第二十章 勾股定理-【真题圈】2025-2026学年八年级下数学试题精选（人教版·新教材）

真题圈数学 同步调研卷 八年级下RJ12N 狗 2.第二十章学情调研 饰 (时间：120分钟满分：120分) 尽 ☒档 咖咖 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.在直角三角形中，若两直角边的长分别为3和4，则斜边的长为() A.3 B.4 C.5 D.√7 2.(期中·2024-2025首师大附中)以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( 8 A.√3,2，√5 B.1,w√3,2 p C.3,6,7 D.6,8,12 3.下列各组数：①3,4,5；②6,7,8；③2.5,6,6.5；④8,15,17，其中是勾股数的有( ) A.4组 C.3组 B.2组 D.1组 4.数学建模勾股（联考·2024-2025太原小店区）小逸从家出发，向正东方向走了160m,接着向正北 方向走了120m,此时小逸离家的距离为( h A.120m B.160m C.200m 金星D.280m 5.(期中·2024-2025厦门一中改编)如图，所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形 A,C的面积分别为6,10，则正方形B的边长是( ) A.8 B.4 C.2 D.34 B 些0 附 D 题)点 第5题图 第6题图 6.(期末·2023-2024郑州金水区)某古建筑屋顶房梁的一部分如图所示，其中AB=AC=2,AD」 BC,∠B=30°，则跨度BC的长为() ● A.√3 B.23 C.1 D.2√5 7.数学文化《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长短.横之不出四尺，从之不出二尺，邪之 适出.问户高、广、袤各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短.横放，竿比门宽长 出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等.问门高、宽、对角线长分别是多少？ 若设门对角线长为x尺，则可列方程为( ) A.x2=(x-4)2+(x-2)2 B.2x2=(x-4)2+(x-2)2 C.x2=4+(x-2)2 D.x2=(x-4)2+2 8.(期中·2024-2025天津河东区)如图，在Rt△ABC中，AB=9,BC=6,∠B= 90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN,则线段BN M D 的长为( A号 . 第8题图 C.4 D.5 9.(期中·2024-2025大连甘井子区)我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦 图”，是一种用面积关系证明勾股定理的方法.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是() 6 10.(期中·2024-2025重庆育才中学)如图，在一张边长为5cm的正方 形纸板ABCD上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与AD 平行且相等，横截面是一个边长为1cm的正方形，一只蚂蚁从点A 出发，翻过木块到达点C处，需要走的最短路程为( )cm 第10题图 A.5√2 B.61 C.√74 D.√89 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.(期末·2023-2024广州海珠区)已知△ABC的三边长分别为5,12,13，则△ABC的面积 为 12.（期中·2023-2024北京四中)如图，在数轴上点A表示的实数是 13.(期中·2023-2024福州仓山区改编)在平面直角坐标系xOy中，点A的坐 标为(3,2)，则OA的长是 第12题图 14.(期中·2023-2024沈阳大东区)若三角形三边长a,b,c满足(a+b)2=c2+2ab,则这个三角形是 三角形. 15.(期末·2024-2025福州晋安区)如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，A,B,C,D 都是格点，AB与CD相交于点P,则∠BPD= B A D 第15题图 第16题图 16.把Rt△ABC与Rt△CBD按如图所示拼在一起，其中∠CAB=∠BCD=90°，∠ACB=∠ABC=45°， ∠CBD=30°，AC边长是2√6，则△ACD的面积是 三、解答题（本大题共9小题，共72分》 17.(期末·2023-2024西安莲湖区)(6分)如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D.若AC=√/34，CD= 5,BC=13,求AB的长. 真题 第17题图 精品图书 金星教育 18.开放性试题(6分)如图是单位长度为1的正方形网格. (1)在图①中画出一条以格点（网格的交点）为端点，长度为√10的线段AB. (2)在图②中画出一个以格点为顶点、面积为5的正方形 -- ② 第18题图 19.(6分)如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E,求证：AE2=BE2+AC2 A D 第19题图 20.（期中·2024-2025武汉江岸区)(7分)如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=2,CD= 3,DA=1. (1)求∠DAC的度数， (2)求四边形ABCD的面积 爱学子 D 拒绝盗印 第20题图 21.（期中·2024-2025北京八中)(8分)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC延长线上的点， 连接AD 驰 (1)若AC=13,AB=12,AD=15,求CD的长. 烟 抑 (2)若AC平分∠BAD,BC=9,CD=15,直接写出AB的长 尽 00 B 第21题图 22.(期中·2024-2025广州荔湾区)(8分)周末，数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践 报告： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木 问题背景 鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段AB),勘测组测量了相关数据，并画出如下示意 测量数据 图，测得人放风筝的手与风筝的水平距离BC的长为15米，风筝线AB的长为25米，牵线放 风筝的手到地面的距离为1.7米. 数据处理组得到数据以后做了认真分析，请帮助他们完成以下任务： (1)根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度AD, (2)如果风筝沿AD方向下降了12米，BC的长度保持不变，求要收回多少米的风筝线？ A公 B C D 加 第22题图 阳删 23.新定义试题（期中·2023-2024厦门翔安区）(9分)定义：a,b,c为正实数，若c2=a2+b2,则称c为 “和谐勾股数”，α，b为c的“兄弟勾股数”.如52=32十42，则5是“和谐勾股数”，3,4是5的“兄弟 勾股数” (1)数10 “和谐勾股数”（填“是”或“不是”）. (2)已知△ABC的三边长a,b,c满足a2十b2十c2-2a-2b一2√2c十4=0，求证：c是“和谐勾 股数” 盗印必究 关爱学子 拒绝盗印 24.(期中·2024-2025沈阳沈北新区改编)(10分)请阅读下面文字并完成相关任务， 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”.我国最早对勾股定理进行 证明的是三国时期吴国的数学家赵爽！ (1)如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是： 大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2,另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面 积之和，即2b×4十(6-a),从而得到等式c2=a6×4十(6-a),化简便得结论a2+6=2. 这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式的方法，我们称之为“双求法”.现在，请你用“双求 法”解决下面问题 如图②，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4,AC=5,BC=6,设BD=x,求x的值 (2)如图③，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角边长为α，较长直角边长为b,且 a2十b2=ab十10，那么小正方形的面积为 (3)勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是() A.函数思想 B.整体思想 C.分类讨论思想 D.数形结合思想 x D f ② ③ 精品图书 第24题图 金星教育 25.探究性试题（期中·2022-2023北京四中）(12分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,BC=3,点 P从点A出发，沿射线AC以每秒2个单位长度的速度运动.设点P的运动时间为ts(t>0) (1)当点P在AC延长线上运动时，CP的长为 .(用含t的代数式表示) (2)若点P在∠ABC的平分线上，求t的值， (3)在整个运动中，直接写出△ABP是等腰三角形时t的值. P ● 第25题图 备用图 盗印必究 关爱学子 拒绝盗印19.【解】.x=√3+1，y=√3-1， x+y=(W3+1)+(W3-1)=23,x-y=(W3+1)-(W3 1)=2, .(1)x2+2xy+y2=(x+y)2=(23)=12. (2)x2-y2=(x+y)(x-y)=2W3×2=43. 20.【解】若设玩具在高空被抛出后伤害到了楼下的行人，则该玩具 64 最低的下落高度为h=10X0.=64(m, t√g 2x64_85≈8X2.236=3.5776(s). 5 5 ∴.最少经过约3.5776s落地就可能会伤害到楼下的行人. 21.【解】(1)小亮 (2)由条件可知m一3<0， 则m-2√m2-6m+9+6 =m-2√/(m-3)2+6 =m十2(m-3)+6 =m+2m-6+6=3m. 当m=-2026时，原式=3×(-2026)=-6078. 2.【解1K1)66分析：D=a++c_5+6+7=9, 2 2 S=√p(p-a)(p-b)(p-c)=√9X(9-5)X(9-6)X(9-7万 =6√6. (2)若a=5,b=√6，c=√7 则s=√a6-(+。C刀 =5x6 (W5)+(W6)2-(W7) 2 答，这个三角形的面积是， 23.【解】(1)6 (2)a与5一√3是关于4的共轭二次根式， ∴.a(5-3)=4, 4 4(√5+W3) a=5-5(5-3)5+3) =25+25. (2),'3+√3与6十√3m是关于12的共轭二次根式， ..(3+√3)(6+√3m)=12, 18+3√3m+6√3+3m=12, 33m+3m=-6√3-6， (33+3)m=-2(3√3+3). .m=-2. 24.【解】(1)W2-1 (2)9 1 1 1 分析2+1十3+厄+ 二十十 wJ100+√/99 √2-1 3一√2 4-3 (W2+1)(2-1)(3+V2)W3-2)(W4+3)(W4-3) 十…十 √100-√99 (√/100+99)（√100-√99） =√2-1十√3-√2+4-√3+…+√100-√99 =100-1=9. 1 5+2 (3)因为a=5—25-2)5+2) =5+2, 真题圈数学八年级下J12N 所以a-2=√5，所以(a-2)2=5, 即a2-4a+4=5,所以a2-4a=1, 所以3a2-12a-1=3(a2-4a)-1=3×1-1=2. 25.【解】(1)x=3 (2)x=士39 分析：（√2+42+x2+10)(√x2+42-√x2+10)=x2 +42-(x2+10)=32,√/x2+42+√/x2+10=16,.√2+42- √2+10=2， +42=9:x=39x=士√39. √/x2+10=7, 经检验，x=士√39是原方程的解. (3)V√4x+6x-5+√4x2-2x-5=4x (√/4x2+6x-5+√/4x2-2x-5)X(√/4x2+6x-5 √/4x2-2x-5)=4x2+6.x-5-(4x2-2x-5)=8x ∴.√/4x2+6x-5-√4x2-2x-5=2, |4x+6x-5=2x十1·解得x=3. √/4x2-2x-5=2x-1, 经检验，x=3是原方程的解，.原方程的解为x=3. 2.第二十章学情调研 题号12345678910 答案C B C C C B A C D C 1.C 2.B【解析】A.22十(W3)2≠(5)2，不能构成直角三角形，故A 不符合题意；B.12十(W3)2=22,能构成直角三角形，故B符合题 意；C.32十62≠7，不能构成直角三角形，故C不符合题意； D.6十8≠12，不能构成直角三角形，故D不符合题意.故选B. 3.C【解析】①32+4=52，符合勾股数的定义；②62+7≠82，不 符合勾股数的定义；③2.5,6.5不是正整数，不符合勾股数的定 义；④82十15=172，符合勾股数的定义.是勾股数的有①④，共 2组.故选C. 4.C【解析】如图，因为小逸从家出发，向正东方向走了160m,接 着向正北方向走了120m,所以BC=160m,BA=120m, ∠ABC=90°.在Rt△ABC中，由勾股定理得AC= √AB2+BC7=200(m).故选C. 北4 B a b C B东 第4题答图 第5题答图 5.C【解析】如图，令直角三角形的三边长分别为a,b,c,a2+ b2=c2,.正方形A的面积十正方形B的面积=正方形C的面积， .正方形B的面积是10一6=4，∴.正方形B的边长是2.故选C. 6.B【解析】'.AB=AC=2,AD⊥BC,∴.BD=CD..'∠B=30°， AD-AB-1.BD-AB-AD .BC=2BD=23.故选B. 7.A 8.C【解析】D是BC的中点，∴.BD=3.设BN=x,由折叠的 性质可得DN=AN=9-x.在Rt△BDN中，BN2+BD= DV,.x2十3=(9一x)2,解得x=4,故线段BN的长为4.故选C 答案与解析 9.D 10.C【解析】如图，由长方体侧面展D M 开得蚂蚁的爬行的最短路程为AC 的长，.AB=5+3-1=7(cm), ∴AC=√AB2+BC=√7+5 =√74，∴.