阴影部分的面积 ． 故选：A 6. 已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据球的表面积和的面积可求得球的半径和外接圆半径，由球的性质可知所求距离. 【详解】 设球的半径为，则，解得：. 设外接圆半径为，边长为， 是面积为的等边三角形， ，解得：，， 球心到平面的距离. 故选：C. 【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面. 7. 已知双曲线的左右焦点分别为，，经过的直线与C的右支交于A，B两点，且，，则C的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据双曲线的定义和余弦定理，求得，在中，利用余弦定理，求得即，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】设，则， 由双曲线的定义，可得，所以， 又由， 因为，所以， 在中，由余弦定理得， ，即， 即，所以，则， 在中，由余弦定理得， 即，解得，所以， 所以双曲线的离心率为. 8. 某市选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医生，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，则不同的分配方法种数为（ ） A. 720 B. 1480 C. 1080 D. 1440 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，先考虑主治医师的两种分配方案，在每种方案中（注意平均分组），再考虑对应的实习医生的分配人数，最后将三个组合分配到3个乡镇即可. 【详解】由题意，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师， 则主治医师的分配方案有2种，即“”或“”. 当主治医师按照“”分配时，主治医师的分法种数为， 再将4名实习医生按照“”与之配成对应的三组，分法种数为， 最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为， 根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为； 当主治医师按照“”分配时，主治医师的分法种数为， 再将4名实习医生按照“”与之配成对应的三组，分法种数为， 最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为， 根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为. 根据分类加法计数原理，不同的分配方法种数为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为了研究某款新上市智能手环的直播间展示时长（单位：分钟）与即时下单量（单位：件）之间的关系，某电商平台随机记录了5场直播带货的数据，如下表所示： 直播间展示时长 1 2 3 4 5 即时下单量 12 18 25 30 34 若与的经验回归方程为，样本相关系数为，则（ ） A. B. 回归直线过点 C. D. 当直播间展示时长为10分钟时，即时下单量的值估计为63 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由数据可知，即时下单量随着直播间展示时长的增大而增大， 因此直播间展示时长与即时下单量为正相关，即样本相关系数，故A正确； 对于B，由数据可知，，， 则回归直线过中心点，不过点，故B错误； 对于C，将点代入，可得，解得，故C正确； 对于D，由C知，与的经验回归方程为， 则时，，故D正确. 10. 为激发学生写字练字的兴趣，培养学生良好的书写习惯，提高学生规范整洁书写汉字的能力，引导学生感悟汉字魅力，弘扬中华文化，某校举办汉字书写大赛. 参加大赛的学生需要逐轮晋级最终进入决赛. 每轮晋级比赛中，两位选手需要经过多局比赛决出最终胜负. 规则要求晋级比赛双方其中一方比对方多胜两局，则比赛结束，胜局多者晋级；否则比赛继续，但最多进行五局，最终以胜局多者晋级. 在某轮晋级比赛中，甲乙二人对决. 其中每局比赛甲同学胜乙同学的概率为，乙同学胜甲同学的概率为. 则（ ） A. 比赛经过两局就结束的概率为 B. 甲在第四局结束后即晋级的概率为 C. 乙在第四局结束后即晋级的概率为 D. 比赛在第五局才结束的概率为 【答案】AD 【解析】 【分析】由独立事件的乘法公式对选项一一计算即可得出答案. 【详解】对于A，比赛经过两局就结束的概率为：，故A正确； 对于B，甲在第四局结束后即晋级，则四局比赛乙胜了一局，且必须为第一或第二局， 则甲在第四局结束后即晋级的概率为，故B不正确； 对于C，乙在第四局结束后即晋级，则四局比赛甲胜了一局，且必须为第一或第二局， 则乙在第四局结束后即晋级的概率为，故C不正确； 对于D，比赛经过二局就结束的概率为， 比赛经过四局就结束的概率为， 比赛在第五局才结束的概率为：，故D正确. 故选：AD. 11. 如图，正方体的棱长为是棱上的动点（含端点），则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. C. 二面角的平面角的大小为 D. 存在某个点，使直线与平面所成角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A.根据等体积法的等高等底即可判断；应用空间向量法计算得出线线垂直判断B，再应用空间向量法计算线面角的正弦范围得出线面角的最大值为判断D，再结合二面角空间向量法计算判断C. 【详解】对于选项A：三棱锥转化为三棱锥的底面积为定值， 因为平面平面，所以到平面高不变，体积为定值，故选项A正确； 对于选项B： 如图建系，设，则 因为，， 所以得，故选项B正确； 对于选项D：取平面的法向量为， 因为 ， 则设直线与平面ABCD所成角,则， 当时，，这时直线与平面ABCD所成角最大值为，故选项D不正确； 对于选项C：设平面法向量为，， 所以，所以 所以令，可得，设平面法向量为， 设二面角 为，则 所以二面角的大小为，故选项C正确. 故选：ABC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 的二项展开式中的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据展开式的通项公式求出，得到答案. 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得， 故， 则展开式中的系数为. 故答案为：. 13. 小明上学要经过两个有红绿灯的路口，已知小明在第一个路口遇到红灯的概率为，若他在第一个路口遇到红灯，第二个路口没有遇到红灯的概率为，在第一个路口没有遇到红灯，第二个路口遇到红灯的概率为，则小明在第二个路口遇到红灯的概率为__________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据全概率公式即可求解. 【详解】由全概率公式可得小明在第二个路口遇到红灯的概率为， 故答案为： 14. ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校开展阅读兴趣调查，随机采访男生、女生各50人，每人从文学类书籍和科普类书籍中选择最喜欢的一类，喜欢文学类书籍的归为甲组，喜欢科普类书籍的归为乙组．