第二十章 题型四 最短距离 & 题型五 动点问题-【真题圈】2025-2026学年八年级下数学试题精选（人教版·新教材）

题型四 1.(期中·沈阳浑南区)某校“灯谜节”的奖品 是一个底面为等边三角形的三棱柱形灯笼 (如图)，在灯笼的侧面上，从顶点A到顶点 A'缠绕一圈彩带.已知此灯笼的高 为50cm,底面边长为40cm,则这 圈彩带的长度至少为( ) A.50 cm B.120 cm A C.130 cm D.150cm第1题图 2.(期中·重庆育才中学)如图是一个二级台 阶，每一级台阶的长、宽、高分别为60cm, 30cm,10cm.A和B是台阶两个相对的端 点，在B点有一只蚂蚁，想到A点去觅食， 那么它爬行的最短路程是( A.60 cm B.80 cm C.100 cm D.140 cm A 蚂蚁A 30 cm B蜂蜜 10 cm B 60 cm 第2题图 第3题图 3.(期中·武汉汉阳区)如图，圆柱形玻璃杯高 为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯 底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂 蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相 对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的最短距离为 cm(杯壁厚度不计). 4.(期中·青岛大学附中 D 改编)棱长分别为 B 5cm,3cm的两个正A 方体如图放置(A,B, G B. E三点共线)，点P在 D G E1F1上，且E1P= B E,F,一只蚂敏若 第4题图 要沿着正方体的表面从点A爬到点P,则它 需要爬行的最短距离是 cm. 5.(联考·深圳龙岗区)【材料】如图①，有一个 圆柱，它的高为12cm,底面圆的周长为 18cm,在圆柱下底面的点A处有一只蚂 重难题型练 最短距离 蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处 的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是 多少？ 【方法】对于立体图形中求最短路程问题，应 把立体图形展开成平面图形，再确定A,B 两点的位置，依据“两点之间，线段最短”，解 决问题.如图②，在圆柱的侧面展开图中，点 A,B对应的位置如图所示，则蚂蚁爬行的 最短路程是线段AB的长 【应用】(1)如图③，圆柱形玻璃容器的高为 18cm,底面周长为60cm,在外侧距下底 1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的外 侧距上底1cm的点F处有一苍蝇，求急于 捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路程. (2)如图④，长方体的棱长AB=BC=6cm, AA1=14cm,假设昆虫甲从盒内顶点C,开 始以1cm/s的速度在盒子的内部沿棱C1C 向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同 的速度在盒内壁的侧面向上爬行，那么昆虫 乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 精品图 112 9 C ①① ② D,无盖 0 B D A B 40. B ③ ④ 第5题图 11 真题圈数学八年级下J2N 题型五 1.如图，在长方形ABCD中，AB=10,AD= 4,E为CD边上一点，CE=7.点P从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边 BA向终点A运动，连接PE.设点P运动 的时间为ts.当t= 时， △PAE是等腰三角形. B--P 第1题图 2.(期中·天津河东区)如图，已知在△ABC 中，∠B=90°，AB=16cm,BC=12cm,P, Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从 点A开始沿A→B方向运动，且速度为 1cms,点Q从点B开始沿B→C→A方向 运动，且速度为2cm/s,它们同时出发，同时 停止 (1)点P,Q出发4s后，求PQ的长 (2)当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟 后，△CQB能形成直角三角形？ C Q P 第2题图 备用图 12 动点问题 3.(期中·济南历城区)如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，AB=10cm,BC=6cm,若动 点P从点A出发，沿着三角形的三边，先运 动到点C,再运动到点B,最后运动回到点 A,运动速度op=2cms,设点P的运动时 间为ts. (1)当t为何值时，点P恰好在AB的垂直 平分线上？ (2)当t为何值时，点P在BC上，且恰好在 ∠BAC的平分线上？ 第3题图答案与解析 3.【解】(1)由折叠的性质可得AE=BE 设AE=BE=x,则CE=8-x. 在Rt△ACE中，∠ACB=90, AC+CE=AE6+(8-)产=r,解得x-克 E-空 (2)BF=5. 分析：由折叠的性质可得AC=AG=6,CF=GF. 设CF=GF=y,则BF=8一y. 在Rt△ACB中，∠ACB=90°， ∴AB=√/AC2+BC2=√/62+82=10，∴.BG=AB-AG=4. 在Rt△BGF中，∠BGF=90°， ∴.GF2+BG2=BF2, y2+4=(8-y)2,解得y=3,.BF=8-3=5. 5 4.2【解析】在长方形ABCD中，∠D=∠C=90°，AB=DC 5,AD=BC=4. 由折叠的性质可知∠D'=∠D=90°，∠C'=∠C=90°，BC'= BC=4,D'C'=DC=5. 在Rt△ACB中，由勾股定理得AC'=√AB2-BC=3, .AD=DC'-AC'=5-3=2. 由题意得ED=ED',设ED=ED'=x,则AE=4一x 在Rt△AD'E中， 由勾股定理得(4一x)2=22十x2, 解得r=则AE=；故答案为 5.【解】(1)：四边形ABCD为长方形，.AD=BC=8,∠A=90°， 在Rt△BAD中，AB=15,AD=8, ∴.由勾股定理得BD=√AD+AB2=17. (2)由折叠性质可知DF=AD=8,EF=EA,EF⊥BD, .BF=BD-DF=17-8=9, 设AE=EF=x,∴.BE=15-x, 在Rt△BEF中，由勾股定理可知：EF2+BF2=BE2, 即x2+9=(15-x)2, 部得x博AE-器 题型三实际应用 1.C【解析】由题意可知，BC=3m,AC+BC=8m,则AC= 5m.在Rt△ABC中，AB=AC2-BC=4(m).故选C. 2.D【解析】设铅笔长度为xcm,由题意得(x-3)2-82 (x-1)2-122,解得x=22,故铅笔的长为22cm.故选D. 3.A【解析】设BD的长度为xm,则AB=BC=(x+0.2)m, 在R1△CDB中，0.8十x2=(x十0.2)2，解得x=1.5.故选A. 4.C【解析】在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=2.42+0.72= 2.52,所以AB=2.5m.所以A'B=2.5m. 在Rt△A'BD中，BD2=A'B2-A'D2=2.52-1.52=22,所以 BD=2m,所以BC+BD=0.7+2=2.7(m).故选C. 5.C【解析】设OA=OB=AD=BC=x寸，如图，过点D作 DELAB于点E,则DE=10寸，OE=2CD=1寸，AE=(x 1)寸.在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2,即(x-1)2+102 x2,解得2x=101.故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸.故选C 2寸 D/C 1尺 EO 第5题答图 6.9【解析】在Rt△ABC中，，∠CAB=90°，BC=17米，AC=8米， ∴.AB=/BC2-AC2=√J172-82=15(米).，CD=10(米)， .AD=√CD2-AC=√/100-64=6（米），.BD=AB-AD =15一6=9（米）.∴.船向岸边移动了9米.故答案为9. 7婴9【解折设0A=OB=之尺， 易知四边形BECD是长方形，∴.BD=CE=5尺 AC=1尺，AE=CE-AC=5-1=4(尺). 在Rt△OBE中，OB=x尺，OE=(x一4)尺，BE=10尺， =10+(c-40,解得-9 秋干绳索(OA)的长度为号尺故答案为号。 8.【解】由题意知，AC=30m,AB=50m,∠ACB=90° 根据勾股定理，得AC2+BC2=AB2,即302+BC2=50, 所以BC=40m. 40÷2=20(m/s),20m/s=72km/h, 因为72>70，所以这辆小汽车超速了. 9.【解】(1)受影响. 理由：，AC=60km,BC= C 80km,AB=100km,602+802 =1002, ..AC2+BC2=AB2, 1 D B ∴.△ABC为直角三角形，且 第9题答图① ∠ACB=90° 过点C作CD⊥AB于点D,如图①， SAN-AC AB CD. .AC·BC=AB·CD,即60×80=100CD, ∴.CD=48km<50km, ∴.海港C受台风影响。 (2)如图②，在直线AB上取点E 和F,使CE=CF=50km, ∴EF线段内都受台风影响. 在Rt△CDE中，DE=√CECD= A EDF B 14(km), 第9题答图② 在Rt△CDF中，DF=√CF2-CD2=14(km), ∴.EF=DE+DF=28(km. 28÷4=7(h). 答：台风影响该海港持续的时间为7h. 10.【解】(1)在Rt△OAB中，AB=25米，OA=20米， ∴.OB=√AB2-OA2=√252-202=15（米）， 所以BE=OB+OE=15+3.5=18.5(米). 答：B处与地面的距离是18.5米. (2)在Rt△OCD中， .'CD=25米，OD=OB+BD=15+5=20(米) ∴.0C=√CD2-0D=√252-202=15（米）， ,∴.AC=OA-0C=20-15=5(米). 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为5米。 题型四最短距离 1.C【解析】将三棱柱沿AA将侧面展开，其展开图如图，则A'A= 502+(3×40)2=1302,所以A'A=130cm,则这圈彩带的长度 至少为130cm.故选C 第1题答图 2.C【解析】如图所示，30+10+30+10=80(cm),AB= /602+802=100(cm).故选C. 4 60 cm 16 A ---------D F 3 30 cm 10cm A 9 30 cm B 、10cm 5 第2题答图 第3题答图 3.20【解析】如图，将杯子侧面展开一半，作点A关于EF的对称 点A',连接AB,则A'B的长即为最短距离，A'B=√AD+BD =/162+122=20(cm),故答案为20， 4.45【解析】有两种展开方法： 方法一：如图①，PA2=(5+3)2+(3+1)2=80, 则PA=4√5cm. 方法二：如图②，PA2=(5+3+1)2十32=90. 则PA=3√/10， 因为4√5<3√/10，所以它需要爬行的最短距离是45cm. 故答案为45， P E B B EP ① ② 第4题答图 5.【解】(1)如图①，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段SF 就是蜘蛛走的最短路线： 由题意可得，在Rt△SFN中，∠SVF=90°，FN=18一2= 16(cm),SN= ×60=30(cm),所以SF=√SV+FN7= 2 /302+162=34(cm), 所以蜘蛛所走的最短路程为34cm. A -- 8k----------iN ① ② 第5题答图 (2)设昆虫甲从顶点C,沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙 从顶点A按路径A→E→F爬行，捕捉到昆虫甲需xs 如图②，在Rt△ACF中， 因为长方体的棱长AB=BC=6cm,AA1=CC1=14cm, 所以AF=1·x=x(cm),C1F=1·x=x(cm),CF=(14 x)cm,AC=12cm,所以x2=122+(14-x)2, 解得z=85 7 答：昆虫乙至少需要5s才能捕捉到昆虫甲。 真题圈数学八年级下J12N 题型五动点问题 1号或2或8 【解析】由题意可得DE=10-7=3,AD=4, BP=2t,AP=10-2t. 如图，过点E作EF⊥AB于点F,则 易知EF=AD=4,AF=DE=3, 由勾股定理可得AE=5. BP 若△PAE是等腰三角形，分以下三 第1题答图 种情况：①当AP=AE时，10-2=5时，解得：=号： ②当EP-=EA时，Pp=AF=2AP=3I0-2)=5-1=3, 解得t=2; ③当PE=PA=10-2t时，PF=PA-AF=10-21-3= 7-2t, 在Rt△PFE中，由勾股定理得PF2+EF2=PE, 取(7-20+=10-20，解得：=器 综上，当：=号或1=2或1=时，△PAE为等腰三角形， 故答案为号或2或 2.【解】(1)由题意可得，BQ=2×4=8(cm),BP=AB-AP=16- 1×4=12(cm) .∠B=90°， ∴.PQ=√BP+BQ=√122+82=4/13(cm), 即PQ的长为4√13cm. (2)当BQ⊥AC时，∠BQC=90°. :∠ABC=90°，AB=16cm,BC=12cm, ∴.AC=√AB2+BC=√162+12=20(cm). :AB:BC_AC·BQ 2 2 16X2-00B0号m 2 2 c0=vc-0=√12-()-m. :当△CQB是直角三角形时，运动的时间为(12+）÷2= 9.6(s). 当∠CBQ=90时，点Q运动到点A处，此时运动的时间为(12+ 20)÷2=16(s). 综上可得，当点Q在边CA上运动时，出发9.6s或16s后， △CQB能形成直角三角形. 3.【解】(1)如图①，当点P在AC上时，连接PB, 由勾股定理得AC=√AB2-BC=√102-6=8(cm), :点P恰好在AB的垂直 C 平分线上， ∴.PA=PB=2t, ∴.CP=8-2t, .在Rt△PBC中，(8-21)2+ 62=(2t)2, B 第3题答图① 解得4一总 当点P在AB上时，PA=PB=5cm, 点P运动的路程为86+5=19cm-号 -或时，点P恰好在AB的垂直平分线上. 答案与解析 (2)如图②，过点P作PF⊥AB于点F,,AP平分∠BAC,∠C =90°，∴.PF=PC=2t-8,又AP=AP, ∴.Rt△ACP≌Rt△AFP(HL), .'.AF=AC=8 cm. 则BF=10-8=2(cm),BP=(14-2t)cm, 在Rt△BPF中，由勾股定 理，得(2t-8)2十22=(14 2t), 解得1片。 当1=9时，点P在BC B 第3题答图② 上，且恰好在∠BAC的平分线上 第二十一章四边形 题型一多边形的内角和与外角和 1.A2.D 3.C【解析)多边形的对角线条数=n,3》_5X(行一3》=5.故 2 2 选C 4.C【解析】n边形的内角和是(n一2)·180°，(n十x)边形的内角 和是(n+x-2)·180°，则(n+x-2)·180°-(n-2)·180°= 540°，解得x=3.故选C. 5.A【解析】.任意多边形的外角和都为360°，∴.a=3=360°， .a一3=0.故选A. 6.B【解析】如图，设AC,DF与BE分别相交于点M,N,在四边 形NMCD中，∠MND+∠CMN+∠C+∠D=360°，又 '∠CMN=∠A+∠E,∠MND=∠B+∠F,∴.∠A+∠B+ ∠C十∠D十∠E+∠F=360°.故选B. B A M E 第6题答图 7.150【解析】：正方形的每个内角度数=90°，正六边形的每个 内角度数=180°-360°÷6=120°，∴.∠1+∠2+90°+120°= 360°，.∠1+∠2=150°.故答案为150. 8.48【解析】360°÷15°=24，共走了24次，机器人共走了24×2 =48(m).故答案为48. 9.【解】(1)540 (2)x°+x°+(.x+20)°+(x-10)°+70°=540°，解得x=115. 题型二平行四边形的证明与计算 1.C 2.C【解析】：四边形ABCD是平行四边形，∠BAC=40°， .ABCD,∴.∠ACD=∠BAC=40°. :∠ACB=80°，∴.∠BCD=∠ACB+∠ACD=120°.故选C. 3.A【解析】A.当AB∥CD,AD=BC时，四边形ABCD可能为 等腰梯形，.不能证明四边形ABCD为平行四边形；B.AB∥ CD,AB=CD,一组对边平行且相等，可证明四边形ABCD为 平行四边形：C.ABCD,AD∥BC,两组对边分别平行，可证明 四边形ABCD为平行四边形：D.:AB∥CD,∠A十∠D= 180°.，∠A=∠C,.∠C+∠D=180°，.AD∥BC,∴.四边形 ABCD为平行四边形.故选A 4.C【解析】，四边形ABCD是平行四边形，.BC=AD=10, A0=C0=2AC=4,B0=D0=2BD=7, .△AOD的周长是AD+AO+DO=10十4+7=21.故选C. 5.C【解析】，四边形ABCD是平行四边形， ∴.ABCD,AB=CD A(1,4),B(1,1),∴AB=CD=3,ABCD∥轴. .C(5,2),∴.D(5,5).故选C. 6.C【解析】观察并结合平行四边形的性质可知，图中下半部分的 阴影面积等于上半部分的空白面积， Sas=号Sm“BC=10,BC边上的高为6Sm 10X6=60∴Sa=号×60=30，故选C 7.B【解析】'.四边形ABCD是平行四边形， ∴.ABDC,ADBC,∴.∠BAF=∠F=70°. .AF是∠BAD的平分线，∴.∠BAF=∠DAE=70° .'AD∥BC,∴.∠AEB=∠DAE=70°， ∴.∠B=180°-∠BAE-∠AEB=40°.故选B. 8.①③ 9.32【解析】四边形ABCD是平行四边形，.DC∥AB,AD BC,.∠BEC=∠DCE.:CE平分∠BCD,.∠BCE= ∠DCE,∴.∠BCE=∠BEC,∴.BC=BE=5,.AD=BC=5. .AE=3.DE=4...AD2=DEAE, .∠AED=90°，∴.DE⊥AB..AB=AE+EB=3+5=8, .☐ABCD的面积=AB·DE=8×4=32.故答案为32. 10.【证明】四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,ABCD,∴∠BAE=∠DCF. 又BE⊥AC,DF⊥AC,..∠AEB=∠CFD=90°. I∠AEB=∠CFD, 在△ABE与△CDF中，{∠BAE=∠DCF, AB =CD. ∴.△ABE≌△CDF(AAS),.AE=CF. 11.(1)【证明】'，点D,E分别是边AB,AC的中点， .DE是△ABC的中位线， ∴.DE∥BC,即DF∥BC. .CF∥AB,∴.四边形BCFD是平行四边形 (2)【解】：AB=BC,E是AC的中点，∴.BE⊥AC. 点D是边AB的中点，.AB=2BD=4. 在Rt△ABE中，AE=√AB2-BE=√42-32=√7， ∴.AC=2AE=2√7. 12.【解】(1)作AM⊥BC于点M,如图①. A D M 第12题答图① 设BM=x,则CM=6-x, 由勾股定理得AM=AB2-BM=AC一CM, 即52-x2=42-(6-x)2, 解得x-只即M-只 4 六AM=VAB-BM=5V7 4 口ABCD的面积=BC·AM=6X57_15V7 41 2