蚂蚁的爬行的最短路A B 第10题答图 程为√74cm.故选C 11.30【解析】，△ABC的三边长分别为5,12,13，且52+122= 1.△ABC是直角三角形，△ABC的面积=号X5X 12=30.故答案为30. 12.5 13.√13【解析】点A的坐标为(3,2)，点O的坐标为(0,0)， .0A=√(3-0)+(2-0)=√13.故答案为√13. 14.直角【解析】：(a+b)2=c2+2ab,.a2+2ab+b2=c2+ 2ab,∴.a2十b2=c2,.这个三角形是直角三角形.故答案为 直角. 15.135【解析】如图，过点B作BFCD,连接EF,由勾股定理得 BE=√/12+2=√5，EF=/1十2=5，BF=√12+32= 10,∴.BE=EF,BE2+EF2=BF2,.∠BEF=90°， .∠EBF=45°，.'BF∥CD,∴.∠APD=∠EBF=45°， .∠BPD=180°-∠APD=135°.故答案为135. B E P 4 第15题答图 16.4√3【解析】，∠CAB=90°，∠ACB= ∠ABC=45°，AC=26,.AC=AB= 26,.BC =AC2FAB =43, ,∠BCD=90°，∠CBD=30°，设CD=x, 则BD=2x,根据勾股定理，得x2十 (4W3)2=4x2,.x=4(负值已舍去)，即 第16题答图 CD=4.过点A作AE⊥CD交DC的延长 线于点E,如图，∴.∠ECB=90°，.∠ACE=45°，.AE2十CE =AC2,∠EAC=45°=∠ACE,.∴.AE=EC,.'AE2+EC2 4C,∴2AE=ACAE号AC=23,二△ACD的面 =2CD·AE=号×4×25=45.放答案为45. 17.【解】因为CD⊥AB,所以∠CDA=∠CDB=90° 在Rt△ADC中，AD=VAC2-CD=√（√34）2-52=3， 在R△BDC中，BD=√BC-CD=√13-5=12， 所以AB=AD+BD=3+12=15. 18.【解】(1)如图①所示，AB即所求（答案不唯一）. .. A B 0 ② 第18题答图 (2)如图②所示，正方形即所求（答案不唯一）. 19.【证明】如图，连接AD,在△ABC中，，∠C=90°，D是BC的 中点，DE⊥AB于点E, A 2 D 第19题答图 .'.BD=CD, ..AE=AD-DE =AC2++CD2-(BD2-BE2) =AC2+BE2, 即AE2=BE2+AC2. 20.【解】(1)：AB=BC=2,∠B=90°， AC=√AB2+BC=√2+2=2W2, :AC2+AD2=(22)2+12=9,CD2=32=9, ∴.AC2+AD2=CD, ∴.△ACD为直角三角形，∠DAC=90°. (2)由（I)知，AC=2,2..S边形D=SAx十S△Am=2AB, BC+2AD:AC=号×2x2+3X1x22=2+E. 21.【解】(1)在Rt△ABC中，AC=13,AB=12, .BC=√AC-AB=5, 在Rt△ABD中，AD=15,AB=12, ..BD=/AD?-AB=9,..CD=BD-BC=4. (2)AB的长为18. A 分析：如图，过点C作CE⊥AD于点E, .'∠ABC=90°，AC平分∠BAD, ∴CE=BC=9, 在Rt△CDE中，CD=15,CE=9, .DE=√CD2-CE=12, 在Rt△ABC和Rt△AEC中， B C D AC=AC. 第21题答图 BC=EC. ∴.Rt△ABC≌Rt△AEC(HL),∴.AB=AE,∴.AD=AB+12, 在Rt△ABD中，AB+BD=AD, .AB2+(9+15)2=(AB+12). 解得AB=18, 即AB的长为18. 22.【解】(1)由题意得，∠ACB=90°， A☒ BC=15米，AB=25米， 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC2=AB2-BC2, A' ∴AC=√252-15=20（米）. 则AD=AC+CD=21.7(米). (2)如图，当风筝沿AD方向下降 D 了12米时， 第22题答图 ∴.A'C=AC-A'A=20-12=8(米)， 在Rt△A'BC中，由勾股定理，得A'B2=A'C2+BC2, .A'B=√82+15=17（米）， .25-17=8(米)， .要收回8米的风筝线。 23.(1)【解】是 (2)【证明】，a2+b2+c2-2a-2b-2√2c+4=0, ∴.(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(2-2√2c+2)=0. ..(a-1)2+(b-1)2+(c-√2)2=0. (a-1)2≥0，(b-1)≥0，(c-√2)2≥0， .a=1,b=1,c=√2，都是正实数 a2=1,b2=1,c2=(W2)2=2, ∴c2=a2+b2, c是“和谐勾股数”. 24.【解】(1)在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2=AB2一BD2= 42-x2=16-x2」 因为BC=BD+CD=6,所以CD=6-x, 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2=AC2一CD2=52一 (6-x)2=-11+12x-x2, 9 所以16-x2=-11+12x一x2,所以x=4 (2)2 分析：设大正方形的边长为c, 因为大正方形的面积是18，所以2=18，所以a+b2=c2=18. 因为a2+b2=ab+10,所以ab+10=18,所以ab=8, 所以小正方形的面积=(b一a)2=a2+b2-2ab=18-2×8=2. (3)D 25.【解】(1)2t-4 分析：在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,BC=3, 由勾股定理，得AC=√AB一BC2=4. :点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度运动，当点 P在AC的延长线上时，点P运动的长度为AC十CP=2t. .AC=4,.∴.CP=2t-AC=2t-4. (2)作∠ABC的平分线交AC于点P 过点P作PM⊥AB于点M,如图① 所示. ∠ACB=90°，.PC⊥BC. ,点P在∠ABC的平分线上， ◇ PM⊥AB,∴.PC=PM. 第25题答图① 又PB=PB, .∴.Rt△PCB≌Rt△PMB(HL). ∴.CB=MB,∴.AM=AB-MB=AB-BC=5-3=2. 设PM=PC=x,则AP=4一x. 在Rt△APM中，AM+PM2=AP2, 2+x2=(4-x)2,解得x=2 3 35 5 AP=4-8=。,1=号÷2=' 即若点P在∠AC的平分线上，则1的值为 (3加的值为瓷或2或 分析：①当AB作为等腰三角形的底边时，如图②所示，则 PA=PB. 设PA=a,则PB=a,PC=AC-AP=4-a. 在Rt△PCB中，PB2=PC2+CB2, 25 即。2=cd)2+32,解得a=8,此时t8:2=公； 16； P ② ③ 第25题答图 真题圈数学八年级下RJ2N ②当AB作为等腰三角形的腰时，如图③所示， 5 I.AP1=AB=5,此时t=5÷2=2; Ⅱ.AB=BP2, .BC⊥AP2, .AP2=2AC=8,此时t=8÷2=4. 综上可知1的值为名或名或4 3.阶段学情调研（一） 题号12345678910 答案A BAADD D BDA 1.A2.B 3.A【解析】A.a=(c-b)(c十b),∴.a2=c2-b2,∴a2+b2= c2,∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；B.1十2= 1十4=5,3=9，.1+2≠32，△ABC不是直角三角形，故本 选项不符合题意；C.,∠A=∠C,∴.△ABC是等腰三角形，不 一定是直角三角形，故本选项不符合题意；D.,∠A:∠B: ∠C=3:4:5,∠A+∠B+∠C=180°，∴.最大角∠C= 3+4+X180°=75<90，△4ABC不是直角三角形，故本选 5 项不符合题意.故选A. 4.A【解析】原式=4一5,2<5<3，.1<4-5<2.故选A 5.D【解析】如图，因为四边形ABCD D 15 E 是正方形，所以AB=CD,∠CDE= 90°.在Rt△CDE中，由勾股定理，得 17 CD2=CE2-DE2=172-152=64, B 第5题答图 所以阴影部分的面积之和=AB2= CD=64.故选D. 6.D【解析】，√y有意义∴y≥0，：xy<0,∴x<0,.√xy= x√y=一x√y.故选D. 7.D【解析】设吸管露在杯子外面的长度为 hcm,如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构 成直角三角形时，h最短，此时AB=√9+12 =15(cm),故h最短=20-15=5(cm),当吸管与 底面垂直时，h最大，h最大=20-12=8(cm).B .5h8,D选项符合题意.故选D. 第7题答图 8.B【解析】在Rt△ABC与Rt△ADC中，由勾股定理得AB= AC2+BC2,AD2=AC2+CD2, ..AB2-AD2=AC2+BC2-AC2-CD2=BC2-CD2 .BD=3,CD=2,.BC=5, ∴.AB2-AD2=BC2-CD2=52-22=21.故选B. 9.D【解析】.a=√2十1，b=√2-1，.a十b=2W2,ab=1. ∴.√a+3ab+b=√/(a+b)2+ab=√(22)+1=3.故选D. 10.A【解析】如图，图①和图②中七巧板对应如下，·正方形 ABCD的边长为4，∴.GF=AB=BC=4,MG=MF,∠MGF= 45°，∠EGM=90°，∠ABC=90°，∴.AC=/AB2+BC=4√2， 则EG=子AC=E,过点E作EHLG交PG的延长线于点 H,则∠EGH=90°-∠MGF=45°，∴.∠GEH=45°=∠EGH,