调查发现：甲组成员共46人，其中男生16人． （1）依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢文学类还是科普类书籍是否与性别有关； （2）现从调查的女生中，按分层抽样选出5人，再从这5人中随机抽取3人赠送书签，记赠送书签的3人在甲组中的人数为，求的分布列及数学期望． 参考公式：，． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.841 10.828 【答案】（1）有关，理由见解析 （2）随机变量的分布列为 1 2 3 数学期望 【解析】 【分析】（1）根据题中信息列出列联表，设出零假设，计算的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）分析可知的可能取值有1、2、3，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可得出的值. 【小问1详解】 根据题中数据可得列联表如下： 甲组 乙组 合计 男生 16 34 50 女生 30 20 50 合计 46 54 100 零假设：学生喜欢文学类还是科普类书籍与性别无关， . 根据小概率值，对应的临界值，故我们推断不成立， 即认为学生喜欢文学类还是科普类书籍与性别有关. 【小问2详解】 由题意知，这5人中，甲组的人数为人，乙组的人数为人， 则随机变量的可能取值有1、2、3， ，，， 所以随机变量的分布列为 1 2 3 所以数学期望. 16. 在中，内角所对的边分别为. （1）求； （2）若的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意及正弦定理可得，从而，故，可求得； （2）根据面积公式可得，又由余弦定理可得，故可得，进而求得的周长． 【小问1详解】 由题意及正弦定理得， ， ， ， ， ∴． 又， ； 【小问2详解】 ， ． 由余弦定理得：， ， ∴， ∴， ， 又， 的周长为. 17. 已知椭圆，为坐标原点． （1）求椭圆的焦点坐标和离心率； （2）设直线与椭圆交于两点，记弦的中点为，求点的轨迹方程； （3）求面积的最大值． 【答案】（1）焦点坐标为，，离心率为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接套用椭圆的标准方程和基本性质公式即可求出焦点和离心率； （2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理表示出中点坐标，再消去参数即可得到中点的轨迹方程，注意对特殊情况的讨论； （3）利用弦长公式及点到直线的距离公式，将三角形面积表示成斜率的式子，转化为函数求最值即可求出面积最大值. 【小问1详解】 由题意知，，则， 由，，则，， 所以，椭圆的焦点坐标为，， 离心率. 【小问2详解】 设，，， 联立，消去得， 整理得，则，， 点为中点，所以由中点坐标公式可得， 又点在直线上，所以，则当，， 代入，化简整理得， 当时，直线为，此时中点为， 代入方程成立，满足方程， 因此，点的轨迹方程为. 【小问3详解】 由（2）知，， 所以， 化简得. 设点到直线的距离为，则， 所以. 令，则， 所以， 易知函数在时单调递增，因为， 所以当时，取最小值，为， 此时取最大值，为. 因此，面积的最大值为. 18. 如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点． （1）求证：∥平面； （2）求证：平面平面； （3）设平面与平面夹角为60°，，，求长． 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连交于点，连接，由线面平行判定定理可证； （2）证明CD⊥平面PAD,则应用面面垂直的判定定理证明即可； （3）建立空间坐标系，求出两平面的法向量，利用法向量的夹角公式运算得出AB的长． 【小问1详解】 连交于点，连接， ∵为中点，为中点. ∴， 平面，平面 平面 【小问2详解】 ∵平面 ，平面， ， ∵为矩形，, 又,平面,平面 ∴平面，又平面． 平面平面； 【小问3详解】 以为原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立空间坐标系如图所示， 设AB＝，则A（0，0，0），C（a，，0），D（0，，0），P（0，0，1），E（0，，）， ∴（a，，0），（0，，），（0，0，1）， 显然（1，0，0）为平面AED的一个法向量， 设平面ACE的法向量为（x，y，z），则，即， 令z得（，﹣1，）， ∵平面与平面夹角为60°， ∴|cos|＝||， 解得，即AB． 19. 某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为，每局比赛，棋手胜加分；平局不得分；棋手负减分．当棋手总分为时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立. （1）求两局后比赛终止的概率； （2）在局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； （3）在挑战过程中，棋手每胜局，获奖千元．记局后比赛终止且棋手获奖万元的概率为，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知，棋手可能得分或分比赛终止，列出两种情况下棋手的胜负情况，结合独立事件的概率公式和互斥事件概率公式可求得所求事件的概率； （2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值； （3）分析可知，甲共胜局，对棋手甲分两种情况讨论：（i）棋手第局以分比赛终止；（ii）棋手第局以分比赛终止.计算出“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率，分析数列的单调性，即可得出结论. 【小问1详解】 设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件， 设“两局后比赛终止”为事件， 因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或分比赛终止． （i）当棋手得分为分，则局均负，即； （ii）当棋手得分为分，则局先平后胜，即． 因为、互斥，所以 ． 所以两局后比赛终止的概率为． 【小问2详解】 设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件． 因为 ， ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为 ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为． 【小问3详解】 因为局获奖励万元，说明甲共胜局． （i）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种， （ii）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种， 则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率 ，． 所以． 因为，所以， 所以，所以单调递减， 所以当时，取最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $