第十九章 题型三 二次根式的化简与求值 & 题型四 二次根式的应用-【真题圈】2025-2026学年八年级下数学试题精选（人教版·新教材）

答案与解析 重难题型练 第十九章二次根式 题型一二次根式的混合运算 1.【解】(1)(a-b)2=a2-2ab+b2 (2)3 (3)(√3-√2)2×(5+2W6) =(3-2W6+2)×(5+2w6) =(5-2W6)×(5+26) =25-24 =1. 2.【解】(1)原式=2√2+3√2+√3-√2=42+3. (2)原式-46×3×1- 4565 3.【解】(1)原式=2√3-5w3+43=√3. (2)原式=(4v2-36)×,1=2-3y3 2√2 2 4.【解】(1)原式=2√6+√3+3√2」 (2)原式=5-2+3=6. 5.【解】(1)原式=35+3√2+2√2-5√5=5√2-2√5. (2)原式=2-5√2+3W2-15=-13-2√2. 6【解11)原武式-(65+25-}3）÷5-万÷5-号 3 1 (2)原式==(2)2-2×2×5+(5)+6√/3×2=2 2W6+3+2√6=5. 7.【解】(1)原式=6√2+6-6√2=6. (2)原式=9-5-(3-23+1)=23. 8【解)1D原式=26一1-V6=√6② 4 (2)原式=2√3 /48 327+2-22+1)=8-9+3-22 2-2√2. 题型二非负性的应用 1.A【解析】√x十1≥0，|3y-6|≥0，.2√x+1=0,3y 6=0,.x=一1，y=2,则xy=-1×2=-2.故选A. 2.A【解析】由题意可知x一2=0，y一1=0，所以x=2,y=1,所 以x+y=2+1=3,x-y=2-1=1,xy=2X1=2,x'=2=2, 所以x十y的值最大.故选A. 3.2【解析】.√m-2≥0，.当m-2=0,即m=2时，m-2有 最小值0.故答案为2. 4.1【解析】因为（十√一x有意义，所以x≥0且一x≥0，则 x=0,所以√x十1=1=1.故答案为1. 5.16【解析】因为(2a+b)2与√/3b十12互为相反数，所以(2a十 b)2+/3b+12=0,则2a+b=0且3b+12=0,解得a=2,b= 一4，则b“=(-4)2=16.故答案为16. 6.2037【解析】由题意得y=x-4|-x+5,当x<4时，y -(x-4)-x+5=-x+4-x+5=-2x+9:当x≥4时，y= x一4一x+5=1.所以y值的总和为7+5+3+1+1+…+1= 7+5+3+1×2022=2037.故答案为2037. 7.【解】根据二次根式有意义的条件得，a一2026≥0， 所以a≥2026，所以2025-a<0, 所以原式化为a一2025十√a一2026=a, 所以√a-2026=2025,所以a-2026=20252, 所以a一20252=2026. 8.【解】(1)由题意，得x一2≥0且2-x≥0， 所以x=2,则y=3,则x'=2=8. (2)(√/15+xZ-√/19-x)2=2=4,即15+x2-2(√15+x· √/19-x2)+19-x2=4,所以34-2（√/15+x2·√/19-x2) 4,所以√15+x.√19-x=15. 题型三二次根式的化简与求值 1.C【解析】√2一x有意义，.2一x≥0，解得x≤2，.原式 2-x十2-x=4一2x.故选C. 2.一2（答案不唯一） 3.一1√m【解析】：m>0,n<0,.√mn=mm√m= 一m√m.故答案为-m1√m. 4.2b【解析】a,b,c为△ABC的三边长，.a十b>c,a一b< c,∴.a+b-c>0,a-b-c<0,∴./(a+b-c)2+|a-b-c =a十b-c-a十b十c=2b.故答案为2b. 5.【解】根据实数a,b,c在数轴上对应点的位置，得b<a<0<c, 且|b1>|a>|c, ∴.b+c<0,a-c<0,b-a<0,∴.原式=/(b十c)2+|a-c十 (b-a)2=|b+c+|a-c|+|b-a=-b-c-a+c-b+ a=-2b. 6.【解】(1)由题意得x>0. 所以原式=音×3反+品后-2·号=4+名G 2-a. (2)由题意得a>0. 所以原式-专×2aX0a÷号×号-号aV9丽=a. 7.【解】设x=√4十7+√4-√7， 两边平方，得x2=(√4+7)+（√4一7）+2W/(4+√7)(4一7)， 即x2=4十√7+4-√7+6， x2=14, ∴x=士√/14 ∴√4十√7+√4-√7>0， ∴W√4+√7+√4-7=√14. 8.1+√3【解析】，a=1,b=一2，c=一2， .b2-4ac=(-2)2-4×1×(-2)=12, :=b+6=4ac_2√厘=1十5.故答案为1十5. 2a 2×1 1 9.【解】(1)x= 2+w/3 =2-3,y= 1 =2+3, 2-√/3 x2-2xy十y2=(x-y)2 =[(2-3)-(2+5)]=(-23)2=12. (2).x= 1 =2-3y=。1 =2+3, 2+√3 2-√3 ∴xy=(2-√3)(2+3)=1， (x+y)2=[(2-√3)+(2+√3)]2=16， x2+y2=(x+y)2-2xy=16-2×1=14, +-- x y 10.【解】(1).x=√5-2， ∴.x+2=√5， .(x+2)2=5,.x2+4x+4=5, ∴.x2十4x=1, .∴.x2+4x-10=1-10=-9. (2x=5-1.+1_5 2 1,x+2=2 +》=停}= t ∴.x2+x=1, ++1++1-1=5+1-6 21 1 11 11.【解】K156+65后6 (2)Sm=a1十a2十a3+…十am=1一 11_1+1-1十 龙++店库 1 1 …十 =1- 1=1- √n√n+1 √n+1 n十1 3x6(-后)+(-)-6-EhE-1=6-1 ∴.x2+2x=x(x+2)=(W6-1)(W6+1)=5. 题型四二次根式的应用 1.B【解析】通电时间t(单位：s)与产生的热量Q(单位：J)满足 Q=户，所以电流1一√是-√-5(A,放电流1的 值为A放建 2.D【解析】设圆的半径为rcm,根据题意得，√140元×√35元= πr2,解得r=√70（负值舍去）.故选D. 3.45【解析】，三角形周长为(75+2√6)cm,两边长分别为 √45cm和/24cm,∴.第三边的长是(75+2W6)-√45-√24 =75+2√6-3√5-2√6=45(cm).故答案为45. 4.36m【解析】：两个小正方形的面积分别为12m和27m2, .两个小正方形的边长分别为√12=23(m),√27= 33(m),∴.种植草坪部分的面积=2×23×3√3=36(m).故 答案为36m2. 5.【解由条件可得1250-2×50X, .v=50=52(米秒)， 跑完100米所用的时间为100=102（秒）. 5W/2 答：该运动员的跑步速度为5√2米秒，跑完100米所用的时间 为10√2秒 6.【解】(1)长方形ABCD的周长=2×（√72+√32） =2X(6√2+4√2)=20√2(m) 答：长方形ABCD的周长是20W2m. (2)蔬菜地的面积=√72×√32一（√10+1）×（√10一1） =48-(10-1)=39(m2). 39×8×15=4680(元). 答：张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元. 第二十章勾股定理 题型一面积问题 1.D【解析】设两条直角边长分别为acm,bcm,则a2+b2=52= 25..a十b+5=12,.a+b=7..(a十b)2=a2+b2+2ab, b-7,25-12S-b=×12=6(cm.故选D 2 真题圈数学八年级下RJ2N 2.B【解析】由题意可知S1=AB2,S2 =BC,S?=CD2,S4=AD.如图，连 D S.C 接BD,在Rt△ABD和Rt△BCD中， BD=AB+AD=CD+BC2,则 S1+S4=S4+S2,因此S4=135 B S 48=87.故选B. 3.6【解析】.∠ACB=90°，AB=5, 第2题答图 AC=4, .BC2+AC2=AB2,BC=√AB2-AC=√52-4F=3, Sm=2BCAC=×3X4=6. 设以BC为直径的半圆的面积为S:,以AC为直径的半圆的面 积为S2,以AB为直径的半圆的面积为S:, s-2…(3)=吾x&,=号（号4c)°=晋Ac S.=·(2AB)=AB, S脂=S,+S+Sam-S=吾(+AC0-AB)+Sm S△c=6.故答案为6. 4.72【解析】如图，设另外两个正方 形分别为F,G,且正方形E,F,G的 B 边长分别为e、f、g,则有f=4+ A呀 62=52,g2=22+42=20,.e2= f+g2=72,即最大正方形E的面 e 积是72.故答案为72， E 5.氵【解折J0A,=VOA+A,A 第4题答图 =√2；OA3=√OA+A2A=√3； OA4=√OA+AA=4;…,则OA,=9.:AnAn+1=1, Sm.=20A·A,Am=号×5X1=是故答案为 6.【解】(1)由勾股定理知AB2=AF2+BF2=a2+b2, 则正方形ABCD的面积S=AB2=a2+b2. (2)设八个全等的直角三角形的面积均为m, 则S正方形rH=S1一4m,SE方形EGH=S2十4m, 两式相加得2S正方形EGH=S,十S,=10, 两式相减得S1一S,一8m=0, ∴.SE方形ERGH=5,S1-S2=8m1. S1-S2=8,m=1. 故直角三角形的面积为1，正方形EFGH的面积为5. 题型二折叠问题 1.2√2cm【解析】'AD是△ABC的中线，BC=4cm, ∴.BD=CD=2cm. ,将△ACD沿AD翻折，使点C落在点E的位置， ∴∠ADE=∠ADC=45°，DE=CD=2cm, ∴.∠CDE=90°，∠BDE=90°， ∴.BE=√BD+DE=2√2(cm). 故答案为2√2cm. 2号【解析折】因为∠ACB=90,BC=5AB=13,由勾股定理得 AC=√AB2-BC=√/132-5=12.由折叠的性质，得BD= AB=13,EA=ED,所以CD=BD-BC=13-5=8.设CE= x,则EA=ED=12-x.在Rt△DCE中，由勾股定理得x2十 8=12-x)户，解得x9放答案为只真题圈数学八年级下R)2N 题型三二次根式的化简与求值 类型1简单二次根式的化简 7.方法探索（期中·北京四中）在学习了二次 1.化简（√2一x)+|x一2的结果为(） 根式一章后，老师给小郭同学出了这样一道 A.0 B.2x-4C.4-2xD.4 思考题： 2.开放性试题若要说明“√9m2=3m”是错误 求/3+5+√/3-5的值. 的，则m的值可以为 小郭同学认真分析了式子的结构，做出如下 3.(期中·华南师大附中)已知m>0,n<0,化 解答： 简√mn2= 设x=/3+5+√3一5，两边平方，得 4.(期中·重庆巴蜀中学)已知a,b,c是 2=(/3+5)2+(/3-√5)2十 △ABC的三边长，化简√(a+b-c)+ 2√/(3-√5)(3+5)， a-b-c|的值为 5.(期中·合肥瑶海区)已知实数a,b,c在数 即x2=3+√5+3-√5+4， x2=10, 轴上对应的点如图所示，化简√(b+c)严+ ∴.x=士10， |a-c|+√b2-2ab+a2 b a 0c .√3+√5+√3-√5>0， 第5题图 ∴√3+5+√3-5=/10. 请你参考上述方法，求√4十7十√4一√7的值 类型2复杂二次根式的化简与求值 6.(期中·西南大学附中节选)计算： +F-2✉ 1 (2)4√9a3÷3 a 3·2a2、 重难题型练 类型3求代数式的值 11.数学归纳数式规律（期中·合肥四十二中） 8.(期中·大连甘井子区)当a=1,b=一2，c= 观察下列各式及其变形过程： 一2时，代数式6+6-ac的值为 a 2a √2+2T 11 √2 1 1 11 9.(期中·武汉蔡甸区)已知x= 2+3'y d2 2√3+3√2√2√3 23求下列代数式的值： 1 11 a3= 3√4+4534 (1)x2-2xy+y2. (2)之x … (1)按照此规律，写出第五个等式a5= (2)按照此规律，若Sn=a1十a2十a3十…十 am,试用含n的代数式表示Sm (3)在(2)的条件下，若x=√6S2+√2S1,试 求代数式x2+2x的值， 10.方法探索请阅读下列材料： 问题：已知x=√5十2，求代数式x2一4x一7 的值 小敏的做法是：根据x=√5十2，得(x一2)2 5,.x2-4x+4=5,得x2-4x=1. 把x2一4x作为整体代入，得x2-4x-7= 1一7=一6.即把已知条件适当变形，再整 体代入解决问题.请你用上述方法解决下 面的问题， 教育 精品图书 (1)已知x=5一2，求代数式x2+4x一10 的值 《2)已知52求代数式x+z2+1 的值. 5 真题圈数学八年级下J2N 题型四二次根式的应用 1.教材习题改编电流通过导线时会产生热量， 步，他的质量是50千克，若动能是1250焦 电流I(单位：A)、导线电阻R(单位：2)、通 耳，求该运动员的跑步速度和跑完100米所 电时间t(单位：s)与产生的热量Q(单位：J) 用的时间（结果保留根号）. 满足Q=IRt.已知导线的电阻为22,2s 时间导线产生50J的热量，电流I的值 是( A.5A A B.2 C.5√2A 4高 2.二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着 广泛的应用.如图，在某飞船中要将某一部件的 6.（月考·西安高新一中)如图，张大伯家有一 一个长方形变化成等面积的一个圆形，已知长 块长方形空地ABCD,长方形空地的长BC 方形的长是√/140元cm,宽是/35元cm,那么圆 为/72m,宽AB为√/32m,现要在空地中划 的半径应是( 出一块长方形地（即图中阴影部分）养鸡，其 余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为 (√/10+1)m,宽为（√10-1）m. (1)长方形ABCD的周长是多少？（结果化 为最简二次根式) 第2题图 (2)若市场上某种蔬菜的价格为8元/kg,张 A.2√J35cm B.2√/70cm 大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产15kg C.35 cm D.√J70cm 的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售 3.三角形周长为(7√5十2√6)cm,已知两边长 完，销售收入为多少元？ A D 分别为v√45cm和/24cm,则第三边的长是 cm. 4.(期中·武汉青山区)如图， 12 cm2 为美化环境，某小区从一块 正方形空地中划出两块面积 27cm2 第6题图 分别为12m2和27m2的小 正方形种植特色花卉，剩余 第4题图 部分种植草坪，则种植草坪 部分的面积为 5.学科融合物理一切运动的物体都具有动能， 其大小由两个因素决定：物体的质量和运动 速度，已知动能的计算公式是瓜：2m心， 其中E。表示动能（单位：焦耳），m表示物体 的质量（单位：千克），)表示物体的运动速度 (单位：米/秒).现有一名运动员在匀速跑