湖南湘潭市2026届高三下学期学情检测数学试题

高三数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是定义在上的奇函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定的 5. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列区间中，单调递减的区间是（ ） A. B. C. D. 6. 现有甲､乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个出场，又不在最后一个出场，且乙不在第三个出场，则不同的出场顺序共有（ ） A. 120种 B. 96种 C. 72种 D. 60种 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. PM2.5是空气中的细小污染物，其浓度（单位：）越高，空气质量越差，浓度越低，空气质量越好.我国现行PM2.5国家标准规定：若PM2.5日平均浓度不超过35，则当天空气质量等级为“优”；若PM2.5日平均浓度超过35但不超过75，则当天空气质量等级为“良”.某城市一周内PM2.5日平均浓度如下表，则（ ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 PM2.5日平均浓度 34 27 43 23 45 26 19 A. 该城市这周共有5天的空气质量等级为“优” B. 该城市这周PM2.5日平均浓度数值的分位数为27 C. 该城市这周PM2.5日平均浓度数值的极差为28 D. 该城市这周PM2.5日平均浓度数值的平均数为31 10. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. 的取值范围为 C. 若，则的最大值为 D. 的最大值为 11. 已知是曲线上的动点，点，内切圆的圆心记为，直线与直线交于点，则（ ） A. 关于直线对称 B. 存在点，使得（为坐标原点） C. 为定值 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若曲线在点处的切线与直线平行，则__________． 13. 已知F是椭圆和抛物线的公共焦点，是的另一个焦点，是与的交点，若是等腰直角三角形，则的离心率为____________. 14. 已知平面内有5个互不相等的单位向量．若这5个向量中恰有1对向量互相平行，恰有3对向量互相垂直，则的最大值为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 如图，在正方体中，E，F分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）求二面角的正弦值. 16. 为促进消费，某商场面向顾客开展抽奖活动，规则如下：现有10个不透明的箱子，每个箱子内装有4个除颜色外其他完全相同的小球，其中5个箱子各装有2个白球和2个红球，另外5个箱子各装有1个白球和3个红球，顾客从10个箱子中随机地选取1个箱子，记所选的箱子中红球的个数为m，顾客可从选中的箱子中一次性取出个球，若取出的均是红球，则顾客可获得奖金元，否则无法获得奖金. （1）当时，求顾客可以获得奖金的概率； （2）当n取何值时，顾客获得奖金金额的期望更大？ 17. 已知数列和满足． （1）若，求的值； （2）若，且恒成立，求的取值范围； （3）设，若，证明：． 18. 已知双曲线的实轴长与虚轴长相等，且C的焦距为. （1）求C的方程. （2）对于C上的任意两点，定义：. （i）若A，B是C右支上两个不同的点，证明：. （ii）若，，是C右支上三个不同的点，且存在常数t，使得，证明为定值，并求该定值（用t表示）. 19. （1）求函数在上的最值． （2）证明：． （3）若，求的值． 高三数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）证明：连接，与交于点O，可知O为的中点. 连接.因为E是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3）证明如下： 由， 可得， 则， 两式相减得． 由，得， 则． 由，得， 则，即． 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析， 【19题答案】 【答案】（1）最大值为，最小值为 ； （2）证明：． 因为，所以由（1）可知，，则． 又，所以， 则，故，． （3） ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $